Potencia aparente e fator de potencia

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Notas de aula da disciplina de 
Ana lise de Circuitos 2 
 
Prof. Luciano Baracho Rocha 
Maio de 2016 
Sumário 
Potência aparente e fator de potência ......................................................................................... 2 
Exercício 1: ................................................................................................................................ 4 
Exercício 2: ................................................................................................................................ 5 
Potência Complexa ........................................................................................................................ 6 
Triângulo de Potência ................................................................................................................... 9 
Exercício 3: .............................................................................................................................. 10 
 
Referência: Circuitos Elétricos , 5ª edição, Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku. Mc 
Graw Hill, 2013. 
Observação: o texto precisa de uma revisão final, e pode conter erros. 
 
 
 
 
 
2 
 
Potência aparente e fator de potência 
 
Sabemos que se a tensão e corrente nos terminais de um circuito forem 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) 
e 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 
ou, na forma fasorial, 𝐕 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑣 e 𝐈 = 𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖 e a potência média 
𝑃 =
1
2
𝑉𝑚. 𝐼𝑚 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
e também 
𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) = 𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
onde o novo termo na equação 
𝑆 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 
é conhecido como potência aparente . 
 O fator cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) é chamado fator de potência (FP). 
Potência aparente , em VA é o produto dos valores RMS da tensão e da corrente. 
A potência aparente tem esse nome porque parece que deve ser o produto da tensão 
com a corrente por analogia com os circuitos resistivos em CC. Ela é medida em volt-ampères 
ou VA para distingui-la da potência média ou real, que é medida em watts. O fator de potência 
é adimensional, já que é a razão entre a potência média e a potência aparente, 
FP =
𝑃
𝑆
= cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
O ângulo 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 é denominado ângulo do fator de potência, uma vez que ele é o 
ângulo cujo cosseno é o fator de potência. 
O ângulo do fator de potência é igual ao ângulo da impedância da carga se V for a 
tensão na carga e I a corrente através dela. Isso fica evidente a partir do fato que 
𝐙 =
𝐕
𝐈
=
𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑣
𝐼𝑚𝑒𝑗𝜃𝑖
=
𝑉𝑚
𝐼𝑚
𝑒𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) 
Como 
3 
 
𝐕RMS =
𝐕
√2
= 𝑉𝑅𝑀𝑆𝑒
𝑗𝜃𝑣 
e, 
𝐈RMS =
𝐈
√2
= 𝐼𝑅𝑀𝑆𝑒
𝑗𝜃𝑖 
 A impedância Z pode ser escrita 
𝐙 =
𝐕
𝐈
=
𝐕RMS
𝐈RMS
=
𝑉RMS
IRMS
𝒆𝒋(𝜽𝒗−𝜃𝑖) 
 
Fator de potência é o cosseno da diferença de fase entre a tensão e a corrente. Êle 
também é o cosseno do ângulo da impedância de carga. 
 
4 
 
 Fator de potência deve ser visto como aquele fator pelo qual a potência aparente 
dever ser multiplicada para se obter a potência média ou potência real. 
 O valor do FP varia entre 0 e 1; 
 Para uma carga puramente resistiva a tensão e a corrente estão em fase, de modo que 
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 0, e FP=1; isto faz com que a potência aparente seja igual à potência média. 
 Para uma carga puramente reativa 𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 = 90
𝑜
−
+ e FP=0. Neste caso a potência 
média é zero. 
 Entre estes dois casos diz-se que o FP está adiantado ou atrasado; 
 Um fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à 
tensão, implicando uma carga capacitiva; 
 Um fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à 
tensão, implicando um carga indutiva; 
 o fator de potência afeta as contas pagas pelos consumidores de energia elétrica, 
como veremos mais adiante; 
 
Exercício 1: 
 
Uma carga ligada em série drena uma corrente 𝑖(𝑡) = 4 cos(100𝜋𝑡 + 10°) A quando a tensão 
aplicada é 𝑣(𝑡) = 120 cos(100𝜋𝑡 − 20°) V. Determine a potência aparente e o fator de 
potência da carga. Estabeleça valores dos elementos que formam a carga conectada em série. 
Solução: 
Respostas:240 VA; 0,866 (adiantado); R= 25,98 Ω e C= 212,2 µ F 
 
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Exercício 2: 
Deetermine o fator de potência de todo o circuito da figura abaixo visto pela fonte. Calcule a 
potência média liberada pela fonte 
 
 
 
Respostas: FP =0,9734; P= 125 W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Ω 
 + 
 _ 
 
