estudo de trelicas metalicas para coberturas em duas aguas atraves de otimizacao topolgica

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ESTUDO DE TRELIÇAS METÁLICAS PARA COBERTURAS EM DUAS ÁGUAS 
ATRAVÉS DE OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA 
 
1. Guilherme Di Domenico Tisot, Acadêmico de Eng. Civil (Bolsista Pibic/UPF) 
2. Guilherme Fleith de Medeiros, Acadêmico de Eng. Civil (Bolsista Pibic/CNPq) 
3. Moacir Kripka, Professor, Dr (FEAR – UPF) 
 
Resumo: Treliças metálicas de duas águas são largamente utilizadas em estruturas para 
coberturas de pavilhões, aliando leveza e resistência. Visando a elaboração de projetos que 
propiciem a obtenção de estruturas com melhor relação custo-benefício, diversos estudos 
foram efetuados utilizando uma técnica conhecida como otimização topológica, que consiste 
em permitir a retirada ou inclusão de elementos na estrutura. Partindo de um modelo 
composto pela sobreposição de modelos usuais, após a análise da estrutura, foram retiradas 
gradativamente as barras menos solicitadas até resultar em uma treliça isostática. O estudo 
foi realizado para pavilhões com dimensões e inclinação da cobertura variáveis. Os 
elementos foram dimensionados obedecendo a NBR 8800, utilizando perfis laminados em 
forma de dupla cantoneira de abas iguais e opostas. Quanto aos resultados, o processo de 
otimização de topologia foi efetivo, na maioria dos casos, em reduzir o peso da estrutura 
inicial, tornando os modelos obtidos competitivos em relação às configurações usuais. 
 
Palavras-chave: Otimização topológica, Treliças metálicas, Galpão, Pavilhão, Cobertura em 
duas águas, Tesouras em aço. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Treliças são estruturas constituídas, basicamente, por barras retas unidas apenas pelas 
extremidades, através de nós articulados. Como os esforços são aplicados apenas nesses nós, 
somente esforços axiais de tração e compressão atuam nas barras. Na prática, os nós 
raramente são rotulados, sendo as barras conectadas através de rebites, parafusos ou soldas. 
Entretanto, essa simplificação pode ser feita, pois a esbeltez das barras impede que haja 
transferência de binários significantes. 
CONSTRUMETAL – CONGRESSO LATINO-AMERICANO DA CONSTRUÇÃO METÁLICA
São Paulo – Brasil – 31 de agosto a 02 de setembro 2010
Segundo Pereira (2007), nos dias atuais é muito comum utilizar estruturas treliçadas 
em projetos de grandes construções. Estas estruturas são bastante utilizadas em situações onde 
deseja-se obter uma estrutura leve, mas com elevada resistência. 
Para uma mesma situação de vão e carregamento, há inúmeras formas de se dispor as 
barras na treliça de forma eficaz, e o projetista o fará baseado em sua habilidade, experiência 
e intuição. Contudo, como ressalta Ribeiro (2008), esse processo nem sempre é o mais 
satisfatório. Primeiramente, devido às falhas humanas e, conseqüentemente, por não 
apresentar garantias de que a solução encontrada seja a melhor do ponto de vista econômico. 
Fonseca (2007) reforça essa ideia, afirmando que encontrar a melhor solução pelo método da 
tentativa e do erro é praticamente impossível. 
O cenário atual da engenharia é de extrema competitividade e, para um profissional 
obter vantagem no mercado, é necessário que seus projetos cumpram os requisitos de 
desempenho e segurança com um custo menor que os concorrentes, buscando-se uma maior 
eficiência das estruturas. No caso das treliças, que são estruturas de execução fácil e rápida, o 
custo mais baixo será em função do menor peso da estrutura, proporcionado por um menor 
consumo de material. 
Uma maneira prática e relativamente rápida de se obter esse importante grau de 
economia é lançar mão de técnicas de otimização estrutural, uma ferramenta matemática e 
computacional que pode ser bastante útil para identificar as melhores soluções para um 
determinado problema. 
O objetivo do presente trabalho foi definir, através de métodos de otimização, 
configurações alternativas de treliças para tesouras em aço de pavilhões com diferentes 
comprimentos, vãos e inclinações de cobertura e compará-los com alguns modelos 
tradicionais, fornecendo parâmetros para o engenheiro durante o pré-dimensionamento, 
visando o projeto e execução de estruturas mais econômicas. Tal fato não é benéfico apenas 
ao projetista, mas também na caminhada para uma sociedade mais sustentável, visto que o 
menor consumo de material pode significar uma redução na extração de matéria prima do 
meio-ambiente. 
 
