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Universidade Federal Rural do Semi-Árido�UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais�DCEN Prof. Dr. Antonio Ronaldo Gomes Garcia II-Lista de Inrodução às Funções de Várias Variáveis 1. Se f : U ⊆ Rn → R, U aberto, for diferenciável em X0 ∈ U , então existirá uma função ϕ de�nida em U a valores em R tal que f(X)− f(X0) = ∇f(X0) � (X −X0) + ϕ(X)‖X −X0‖ com lim X→X0 ϕ(X) = 0 = ϕ(X0). 2. Sejam f : U ⊆ Rn → R, U aberto, e γ : I ⊆ R → Rn, tais que γ(t) ∈ U para todo t ∈ I. Nestas condições, se γ for diferenciável em t0 e f em X0 = γ(t0), então a função composta F (t) = f(γ(t)) será diferenciável em t0 e vale a regra da cadeia F ′(t0) = ∇f(γ(t0)) � γ′(t0). 3. Sejam f(x, y) = xy e γ(t) = (t3, t2). Considere a composta F (t) = f(γ(t)). (a) Calcule F (t); (b) Calcule F ′(t) e veri�que que F ′(t) = ∇f(γ(t)) · γ′(t). 4. Sejam z = x2y, x = et 2 e y = 2t+ 1. Calcule dzdt . 5. Seja F (t) = f(et 2 , sin t), onde f(x, y) é uma função dada, diferenciável em R2. (a) Expresse F ′(t) em termos das derivadas parciais de f ; (b) Calcule F ′(0) supondo ∂f∂y (1, 0) = 5. 6. Suponha f(x, y) diferenciável e que, para todo x, f(3x + 1, 3x − 1) = 4. Veri�que que ∂f ∂x (3x+ 1, 3x− 1) = −∂f ∂y (3x+ 1, 3x− 1). 7. Seja z = f(e−u, u2), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Ex- presse dzdu em termos das derivadas parciais de f . 8. Seja z = f(u2 + v2, uv), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse ∂z∂u , ∂z ∂v em função das derivadas parciais de f . 1 9. Seja F (r, θ) = f(x, y), onde x = r cos θ, y = r sin θ, sendo f(x, y) uma função diferenciável dada. Veri�que que ∂f ∂y (x, y) = cos θ r ∂F ∂θ (r, θ) + sin θ ∂F ∂r (r, θ). Como �ca a expressão de ∂f∂x (x, y)? Justi�que! 10. Suponhamos z = f(x, y) de classe C1, f(1, 2) = −2, ∂f∂x (1, 2) = 3 e ∂f ∂y (1, 2) = 4. Admita que a imagem da curva γ(t) = (t2, 3t − 1, z(t)), t ∈ R, esteja contida no grá�co de f . (a) Calcule z(t); (b) Ache a equação da reta tangente a γ no ponto γ(1). 11. Seja f(x, y) diferenciável em (x0, y0), γ(t) uma curva diferenciável em t0, cuja imagem está contida no grá�co de f . Seja γ(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)). Então a reta tangente a γ no ponto γ(t0) está contida no plano tangente ao grá�co de f no ponto γ(t0). 12. Admita que, para todo (x, y) 4y ∂f ∂x (x, y)− x∂f ∂y (x, y) = 2. Calcule g′(t), sendo g(t) = f(x, y), x = 2 cos t, y = sin t. 13. Admita que, para todo (x, y) 4y ∂f ∂x (x, y)− x∂f ∂y (x, y) = 0. Prove que f é constante sobre a elípse x 2 4 + y 2 = 1. 14. Considere a função F (x, y) = f ( x y , y x ) . Mostre que x ∂F ∂x + y ∂F ∂y = 0. 15. Seja f(x, y) de�nida e diferenciável na bola aberta U . Suponha que f veri�ca em U a relação de Euler x ∂f ∂x (x, y) + y ∂f ∂y (x, y) = λf(x, y). Prove que f é homogênea de grau λ (ver Ex. 10, pg. 733 de Guidorizzi). 16. A função diferenciável y = y(x) é de�nida implicitamente pela equação y3 + xy + x3 = 3. Expresse dydx em função de x e y. 2 17. Suponha que a função diferenciável z = g(x, y) seja dada implicitamente pela equação f(x, y, z) = 0, onde f é diferenciável num aberto de R3. Veri�que que: (a) ∂z∂x = − ∂f ∂x (x,y,z) ∂f ∂z (x,y,z) em todo (x, y) ∈ Dg, com ∂f∂z (x, y, z) 6= 0; (b) ∂z∂y = − ∂f ∂y (x,y,z) ∂f ∂z (x,y,z) em todo (x, y) ∈ Dg, com ∂f∂z (x, y, z) 6= 0. 18. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação xyz + x3 + y3 + z3 = 5. Expresse ∂z∂x , ∂z ∂y em termos de x, y, z. 19. As funções diferenciáveis y = y(x), z = z(x), de�nidas no intervalo aberto I, são dadas implicitamente pelo sistema{ F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0, onde F e G são supostas diferenciáveis num aberto de R3. Expresse dydx , dz dx em termos das derivadas parciais de F e de G. 20. Sejam y = y(x), z = z(x) funções diferenciáveis em R e dadas implicita- mente pelo sistema { 2x+ y − z = 3 x+ y + z = 1. (1) (a) Calcule dydx e dz dx ; (b) Determine um par de funções y = y(x) e z = z(x) que sejam dadas implicitamente pelo sistema (1). 21. Enuncie os teoremas das funções implícitas nos casos: (a) F (x, y) = 0; (b) F (x, y, z) = 0; (c) F (x, y, z) = 0 = G(x, y, z); (d) Exempli�que cada caso acima. 22. A curva γ(t) passa pelo ponto (1, 2) e é tal que f(γ(t)) = 6,∀ t no domínio de γ, onde f(x, y) = x3y3 − xy. Suponha que γ(t0) = (1, 2) e γ′(t0) 6= 0. Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 2). 23. Considere a equação a derivadas parciais 2 ∂f ∂x + ∂f ∂y = 0. (a) Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima; 3 (b) Suponha f : R2 → R diferenciável; prove que se f satisfaz a equação acima, então existe φ : R→ R diferenciável tal que f(x, y) = φ(2y − x). 24. Seja y = f(x) uma função diferenciável de�nida implicitamente pela equação y3 +xy+x3 = 3x. Determine as equações das retas tangente e normal ao grá�co de f no ponto (1, 1). 25. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície xyz + x3 + y3 + z3 = 3z no ponto (1,−1, 2). 26. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule ∂f∂u (1, 1) onde u é o versor de (a) v = (−1, 1); (b) v = (1, 2); (c) v = (1, 1). 27. São dados uma função f(x, y) = x2 + y2, um vetor unitário (a, b) e um real β > 2. Suponhamos que (1 + sa, 1 + sb) e ( 1 + t√ 2 , 1 + t√ 2 ) , com s, t > 0 pertençam à curva de nível f(x, y) = β. Compare a taxa média se variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) e entre os pontos (1, 1) e ( 1 + t√ 2 , 1 + t√ 2 ) . 28. Seja u = (a, b) um vetor unitário dado. Calcule ∂f∂u (0, 0) sendo f(x, y) = { x3 x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). 29. Sejam f : U ⊆ Rn → R, U aberto, X0 ∈ U e u = (a1, a2, . . . , an) um vetor unitário. Se f for diferenciável em X0, mostre que f admitira derivada direcional em X0, na direção do vetor u, e ∂f ∂u (X0) = ∇f(X0) � u. 30. Seja f(x, y) = x2y. Determine u de modo que ∂f∂u (1, 1) seja máximo. Qual o valor máximo de ∂f∂u (1, 1) ? Estando-se no ponto (1, 1), que direção e sentido deve-se tomar a �m que f cresça mais rapidamente? 31. Admita que T (x, y) = x2+3y2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy : T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (suponha T em oC, x, y em cm). (a) Estando-se em ( 2, 12 ) , qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura e qual a taxa deste crescimento? (b) Estando-se em ( 2, 12 ) , qual a direção e sentido de maior decrescimento da temperatura e qual a taxa deste decrescimento? 4 32. Suponhamos que T (x, y) = 4x2 + y2 represente uma distribuição de tem- peratura no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 1), sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura. 33. Seja A = { (x, y) ∈ R2|5− x2 − 4y2 ≥ 0 } . Suponhamos que o grá�co de z = 5− x2− 4y2, (x, y) ∈ A, represente a superfície de um monte. (Adote o km como unidade de medida.) Um alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Oriente-o segundo uma trajetória que busque sempre a direção de maior aclive. Esboça a �gura do monte e da trajetória a ser descrita pelo alpinista. 