4 Ω -j2 Ω 30 𝑒𝑗30°𝑉 𝑅𝑀𝑆 
6 
 
Potência Complexa 
 
Considere a carga CA da figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo que na forma fasorial 𝐕 = 𝑉𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑣 e 𝐈 = 𝐼𝑚𝑒
𝑗𝜃𝑖 da tensão 𝑣(𝑡) e da corrente 
𝑖(𝑡) a potência complexa absorvida pela carga CA é o produto da tensão e do conjugado 
complexo da corrente, ou seja, 
𝐒 =
1
2
𝐕𝐈∗ 
considerando a regra dos sinais (passivo). Em termos de valor RMS, 
𝐒 = 𝐕 RMS 𝐈 RMS
∗ 
onde, 
𝐕RMS =
𝐕
√2
= 𝑉𝑅𝑀𝑆𝑒
𝑗𝜃𝑣 
e, 
𝐈RMS =
𝐈
√2
= 𝐼𝑅𝑀𝑆𝑒
𝑗𝜃𝑖 
Podemos escrever a equação (x) como segue, 
𝑆 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆𝑒
𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) 
= 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) + 𝑗𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
Carga 
 Z 
+ 
 
V 
 
- 
I 
7 
 
1. A magnitude (módulo) da potência complexa é a potência aparente; 
2. A potência complexa é medida em volt-ampères (VA); 
3. O ângulo da potência complexa é o fator de potência; 
 
A potência complexa pode ser expressa em função da impedância local Z. 
 
𝐙 =
𝐕
𝐈
=
𝐕RMS
𝐈RMS
=
𝑉𝑅𝑀𝑆
𝐼𝑅𝑀𝑆
𝑒𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) 
 
Então 𝐕RMS = 𝐙 𝐈RMS.Substituindo essa expressão na equação (x) : 
 
𝐒 = 𝐼𝑅𝑀𝑆
2 𝐙 =
VRMS
𝟐
𝒁∗
= 𝐕 RMS 𝐈 RMS
∗ 
 
Uma vez que 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, a equação (x) fica: 
 
𝐒 = 𝐼𝑅𝑀𝑆
2 (𝑅 + 𝑗𝑋) = 𝑃 + 𝑗𝑄 
 
Onde P e Q são a parte real e imaginária da impedância complexa. 
Então: 
𝑃 = 𝑅𝑒(𝐒) = 𝐼𝑅𝑀𝑆
2 𝑅 
𝑄 = 𝐼𝑚(𝐒) = 𝐼𝑅𝑀𝑆
2 𝑋 
4. P é a potência média real e ela depende da carga. Ela é a potência média em watts 
liberada para uma carga; ela é a única potência útil dissipada pela carga; 
5. Q depende da reatância de carga X, e é denominada de potência reativa (ou em 
quadratura); ela é uma medida da troca de energia entra a fonte e a parte reativa 
da carga; a unidade de Q é o VAR (volt-ampère reativo) para diferenciá-la da 
potência real medida em watts. 
6. Os indutores e capacitores são elementos armazenadores de energia, não dissipam 
nem absorvem energia, mas trocam energia (recebendo-a e fornecendo-a) com o 
restante do circuito; da mesma forma a potência reativa é transferida (nos dois 
sentidos) entre a carga e a fonte, pois representa uma troca semperdas entre a 
carga e a fonte. 
7. Note que: 
 Q = 0 para cargas resistivas (FP unitário); 
 Q < 0 para cargas capacitivas (FP adiantado); 
 Q> 0 para carga indutivas (FP atrasado); 
 
 
Portanto: 
Potência complexa (em VA) é o produto do fasor de tensão RMS e o conjugado complexo 
do fasor de corrente RMS. Por ser um número complexo, sua parte real é a potência real P 
e a sua parte imaginária é a potência reativa Q. 
 
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Resumindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência complexa = 𝐒 = 𝐕 RMS 𝐈 RMS
∗ = 𝑃 + 𝑗𝑄 
=|𝑽RMS||𝐈RMS|𝑒
𝑗(𝜃𝑣−𝜃𝑖) 
Potência real = 𝑃 = 𝑅𝑒(𝐒) = 𝑆 cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
Potência reativa = 𝑄 = 𝐼𝑚(𝐒) = 𝑆 sen(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
Fator de potência = 
𝑃
𝑆
= cos(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) 
 
9 
 
Triângulode Potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a)triângulo de potência; (b) triângulo de impedância; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (c)Triângulo de potência 
 
 
∣Z∣S 
𝜃 
P 
X 
R 
Q 
𝜃 
S 
P 
S 
 
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 
𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 
Re
Im 
+Q (FP atrasado) 
 – Q (FP adiantado) 
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Exercício 3: 
A tensão em uma carga é 𝑣(𝑡) = 60 cos(𝜔𝑡 − 10𝑜) V a corrente através do 
elemento no sentido da queda de tensão é 𝑖(𝑡) = 1,5cos (𝜔𝑡 + 50°) . Determine: (a) as 
potências complexa e aparente; (b)as potências real e reativa;(c) o fator de potência e a 
impedância de carga. 
 
Respostas: 45e-j60° VA; 45 VA; 22,5 W; -38,97 VAR; 0,5 (adiantado); 40e-j60° Ω