 
2 METODOLOGIA 
 
A otimização estrutural é, basicamente, a busca pela solução de desempenho máximo 
da estrutura, envolvendo um processo de integração de várias áreas do conhecimento. Entre 
elas a Engenharia, Matemática e a Computação, procurando-se maximizar ou minimizar uma 
função objetivo e satisfazendo, ao mesmo tempo, diversas restrições. 
 
Existem três tipos de otimização que podem ser realizadas em estruturas: 
 Otimização de seções, quando as variáveis são as características das seções 
transversais dos elementos; 
 Otimização geométrica, onde as coordenadas dos nós podem ser alteradas; 
 Otimização topológica, quando elementos desnecessários são retirados da estrutura. 
 
Na Tabela 1, são apresentados modelos iniciais e finais para cada um destes três tipos 
de otimização estrutural. Pode haver também a otimização simultânea, onde se trabalha com 
todas as variáveis ao mesmo tempo. Porém, raramente esta otimização, devido ao grande 
consumo de tempo e necessidade de computadores muito rápidos. 
 
Tabela 1: Tipos de otimização estrutural: Otimização de seções, geometria ou topologia. 
Tipo de 
Otimização 
Modelo Inicial Modelo Final 
Seções 
 
 
 
 
Geometria 
 
 
 
 
Topologia 
 
 
 
 
 
No presente trabalho, foi realizada a otimização topológica das estruturas, permitindo-
se a retirada dos elementos de pouca importância para a estrutura como um todo. Para isso, se 
fez necessária também a otimização de seções das treliças de duas águas, utilizando-se um 
programa computacional desenvolvido pelo professor Moacir Kripka, baseado na técnica de 
otimização Simulated Annealing (Recozimento Simulado). Para uma descrição mais detalhada 
desta técnica, é possível consultar os trabalhos de Kripka (2004), Drehmer (2005) e Kripka e 
Pravia (2008). 
Como ponto de partida, selecionou-se três dos modelos mais tradicionais de treliças 
com banzos inclinados, muito otilizados na confecção de estruturas para cobertura de 
pavilhões: Howe, Pratt e Warren (Figura 1). 
 
Figura 1: Treliças planas de duas águas que fizeram parte do estudo. 
 
As treliças foram analisadas como partes da cobertura em aço de um galpão. Optou-se 
por trabalhar com vãos de 10 e 20m, sendo o comprimento ora o dobro do vão, ora quatro 
vezes o valor do mesmo, com inclinações da cobertura de 5, 10 e 15°. O pé direito foi 
considerado de 6 metros, o afastamento entre pórticos foi fixado em 10 metros e a distância 
entre terças no eixo x é de 1,25 metro, em todos os modelos. Na Figura 2, tem-se um desenho 
esquemático de um galpão com cobertura em duas águas. 
 
 
Figura 2: Esquema de um galpão com cobertura em duas águas. 
 
Como material, foi empregado aço ASTM A36, que apresenta tensão de ruptura Fu = 
400 MPa e tensão de escoamento Fy = 250 MPa. O módulo de elasticidade (E) foi adotado em 
205 GPa e o peso específico () em 77 KN/m³. O dimensionamento seguiu a normatização 
brasileira para o dimensionamento de estruturas de aço, através da utilização da NBR 8800. O 
 
Howe 
 
 
Pratt 
 
 
Warren 
 
cálculo da carga de vento foi efetuado a partir da NBR 6123, resultando em 7 combinações 
possíveis de carregamento. Os elementos foram dimensionados com perfis laminados de aço 
em forma de dupla cantoneira de abas iguais e opostas (Figura 4). 
 
 
Figura 4: Perfilem forma de dupla cantoneira com abas iguais e opostas. 
 
