AULA 2-TENSÕES NO INTERIOR DE UMA MASSA DE SOLO

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TENSÕES NO INTERIOR DE UMA MASSA DE SOLO 
➢ Tensões em um meio particulado
➢ Tensões devidas ao peso próprio do solo
➢ Princípio das tensões efetivas(PTE)
➢ Círculo de Mohr das tensões totais e efetivas
➢ Tensões geoestáticas e estado de repouso
➢ Coeficiente de empuxo no repouso
➢ Pressão na água em meniscos capilares
➢ Água capilar nos solos
MECÂNICA DOS SOLOS IIProf. ARTHUR SANTOS COELHO
Solo é um meio particulado com vazios que se interconectam.
Suponha que um elemento medidor de força, cubico de aresta “a”, é inserido no
interior de uma massa de solo seco, sem perturbar o solo.
MECÂNICA DOS SOLOS II
TENSÕES EM UM MEIO PARTICULADO
𝑁𝑣 =componente normal da resultante das forças que agem sobre a face horizontal do elemento
𝑇ℎ = componente tangencial da resultante das forças que agem sobre a face horizontal do elemento
𝑁ℎ = componente normal da resultante das forças que agem sobre a face vertical do elemento
𝑇𝑣 = componente tangencial da resultante das forças que agem sobre a face vertical do elemento
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Se cada face do elemento medidor for um quadrado de lado “a”, define-se as
tensões que agem sobre o elemento medidor como:
𝜎𝑣 =
𝑁𝑣
𝑎²
𝜎ℎ =
𝑁ℎ
𝑎²
𝜏𝑣 =
𝑇𝑣
𝑎²
𝜏ℎ =
𝑇ℎ
𝑎²
MECÂNICA DOS SOLOS II
TENSÕES EM UM MEIO PARTICULADO
Prof. ARTHUR SANTOS COELHO
Suponha agora que um “plano” levemente ondulado passa pelos pontos de contato
entre as partículas e pelos vazios. Isola-se uma região do “plano” cuja projeção
sobre o plano z é um quadrado de lado “d”.
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TENSÕES EM UM MEIO PARTICULADO
Ne caso, temos: 
𝜎𝑧 = 𝜎𝑣 =
σ𝑖
𝑛𝑁𝑖
𝑑²
𝜏𝑧𝑥 =
σ𝑖
𝑛𝑇𝑥𝑖
𝑑²
𝜏𝑧𝑦 =
σ𝑖
𝑛𝑇𝑦𝑖
𝑑²
A área de contato entre os grãos é menor que 1% da área total. 
Conclusão: As tensões definidas em relação à área total são muito menores que as 
tensões estabelecidas nos contatos grão a grão.
Na mecânica dos solos:
As tensões nos contatos entre partículas, “tensões microscópicas”, podem chegar a
700MPa. (Lambe e Whitman,1969)
A mecânica dos solos faz uso da concepção de tensões da mecânica do contínuo.
Relembrando:
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TENSÕES EM UM MEIO PARTICULADO
As tensões são definidas como “tensões macroscópicas”, ou seja, 
Força/área total ou Força/d² e pode variar entre 10kPa e 10MPa na 
grande maioria dos casos. (Lambe e Whitman,1969)
Na mecânica do contínuo: As tensões em um ponto são produzidas por 
forças que agem sobre as faces de um cubo infinitesimal composto de 
material homogêneo e continuo
Na Mecânica dos Solos:
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TENSÕES EM UM MEIO PARTICULADO
As tensões em um ponto são produzidas por forças que agem sobre as faces de 
um cubo pequeno, porém finito, composto de material que represente a massa 
de solo. Elemento cujo peso especifico seja o mesmo da massa de solo.
Na Mecânica dos Solos:
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TENSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO
h
Área “A” da 
base da coluna.
Coluna de solo 
com volume “V”
𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜
O peso da coluna no ponto B é 
dado por: 𝑃𝑐 = 𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜𝑉
A tensão vertical na base da coluna é dada 
por: 
𝜎𝑣 =
𝑃𝑐
𝐴
=
𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜𝑉
𝐴
=
𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜ℎ𝐴
𝐴
= 𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜ℎ
∴
𝜎𝑣 = 𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜ℎ
Exemplo: Calcule o perfil de tensões totais do terreno mostrado na figura.
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TENSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
Areia fina, fofa.
Areia grossa, compacta.
𝛾𝑛 =17kN/m³
𝛾𝑛 =19kN/m³
NA
Até agora consideramos o solo seco, mas na grande maioria das vezes os vazios
estão parcial ou totalmente preenchidos com água!
Antes do anuncio do PTE ocorriam grandes acidentes em obras geotécnicas por
desconhecimento do papel da pressão da água, que preenche os vazios, no
comportamento mecânico dos solos. EX: Canal do Panamá, Estradas e Taludes nos
EUA e Europa.
O PTE
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PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS (PTE)
Foi enunciado por Terzaghi em 1925 (em alemão) e depois em 
1936 (em inglês) pelo próprio Terzaghi.
Mostra a importância da pressão da água que preenche os 
vazios para o comportamento mecânico dos solos.
Sustenta toda a estrutura teórica da Mecânica dos Solos
O PTE é frequentemente dividido em duas partes:
1º Parte (Definição de tensão efetiva):
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PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS (PTE)
“As tensões em qualquer ponto, em uma massa de solo, podem ser computadas a 
partir das tensões principais totais 𝜎1 𝑒 𝜎3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 2𝐷 que atuam neste 
ponto. Se os vazios do solo estiverem preenchidos com água sob uma pressão 𝑢, as 
tensões principais consistem de duas parcelas.
