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Um tanque contém 100 L de água pura. Água salgada contendo 0,1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é agitada e retirada do tanque na mesma taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos? Após 6 minutos ainda haverá 4,152 kg de sal no tanque. A questão nos pede para calcular a quantidade de sal que permanecerá no tangue após um intervalo de tempo, ou seja, ela nos pede para calcular a taxa de variação da quantidade de sal presente no tanque. Chamaremos de y(t) a quantidade de sal após t minutos. Assim: y˙ = = (taxa de sal que entra no tanque) − (taxa de sal que sai do tanque) A taxa de variação da quantidade de sal na entrada do tanque será denotada como y˙E, e a taxa de variação da quantidade que sai será y˙S. Assim, a expressão acima fica: y˙=y˙E−y˙S Em que: y˙E = (10L/min) * (0,1 kg/L) = 1 kg/min y˙S= (10 L/min) * ( kg/L) = kg/min Assim, a equação da quantidade de sal contida no tanque torna-se: y˙= 1 - O que nos deixa com uma equação diferencial ordinária. Para soluciona-la devemos fazer o seguinte: y˙= 1 - = = = = ∫ =−∫ ln(y−10)= +c Com c é uma constante Assim: y−10=e +c y=10+Ce− O valor da constante C pode ser determinado a partir da condição inicial e sabemos que no início só havia água pura no tanque, podemos assumir y(0) = 0: 0=10+Ce− Logo, C=−10 Portanto, a equação que descreve a quantidade de sal no tanque em função do tempo é: y(t)=10−10e− Assim, após 6 minutos, a quantidade de sal que haverá no tanque será:de y(6)=10-10e - = 4,152 A potência dissipada por um resistor puro obedece à lei P=U.I, em que U representa a tensão e I a corrente aplicada sobre os terminais do referido resistor. Sabe-se, em um dado circuito, que U reduz-se à medida que a bateria descarrega, e que I aumenta à medida que o resistor esquenta. A variação da potência, dados U = 20V , I = 10A, dU/dt= - 0,1V/s e dI/dt = 0,2A/s, é:. regra do produto. dp/dt = v(di/dt) + i(dv/dt) substituindo: dp/dt = 10(-0,1) + 20(0,2) dp/dt = -1 + 4 dp/dt = 3 w/s
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