34. Seja f(x, y) = { x3 x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). Mostre que ∂f∂u (0, 0) 6= ∇f(0, 0) � u, onde u = ( 1√ 2 , 1√ 2 ) . 35. Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções: (a) f(x, y) = 4x5y4 − 6x2y + 3; (b) z = ln(1 + x2 + y2; (c) g(x, y) = ex 2−y2 + sin(xy2) + cos(x2 − y); (d) h(x, y) = 4x3y4 + y3 + xy. 36. Seja f(x, y) = { x3y x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). Calcule ∂ 2f ∂x∂y e ∂2f ∂y∂x no ponto (0, 0). Estas derivadas no ponto (0, 0) satisfazem o Teorema de Schwarz? E fora do (0, 0) satisfaz? 37. Seja u(x, t) = A sin(aλt+ϕ) sin(λx) com A, a, λ e ϕ constantes. Veri�que que ∂2u ∂t2 = a2 ∂2u ∂x2 . 38. Sejam f(x, y) = x5y4, x = 3t e y = 2t + 1. Calcule g′′(t), sendo g(t) = f(3t, 2t+ 1). 39. Como �cam os teoremas do valor médio e de Taylor para funções de várias variáveis? Dê exemplos. 40. Seja f(x, y) = 2x− y e seja A = {(x, y) ∈ R2|x, y ≥ 0, x+ y ≤ 3, y ≥ x}. Estudef com relação a máximo e mínimo no conjunto A. 5 41. Seja { x2 + y2, x2 + y2 ≤ 4 1− (x− 3)2 − y2, x2 + y2 > 4. Mostre que (0, 0) é ponto de mínimo local; (3, 0) é ponto de máximo local e todo (x0, y0) na circunferência x 2 + y2 = 4 é ponto de máximo global de f . Esboce o grá�co de f para concluir o seu raciocínio. 42. Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo f dada por: (a) f(x, y) = 2x2 + y2 − 2xy + x− y; (b) f(x, y) = x3 − y2 + xy + 5; (c) f(x, y) = x4 + y4 + 4x+ 4y; (d) f(x, y) = x5 + y5 − 5x− 5y. 43. Seja f(x, y) = x3+y 3−3x−3y+4. Calcule os pontos críticos de f e os classi�que- os com respeito a máximo e mínimo. 44. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um par- alelepípedo retangular e com vm3 de volume. O material a ser utilizado nas laterias custa o tríplo do que será utilizado no fundo. Determine as dimensões da caixa que minimiza o custo do material. 45. Estude com relação a máximos e mínimos locais se a função f é: (a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y; (b) f(x, y) = 3 √ x2 + 2xy + 4y2 − 6x− 12y; (c) f(x, y) = x2 − y2 − 3xy + x+ 4y; (d) f(x, y) = x2 + 2y2 + 3xy + 2x+ 2y. 46. Determine o ponto do plano x+2y− z = 4 que se encontra mais próximo da origem. 47. Duas partículas P1 e P2 deslocam-se no espaço com velocidaes constantes v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 1, 1), respectivamente. No instante t = 0 a P1encontra-se na posição (1, 1, 3). Sabe-se que a trajetória descrita por P2 passa pelo ponto (1, 1, 0). Qual deverá ser a posição de P2 no instante t = 0 para que a distância mínima entre elas seja a menor possível? 48. Determinada empresa produz dois produtros, cujas quantidades são indi- cadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários P1 e P2, respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: P1 = 120− 2x, P2 = 200− y. O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por C = x2 + 2y2 + 2xy. 6 Admitindo-se que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado, determine a produção que maximiza o lucro. 49. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a (0, 0, 0) e (1, 1, 1) seja mínima. 50. Determine o extremante de f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y em A = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 2, |y| ≤ 2}. 7
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