HIDRÁULICA II ESCOAMENTO

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APOSTILA DE 
HIDRÁULICA 
 
 
ESCOAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Daniel Martins Júnior 
M.Sc. Irrigação e Drenagem 
(Engenharia de conservação de solo e água) 
 
2 
 
 
ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB 
REGIME PERMANENTE 
 
1. Condutos Forçados 
 
São aqueles tubos pelos quais o fluido escoa com uma pressão diferente da pressão 
atmosférica, ou seja, atua nesse tubo a pressão efetiva. 
Os condutos forçados apresentam geralmente seção circular e constante. 
A canalização funciona totalmente cheia e o conduto é sempre fechado. 
Os tubos são fabricados para resistirem a uma pressão interna estabelecida. 
Algumas definições mais usuais: 
 Tubo: uma só peça, normalmente cilíndrica e de comprimento limitado pelo tamanho 
de fabricação. 
 Tubulação: conduto constituído de vários tubos utilizados para transportar o fluido 
de um ponto a outro, ou seja, é o trecho de um aqueduto pronto e acabado. 
 Cano: peça geralmente cilíndrica. Designação dada mais comumente ao material de 
pequeno diâmetro. 
 Rede: conjunto de tubulações interligadas em várias direções. 
 
2. Número de Reynolds 
 
Ao soltar o líquido com corante do recipiente 
superior dentro do tubo A, Osborne Reynolds 
observou que, com uma velocidade menor, 
controlada pela válvula C, o líquido escoava em 
forma de um filamento retilíneo e as partículas 
não se misturavam. Este regime é definido como 
laminar, onde podem ser imaginadas lâminas 
em movimento relativo. (Rey ≤ 2000) 
 
 
 
 
Ao aumentar a velocidade, o filamento colorido de difundia na massa líquida em 
conseqüência do movimento desordenado das partículas. Este regime é chamado de 
turbulento. (Rey ≥ 4000). 
 
 
 
Ao reverter o processo, o regime passa então de turbulento para laminar, restabelecendo o 
filete colorido. 
A velocidade para a qual ocorre a transição de regime é chamada de velocidade crítica 
inferior. 
B 
A 
C 
3 
 
Além da velocidade, Reynolds observou que a viscosidade do líquido também era 
determinante do regime de escoamento. Sendo assim, depois de usar vários tubos e 
líquidos diferentes, propôs a seguinte equação: 
 
 
ou 
 
 
que é o número de Reynolds, onde: 
 V = velocidade do fluido (m/s); 
 D = diâmetro da canalização (m); 
 ν = viscosidade cinemática. (m2/s). 
ν = µ/ρ 
 
 
Onde: µ = viscosidade dinâmica (kgf . s/m2); 
 ρ = massa específica (kgf/m3) 
 
 
Nas condições práticas o movimento da água nas tubulações é sempre turbulento (Re > 
4.000). 
Na condições de laboratório podemos encontrar o regime laminar da água em uma 
tubulação, com Re < 2.000. 
A zona de transição então pode ser definida como sendo a região onde o escoamento não é 
bem definido e a perda de carga não pode ser determinada com segurança. Nessa zona o 
Re encontra-se entre 2.000 e 4.000. 
 
No regime laminar a velocidade 
máxima ocorre no centro da 
tubulação; junto às paredes da 
mesma a velocidade é considerada 
nula. 
 
Na figura ao lado, temos: 
1) Velocidade nula 
2) Velocidade média 
3) Velocidade máxima 
 
Para mostrar que o escoamento nas tubulações ocorre em regime turbulento, temos: 
 
Velocidade Média: Vm = 0,90 m/s 
 
Considerando a temperatura média entre 20o C, para essa temperatura a viscosidade 
cinemática é igual a 0,000001 m2/s. Considerando o diâmetro da tubulação de 50 mm, 
temos: 
45.000
0,000001
0,90.0,050
Re == 
 
Valor acima de 4.000. 
Para seções não circulares, o número de Reynolds pode ser calculado pela expressão: 
 
ν
= vDRe
1 2 3 
νπ
=
D
Q
Re
4
4 
 
 
ν
V.4R
R He = 000.45000001,0
05,0.9,0 ==eR 
 
Onde, RH é o raio hidráulico 
 
Quanto ao escoamento, este pode ser classificado em: 
 
Escoamento permanente: aquele em que as grandezas físicas de interesse não variam 
com o decorrer do tempo, em um ponto previamente escolhido do fluido. 
 
Escoamento uniforme: aquele em que as grandezas físicas de interesse não variam ao 
longo do escoamento, para um determinado tempo. 
 
Escoamento incompressível: escoamento para o qual a variação de densidade (ρ) é 
considerada desprezível (caso contrário o escoamento é dito compressível) 
O critério para definir esse tipo de escoamento é o número de Mach (M) que exprime a 
relação entre a raiz quadrada das forças de inércia Fi e de compressibilidade Fe, ou seja: 
 
c
V
E
V
Fe
Fi
M =
ρ
==
 
E = kgf/m2 
Fe = EA 
C = 1425 m/s (água) 
C = 340 m/s (ar) 
V = velocidade média de escoamento 
C = celeridade (velocidade do som no fluido) 
Para M ≤ 0,3, o escoamento pode ser considerado incompressível. 
 
