apost interseccoes e planificaçoes 1

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MANUAL Nº 10 
 
Intersecções e 
Planificações 
Desenho de: 
Intersecções Sólidos com Planos e Sólidos com 
Sólidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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dos titulares do direito. Os infractores são passíveis de procedimento 
judicial. 
ii 
Sub-Projecto :
Módulo nº. : Designação :
 Curso : Horas prevista : 30
OBJECTIVOS
CONTEÚDOS
 FICHA DE PLANIFICAÇÃO MODULAR
10
1. Explicar os conceitos de planificação e de intersecção de sólidos
2. Utilizar os métodos geométicos auxiliares da geometria descritiva - mudanças de plano, 
rotações e rebatimentos - na determinação da verdadeira grandeza de segmentos de recta
3. Dar exemplos de sólidos planificáveis e não planificáveis
4. Efectuar a planificação de sólidos - prisma regular, pirâmide regular, cilindro e cone
5. Descrever a natureza das secções produzidas em sólidos por planos
6. Determinar a secção produzida por um plano em poliedros - prismas e pirâmides
7. Determinar a secção produzida por um plano em cones e cilindros, aplicando o método 
adequado
8. Efectuar a planificação de sólidos seccionados: tronco de prisma regular, tronco de pirâmide, 
tronco de cilindro e tronco de cone
9. Determinar a intersecção entre dois sólidos, aplicando o método adequado
1. Explicação dos conceitos de planificação e de intersecção de sólidos
2. Utilização dos métodos geométicos auxiliares da geometria descritiva - mudanças de plano, 
rotações e rebatimentos - na determinação da verdadeira grandeza de segmentos de recta
3. Exemplos de sólidos planificáveis e não planificáveis
4. Efectuar a planificação de sólidos - prisma regular, pirâmide regular, cilindro e cone
5. Descrição da natureza das secções produzidas em sólidos por planos
6. Determinação da secção produzida por um plano em poliedros - prismas e pirâmides
7. Determinação da secção produzida por um plano em cones e cilindros, aplicando o método 
adequado
8. Efectuar a planificação de sólidos seccionados: tronco de prisma regular, tronco de pirâmide, 
tronco de cilindro e tronco de cone
9. Determinação da intersecção entre dois sólidos, aplicando o método adequado
Intersecções e Planificações
11 - Desenho Técnico
 
 
 
iii 
 ACTIVIDADES
 AVALIAÇÃO
 MATERIAIS / RECURSOS
Rectro-projector
Data O Formador
Desenho de intersecções de sólidos/planos e sólidos/sólidos
Análise dos trabalhos realizados.
Dados referentes à participação.
PUBLICO ALVO
Sala de desenho com equipamento tradicional a definir no módulo 4.
· Alberto C. Ornelas, José V. Ribeiro, Manuel C. Silva, “Desenho e Geometria Descritiva, Desenho 
Técnico”, Edições Asa
· Veiga da Cunha, “Desenho Técnico”, Fundação Calouste Gulbenkian
· Oscar Soares e Luis Filipe Carvalho, “Desenho e Geometria Descritiva - 12º”, Texto Editora
· Moreira de Sousa, “Geometria Descritiva - 11º ano”, Plátano Editora
· Guilherme Ricca, “Geometria Descritiva - Método de Monge”, Fundação Calouste Gulbenkian
Formadores da área Do Desenho Técnico
BIBLIOGRAFIA
 
-1- 
Índice 
Introdução - Conceitos......................................................................................2 
Planificações....................................................................................................2 
Intersecções....................................................................................................4 
Métodos Geométricos Auxiliares.........................................................................5 
Objectivo ........................................................................................................5 
Mudanças de Plano...........................................................................................5 
Mudança do Plano Vertical de Projecção ..............................................................6 
Mudança do Plano Horizontal de Projecção ..........................................................7 
Determinação da V.G. de um segmento, através de mudança 
de plano..........................................................................................................8 
Rotações.......................................................................................................10 
Rotações em torno de um Eixo Vertical .............................................................10 
Rotações em torno de um Eixo de Topo ............................................................12 
Rebatimentos ................................................................................................13 
Rebatimento do Plano Vertical sobre ? 0 ............................................................14 
Rebatimento do Plano Vertical sobre ? 0 ...........................................................15 
Rebatimento do Plano de Topo sobre ? 0 ..........................................................16 
Rebatimento do Plano de Topo sobre ? 0 .........................................................17 
Planificação de Sólidos....................................................................................19 
Sólidos planificáveis e não planificáveis.............................................................19 
Prisma Regular ..............................................................................................20 
Pirâmide Regular............................................................................................21 
Cilindro.........................................................................................................22 
Cone ............................................................................................................23 
Intersecção de Sólidos com Planos ...................................................................24 
Secções de sólidos .........................................................................................24 
Prisma..........................................................................................................25 
Pirâmide .......................................................................................................26 
Cone ............................................................................................................27 
Secções planas do cone de revolução................................................................27 
Métodos de determinação das secções planas do cone ........................................28 
Método dos planos paralelos à base do cone......................................................29 
Método dos planos projectantes contendo o vértice e as 
geratrizes......................................................................................................32 
Cilindro.........................................................................................................34 
Planificação de sólidos seccionados...................................................................35 
Tronco de Prisma Regular................................................................................35 
Tronco de Pirâmide.........................................................................................37 
Tronco de Cilindro ..........................................................................................39 
Tronco de Cone..............................................................................................40 
Intersecção de Sólidos com Sólidos ..................................................................42 
Método Geral.................................................................................................42 
Cone com Cilindro ..........................................................................................43 
Cilindro com Cilindro.......................................................................................44-2- 
Introdução - Conceitos 
Planificações 
Planificar um sólido é fazê-lo coincidir com um plano, como se 
se 'desenrolasse' o mesmo. 