Uma parcela de valor 𝒖 que age na água e no esqueleto sólido, em todas as 
direções com igual magnitude. Essa parcela é denominada pressão neutra ou 
poropressão. 
As parcelas remanescentes 𝜎′1 = 𝜎1 − 𝑢 e 𝜎′3 = 𝜎3 − 𝑢 são sentidas 
exclusivamente pelo esqueleto sólido do solo. Estas parcelas das tensões principais 
totais são denominadas tensões principais efetivas” 
Equação fundamental: 
𝝈′ = 𝝈 − 𝒖
2º Parte (Papel da tensão efetiva no comportamento dos solos)
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PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS (PTE)
“Todos os efeitos mensuráveis oriundos da variação do estado de tensões, tais 
como compressão, distorção e variação da resistência ao cisalhamento são devidos 
exclusivamente à variação do estado de tensões efetivas.” 
Ou seja: 
Variação do estado 
de tensões efetivas.
Deformação volumétrica 
ou distorção ou ambos.
Quem comanda o comportamento dos solos são as tensões efetivas!
Exemplo:
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PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS (PTE)
1- Dois solos com a mesma estrutura e mineralogia estão submetidos ao
estado de tensões totais conforme figura. Qual será o comportamento em
termos de engenharia?
𝛾𝑠𝑜𝑙𝑜 = 18𝑘𝑁/𝑚³
Ponto a 
no solo A
Ponto b 
no solo B
NA
NA
1m 1m
2000m
Exemplo:
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PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS (PTE)
2- Calcule o perfil das tensões efetivas no terreno mostrado na figura.
-1 Areia fina, fofa.
Areia grossa, compacta.
𝛾𝑛 =17kN/m³
𝛾𝑛 =19kN/m³
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
NA
Definido o estado de tensões totais e a poropressão em um ponto, o estado de
tensões efetivas está definido nesse ponto.
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CÍRCULOS DE MOHR DAS TENSÕES TOTAIS E 
EFETIVAS 
𝜎
𝜏
𝑢
𝜎′3 𝜎3𝜎′1 𝜎1
Círculo de Mohr das 
tensões efetivas
Círculo de Mohr das 
tensões totais
Os círculos de Mohr das tensão efetivas estão deslocados dos círculo de Mohr das
tensões totais pelo valor de 𝑢.
Quando a superfície do solo é horizontal e as propriedades não variam muito ao
longo de planos horizontais, as tensões cisalhantes são nulas e as tensões 𝜎𝑣 e 𝜎ℎ
são principais denominadas geoestáticas.
Nesse caso o elemento de solo sofre apenas deformações verticais, ou seja,
compressão unidimensional (ou edométrica).
Quando as deformações horizontais são nulas, diz-se que o solo se encontra em
estado de repouso.
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TENSÕES GEOSTÁTICAS E ESTADO DE REPOUSO 
É a relação entre a tensão horizontal efetiva e a tensão vertical efetiva quando a
deformação horizontal é nula.
𝑘0 =
𝜎′ℎ
𝜎′𝑣
𝑘0 pode ser estimado através da seguinte expressão empírica:
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COEFICIENTE DE EMPUXO NO REPOUSO (𝑘0) 
𝑘0 =1 - sen(∅′)
Onde ∅′ é o ângulo de atrito interno do solo. Este
parâmetro será estudado em detalhes quando chegarmos
no assunto de resistência ao cisalhamento dos solos. Por
agora, basta saber que através dele é possível estimar o 𝑘0
de alguns solos.
1- Num terreno arenoso, cujo peso específico natural é de 19kN/m³, o NA encontra-se a 2m
de profundidade. Deseja-se estudar o estadode tensões a 6m de profundidade. Estima-se que
essa areia tenha ∅ = 35°. Calcular as tensões principais totais e efetivas.
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EXERCÍCIO DE REVISÃO 
Os vazios dos solos são muito pequenos, eles podem ser associados a tubos
capilares. Nesse caso a pressão capilar é negativa, traduzindo-se em poropressão
negativa. Portanto, assim como notamos certa resistência à separação de duas
placas delgadas com uma lâmina entre elas, também sentiremos esse “efeito’ nas
regiões com água capilar. Em outras palavras, o efeito da tensão superficial num
capilar provoca uma tensão negativa na água. Essa poropressão negativa é
denominada sucção e é traduzida em tensão efetiva positiva.
Exemplo: Imaginem a construção de um castelo de areia na praia (areia úmida),
nesse caso podemos assumir que a tensão total é 0 pois não existe coluna de solo,
nem coluna de água sobre o castelo de areia. Se aplicarmos o PTE para esta
situação, teremos o seguinte:
PTE : 𝜎′ = 𝜎 − 𝑢 → 𝜎′ = −𝑢 → 𝜎′ = − −𝑢 → 𝜎′ = +𝑢, ou seja, a sucção gera
tensão efetiva positiva e essa é a explicação do castelo de areia ficar em pé. Se a
tensão efetiva fosse 0, não seria possível construir o castelo de areia.
OBS: areia não tem cimentação natural, argilas são um caso a parte(será visto em
resistência ao cisalhamento).
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ÁGUA CAPILAR NOS SOLOS