EXEMPLO: 
 
Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 757 m3/dia de óleo combustível, 
pesado à temperatura de 33oC. Pergunta-se: o regime de escoamento é laminar ou 
turbulento? 
A viscosidade do óleo a 33oC é igual a 0,000077 m2/s. 
 
smdiamQ /0088,0
400.86
757
/757 33 === 2
2
00785,0
4
)10,0(14,3
mA == 
 
Q = A.v v= Q/a 
 
 
210,1
00785,0
00880,0
mv == 
 
 
4000.1
000077,0
10,010.1
Re == X 
 
Portanto o escoamento é laminar. 
5 
 
 
 
A tabela abaixo apresenta valores da viscosidade cinemática, para diferentes temperaturas, dos líquidos 
mais frequentemente utilizados na prática do dia-a-dia. Estes valores são os que se utilizam na equação 
de Colebrook-White ou no diagrama de Moody. 
 
 Líquido Temp. ( oC) Visc. Cinem. (x10 -6 m2/s) 
 ------- ---------- -------- ---------------- 
 Água 10 1, 31 
 Água 20 1, 00 
 Água 40 0, 66 
 Água 80 0, 37 
 Água do mar 5 1, 61 
 Água do mar 15 1, 22 
 Água do mar 25 0, 97 
 Álcool metílico 20 0, 727 
 Asfalto 120 16 00 
 Azeite 38 43 
 Benzol 20 0, 744 
 Gasolina 20 0, 6 
 Glicerina 0 83 10 
 Glicerina 20 11 80 
 Glicerina 40 22 3 
 Leite 20 1, 13 
 Óleo bruto dens. 0,855 30 5, 5 
 Óleo bruto dens. 0,855 40 4, 5 
 Óleo bruto dens. 0,855 60 3, 5 
 Óleo bruto dens. 0,855 80 2, 7 
 Óleo bruto dens. 0,855 100 2, 1 
 Óleo bruto dens. 0,855 120 1, 7 
 Óleo bruto dens. 0,855 150 1, 5 
 Óleo comb. dens. 0,940 30 40 0 
 Óleo comb. dens. 0,940 40 18 0 
 Óleo comb. dens. 0,940 60 60 
 Óleo comb. dens. 0,940 80 25 
 Óleo comb. dens. 0,940 100 13 
 Óleo comb. dens. 0,940 120 8 
 Óleo comb. dens. 0,968 40 12 00 
 Óleo comb. dens. 0,968 60 30 0 
 Óleo comb. dens. 0,968 80 80 
 Óleo comb. dens. 0,968 100 35 
 Óleo comb. dens. 0,968 120 18 ,5 
 Óleo comb. dens. 0,968 150 10 
 Óleo de algodão 38 38 
 Óleo de baleia 38 38 
 Óleo de linhaça 38 30 
 Óleo de soja 38 35 
 Óleo SAE-10 20 80 
 Óleo SAE-10 30 45 
 Óleo SAE-10 40 30 
 Óleo SAE-10 60 15 
 Óleo SAE-10 80 10 
 Óleo SAE-10 100 5 
 Óleo SAE-10 120 3 
 Óleo SAE-30 20 25 0Óleo SAE-30 30 13 0 
 Óleo SAE-30 40 80 
 Óleo SAE-30 60 35 
 Óleo SAE-30 80 19 
 Óleo SAE-30 100 10 
 Óleo SAE-30 120 6, 5 
 Óleo SAE-90 40 25 0 
 Tetracloreto carbono 20 0, 612 
6 
 
PERDA DE CARGA 
 
Conceito: é um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um fluido, para 
vencer as resistências ao escoamento. Essa energia se perde sob a forma de calor. 
 
O reservatório tem nível 
constante e é ligado por meio de 
uma tubulação com uma válvula 
na ponta. 
 
Válvula fechada: mesmo nível 
de água nos tubos piezométricos. 
Temos o pleno de carga 
piezométrico ou efetivo. 
 
Válvula aberta: o nível da água 
nos piezômetros não alcançam o 
nível do reservatório. 
 
Quanto mais afastado do reservatório, mais baixo o nível do tubo piezométrico. 
Quanto maior a velocidade, menor será o nível no piezômetro. 
 
Unindo-se os pontos correspondentes aos níveis do líquido alcançado nos piezômetros, temos a linha 
de carga efetiva. 
 
As alturas h1, h2 e h3 do nível do liquido nos piezômetros até o Plano de Carga Piezométrico, é 
chamado de perda de carga, perda de altura, perda de pressão ou perda de energia. 
 
EQUAÇÃO DA ENERGIA 
 
Quando consideramos o fluido ideal, aplicamos a equação de Bernoulli, entretanto, se adicionarmos no 
segundo membro um termo relativo à perda de carga, temos a equação da energia. 
 
Para diâmetro variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para diâmetro constante, V1 = V2 
 
 
 
 
 
A B C Reservatório com 
nível constante 
Plano de carga 
piezométrico 
Linha de carga 
piezométrica 
h1 
h2 
h3 
)21(
22
hf2z
g2
2V2P
1z
g2
1V1P
−+++γ
=++
γ








++
γ
−






++
γ
=− 22
22
1
2
11 22
21 zg
VP
z
g
VP
hf )(





 +
γ
−




 +
γ
=− 2z
2P
1z
1P
hf )21(
7 
 
Se o diâmetro é constante e a tubulação está na horizontal, temos 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 
 
As perdas de carga se classificam em: 
 
1. Perda de carga contínua ou distribuída ou por atrito (hf) 
 
ocasionada pela resistência oferecida ao escoamento do tubo ao longo da tubulação. Ela e diretamente 
proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante. 
 
2. Perda de carga acidental ou localizada (ha) 
 
ocorre todas as vezes que há mudanças no valor e na direção da velocidade. 
 