A figura abaixo ilustra o conceito: depois de 'aberta', a 
superfície do cone foi planificada, coincidindo num mesmo 
plano. Como adiante se verá, a planificação da superfície 
lateral do cone é um sector circular e a da base é um círculo. 
Fig.01 
Quando desenhada num suporte, como chapa metálica ou 
cartão, a planificação, depois de convenientemente dobrada, 
permite a obtenção de um corpo oco de forma e tamanho 
iguais aos do sólido. 
-3- 
Por exemplo, dobrando a planificação de um prisma pelas suas 
arestas, como mostra a figura, reconstitui-se o mesmo. 
Fig.02 
A planificação é muito utilizada no desenho de trabalhos a 
executar em chapa metálica. Nestes casos, devem incluir-se 
sobrelarguras para abas de ligação na chapa a cortar. Estas 
abas são dimensionadas para permitir a soldadura ou outra 
técnica de ligação. 
As planificações devem ser desenhadas de forma a conseguir a 
maior economia possível de material e mão-de-obra. A sua 
disposição deve ser a que maximiza a área útil da chapa (ou 
de outro suporte) a cortar. Igualmente, devem escolher-se 
para arestas de ligação as menores, economizando na ligação 
- geralmente soldada ou rebitada. 
Para planificar um sólido, do qual se conhecem duas ou mais 
projecções, é necessário conhecer a verdadeira grandeza das 
suas arestas. 
Ora, verifica-se, muitas vezes, as projecções não 
representarem o sólido em verdadeira grandeza, pelo que se 
torna necessário utilizar um dos métodos geométricos 
auxiliares da Geometria Descritiva. Foi esta a razão que levou 
à inclusão, neste manual, de um capítulo dedicado ao tema. 
-4- 
Intersecções 
Intersecções de sólidos são linhas que pertencem, 
simultaneamente, à superfície de contorno do sólido e a uma 
outra superfície, que o secciona. 
Um sólido pode ser intersectado por um plano ou pela 
superfície que limita outro sólido. 
A figura seguinte mostra dois exemplos de intersecção entre 
sólidos. À esquerda, a intersecção de dois sólidos limitados por 
faces planas - dois prismas; à direita, a intersecção de dois 
sólidos limitados por superfícies curvas - dois cilindros. 
 
 Fig.3 
Como se verá mais à frente, enquanto que no primeiro caso a 
intersecção é determinada de uma forma simples, no segundo, 
envolve um certo grau de complexidade. 
-5- 
Métodos Geométricos 
Auxiliares 
Objectivo 
Uma figura plana só se projecta em verdadeira grandeza 
(V.G.) num plano de projecção, se o plano em que está 
assente lhe for paralelo, ou coincidente. 
Portanto, conhecer as projecções de uma figura que não está 
nestas condições não é suficiente para concluir das suas 
dimensões. 
Nestes casos, colocam-se as figuras em posições favoráveis à 
determinação dos comprimentos pretendidos. Ou se 
substituem os planos de projecção, mantendo imóveis as 
figuras, ou se deslocam as figuras, mantendo inalteráveis os 
planos. 
Destas duas técnicas resultam os três métodos auxiliares que 
se descrevem, sumariamente, de seguida. 
Mudanças de Plano 
Este método consiste em mudar a posição de um dos planos 
de projecção, ? 0 ou ? 0 , de modo que, continuando 
perpendiculares entre si, permitam a obtenção de projecções 
mais esclarecedoras. 
-6- 
Mudança do Plano Vertical de Projecção 
Uma das hipóteses é deslocar o plano vertical ? 0 . 
Como se pode ver na figura, os planos de projecção, após a 
mudança, continuam perpendiculares entre si e intersectam-se 
segundo a Linha de Terra L1T1. 
Fig.04 
Dado que o plano deslocado foi ? 0 e não ? 0 , a projecção 
horizontal do ponto P não se alterou. Tão pouco se alterou a 
cota do ponto, que é, como se sabe, a distância deste ao plano 
horizontal. 
Portanto, mudando ? 0 , mantêm-se: 
? ? o plano horizontal ? 0 ; 
? ? a projecção horizontal de qualquer ponto P; 
? ? a cota de qualquer ponto P. 
-7- 
Mudança do Plano Horizontal de Projecção 
Fig.05 
Observando a figura acima, verifica-se que, mudando ? 0 , se 
mantêm: 
? ? o plano vertical ? 0 ; 
? ? a projecção vertical de qualquer ponto P; 
? ? o afastamento de qualquer ponto P (o afastamento é a 
distância do ponto a ? 0 , que não sofreu alteração). 