Após a definição dos parâmetros de projeto, deu-se a obtenção de modelos genéricos 
hiperestáticos para cada um dos vãos e inclinações consideradas, os quais serviriam de ponto 
de partida no processo de otimização topológica. Os mesmos foram obtidos através da 
sobreposição dos três modelos usuais já citados (Howe, Pratt e Warren). Na Figura 5, tem-se 
o modelo genérico para o vão de 10 m, composto por 53 elementos. 
 
 
Figura 5: Modelo genérico para vão de 10 m. 
 
A primeira etapa desenvolvida foi a otimização de seções, que constituiu-se em 
verificar quais seriam as seções transversais das barras das treliças para o modelo inicial que 
resultariam no menor peso próprio da estrutura, devendo sempre ser suficientes para resistir 
ao carregamento. Essas seções foram retiradas de um grupo pré-estabelecido de 45 perfis 
comerciais. A análise da estrutura foi feita através do software de otimização, onde cada 
elemento poderia ter sua seção transversal variando de forma independente durante o 
processo. 
Após a análise e otimização de seções, verificou-se a estaticidade da estrutura. Se a 
mesma apresentasse-se como hiperestática, a otimização topológica deveria ser realizada. 
 
A otimização topológica foi realizada de duas maneiras distintas: 
 Retirada gradativa das barras menos solicitadas; 
 Retirada gradativa dos elementos com a menor seção transversal. 
 
Para ambos os casos, o processo de otimização de seções e de topologia foi repetido 
até resultar em uma treliça isostática, que foi considerada a topologia ótima para cada 
situação. O número de barras eliminadas corresponde a 10% do número total de barras 
restantes em cada etapa. 
Um fluxograma do processo de otimização efetuado é apresentado na Figura 6, para 
melhor compreensão. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Fluxograma do processo de otimização topológica efetuado 
 
 Foi realizado, de forma independente, a otimização de seções dos modelos Howe, 
Pratt e Warren para cada situação, obtendo-se o peso otimizado dessas treliças, para fins de 
comparação com as novas configurações geradas a partir do processo de otimização 
topológica. 
 
 
3 RESULTADOS 
 
As treliças resultantes do processo de otimização variaram entre modelos Warren ou 
modelos compostos, ou seja, com elementos originários de diversos modelos tradicionais ao 
mesmo tempo, formando uma configuração diferente das tradicionais. Na Tabela 2, observa-
se a evolução do modelo inicial ao modelo otimizado para o galpão 10m x 20m, com 
inclinação de 15°, tanto para o processo que descartou os elementos menos solicitados, como 
para o método que retirou as barras que obtiveram menor seção transversal. É possível 
Modelo 
Genérico 
Otimização 
de Seções 
 Estrutura 
Otimizada 
Otimização 
Topológica 
Isostática? 
Não 
Sim 
observar, através dessa comparação, que os elementos retirados, em uma mesma etapa, não 
são os mesmos, dependendo do critério utilizado. 
 
Tabela 2: Evolução da topologia para galpão 10 m x 20 m e inclinação da cobertura de 15° 
Etapa 
Redirada dos elementos 
menos solicitados 
Retirada dos elementos de 
menor seção transversal 
A 
 
 
Modelo Inicial (53 elementos) 
 
 
Modelo Inicial (53 elementos) 
B 
 
 
Modelo Intermediário (47 elementos) 
 
 
Modelo Intermediário (47 elementos) 
C 
 
 
Modelo Intermediário (41 elementos) 
 
 
Modelo Intermediário (41 elementos) 
D 
 
 
Modelo Intermediário (35 elementos) 
 
 
Modelo Intermediário (39 elementos) 
E 
 
 
Modelo Intermediário (29 elementos) 
 
 
Modelo Intermediário (33 elementos) 
F 
 
 
Modelo Final (27 elementos) 
 
 
Modelo Final (25 elementos) 
 
Na Tabela 3, é apresentada a evolução do modelo durante o processo de otimização 
topológica para o galpão 20m x 40m e inclinação de cobertura de 15°, para o método que 
descartou os elementos menos solicitados. 
 
