LISTA APLICACOES DE SISTEMAS 1

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
PROF.: RICHARD DE SOUZA COSTA
MAF 2010 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS - 2016/02
APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM
LEIA O PROBLEMA RESOLVIDO PARA RESPONDER OS DOIS PROBLEMAS A SEGUIR.
· O PROBLEMA DA MISTURA
Em uma indústria, dois tanques se encontram conectados conforme a ilustração abaixo.
No instante de tempo , o Tanque 1 contém 10 litros de água pura e o Tanque 2 contém 20 litros de uma mistura de água com 12 Kg de sal. Água pura está sendo constantemente bombeada para dentro do Tanque 1 a uma taxa de 10 litros por minuto, as misturas salinas são trocadas entre os dois tanques como na figura acima, e a mistura escoa do Tanque 2 a uma taxa de 10 litros por minuto. Encontre a quantidade de sal em cada tanque no instante de tempo .
Solução: Como a quantidade de líquido que entra em cada tanque é igual à quantidade que sai, o volume de mistura em cada tanque permanece constante. Então o Tanque 1 contém sempre 10 litros de mistura e o Tanque 2 contém sempre 20 litros de mistura. Agora sejam
quantidade de sal no Tanque 1 no instante 
quantidade de sal no Tanque 2 no instante .
Cada uma dessas taxas deve ser igual à diferença entre a taxa à qual o sal está entrando menos a taxa à qual o sal está saindo do respectivo tanque.
No Tanque 1, a taxa à qual o sal está entrando é igual a
,
enquanto que a taxa à qual o sal está saindo é igual a
.
Portanto,
.
No Tanque 2, a taxa à qual o sal está entrando é igual a
,
enquanto que a taxa à qual o sal está saindo é igual a
.
Portanto,
.
Como foram dados e , segue que as quantidades desejadas podem ser obtidas resolvendo-se o seguinte PVI:
.
A matriz de coeficientes deste sistema é
.
Usando os métodos das seções anteriores, podemos encontrar facilmente os autovalores dessa matriz. São eles: e . Os autovetores associados são e . 
Portanto, a solução geral do sistema de equações diferenciais é
,
ou equivalentemente,
.
Substituindo as condições iniciais e nessas equações temos:
A solução desse sistema é e , portanto a solução do PVI é
.
AGORA É COM VOCÊ
1 – Dois tanques grandes, cada um contendo 24 litros de solução de salmoura são interconectados por canos. Água pura entra no tanque A a uma taxa de 6 L/min e a mistura sai do tanque B na mesma taxa; além disso, 8 L/min da mistura são bombeados de A para B e 2 L/min de B para A. Os líquidos dentro de cada tanque são mantidos em agitação, de modo que cada mistura é homogênea. Se, inicialmente, a solução de salmoura no tanque A contém 0,5 kg de sal e a do tanque B, 0,6 kg de sal, responda o que se pede:
a) Represente a figura citada no texto, com os dados em seus respectivos locais;
b) Encontre o sistema gerado para esta interligação dos tanques;
c) Encontre os autovalores e autovetores deste sistema;
d) A massa do sal em cada tanque no instante t.