-8- 
Determinação da V.G. de um segmento, através de 
mudança de plano 
Considere-se um segmento oblíquo - o segmento SP - cuja 
V.G. se pretende conhecer. 
Desloca-se ? 0 , por exemplo, para uma posição em que fique 
paralelo ao segmento. A nova intersecção do plano com ? 0 é a 
Linha de Terra L1T1 , paralela à projecção horizontal S'P' do 
segmento. Como mostra a figura, neste novo referencial, o 
segmento passou a ser de frente. 
Fig.06 
Pelas projecções horizontais S' e P', que se mantêm 
inalteradas, traçam-se as novas linhas de referência, 
perpendiculares a L1T1 , e marcam-se as cotas dos pontos S e 
P, obtendo assim S2'' e P2''. 
-9- 
A figura mostra os traçados descritos. 
Fig.07 
Dado que o segmento, após a mudança de plano, se tornou de 
frente, a medida S1' 'P1' ' é a V.G. do segmento. 
Em vez do plano vertical, poder-se-ia ter mudado ? 0 . Neste 
caso, o segmento ficava em posição de nível, e a sua V.G. 
seria a medida da nova projecção horizontal. 
-10- 
Rotações 
Neste método, faz-se girar uma figura do espaço, de modo a 
torná-la paralela a um dos planos de projecção, ? 0 ou ? 0 . 
A figura roda em torno de uma recta - eixo de rotação. Neste 
movimento, todos os pontos da figura descrevem arcos de 
circunferência com centro no referido eixo, assentes em 
planos perpendiculares ao mesmo. 
Os eixos devem ser rectas verticais ou de topo. Desta forma, 
os arcos descritos pelos pontos são de nível ou de frente, 
respectivamente. 
Rotações em torno de um Eixo Vertical 
Considere-se o segmento oblíquo AB , cuja V.G. se pretende 
conhecer, e a recta vertical e, que servirá de eixo de rotação. 
Fazem-se rodar os pontos A e B, extremos do segmento, em 
torno do eixo e, até que o segmento se torne de frente, 
projectando-se verticalmente em V.G.. 
Fig 08 
-11- 
Cada ponto descreve um arco de nível que se projecta 
horizontalmente segundo um arco de circunferência e, 
verticalmente, segundo um segmento paralelo à L.T.. 
Dado que o segmento se tornou de frente, a medida Ar' 'Br' ' é 
a V.G. do segmento. 
Fig.09 
-12- 
Rotações em torno de um Eixo de Topo 
Alternativamente, pode rodar-se o segmento AB em torno de 
um eixo de topo. 
Os pontos A e B rodam em torno do eixo e, descrevendo arcos 
de frente, até que a projecção vertical do segmento ( Ar' 'Br' ' ) 
fique paralela à L.T.. 
Cada arco de frente projecta-se verticalmente num um arco de 
circunferência e, horizontalmente, num segmento paralelo à 
L.T.. 
Dado que o segmento se tornou de nível, a medida Ar'Br' é a 
V.G. do segmento. 
Fig.10 
-13- 
Rebatimentos 
Neste método, faz-se rodar, não a figura, mas o plano que a 
contém. 
O objectivo é o plano que contém a figura ficar coincidente ou 
paralelo a um dos planos de projecção. No primeiro caso, 
rebate-se o plano em questão sobre ? 0 ou ? 0 ; no segundo, 
sobre um plano de nível ou de frente. 
A figura mostra o rebatimento do plano ? sobre ? 0 , que 
permitiu a determinação da V.G. do triângulo assente nesse 
plano. 
Fig. 11 
Um rebatimento não é mais do que a rotação de um plano em 
que o eixo de rotação, denominado charneira de rebatimento, 
é a recta de intersecção do plano a rebater com o plano sobre 
o qual se vai efectuar o rebatimento. 
No caso da figura acima, a charneira é o traço horizontal de ? - 
intersecção do plano a rebater (? ) com o plano sobre o qual 
se realizou o rebatimento (? 0 ). 
O método dos Rebatimentos é muito utilizado na determinação 
da V.G. de figuras planas. 
Analisa-se, de seguida, o rebatimento de planos verticais e de 
topo, sobre ? 0 e ? 0 . 
-14- 
Rebatimento do Plano Vertical sobre ? 0 
Considere-se um segmento, pertencente a um plano vertical - 
o plano ? . Um dos extremos desse segmentoé o ponto M. 
Dado que ? vai ser rebatido sobre ? 0 , a charneira do 
rebatimento é o traço vertical do plano. 
O ponto M, ao ser rebatido sobre ? 0 , descreve no espaço um 
arco de circunferência de nível, assumindo uma nova posição 
em ? 0 - o ponto Mr. 
Como se pode depreender da análise da figura abaixo, o traço 
vertical do plano mantém-se fixo, durante o rebatimento, e o 
traço horizontal fica coincidente com a L.T.. 
Fig. 12 
No plano do desenho, o arco de circunferência projecta-se 
horizontalmente em V.G. com centro em (e') e raio igual a 
( ' )M'e . Verticalmente, projecta-se segundo o segmento 
M''Mr . 
Procedendo de igual forma para o outro extremo do segmento 
- o ponto N, obtém-se Nr. O segmento rebatido MrNr indica a 
V.G. de MN . 