3. Perda de carga total 
 
ht = hf + ha 
 
 
CÁLCULO DA PERDA DE CARGA 
 
1. FÓRMULA UNIVERSAL 
 
Para qualquer fluido a perda de carga pode ser representada pela diferença de pressão ∆h entre dois 
pontos do escoamento desde que o escoamento seja plenamente estabelecido ou desenvolvido (perfil 
de velocidade se mantém o mesmo ao longo do escoamento). 
A teoria e a experiência mostram que o gradiente de pressão ∆h é uma função do diâmetro interno da 
tubulação (D), do comprimento da tubulação (L), da velocidade média de escoamento (V), da massa 
específica do fluido (ρ), da viscosidade dinâmica ou absoluta (µ) e da rugosidade absoluta das paredes 
da tubulação (ε). 
Sendo assim, temos: 
 
 
 
 
Onde: f = coeficiente de atrito 
 L = comprimento da tubulação 
 V = Velocidade da água 
 D = diâmetro da tubulação 
 
Ela pode também ser escrita da forma: 
 
 
 
 
g2
V
D
L
fhf
2
=
g2
V
D
1
fJ
L
hf 2==
γ
+=−
21
21
PP
hf )(
8 
 
 
Que é a perda de carga UNITÁRIA, ou seja, a perda que ocorre em um metro de tubulação. 
 
 
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE ATRITO (f) DA FORMULA UNIVERSAL 
 
1. Escoamento Laminar (Re < 2000) 
 
 
 
 
 
2. Escoamento Turbulento (Re > 4000) (Colebrook e White) 
 
 
 
 
 
 
3. Escoamento turbulento de parede lisa (104 < Re < 3,4 x 106) (Expressão de Prandtl) 
 
 
 
 
 
4. Escoamento turbulento de parede intermediária 14 < ε/D Re f1/2 < 200 
 
 
 
 
 
5. Escoamento em parede rugosa (expressão de ukuradze 
 
 
 
 
 
 
2) FÓRMULA DE HAZEM-WILLIANS 
 
Restrições 
 
a) Aplicável ao escoamento de água à temperatura ambiente; 
b) Aplicável à tubulação com diâmetro maior ou igual a 2” ou 50 mm; 
c) Aplicável a escoamento turbulento de parede rugosa ou completamente turbulento. 
 
Fórmula: V = 0,355 C D0,63 J0,54 
 
V = velocidade média (m/s) 
D = diâmetro (m) 
J = perda de carga unitária (m/m) 
yRe
64
f =








+ε−=
fyRe'
51,2
71,3
D/
log2
f
1
8,0fylog(Re2
f
1 −=








+ε−=
fyRe'
251
71,3
D/
log2
f
1
14,1
D
log2
f
1 +




 ε−=
9 
 
C = coeficiente que depende da natureza das paredes dos tubos (material e estado de conservação). 
Está intimamente relacionado com ε/D e independe de Re para D ≥ 50 mm. 
 
3) FÓRMULA DE FLAMANT 
 
Restrições: 
 
a) uso para instalações domiciliares (prediais); 
b) aplicável a tubulação com 12,5 ≤ D ≤ 100 mm 
c) aplicável para escoamento de água à temperatura ambiente 
 
Fórmula: 
 
 
 
D = diâmetro (m) 
J = perda de carga unitária (m/m) 
V = velocidade média (m/s) 
b = coeficiente de Flamant b = 0,00023 para tubos de ferro fundido ou aço em serviço (> 10 anos) 
b = 0,000185 para tubos novos de ferro fundido, aço ou canalização de concreto 
b = 0,000140 para condutos de chumbo 
b = 0,00062 para condutos de cimento amianto 
b = 0,000135 para tubos de plástico 
 
4) FÓRMULA DE FAIR – WHIPPLE – HISIAO (recomendadas pela ABNT) 
 
Restrições: 
a) usada para encanamentos de diâmetro 12,5 ≤ D ≤ 100 mm (instalações domiciliares) 
b) aplicável a escoamento de água 
 
 
Fórmula: 
a) para tubos de aço ou ferro galvanizado conduzindo água fria 
 
Q = 27,113 D2,60 J0,53 
 
b) para tubos de cobre ou latão 
b.1) conduzindo água quente 
 
Q = 63,281 D2,71 J0,57 
 
 
b.2) conduzindo água fria 
 
 
Q = 55,934 D2,71 J0,57 
 
 
Q = vazão (m3/s) 
D = diâmetro (m) 
J = perda de carga unitária (m/m) 
4
7
D
V
b
4
DJ =
10 
 
5) FÓRMULAS PARA TUBOS DE PVC 
 
a) para 3 x 103 < Re < 1,5 x 105 (usada para água à temperatura ambiente) 
 
J = 5,37 x 10-4 D-1,24 V1,76 
 
b) para 1,5 x 105 < Re < 1 x 106 (usada para água à temperatura ambiente) 
 
J = 5,79 x 10-4 D-1,20 V1,80 
 
6) FÓRMULA DE DARCY – WEISBACH 
 
 
 
 
 
f tabelado para água à temperatura ambiente e para tubos com diâmetros acima ou igual a 50 mm 
 
f = f1 (D, V, ε) 
 
 
7) CONCLUSÕES A RESPEITO DA PERDA DE CARGA CONTÍNUA 
 
a) é diretamente proporcional ao comprimento da canalização; 
b) é inversamente proporcional a uma potência do diâmetro 
c) é proporcional a uma potência da velocidade 
d) é variável com a natureza das paredes (material e estado de conservação), no caso de regimes 
turbulentos. No caso de regime laminar, depende de Re; 
e) independe da posição do tubo; e 
f) independe da pressão interna sob a qual o líquido escoa. 
 
