Série de Fourier e Transformada de Fourier

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Processamento Digital de Sinais Pag 13 
ESPECTRO DE FREQUÊNCIA 
Um sinal periódico pode ser representado como uma soma de sinusóides de diferentes 
frequências, amplitudes e fases. Esta forma de representação chama-se Série de 
Fourier. 
A série de Fourier pode estar na forma trigonométrica ou na forma exponencial. 
A série trigonométrica tem a forma: 
���� = �� + �	 cos
� + �	 sin
� + �� cos 2
� + �� sin 2
� +⋯ 
���� = �� +���� cos �
� + �� sen �
��
�
��	
 
Os coeficientes de Fourier são determinados pelas integrais: 
�� = 	
� � �������
� �� = �
� � ���� cos �
� ���
� �� = �
� � ���� sen �
� ���
� 
Esta forma pode ser convertida para a seguinte forma compacta: 
���� = �� + �	 cos�
� + �	� + �� cos�2
� + ��� + � cos�3
� + � � + ⋯
= �� +��� cos��
� + ���
�
��	
 
Onde: �� = "��� + ��� �� = �#��$ %&'()( * �� = �� 
A série exponencial tem a forma: 
���� = ⋯+ +,&�-&.�/0 + +,&	-&./0 + +,� + +,	-./0 + +,�-.�/0 +⋯
= � +,�-.�/0
&	
��&�
+ +,� +�+,�-.�/0
�
��	
 
Os coeficientes ��, +,� chamam-se Coeficientes de Fourier. 
Os coeficientes exponenciais são determinados por: 
+,� = 	
� � ����-&.�/0���
� +,� = 	
�1 � ����-&.�/0�
��1
� 
A relação entre os coeficientes exponenciais e trigonométricos é: 
+,� = �� +,� = 	
� ��� − 3��� +,&� = 	
� ��� + 3��� 
�� = +,� + +,&� �� = 34+,� − +,&�5 
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A correspondência entre a série trigonométrica e a série exponencial resulta da 
fórmula de Euler: 
-.6 = cos� + 3 sin� 
Para um sinal não periódico, em vez da série de Fourier, usa-se a Transformada de 
Fourier. Nesse caso considera-se a função não periódica como uma função periódica de 
período igual a infinito. Substituindo os coeficientes na série exponencial de Fourier, 
com 7 → ∞ e 
 → 0 , o somatório transforma-se em integral: 
���� = 1
2< = >�
�
�
&�
-./0�
 
Esta expressão é análoga à série de Fourier para um sinal não periódico. Tem a 
designação de Transformada Inversa de Fourier. Os respectivos coeficientes F(ω) são 
dados pela expressão: 
>�
� = = ����
�
&�
-&./0�� 
Esta expressão é a Transformada de Fourier da função f(t). 
Um gráfico das amplitudes em função das frequências num sinal chama-se espectro de 
amplitude. O gráfico das fases em função das frequências chame-se espectro de fase. 
Os dois espectros juntos chamam-se espectro de frequência do sinal. 
Cada componente de frequência do sinal chama-se harmónica (1ª harmónica, 2ª 
harmónica, 3ª harmónica, etc). 
Conhecendo o espectro de frequência pode-se reconstruir o sinal. O espectro é uma 
forma de representação do sinal. 
O espectro da série exponencial tem duas partes, com metade das amplitudes da série 
trigonométrica. Para obtê-lo é preciso determinar os módulos e as fases dos 
coeficientes complexos: 
+,&� = ?+,�?-&.6( +,� = ?+,�?-.6( ?+,&�? = ?+,�? = 	
� �� 
O espectro trigonométrico é desenhado a partir da série trigonométrica compacta. O 
espectro exponencial é desenhado a partir da série exponencial. 
O espectro da série de Fourier é discreto. Tem componentes separadas por intervalos. 
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O espectro da transformada de Fourier é contínuo. Não tem intervalos vazios entre 
frequências vizinhas. 
A parte negativa do espectro exponencial não tem significado físico. As verdadeiras 
frequências do sinal são apenas a parte positiva. Entretanto a parte negativa do 
espectro é necessária na representação do espectro por razões matemáticas. 
Portanto a ciência dos espectros significa que os sinais existentes na natureza podem 
ser vistos como uma sobreposição de sinais sinusoidais (ou exponenciais) de diferentes 
frequências. 
A faixa de frequências que um determinado sinal ocupa no espectro chama-se largura 
de banda do sinal. 
E4 – Um sinal tem a seguinte série trigonométrica: 
���� = 5 + 9 cos %10� + <
2* + 4 cos�20� − <� + 2 cos %30� + <
3* 
a) Quais são os coeficientes de Fourier do sinal? 
b) Quais são as fases das componentes? 
c) Desenhe o espectro de amplitude do sinal. 
d) Desenhe o respectivo espectro exponencial. 
e) É um espetro contínuo ou discreto? 
f) Quais são as frequências do sinal? 
E5 – Um sinal x(t) tem o espectro abaixo. 
 
 
 
a) É um espectro contínuo ou discreto? 
b) É um espectro exponencial ou trigonométrico? Desenhe a outra opção. 
c) Quais são as frequências do sinal? 
d) Qual é a largura de banda do sinal? 
 
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CONCEITO DE FILTRO 
Filtro - é um sistema selectivo em termos de permissão de passagem de frequências. 
Filtro passa-baixa – é um sistema que permite a passagem de componentes de baixa 
frequência dum sinal e bloqueia as altas frequências. 
Filtro passa-alta – é um sistema que deixa passar as altas frequências e bloqueia as 
baixas frequências. 
Filtro passa-faixa – é um sistema que permite a passagem duma determinada faixa de 
frequências e bloqueia as outras frequências mais altas e mais baixas. 
 
MULTIPLEXAÇÃO POR DIVISÃO DE FREQUÊNCIA 
Num mesmo canal é possível transmitir simultaneamente vários sinais de informação. 
O canal de transmissão pode ser por exemplo, fio condutor, cabo coaxial, fibra óptica, 
ar (ondas de rádio). 
Cada sinal deve ser modulado numa frequência portadora diferente. Deve-se 
salvaguardar um espaço de separação entre os espectros dos diferentes sinais para 
evitar interferência. 
 
 
 
Cada receptor selecciona a faixa do sinal pretendido através de um filtro passa-faixa. 
Esse processo designa-se por multiplexação por divisão de frequência. 
AMOSTRAGEM 
Um sinal de tempo contínuo pode ser processado por um sistema de tempo discreto. 
Para tal, o sinal contínuo deve ser discretizado através da retirada de suas amostras em 
intervalos de tempo regulares. 
A amostragem é o procedimento através do qual um sinal analógico pode ser 
convertido para digital.