Fig. 13 
-15- 
Rebatimento do Plano Vertical sobre ? 0 
Pretende-se rebater o segmento PQ sobre o plano horizontal 
de projecção. 
O segmento pertence ao plano vertical ? . Logo, a charneira é 
o traço horizontal desse plano. 
O ponto P descreve no espaço, num plano perpendicular a h? , 
um quarto de circunferência de centro em P' e raio igual à cota 
de P. 
Após o rebatimento, o traço horizontal do plano mantém-se 
inalterado e o traço vertical fica assente em ? 0 . Note-se que 
os traços de ? se mantêm perpendiculares. 
Fig. 14 
No plano do desenho, traça-se uma perpendicular a h? que 
contenha P'. Marca-se, então, nesta recta auxiliar, a cota do 
ponto P. Obtém-se, assim, o ponto Pr. 
Rebatendo também o ponto Q, obtém-se o segmento PrQr , 
cuja medida é a V.G. do segmento. 
-16- 
Fig. 15 
A cota do ponto P - distância PoP' ' - pode ser transportada 
para P'Pr do seguinte modo: 
? ? uma paralela a LT que contém P'' intersecta v? no 
ponto P1; 
? ? uma circunferência de raio igual a VoP1 e de centro 
em V0 intersecta v? r (perpendicular a h? ) no ponto P2; 
? ? uma paralela a h? , contendo P2, permite, por fim, obter 
Pr. 
Este processo de transferência de distâncias foi igualmente 
aplicado na determinação do ponto Qr. 
Rebatimento do Plano de Topo sobre ? 0 
Considere-se o segmento AB , assente no plano de topo ? . 
Pretende-se conhecer a V.G. deste segmento através do seu 
rebatimento sobre ? 0 . A charneira do rebatimento é h? . 
O ponto A, ao ser rebatido, vai descrever um arco de frente. A 
projecção vertical deste arco é o arco de circunferência com 
raio igual a ( ')A''e' , e a projecção horizontal é o segmento 
A' Ar , paralelo à L.T. 
-17- 
Fig.16 
O plano rodou sobre o seu traço horizontal até ficar 
coincidente com ? 0 . Logo, v? ficou coincidente com a L.T., 
enquanto h? se manteve fixo. 
Rebatendo igualmente o ponto B, obtém-se o segmento 
rebatido ArBr , cujo comprimento indica a V.G. do segmento. 
Fig. 17 
Rebatimento do Plano de Topo sobre ? 0 
No rebatimento de um plano de topo sobre o plano vertical de 
projecções, a charneira é o seu traço vertical. 
Considere-se o segmento AB , pertencente ao plano de topo 
? . 
Para determinar Ar, traça-se, no plano do desenho, a 
perpendicular a v? que contém A''. Ar pertence a essa 
perpendicular, a uma distância de v? igual ao afastamento de 
A. 
-18- 
Determinando Br do mesmo modo, define-se ArBr , cuja 
medida é a V.G. do segmento. 
Fig.18 
Como se pode depreender da análise da figura, usou-se, na 
determinação dos pontos rebatidos, o processo de 
transferência de medidas anteriormente descrito. 
-19- 
Planificação de Sólidos 
Sólidos planificáveis e não planificáveis 
Uma superfície planificável é aquela que se pode justapor de 
forma contínua a um plano. 
Nem todas as superfíceis são planificáveis. É o que acontece 
com a esfera - não é planificável. 
A planificação de um sólido implica rotações em torno de 
linhas que se vão sucessivamente apoiando sobre o plano. Por 
sua vez, estas rotações implicam que as linhas de apoio da 
superfície - eixos das rotações - sejam rectas. 
Assim, apenas as superfícies dos poliedros - prismas e 
pirâmides, por exemplo - e as superfícies de simples curvatura 
- cones e cilindros, por exemplo - são rigorosamente 
planificáveis. 
As restantes superfícies (empenadas ou não regradas) - 
hiperbolóides e elipsóides, por exemplo - só podem ser 
planificadas de um modo aproximado, através da sua 
decomposição em troços planificáveis. 
-20- 
Prisma Regular 
Considere-se o prisma hexagonal regular representado em 
perspectiva e através de duas vistas na figura seguinte. 
Fig.19 
A planificação é constituída pelas bases, dois hexágonos 
regulares, e pelos seis rectângulos correspondentes às faces 
laterais. 
Fig. 20 
As dimensões das arestas laterais encontram-se em V.G. no 
alçado principal e as da base, em V.G. na planta. 
-21- 
Pirâmide Regular 
A planificação da pirâmide é constituída pelo polígono 
correspondente à base, e por vários triângulos, tantos quantas 
as faces laterais. 
A figura seguinte representa uma pirâmide quadrangular 
regular, definida por duas vistas, e a respectiva planificação. 
Fig. 21 
Os elementos importantes para definir esta planificação foram, 
tal como no caso do prisma, os comprimentos das arestas 
laterais e das da base. 
Para determinar a V.G. das arestas laterais, utiliza-se um dos 
três métodos auxiliares da Geometria Descritiva. 
Neste caso, rodou-se a aresta VP . Nesta rotação, utilizou-se 
um eixo vertical (recta e), que contém o vértice da pirâmide. 