PERDA DE CARGA ACIDENTAL OU LOCALIZADA 
 
Ocorre sempre que houver mudança no módulo e/ou na direção da velocidade de escoamento. Isto 
ocorre sempre que houver presença de peças especiais como: curvas, válvulas, registros, bocais, 
ampliações ... 
Segundo experimentos realizados, se a velocidade for menor que 1 m/s e o número de peças for 
pequeno, as perdas de cargas acidentais podem ser desprezadas. Também pode ser desprezadas quando 
o comprimento for maior ou igual a 4000 vezes o seu diâmetro. No caso de pesquisa, elas devem ser 
sempre consideradas. 
 
CÁLCULO DA PERDA DE CARGA ACIDENTAL 
 
1) EXPRESSÃO GERAL 
g
V
Kha 2
2
= 
g2
V
D
L
fh
2
f =
11 
 
K é tabelado 
V = velocidade média 
Verificou-se que o valor de k é praticamente constante para Re = 5 x 104; portanto, o valor de k pode 
ser tomado como constante para fins de aplicação prática no escoamento turbulento, dependendo 
apenas da peça especial. 
 
2) MÉTODO DOS COMPRIMENTOS VIRTUAIS OU EQUIVALENTES 
 
O método consiste em adicionar à canalização existente, apenas para efeito de cálculo da perda de 
carga, comprimentos de tubos (de mesmo diâmetro que o da canalização existente) que causariam amesma perda de carga na peça especial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L4 é o comprimento virtual ou fictício da canalização responsável pela mesma perda de carga que as 
peças especiais. 
Desse modo o cálculo passa a ser feito com uma das fórmulas já vistas para a perda de carga contínua. 
O comprimento virtual e dado em tabelas e é em função da peça e do diâmetro da mesma. 
 
3) MÉTODO DOS DIÂMETROS EQUIVALENTES 
 
Nesse caso as peças especiais são transformadas em um número de diâmetros da canalização existente 
sendo o seu comprimento (da canalização) calculado por: 
L = n . D 
n = número de diâmetros e é tabelado 
Uma vez determinado o comprimento equivalente, a perda de carga é calculada por uma das fórmulas 
de perda de carga contínua. 
 
EXEMPLO: 
a) A tubulação da figura abaixo é de aço e tem diâmetro de 200 mm. Determinar a vazão, adotando f = 
0,024 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
Aplicando a equação da energia entre os pontos (0) e (4)m temos: 
Po/γ + Vo2/2g + zo = P4/γ + V42/2g + z4 + hf(0 – 4) + ha(0 – 4) 
 
0 + 0 + 30,5 = 0 + V4
2/2g + 21,0 + f (L/D) V4
2/2g + K1(V4
2/2g) + 2K2(V4
2/2g) + K3(V4
2/2g) 
 
Curva de 90o
Registro 
Curva de 90o 
T 
L1 
L2 
L3 
L1 L2 L3 L4 
 Cotovelos 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
50 m 
49 m 
30,50 m 
(0) 
21 m 
12 
 
9,5 = V4
2/2g (1 + f L/D + K1 + 2 K2 + K3) TABELA (K1 = 0,5; K2 = 0,9; K3 = 1,0) 
 
9,5 = V4
2/2g (1 + 0,024 120/0,200 + 0,5+ 2 . 0,9 + 1,0) 
9,5 = V4
2/2g (18,70) V4 = 3,16 m
3/s V4 > 1 m/s (perdas de cargas consideradas) 
 
Q = A . V = (3,14 . 0,2002) . 3,16 = 0,099 m3/s = 99 l/s 
 4 
 
OBS: se considerarmos escoamento ideal (desprezando as perdas de cargas) 
 
30,5 = 0 + Vth4
2/2g + 21,0 
 
Vth = 13,65 m/s Qhh = (3,14 . 0,200
2) . 13,65 Qth = 0,428 m
3/s = 428 l/s 
 4 
 
isto mostra que a perda de carga é importante e deve ser considerada. 
 
4) LINHA DE CARGA ENERGÉTICA (LCE) 
 
Aplicando a equação da energia entre dois pontos quaisquer, temos: 
 
 
 
E2 = E1 – hf 
 
A energia numa seção qualquer é dada pela energia na seção anterior menos a perda de carga entre a 
seção anterior e a seção analisada. 
 
5) LINHA DE CARGA PIEZOMÉTRICA (LCP) 
 
A equação da energia aplicada a dois pontos quaisquer, fornece: 
 
 
 
 
P2 = P1 – hf(1 – 2) + 
 
L
L
qQ
L
L
q
L
L
qQa
122
2
121 −+




+−= 
 
6) CONDUTOS COM TOMADAS INTERMEDIÁRIAS 
 
L = L1 + L2 
 
hf = hf1 + hf2 
 
Onde: q é a vazão da tomada intermediária 
 L1 é o comprimento da tubulação à montante da tomada 
 Qa é a vazão depois da tomada 
 
f2
2
22
1
2
11 hz
g2
VP
z
g2
VP
+++
γ
=++
γ
)21(f
2
2
2
2
1
1
2
1 h
g2
V
z
P
z
P
g2
V
−+++γ
=+
γ
+
13 
 
CONDUTOS EQUIVALENTES 
 
CONCEITO: um conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma 
vazão, com a mesma perda de carga. 
 