Tabela 3: Evolução da topologia para galpão 20 m x 40 m e inclinação da cobertura de 15° 
Etapa Retirada dos elementos menos solicitados 
A 
 
 
Modelo Inicial (117 elementos) 
B 
 
 
Modelo Intermediário (103 elementos) 
C 
 
 
Modelo Intermediário (93 elementos) 
D 
 
 
Modelo Intermediário (75 elementos) 
E 
 
 
Modelo Intermediário (65 elementos) 
F 
 
 
Modelo Final (61 elementos) 
 
 Na maioria dos casos, o processo de otimização topológica foi efetivo em reduzir o 
peso da estrutura inicial, principalmente nas estruturas com inclinação superior a 5º, como 
pode ser observado no gráfico da Figuras 7, para um galpão com vão de 10m e 40m de 
comprimento. Entretanto, em algumas situações, as treliças obtidas apresentaram um peso 
maior que aquelas baseadas em modelos tradicionais apresentados pela bibliografia, porém, 
com valores ainda próximos. Isso se deve, principalmente, ao fato de elementos pouco 
solicitados e de seção reduzida servirem como travamento de elementos mais longos. Com a 
retirada desses contraventamentos, determinados elementos assumem seções com maior área, 
elevando o peso total da estrutura. 
 
 
Figura 7: Redução no peso ótimo para cada etapa de otimização do galpão 10m x 40m. 
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
A B C D E F
P
e
so
 d
a 
Tr
e
liç
a 
(k
N
)
Etapa da otimização
Galpão de 10 m x 40 m
5º
10º
15º
 
Na Figura 8, tem-se um gráfico comparativo entre os pesos ótimos obtidos para os 
novos modelos gerados e as configurações clássicas, também para o galpão de 10m x 40m. 
 
Figura 8: Comparativo entre treliça resultante e modelos tradicionais para galpão 10 m x 40 m. 
 
Os dois critérios utilizados para retirada de elementos mostraram-se pouco eficientes 
frente ao esperado. Apesar de ter-se obtido redução de peso em relação à estrutura inicial, esta 
não foi significativa se comparado o peso final aos já consagrados modelos Howe, Pratt e 
Warren. Uma vez que os desempenho do modelo otimizado ficou muito próximo das demais 
configurações, não foi possível definir um modelo ideal de tesoura para cada dimensão de 
galpão. 
 
 
4 CONCLUSÕES 
 
 Comprovou-se de que as técnicas de otimização são uma ferramenta poderosa para a 
engenharia, neste caso no, dimensionamento de estruturas. As técnicas utilizadas permitiram a 
redução do peso próprio das treliças, resultando em maior economia de material e, 
consequentemente, menor custo, sem afetar a segurança da obra. 
Na otimização topológica dos modelos de tesouras para galpões com cobertura em 
duas águas, verificou-se que nem sempre os elementos menos solicitados são os mais 
passíveis de retirada, pois, mesmo estando submetidos a um esforço menor, são importantes 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5º 10º 15º
P
e
so
 d
a 
Tr
e
liç
a 
(k
N
)
Inclinação da cobertura
Galpão de 10 m x 40 m
Otimização
Warren
Howe
Pratt
para o travamento de elementos longos, o que se reflete em menores seções para os mesmos, 
graças à diminuição do comprimento de flambagem, e consequente redução no peso total da 
estrutura. Na maioria dos casos, o processo foi efetivo ao reduzir o peso da estrutura inicial, 
mas não o bastante para que se pudesse encontrar um modelo ideal, visto que os valores finais 
ficaram muito próximos, situação que se observou tanto para o vão de 10, quanto para o de 20 
metros Porém, pode-se afirmar que os modelos obtidos são competitivos em relação às 
configurações usuais. 
Em relação aos três modelos tradicionais analisados,a treliça tipo Howe apresentou-se 
com uma certa vantagem em relação aos modelos Warren e Pratt na grande maioria dos casos, 
sendo a Pratt a que obteve o pior desempenho geral. 
Também foi possível verificar que a inclinação da cobertura influencia também no 
peso das estruturas. Treliças com inclinações de 15º obtiveram peso próprio menor em relação 
às de 10 e15º. Inclinações menores resultam em esforços axiais maiores e, desse forma, em 
perfis com maior área transversal, aumentando o peso da tesoura. 
 
 
5 BIBLIOGRAFIA 
 
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