Depois de rodada, a aresta torna-se de frente. Logo, a V.G. do 
segmento é a medida R do segmento V P r' ' ' ' . 
As arestas da base encontram-se em V.G. na planta da 
pirâmide. 
-22- 
Cilindro 
A figura seguinte mostra o processo de planificação de um 
cilindro. 
Fig.22 
A planificação do cilindro é constituída pelos círculos das bases 
e pelo rectângulo correspondente à superfície lateral. 
O rectângulo tem largura igual ao perímetro da base (2? r ou 
? d) e altura igual à do cilindro. 
Fig.23 
Os elementos necessários à construção da planificação - 
diâmetro da base e altura do cilindro - encontram-se em V.G. 
na planta e no alçado do cilindro, respectivamente. 
-23- 
Cone 
A planificação do cone é constituída por um círculo, 
correspondente à base (em V.G. na planta) e por um sector 
circular, correspondente à superfície lateral. 
O sector circular tem raio (R) igual à geratriz do cone - em 
V.G. no contorno aparente do sólido, representado no alçado. 
O arco limitado pelo sector circular tem perímetro igual ao 
perímetro da base (2? r ou ? d). 
Fig. 23, ASA 169, fig. 4 (assinalar o ângulo ? ) 
Apesar de ser conhecido o perímetro do arco limitado pelo 
sector circular, o seu traçado não é imediato. 
Um processo aproximado é o de transferir o perímetro da base 
para o sector circular, de uma forma não rigorosa. Para tal, 
divide-se a circunferência da base em doze (ou mais) partes 
iguais, substituindo depois o comprimento de cada 112 da 
circunferência pelo da respectiva corda. 
Outro processo, mais analítico, é o de determinar o ângulo ao 
centro das geratrizes limites, depois de planificadas - ângulo 
? . A medida deste ângulo, em graus, é dada pela fórmula 
? ? ?d
R
180 , em que d é o diâmetro da circunferência da base 
e R, o comprimento da geratriz do cone. 
-24- 
Intersecção de Sólidos com 
Planos 
Secções de sólidos 
A intersecção de um plano com um poliedro (sólido limitado 
por superfícies planas) - prismas e pirâmides, por exemplo - é 
um polígono, cujos vértices são os pontos de intersecção de 
cada uma das arestas do sólido com o plano. 
Da intersecção de cilindros e cones por planos, resultam 
secções cónicas - elípticas (incluindo a circunferência, que é 
um caso particular da elipse), parabólicas ou hiperbólicas. 
No caso da esfera, as suas intersecções com planos são 
sempre circunferências, independentemente da posição 
relativa entre o sólido e o plano seccionante. 
-25- 
Prisma 
Determinar a secção produzida por um plano num poliedro, 
equivale a resolver um problema de intersecção de rectas - as 
arestas do poliedro - comesse plano. 
Se o plano seccionante for projectante (perpendicular a um 
dos planos de projecção), o traçado da secção torna-se 
imediato. 
A V.G. da secção obtém-se, geralmente, através do 
rebatimento do plano secante sobre ? 0 ou ? 0 . 
Na figura seguinte, pode observar-se um prisma triangular 
recto, com bases de frente, e a secção nele produzida por um 
plano vertical. 
Fig. 25 
O plano secante ? intersecta as três arestas laterais do 
prisma, produzindo neste a secção triangular ? ?A B C, , . 
Dado que ? é projectante horizontal, as projecções 
horizontais dos pontos de intersecção do plano com as arestas 
(A', B' e C') coincidem com o seu traço horizontal h? . 
As projecções verticais dos pontos referidos coincidem, por 
sua vez, com as projecções verticais das bases do prisma. 
A V.G. da secção é o triângulo de vértices Ar, Br e Cr, obtido 
através do rebatimento de ? sobre ? 0 . 
-26- 
Pirâmide 
Considere-se uma pirâmide pentagonal regular, de base 
assente em ? 0 e um plano seccionante de topo (plano ? ). 
O plano intersecta a pirâmide, produzindo a secção ? ?LMNOP , 
cuja projecção vertical coincide com o traço v?. 
Fig. 26 
As projecções horizontais dos pontos L, M, N e O determinam-
se facilmente sobre a projecção horizontal das arestas a que 
cada um deles pertence. 
No caso do ponto P, e por pertencer à aresta de perfil VE , a 
determinação da sua projecção horizontal P' não é imediata. 
Para tal, foi necessário rebater a aresta. Neste caso, optou-se 
pelo seu rebatimento sobre ? 0 . 
Depois de construído o rebatimento? ?VrEr , traçou-se uma 
paralela à LT, a partir de P'', determinando Pr na aresta 
rebatida. Inverteu-se, de seguida, a operação de rebatimento, 
determinando desta forma a projecção horizontal P' em V E' ' . 
O polígono ? ?LrMrNrOr Pr - V.G da secção - foi obtido através 
do rebatimento de ? sobre ? 0 . 