CASOS A CONSIDERAR: 
 
1) CONDUTOS EM SÉRIE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desprezando as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica é representada 
da maneira acima; quanto menor o diâmetro, maior a perda de carga (para uma mesma Q) e 
maior também a inclinação da linha de carga piezométrica. 
O problema consiste em substituir a tubulação acima por uma equivalente, de um único 
diâmetro, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linha de carga piezométrico 
hf1 
hf2 
hf3
Plano de carga piezométrico 
D1 L1 f1 
D2 L2 f2 
D3 L3 f3 
hf 
hf = hf1 + hf2 + hf3 
D L f 
L C P 
P C P 
14 
 
Utilizando-se da fórmula universal de perda de carga, pode-se escrever: 
a) para o conduto em série 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) para o conduto equivalente (de diâmetro único) 
Temos que: hf = hf1 + hf2 + hf3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Fórmula de Hazen-Willians, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) CONDUTOS EM PARALELO 
 
 
 
 
5
1
1
12
2
4
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
11f
D
L
f
g2
Q16
g2D
Q16
D
L
f
g2
V
D
L
fh
π
=
π
==
5
1
1
11f
D
L
Kfh =
5
2
2
22f D
L
Kfh = 5
3
3
33f D
L
Kfh =
5
3
3
35
2
2
25
1
1
15 D
L
Kf
D
L
Kf
D
L
Kf
D
L
Kf ++=
5
n
n
n5
3
3
35
2
2
25
1
1
15 D
L
f.......
D
L
f
D
L
f
D
L
f
D
L
f ++++=
5f D
L
Kfh =
87,4
n
85,1
n
n
87,4
3
85,1
3
3
87,4
2
85,1
2
2
87,4
1
85,1
1
1
87,485,1 DC
L
...
DC
L
DC
L
DC
L
DC
L ++++=
15 
 
Pela Equação Universal 
 
 
 
 
 
Pela Fórmula de Hazen-Willians, temos: 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 
Na figura a seguir pA = 7,4 kgf/cm
2 e para todos os tubos, f(x) = 0,03. 
Qual a pressão em B, desprezando-se as perdas locais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
As tubulações E e F estão em paralelo. Para se saber a pressão em B, tem-se que conhecer 
a perda de carga que ocorre nessas duas tubulações. 
O problema fica bem mais simples se substituirmos as tubulações A E B e A F B por uma 
única equivalente, como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f = f1 = f2 
 
 
 
 
 
 
D5 = 6,8 x 10 –5 L 
 
...
Lf
D
Lf
D
fL
D
22
5
2
11
5
15
++=
Q = 500 L/s D1 = 300 mm L1 = 600 m 
D2 = 450 mm L1 = 475 m 
Q = 500 L/s 
A
E
F
B 
Q = 500 l/s Q = 500 l/s D, L, F 
A B 
22
5
2
11
5
15
Lf
D
Lf
D
fL
D +=
2
5
2
1
5
15
L
D
L
D
L
D += 475
450,0
600
300,0
L
D
555
+=
...
L
D
C
L
D
C
L
D
C
54,0
2
63,2
2
254,0
1
63,2
1
154,0
63,2
++=
16 
 
Nesse caso, devemos admitir um valor para L ou para D. 
Admitindo um valor para D = 400 mm, temos: L = 150 m 
 
 
 
 
 
 
Portanto: pB = pA – hf(A – B) = 74 – 9,08 pB = 64,92 m 
 
Admitindo D = 500 mm � L = 460 m � pB = 64,90 m 
 
EXERCÍCIO 
Sendo de 1,20 m/s a velocidade no trecho de comprimento L1 do sistema de tubulações da 
figura, determinar a diferença de nível H (C = 120) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela equação da energia 
H = hf(0 – 1) 
 
Dicas para a solução: 
 
Desprezar as perdas acidentais 
Os comprimentos L1 e L2, assim como L4 e L5 estão em paralelo. 
Transforma-los em um comprimento de um único diâmetro. Melhor diâmetro D3 
Aplicar a equação de Hazen-Willians para os comprimentos em paralelo. 
Achar o comprimento equivalente com o diâmetro de 450 mm 
H = Hf = J.L 
V = 0,355 C D0,63 J0,54 
De posse de V1, determinar J1 
A perda de carga em L1 e L2 é a mesma. 
Determinar V2 
Determinar a vazão que circula no sistema (Q1 + Q2) 
Utilizando o conduto equivalente, determinar a velocidade da água no sistema. 
Pela fórmula da velocidade dada anteriormente, determinar a perda de carga unitária 
Multiplicar a perda de carga unitária pelo comprimento equivalente do sistema. 
 
 
m08,9
g2400,0
500,0x4
400,0
150
03,0h
42
22
f =
π
=
(0) 
PCP 
LCP 
L1 = 305 m 
L2 = 305 m 
L3 = 305 m 
L2 = 610 m 
L2 = 610 m 
D1 = 200 mm 
D2 = 300 mm 
D3 = 450 mm 
D4 = 300 mm 
D5 = 300 mm 
D3 L3 
D1 L1 
D2 L2 
D4 L4 
D5 L5 
(1) 
A 
B
H 
17 
 
SIFÕES 
 
1) CONCEITO 
 
São condutos em que parte da tubulação se acha acima do nível do reservatório (acima do 
Plano de Carga Efetivo) que os alimenta, de modo que o líquido é elevado acima daquele 
nível e depois é descarregado em ponto mais baixo que o mesmo. 
 
