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BIOESTATÍSTICA Prof. Edson Meneses 1 Introdução As medidas de dispersão, também conhecidas como medidas de variabilidade, indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros. É a maior ou menor diversificação (distanciamento) dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central (média ou mediana) tomado como ponto de comparação. 2/# Medidas de dispersão • As Medidas de Tendência Central: – representam de certa forma uma determinada distribuição de dados – só elas não são suficientes para caracterizar a distribuição. • Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética Medidas de dispersão • Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 4 alunos. GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6 GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10 • Média do grupo “A”: 5 • Média do grupo “B”: 5 Medidas de dispersão • Os dois grupos apresentam a mesma média • O comportamento dos 2 grupos são bem distintos • GRUPO “A”: valores são mais homogêneos. • GRUPO “B”: valores são dispersos em relação à média Medidas de dispersão • Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas: –a) Amplitude Total –b) Variância – c) Desvio Padrão Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z: X = {70, 70, 70, 70, 70} – dispersão nula Y = {68, 69, 70, 71, 72} – dispersão menor Z = {5, 15, 50, 120, 160} – dispersão maior 3/# Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z: X = {70, 70, 70, 70, 70} – dispersão nula Y = {68, 69, 70, 71, 72} – dispersão menor Z = {5, 15, 50, 120, 160} – dispersão maior 3/# MÉDIA DESV PAD 68 69 71 70 72 70 1,58 5 15 50 120 160 70 67,55 2 Amplitude Total AT = Lmax – lmin Exemplo: para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a amplitude total será: AT = 70 – 40 = 30 4/# Medidas de dispersão Amplitude Total – At É a diferença entre o maior e o menor valor observados. At = Limite superior - Limite Inferior • Exemplo 5: Idade de 20 alunos: Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 At = 9 – 1 At= 8 Medidas de dispersão Amplitude Total – At Dados agrupados – sem intervalo de classes. At= Xmax – Xmin Diferença entre o maior valor e o menor valor da amostra. Medidas de dispersão Amplitude Total – At Dados agrupados – com intervalo de classes. At= Lmax – lmin Diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. Medidas de dispersão Amplitude Total – At Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado. Ela é uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade. 3 Desvio Padrão 3.1 Desvio Padrão Amostral e Desvio Padrão Populacional O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S ou ϭ. 5/# 3 Desvio Padrão 3.1 Desvio Padrão Amostral e Desvio Padrão Populacional Quanto menor for o desvio padrão em relação à média, maior a homogeneidade da distribuição, ou seja, mais agrupados os dados estarão em torno da média. 6/# 3.2 Cálculo do Desvio Padrão 3.2.1 Dados não agrupados 1º) Calcular a média dos elementos; 2º) Calcular a diferença entre cada elemento e a média; 3º) Elevar as diferenças à potência dois; 4º) Somar todos os resultados obtidos no passo 3; 5º) Dividir a soma por n ou n-1 (popul. ou amostral); 6º) Calcular a raiz quadrada deste resultado. 7/# 3.2 Cálculo do Desvio Padrão 3.2.2 Dados de frequência simples 1º) Calcular a média dos elementos; 2º) Calcular a diferença entre cada elemento e a média; 3º) Elevar as diferenças à potência dois; 4º) Somar todos os resultados obtidos no passo 3; 5º) Dividir a soma por n ou n-1 (popul. ou amostral); 6º) Calcular a raiz quadrada deste resultado. 8/# 3.2 Cálculo do Desvio Padrão 3.2.3 Frequência de Classes 9/# Para dados amostrais: Para dados populacionais: Medidas de dispersão Desvio padrão: Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios (ou a raiz quadrada da variância). para uma amostra s = s2 – É a mais utilizada – Revela a dispersão do conjunto que se estuda Medidas de dispersão Desvio padrão: – Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo. – quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média – MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores – MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores – MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores Medidas de dispersão Desvio padrão: – Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo. – quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média – MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores – MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores – MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores Medidas de dispersão Coeficiente de variação: CV = S S - desvio padrão X X - média artitmética – o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição – Valor máximo é CV = 1 0 ≤ CV ≤ 1 Medidas de dispersão Coeficiente de variação: Ao contrário do desvio padrão o coeficiente de variação não possui unidade, ou seja podemos comparar amostras medidas em unidades diferentes utilizando este parâmetro. Medidas de dispersão Variância: A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios de cada valor em relação à média. Por que “Quadrado dos desvios” ??????? Resposta: Por que a soma dos desvios é sempre igual a zero !! Σ di = Σ (Xi – X ) = 0 Medidas de dispersão Variância: dados não agrupados Representado a variância por s2 s2 = Σ (Xi – X )2_ n Sendo: s2= variância amostra Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética Medidas de dispersão Variância: dados agrupados sem classe Representado a variância por s2 s2 = Σ fi (Xi – X )2_ n Sendo: s2= variância amostra Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética Medidas de dispersão Variância: dados agrupados com intervalo de classe Representado a variância por s2 s2 = Σ fi (Xi – X )2_ n Neste caso o valor de Xi é dado pelo valor médio do intervalo de classes Medidas de dispersão Variância: Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que sob o ponto de vista prático é um inconveniente. Por isto imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação prática, denominada desvio padrão. Média, Moda e Mediana Média, Moda e Mediana • Média: 6,4 2+ 6 + 4 + 9 + 6 + 3 + 11 + 8 + 6 + 9 = 64 64/10 = 6,4 • Moda: 6 • Mediana: 6 2 3 4 6 6 6 8 9 11 Média, Moda e Mediana • Média: 5,125 3 + 8 + 4 + 3 + 2 + 10 + 9 + 2 = 41 41/8 = 5,125 • Moda: 2 e 3 Bimodal • 3; 8 ; 4 ; 3 ; 2 ; 10 ; 9 ; 2 • Mediana: 3,5 2 2 3 3 4 8 9 10 3+ 4= 7 7/2 = 3,5 Média, Moda e Mediana • Média: 4,4 2 + 5 + 3 + 4 + 8 = 22 22/5 = 4,4 • Moda: Amodal • 2; 3 ; 4 ; 5 ; 8 • Mediana: 4 2 3 4 5 8 Média, Moda e Mediana Média, Moda e Mediana BIOESTATÍSTICA Prof. Edson Meneses Obrigado!!
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