-27- 
Cone 
Secções planas do cone de revolução 
Intersectando-se uma superfície cónica com um plano, obtêm-
se as seguintes secções, consoante a posição do plano secante 
relativamente ao sólido: 
Secção 
obtida 
Plano Secante Caso Particular 
Elipse Corta todas as geratrizes 
da superfície (em pontos 
diferentes do vértice) 
Se o plano for perpendicular ao 
eixo da superfície, a secção 
obtida é uma circunferência 
Hipérbole É paralelo a duas 
geratrizes 
 
Parábola É paralelo a uma e só 
uma geratriz 
 
Fig. 27 Fig. 28 
A projecção de uma cónica num plano é outra cónica da mesma espécie. Ou seja, a 
projecção de uma elipse é outra elipse, a projecção de uma parábola é outra parábola e 
a projecção de uma hipérbole é outra hipérbole. 
-28- 
Métodos de determinação das secções planas do 
cone 
Pretende-se determinar a secção produzida num cone por um 
plano ? . 
Para tal, escolhe-se um plano ? auxiliar, que produza no cone 
secções de fácil determinação (no caso da figura, é uma 
seccção circular). 
Fig. 29 
? intersecta o plano ? na recta i e produz no cone uma 
secção circular, que se intersectam, por sua vez, nos pontos A 
e B. 
Os pontos A e B pertencem simultaneamente ao cone e ao 
plano secante. Logo, são pontos da intersecção pretendida. 
Repetindo estes procedimentos, obtêm-se mais pontos, tantos 
quantos os que se julgarem suficientes para o traçado da 
secção procurada. 
-29- 
Método dos planos paralelos à base do cone 
1º Exemplo: Considere-se um cone de base assente em ? 0 e 
um plano seccionante ? , de topo, que intersecta todas as 
suas geratrizes. 
A secção obtida é uma elipse, cuja projecção vertical é o 
segmento de recta A B' ' ' ' , contido no traço vertical v? . 
Fig. 30 
Os extremos do eixo maior da elipse - pontos A e B - 
projectam-se em ? 0 na projecção horizontal das geratrizes de 
contorno aparente do cone (coincidente com o diâmetro da 
base). São os pontos A' e B'. 
O ponto O, que divide ao meio o eixo maior AB , em V.G. na 
sua projecção vertical, é o centro da secção elíptica. O'', ponto 
médio do segmento A B' ' ' ' , é também a projecção vertical do 
eixo menor da elipse. 
O plano auxiliar de nível ? 1 , que contém O, intersecta o cone 
numa circunferência e o plano ? numa recta de topo. As 
intersecções F e G destas duas linhas, por pertencerem ao 
plano secante e à superfície cónica, pertencem à secção 
procurada, constituindo os extremos do seu eixo menor. 
Conhecidos os eixos maior e menor da elipse, pode construir-
se a secção pelo processo geométrico adequado. 
Em alternativa, podem determinar-se outros pontos da elipse, 
utilizando mais planos auxiliares de nível (? e ? 2 , na figura), 
que intersectem o cone entre os pontos A e B. 
-30- 
Determinou-se a V.G. da secção rebatendo o plano ? sobre 
? 0 . 
2º Exemplo: Considere-se um cone de base assente num 
plano de nível e um plano seccionante ? , de topo, paralelo a 
duas geratrizes. 
Intersectando o cone com um plano paralelo ao dado, que 
contenha o seu vértice, obtêm-se as geratrizes VA e VB . 
Conclui-se, assim, que ? é paralelo às duas geratrizes 
indicadas, produzindo no cone uma secção hiperbólica. 
Como pode observar-se na figura, a secção foi determinada 
através da utilização de planos auxiliares de nível, à 
semelhança do exemplo anterior. 
Fig. 31 
Determinou-se apenas um dos ramos da hipérbole. O outro 
ramo encontrar-se-ia na secção produzida por ? na superfície 
cónica situada para cima do vértice. 
O rebatimento de ? sobre ? 0 permitiu a determinção da V.G. 
da secção. 
-31- 
3º Exemplo: Considere-se um cone de base assente num 
plano de nível e um plano seccionante ? , de topo, paralelo a 
uma e só uma geratriz. 
Se, pelo vértice do cone, se traçasse um plano paralelo a ? , 
verificar-se-ia que o mesmo era tangente à base da superfície. 
Tal indica que ? é paralelo a uma única geratriz - a geratriz 
VA - produzindo no cone uma secção parabólica. 
Tal como nos exemplos anteriores, utilizou-se o método dos 
planos auxiliares paralelos à base do cone, para obter a secção 
cónica, como se pode ver na figura. 
Fig. 32 
A V.G. da parábola foi determinada através do rebatimento de 
? sobre ? 0 . 
-32- 
Método dos planos projectantes contendo o vértice e as 
geratrizes 
Em vez de planos paralelos às bases do cone, pode utilizar-se 
igualmente planos auxiliares projectantes (de topo ou 
verticais), que intersectam a superfície cónica segundo 
geratrizes. 
Exemplo: Considere-se um cone assente num plano de frente 
e um plano secante ? , vertical, que intersecta todas as suas 
geratrizes. 
A secção é uma elipse, cuja projecção horizontal se situa no 
traço h? . 
A medida do segmento A B' ' é a V.G. do eixo maior da elipse. 
A'' e B'' encontram-se facilmente na projecção vertical das 
geratrizes de contorno aparente do cone (coincidente com o 
diâmetro da circunferência). 
O' é a projecção horizontal do eixo menor da secção, que é um 
segmento vertical. 