2) FUNCIONAMENTO 
 
Para o sifão entrar em funcionamento, o mesmo deve estar completamente escorvado, ou 
seja, todo o ar existente no seu interior deve ser eliminado. 
 
 
Partes componentes: 
A – boca de entrada 
C – boca de saída 
D – Vértice 
Coroamento – Curva superior a B 
Crista – Curva inferior a B 
AB – Ramo ascendente(L1) 
BC – Ramo descendente (L2) 
 
 
 
Condições de funcionamento: 
 
As condições de funcionamento são estabelecidas pela equação da energia 
1a condição: aplicando-se a equação da energia entre (0) e (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
V > 0 � H – hf(0 – C) > 0 � H > hf(0 – C) 
 
Isto leva à conclusão de que, devendo a velocidade ser positiva, H deverá ser maior que 
zero (e necessariamente maior do que hf) devendo estar portanto, a boca de saída abaixo 
do pleno de carga piezométrico. 
 
2a condição: aplicando-se a equação da energia entre (0) e (B), com referência no Plano 
de Carga Piezométrico, temos: 
 
 
 
 
 
 
Plano de 
H 
H1 
H2 
PC
B 
A 
(0) 
C 
)co(fc
2
cc
o
2
oo hz
g2VP
z
g2
VP
−+++γ
=++
γ )co(f
2
atmatm h0
g2
VP
H0
P
−+++γ
=++
γ
]hH[g2V )co(f −−=
)]hH
P
(
P
[g2V )Bo(f1
ab
Batm
−++γ
−
γ
=
18 
 
 
 
 
Para se ter V > 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação traduz a 2a condição de funcionamento, ou seja: a localização do vértice do 
sifão deve estar sempre abaixo do valor da pressão atmosférica local. 
 
3a condição: aplicando a equação da energia entre (B) e (C) (com referência em C), temos: 
 
 
 
 
 
Se: 
 
 
 
 
 
 
A equação pode ser escrita então da seguinte forma: 
 
H2 = 10,33 + hf(B – C) 
 
EXERCÍCIO: O NA de um reservatório deve ser regulado por uma bateria de sifões que 
deverá descarregar 111 m3/s. Cada sifão tem D = 1,10 m e Cq = 0,64. Se o desnível entre a 
água no reservatório e a boca de saída for de 7,5 m, quantos sifões deverão ser usados? 
 
Aplicando Bernoulli entre (0) e (1), sendo 
que não foi dada a perda de carga mas foi 
dado o Cq para corrigi-la. 
 
Patm/γ + Vo2/2g + 7,5 = Patm/γ + Vth2/2g 
 
Vth
2/2g = 7,5 
 
Vth = (2g . 7,5)
1/2 Vth = 12,13 m/s 
 
Qth = (3,14 D
2) . Vth 
 4 
 
Q = Cq . (3,14 D2) . Vth Q = 0,64 . (3,14 . 1,1
2) . 12,13 Q = 7,37 m
3/s 
 4 4 
 
Número de sifões = n = 111/7,37 = 15 sifões 
Plano de Referência 
7,5 
A 
(0) 
(1) 
0)hH
P
(
P
)Bo(f1
ab
Batm >++
γ
−
γ − )Bo(f1
ab
Batm hH
PP
−++γ
>
γ
]h
P
[
P
H )Bo(f
ab
Batm
1 −+γ
−
γ
<
γ
−+
γ
= −
ab
B
)CB(f
atm
2
P
h
P
H







=
γ
=
γ
)NormalAtmessão(Prmca33.10
P
)PerfeitoVácuo(0
P
A
ab
B
19 
 
ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES OU CANAIS 
 
1. CONCEITO 
Os condutos livres ou canais, são aqueles que estão sujeitos à pressão atmosférica, pelo 
menos em um ponto de sua seção do escoamento. Normalmente apresentam uma 
superfície livre de água em contato com a atmosfera. 
Os casos típicos de condutos livres são os seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os casos a e b são os dois casos típicos de condutos livres. 
Em c está indicado o limite máximo de um conduto livre. Embora esteja completamente 
cheio, a pressão atuante ainda é a atmosférica. 
Em d, devido à força interna do fluido na parede do conduto, o mesmo deixa de ser livre e 
passa a ser forçado. 
 
2. CARGA ESPECÍFICA 
 
Podemos descrever a carga total (Ht) que atua na seção como sendo: 
 
(1) 
 
 
 
Onde: Z é a distância do plano de referência até o fundo do canal, e 
 y é a profundidade da água no canal. 
 
Tomando o fundo do canal como referência, temos: 
 
 
 
(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
(b) (c) 
(d) 
Patm Patm Patm 
P > Patm 
g2
v
yZH
2
t ++=
g2
v
yH
2
e +=
V2/2g 
y 
He 
Ht 
Z 
Linha de Carga 
Nível da água 
Fundo do canal 
Plano de Referência 
20 
 
3. DISTRIBUIÇÃO DAS VELOCIDADES NOS CANAIS 
 
a) Seção Transversal 
 
A resistência oferecida pelas paredes, pelo fundo dos 
canais e pela atmosfera e ventos, reduzem a velocidade 
da água. 
A maior velocidade se encontra pouco abaixo da 
superfície, na região central do canal. 
 
b) Seção Longitudinal 
 
Considerando a figura anterior, representamos na figura 
ao lado a tendência apresentada pela velocidade nos 
pontos indicados. 
Desta forma, a velocidade média da água em um conduto 
livre foi estudada e apresentada das seguintes formas: 
a) a velocidade média numa vertical, 
geralmente eqüivale de 80 a 90% da 
velocidade superficial; 
b) a velocidade a seis décimos de 
profundidade é, geralmente, a que mais se 
aproxima da velocidade média; 
Vmed = V0,6 
 
c) a velocidade média se aproxima da expressão: 
 