Escolhe-se um plano auxiliar projectante vertical que contém o 
vértice e o ponto O - plano ? 2 . 
Este plano auxiliar intersecta o cone nas geratrizes VC e VD , 
e o plano secante numa recta vertical projectada 
horizontalmente em O'. As intersecções C e D dessas 
geratrizes com a recta vertical são os extremos do eixo menor 
da elipse. 
Fig. 33 
É já possível traçar a projecção vertical da secção - elipse 
cujos eixos são A B' ' ' ' e C D' ' ' ' . 
-33- 
Em alternativa, pode construir-se a elipse sem recorrer aos 
seus eixos, utilizando mais planos auxiliares. 
Para obter-se a V.G. da secção elíptica, rebateu-se o plano 
que a contém, desta vez sobre ? 0 . 
-34- 
Cilindro 
A seccção produzida numa superfície cilíndrica por um plano é 
uma elipse. 
Considere-se o exemplo da figura: um cilindro, de bases de 
nível, seccionado pelo plano ? , de topo. 
Fig. 34 
A secção elíptica projecta-se verticalmente no traço v ? . A sua 
projecção horizontal coincide com a projecção horizontal das 
bases. 
A V.G. do eixo maior da elipse é a medida do segmento E F' ' ' ' 
- projecção vertical da secção. O pontomédio deste segmento 
é a projecção vertical do eixo menor GH , segmento de topo, 
que está em V.G. na projecção horizontal. 
Para construir a V.G. da secção, rebateu-se o plano ? e os 
pontos E, F, G, H, I, J, L e M - extremos dos eixos e das 
diagonais da elipse. 
Pode igualmente construir-se geometricamente a elipse 
rebatida, a partir do rebatimento dos seus eixos. 
-35- 
Planificação de sólidos 
seccionados 
Tronco de Prisma Regular 
Na figura representam-se duas vistas de um prisma 
quadrangular intersectado por um plano de topo. 
Fig. 35 
A planificação deste tronco de prisma é composta pela base, 
em V.G. na planta, pela secção provocada no prisma pelo 
plano, e pela planificação da superfície lateral. 
A secção é um rectângulo, cujo lado maior se encontra em 
V.G. na vista de frente e o menor na planta. 
Para efectuar a planificação da superfície lateral, é necessário 
conhecer a medida das arestas laterais, em V.G. no alçado, e 
das distâncias entre estas arestas, em V.G. na planta. 
-36- 
Fig. 36 
A ligação da base e da secção à planificação da superfície 
lateral pode ser feita em qualquer das arestas adjacentes. No 
entanto, deve escolher-se a posição que permita a maior 
economia de material, principalmente se o objectivo for 
preparar um corte de chapa. 
Pela mesma razão, deve escolher-se as menores arestas para 
ocuparem a posição mais à direita e mais à esquerda da 
planificação - as arestas em que incidirá a operação de 
ligação, geralmente por soldadura ou pela aplicação de 
rebites. 
Se o plano de corte não for projectante, ou se o prisma estiver 
em posição oblíqua em relação aos planos de projecção, a 
planificação efectua-se de forma semelhante. Torna-se, no 
entanto, mais demorada a determinação da V.G. das várias 
arestas, por ser necessário utilizar um ou mais dos três 
métodos da Geometria Descritiva: rebatimentos, rotações e 
mudanças de plano. 
-37- 
Tronco de Pirâmide 
Considere-se uma pirâmide quadrangular regular, intersectada 
por um plano de topo, como mostra a figura. 
Fig. 37 
Para planificar um tronco de pirâmide, procede-se, numa 
primeira fase, como se se pretendesse planificar toda a 
pirâmide. 
Nesta fase, os elementos importantes são as arestas da base, 
em V.G. na planta, e as arestas laterais, cuja V.G. foi 
encontrada através de rotações. 
-38- 
A figura seguinte mostra a planificação da pirâmide original, 
'antes' de ter sido seccionada pelo plano. As letras A, B, C e D 
pretendem facilitar a interpretação do desenho, indicando os 
pares de pontos (vértice de triângulo / vértice da base) a unir, 
caso se queira reconstruir o sólido a partir da sua planificação. 
Fig. 38 
Numa segunda fase, marcam-se, sobre as arestas laterais, as 
V.G. dos troços de aresta que ficam abaixo do plano 
seccionante. 
Para determinar a V.G. dos troços de aresta AA1, BB1, CC1 
e DD1, rodaram-se os mesmos, até tomarem a posição de 
segmentos de frente. 
A planificação do tronco de pirâmide só fica completa se se 
incluir a secção produzida no sólido pelo plano - o polígono 
? ?A B C D1 1 1 1 . Para tal, foi necessário determinar a sua V.G., 
através do rebatimento do plano de corte sobre ? 0 . 
Fig. 39 
-39- 
Tronco de Cilindro 
Considere-se um cilindro seccionado por um plano de topo. 
A planificação deste tronco de cilindro é constituída pela base, 
em V.G. na planta, pela secção elíptica, cuja V.G. se pode 
obter rebatendo o plano secante, e pela planificação da 
superfície lateral. 
Para planificar a superfície lateral, considera-se que o cilindro 
é um prisma com infinitas arestas - as geratrizes. Recorrendo 
a um certo número delas, considerado suficiente, é possível 
definir, se bem que de uma forma aproximada, o contorno 
dessa planificação lateral. 