(3) 
 
 
d) a velocidade média também pode ser 
obtida pela expressão: 
 
 
(4) 
 
 
4. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DA SEÇÃO DO CANAL 
 
a) Profundidade de escoamento (y): é a distância entre o ponto mais baixo da seção e a 
superfície livre; 
b) Área molhada (A): é toda a seção perpendicular molhada pela água; 
c) Perímetro molhado (P): é o comprimento da linha do contorno molhado pela água; 
d) Raio Hidráulico (R): é a relação entre a área e o perímetro molhado; 
e) Profundidade média ou Profundidade Hidráulica (ym): é a relação entre a área molhada 
(A) e a largura da superfície líquida (B); 
f) Declividade do Fundo (I): é dada pela tangente do ângulo de inclinação do fundo do 
canal; 
g) Declividade da Superfície (J): é dada pela tangente do ângulo de inclinação da superfície 
livre da água; e 
h) Talude (z): é a tangente do ângulo (α) de inclinação das paredes do canal. 
 
 
(1) (2) (3)
(1) (2) (3) 
2
VV
V 8,02,0med
+
=
4
806020 ,,,
med
VVV
V
++
=
21 
 
5. CÁLCULO DA VELOCIDADE MÉDIA E DA VAZÃO 
 
Fórmula de Chézy para a velocidade 
 
(5) 
 
 
Fórmula de Chézy com coeficiente de Manning para a velocidade 
 
 
 
 
 
 
Equação da continuidade 
 
(09) 
 
 
 
C, n e γ são grandezas dimensionais, dependendo do sistema de unidades adotado. 
n e γ são tabelados e dependem da natureza da parede 
 
6. MÉTODOS UTILIZADOS NO DIMENSIONAMENTO DOS CANAIS 
 
a) Dados n, Q e I, calcular A e R 
 
Determina-se os valores de A e R utilizando-se a equação (8), tomando o segundo termos 
desta como uma função de y [f(y)], colocando-se nas ordenadas de um gráfico o primeiros 
termos e os valores de y nas abscissas. 
Organiza-se uma tabela, onde lançamos os valores de y e encontramos os valores dos 
termos que nos dão f(y). 
 
y P A R R2/3 AR2/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Uso de parâmetros adimensionais 
 
Os valores adimensionais utilizados nos cálculos são encontrados em tabelas. 
 
 
RICV =
)6(
n
R
C
6
1
= )7(IR
n
1
V 2
1
3
2
=
2
1
3
2
IR
n
A
AVQ ==
)8(AR
I
nQ 3
2
=
I
nQ
3/2AR)y(f =
y
22 
 
b1) Para canais retangulares e trapezoidais 
 
Na figura ao lado são consideradas as 
dimensões geométricas da seção transversal: 
b = largura do canal (m); 
y = profundidade de escoamento (m); e 
m = indicador horizontal do talude. 
 
Partindo-se da equação (8), a fórmula para o canal trapezoidal se estende para a seguinte 
expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
(10) 
 
 
 
 
 
(11) 
 
 
 
 
Para um canal retangular, temos: 
 
 
 
(12) 
 
 
 
 
(13) 
 
 
 
 
b2) Para canais circulares 
 
Adota-se a mesma metodologia utilizada 
para os outros canais, considerando apenas 
as dimensões y e D, como na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
b 
y 
m 
1
3/2
2
2
2
3/8
m1
b
y
21
b
y
m
b
y
b
y
m
b
y
Ib
Qn














++





+













+=
3/2
3/8
b
y
21
b
y
b
y
Ib
Qn










+
=
3/2
23/2 b
y
m1
b
y
21
b
y
m1
Ib
vn












++





+
=
3/2
3/2 b
y
b
y
21
1
Ib
vn










+
=
D 
y 
23 
 
 
 
 
24 
 
 
25 
 
26 
 
 
27 
 
 
28 
 
 
29 
 
 
30 
 
 
31 
 
32 
 
33 
 
34 
 
35 
 
36 
 
 
MOVIMENTO VARIADO NOS CANAIS 
 
1. VARIAÇÃO DA CARGA ESPECÍFICA 
 
Para uma vazão constante, pode-se traçar a curva da variação da carga específica em 
função da profundidade considerada variável. 
Exemplo: 
Para um canal de seção retangular com 3 m de largura, conduzindo 4,5 m3/s de água, 
medimos os valores de y e encontramos os valores de He, pela equação: 
 
 
 
 
Os dois ramos da curva são assintóticos; o superior, à reta y = He, que forma ângulo de 45o 
com o eixo horizontal; o inferior, ao eixo horizontal He. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para esses valores, temos: 
 
y (m) v (m/v) v2/2g He 
0,3 5,00 1,27 1,57 
0,4 3,75 0,71 1,11 
0,5 3,00 0,46 0,96 
0,6 2,50 0,32 0,92 
0,8 1,87 0,18 0,98 
1,0 1,50 0,11 1,11 
1,2 1,25 0,08 1,28 
1,4 1,07 0,06 1,46 
1,6 0,97 0,04 1,64 
 
2. PROFUNDIDADE CRÍTICA 
 
Observando no gráfico anterior, o valor mínimo de He ocorre no ponto C, que, no caso 
corresponde a uma profundidade de 0,6 m. Abaixo ou acima desta profundidade, eleva-se 
os valores de He. 
A profundidade no ponto C, denomina-se PROFUNDIDADE CRÍTICA e é dada pela 
expressão: 
yc = 0,47 Q
2/3 
 
g2
v
yH
2
e +=
y (m) 
y = He 
He (m) 
C 
A 
B 
D 
37 
 
que é a profundidade crítica em canais retangulares. 
 
Para uma determinadaCarga Específica, considerando que y e h representam a mesma 
grandeza, profundidade, temos que a vazão poderá ser expressa por: 
 
 
 
 
No ponto onde encontramos uma Profundidade Média Crítica, temos: 
 
 
 
3. VELOCIDADE MÉDIA CRÍTICA 
 
Nesse caso, a Velocidade Média Crítica passa a ser: 
 
 
 
 
Considerando canais retangulares, a profundidade crítica também poderá assumir a 
expressão: 
 
 
 
e, considerando a unidade de largura do canal (B = 1), temos que: 
 
a profundidade crítica será: 
 
 
 
Para condutos de seção circular, funcionando parcialmente cheios, temos: 
 
 
 
 
 
que é válida para: 0,3 < hc/D < 0,9 
 
4. DECLIVIDADE CRÍTICA 
 
A declividade critica é dada pela expressão: 
 
 
 
 
Onde C é o coeficiente de Chézy, RH o raio hidráulico e n é o coeficiente de Manning 
 
Sempre que a declividade for maior que a declividade crítica, a profundidade do canal será 
inferior à profundidade crítica e o movimento da água será torrencial. 
 
 
 
 
mcc ghAQ =
)hH(g2AQ e −=
mc
c
c ghA
Q
v ==
ec H3
2
h =
B
Q
q =
3
2
c g
q
h =
D083,0
D
Q
483,0h
3/2
c +




=
H
2
mc
c
RC
gh
I =
n
R
C
6
H=
38 
 
5. REGIMES RECÍPROCOS DE ESCOAMENTO 
 
Observando o Gráfico He x y, verifica-se que, para a mesma carga específica, podem existir 
duas profundidades de escoamento. 
As duas profundidades representadas pelos seguimentos DB e DA, correspondem a dois 
REGIMES RECÍPROCOS de escoamento, inferior e superior. 
O regime superior, acima da profundidade crítica, é tranqüilo ou fluvial, e o inferior, é rápido 
ou torrencial. 
 
6. RESSALTO HIDRÁULICO 
 
O ressalto hidráulico constitui-se em uma sobreelevação brusca da superfície líquida. 
Corresponde à mudança de regime de uma profundidade menor que a crítica para outra 
maior que esta, em conseqüência do retardamento do escoamento em regime inferior 
(rápido). 
 
1. Tipos de ressalto hidráulico: 
a) O salto elevado, com grande turbilhonamento, que faz certa porção de líquido rolar 
contra a corrente. Nesse caso, o ar permite uma certa elevação do líquido. 
b) Superfície agitada, porém sem retorno do líquido. Ocorre quando a profundidade inicial 
não se encontra muito abaixo do valor crítico. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Número de Froude 
 
A expressão é denominada número de Froude e quando esta for igual à 
 
unidade (1), a carga específica é mínima. 
 
3) Altura do Ressalto Hidráulico 
 
Considerando-se um canal retangular de largura unitária, a altura do ressalto hidráulico será 
dado pela expressão: 
 
 
 
 
e a perda de carga entre a seção a montante do ressalto e o ressalto hidráulico, será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
yc yc 
cgy
v
4
h
g
hv2
2
h
h
2
11
2
11
2 ++−=








+−








+=∆ 2
2
2
1
2
1 h
g2
v
h
g2
v
H
39 
 
7. REMANSO 
 
O remanso se caracteriza por uma sobreelevação da água causada por uma barragem, 
influenciando o nível da mesma a uma dada distância a montante da barragem. 
O traçado da curva de remanso se constitui em um importante problema de engenharia, 
relacionado a questões tais como delimitação das áreas inundadas, volumes de água 
acumulados, variação das profundidades... 
O traçado aproximado da curva de remanso pode ser obtido por processo prático bastante 
simples, como se segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja TB uma barragem acima da qual as águas se sobreelevam até N, vertendo para 
jusante. Conhecendo-se a vazão das águas e aplicando-se a fórmula dos vertedores, pode-
se determinar a altura BN, isto é, a posição de N. 
Para os cursos d’água de pequena declividade, a sobreelevação das águas a montante 
deixa de ser apreciável acima de um ponto F, situado na mesma horizontal que passa pelo 
ponto E. 
EN = NG 
 
A aproximação consiste na substituição da curva real de remanso por uma parábola do 
segundo grau dada pela seguinte expressão: 
zo = sobreelevação NG 
z = sobreelevação de um ponto Z qualquer 
situado a uma distância L da barragem 
I = declividade 
 
Então a solução prática é obtida dando-se a L uma série de valores eqüidistantes, 
determinando-se os valores correspondentes de z que permitem traçar a curva. 
 
1. Amplitude do Remanso 
 
A amplitude do remanso, representadas na figura anterior como sendo a distância entre F e 
E, pode ser calculada pela expressão: 
 
 
 
 
Sob o ponto de vista prático, para declividades pequenas, a aproximação é considerada 
satisfatória. 
 
 
 
H 
F E 
B 
G 
L 
Z 
T 
N 
0
2
0
z4
)ILz2(
z
−
=
I
z2
EF 0=
40 
 
DIAGRAMA DE MOODY