Considerando, por exemplo, 16 geratrizes, os procedimentos a 
seguir são: 
? ? Dividir a base em 16 partes iguais; 
? ? Dividir o lado maior do rectângulo correspondente à 
planificação do cilindro não- seccionado em 16 partes 
iguais; 
? ? A partir de cada um dos 16 pontos assinalados no 
rectângulo, marcar, na vertical, os comprimentos das 
geratrizes do tronco a que pertencem (em V.G. no 
alçado). 
A figura abaixo exemplifica o processo descrito. 
Fig. 41 
Fig. 40 
-40- 
Tronco de Cone 
Para planificar um tronco de cone, procede-se de forma 
análoga à descrita no caso do tronco de cilindro. 
Considerando um cone seccionado por um plano de topo, a 
planificação do tronco de cone resultante é constituída por: 
? ? um círculo, correspondente à base; 
? ? uma elipse, correspondente à secção; 
? ? uma porção do sector circular, correspondente à 
planificação da superfície lateral. 
A base encontra-se em V.G. na planta. Quanto à secção 
elíptica, obtém-se a sua V.G. rebatendo o plano de corte 
(sobre ? 0 , no caso do exemplo escolhido). 
À semelhança do que foi feito para o cilindro, considera-se que 
o cone é uma pirâmide com infinitas arestas laterais. 
Utilizando algumas delas, planifica-se, de forma não rigorosa, 
a superfície lateral do tronco do cone. 
Considerando, de novo, 16 geratrizes, os procedimentos a 
seguir são: 
? ? Dividir a base em 16 partes iguais; 
? ? Dividir o sector circular, resultante da planificação do 
cone não-seccionado, em 16 partes iguais; 
? ? Marcar, de fora para dentro, nos raios do sector circular 
que resultaram da sua divisão em 16 partes iguais, o 
comprimento dos troços de geratriz respectivos, que 
ficam abaixo da secção do tronco de cone. 
-41- 
Como os troços de geratriz referidos não são paralelos a 
nenhum dos planos de projecção, torna-se necessário realizar 
rotações ou outro método, a fim de conhecer a sua V.G.. 
Fig. 42 
-42- 
Intersecção de Sólidos com 
Sólidos 
Método Geral 
O método geral para determinar a intersecção entre duas 
superfícies quaisquer foi já referido na intersecção de sólidos 
com planos. 
Este método consiste em considerar superfícies auxiliares - 
planos, na prática - que intersectam as superfícies dadas 
segundo linhas. Estas linhas, por sua vez, intersectam-se em 
pontos que pertencem à intersecção procurada. 
Unindo estes pontos, é possível definir a linha de intersecção 
entre as superfícies consideradas. 
Os planos auxiliares devem ser escolhidos por forma a facilitar 
a determinação das suas intersecções com os sólidos. 
Por vezes, principalmente quando os sólidos são poliédricos 
(limitados por superfícies planas), não é necessário utilizar o 
método geral para definir a sua intersecção. Nestes casos, 
determinam-se os pontos de intersecção das arestas de um 
dos sólidos com os planos que contêm as faces do outro, 
unindo-os depois, ordenadamente. 
-43- 
Cone com Cilindro 
A figura exemplifica a intersecção de um cone de eixo vertical 
com um cilindro de eixo horizontal. 
Fig. 43 
A intersecção determina-se utilizando o método geral. 
Considera-se, por exemplo, o plano auxiliar de nível ? 1 , que 
intersecta o cone segundo a circunferência de diâmetro d e o 
cilindro segundo o rectângulo de lado menor b e lado maior 
igual ao comprimento das geratrizes do cilindro. 
A circunferência e o rectângulo intersectam-se, no caso mais 
geral, em quatro pontos, que pertencem à curva procurada. 
Fig. 44 
-44- 
Considerando outros planos auxiliares, obtêm-se mais pontos, 
que vão permitindo o desenho da curva de intersecção entre 
os sólidos. A exactidão do traçado será tanto maior quanto o 
número de vezes que for repetido o método. 
Cilindro com Cilindro 
Considerem-se dois cilindros, um de eixo vertical e outro de 
eixo horizontal, cuja curva de intersecção se pretende 
conhecer. 
Fig. 45 
Optou-se, de novo, pela utilização de planos auxiliares de 
nível. 
Como se pode observar nas figuras seguintes, a intersecção 
do plano ? 1 com o cilindro horizontal é um rectângulo de lado 
menor b e lado maior igual ao comprimento das suas 
geratrizes, que se encontra em V.G. na planta. 
Fig. 46 
-45- 
O mesmo plano ? 1 intersecta o outro cilindro, vertical, numacircunferência de diâmetro d, igual ao das suas bases, em V.G. 
na planta. 
Fig. 47 
Determinam-se facilmente, na planta, os 4 pontos de 
intersecção entre a circunferência e o rectângulo. 
De seguida, posicionam-se estes pontos, que se sabe 
pertencerem ao plano ? 1 , no alçado lateral. Note-se que só os 
pontos 1 e 2 se encontram visíveis nesta vista. 
	Manual de Desenho Técnico_Vol. II
	[Módulo nº 10]. Intersecções e Planificações