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Universidade Federal Rural do semi-Árido–UFERSA
Centro de Ciências Exatas e Naturais–CCEN
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística–DCME
Prof. Dr. Antonio R. G. Garcia
Aluno(a):
Lista de Exercícios para Terceira Unidade de IFVV
1. Seja f : R2 → R3 dada por f(u, v) = (x, y, z), onde

x = u
y = v
z = u2 + v2.
(a) Dê seu domínio;
(b) Dê sua imagem e mostre que sua imagem coincide com o gráfico da função
z = x2 + y2;
(c) Dê a matriz jacobiana da f .
2. Seja a função ϕ(θ, ρ) = (x, y) dada por
x = ρ cos θy = ρ sin θ.
(a) Desenhe o conjunto ϕ(B), onde B é a reta ρ = 2;
(b) Desenhe o conjunto ϕ(B), onde B{(θ, ρ) ∈ R|0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π};
(c) Dê a matriz jacobiana da ϕ.
3. Considere a transformação (u, v) = ϕ(x, y) dada por
u = x− yv = x+ y com 1 ≤
x+ y ≤ 2 e y ≥ 0. Desenhe a imagem de ϕ. Calcule a transformação inversa da
ϕ, isto é, a aplicação ψ tal que ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ = I, identidade.
4. Seja f(u, v) = (u, v, 1−u− v), com u ≥ 0, v ≥ 0 e u+ v ≤ 1. Desenhe a imagem
de f .
5. Seja ~F (x, y, z) = xy~i+ yz2~j + xyz~k. Calcule rot(~F ).
6. Seja ~F (x, y) = Q(x, y)~j. Suponha que, para todo (x, y) ∈ R2, ∂Q
∂x
(x, y) = 0.
(a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas;
(b) Calcule o rot(~F ).
7. Considere o campo do exercício anterior. Suponhamos que para todo (x, y) ∈
R2, ∂Q
∂x
(x, y) > 0.
(a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas;
1
(b) Calcule o rot(~F ).
8. Dizemos que um campo vetorial é irrotacional se, e somente se, seu rotacional é
zero. Considere o campo vetorial ~F (x, y) = − ~r‖~r‖ , onde ~r = x~i+ y~j.
(a) Desenhe o campo ~F ;
(b) Verifique que ~F é irrotacional.
9. Considere um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade
~v(x, y) = −y~i+ x~j. Calcule o rotacional de ~v e interprete. ~v é irrotacional?
10. Seja ~F (x, y, z) = (x2+z)~i−y2~j+(2x+3y+z2)~k. Calcule o divergente do campo
~F .
11. Calcule ∇ · ∇ϕ, onde ϕ(x, y) = x2y.
12. Seja ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Calcule o laplaciano de ϕ.
13. Considere o campo do Exercício 7.
(a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas;
(b) Calcule div(~F ).
14. Considere um fluido em escoamento bidimensional com campo de velocidade
~v(x, y) = P (x, y)~i + Q(x, y)~j, onde P,Q ∈ C 1. Consideremos um retângulo de
lados paralelos aos eixos e de comprimentos h e k suficientemente pequenos.
Mostre que div~v(x0, y0) ∼= 1V (t0)V ‘(t0), onde a função V dá a área ocupada pelo
fluido. (Veja o Exemplo 5 p. 25 do nosso livro texto).
15. Calcule ∂ ~F
∂x
e ∂ ~F
∂y
do campo ~F (x, y) = (x2 + y2)~i + ln(xy)~j. Como fica a matriz
jacobiana do campo ~F .
16. Seja f : [a, b] → R contínua em [a, b]. Prove que o gr[afico da f tem conteúdo
nulo.
17. Seja B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1}. Seja f : B → R dada por f(x, y) =1, y ≥ 0−1 y < 0. f é integrável em B? Por quê?
18. Seja B = {(x, y) ∈ R2| − 1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1}. Seja f : B → R dada por
f(x, y) =
 x
2
x2+y2
(x, y) 6= (0, 0)
1 (x, y) = (0, 0).
f é integr[avel em B? Por quê?
19. Calcule
˜
R
(x+ y)dxdy, onde R é o retângulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.
2
20. Calcule
(a)
´ 1
−1
´ 2
0
xy2dxdy;
(b)
´ 2
0
´ 1
−1 xy
2dydx.
21. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e
0 ≤ z ≤ x2 + y2.
22. Calcule
˜
B
xydxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.
23. Calcule
˜
B
(x− y)dxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0}.
24. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1
e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
25. Calcule
˜
B
xydxdy, onde B é o triângulo de vértices (−1, 0), (0, 1) e (1, 0).
26. Calcule
˜
B
e−y
2
dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0).(1, 1) e (0, 1).
27. Utilizando integral dupla, calcule a área da região compreendida entre os gr[aficos
das funções y = x e y = −x2 + x+ 1 com −1 ≤ x ≤ 1.
28. Calcule
˜
B
cos(x−y)
sin(x+y)
dxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|1 ≤ x+ y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0},
B é um trapézio.
29. Calcule
˜
B
sin(x2 + y2)dxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}.
30. Calcule
˜
B
√
x2 + y2dxdy, onde B é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).
31. Calcule
´ 1
0
[
´ x
0
x
√
x2 + 3y2dy]dx.
32. Calcule
´∞
−∞ e
−x2dx.
33. Calcule
˜
B
x
√
x2 + y2dxdy, sendo B o conjunto de todos (x, y) tais que x2 ≤
y ≤ x.
34. Calcule
˜
B
√
x2 + y2dxdy, onde B é o conjunto de todos (x, y) tais que y ≥
x− x2e x2 + y2 − x ≤ 0.
35. Calcule
˜
B
x2dxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|x2 + 4y2 ≤ 1}.
36. Calcule
˜
B
√
2x− x2 − y2dxdy, onde B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 − x ≤ 0}.
37. Calcule o volume do conjunto de todos (x, y, z) tais que x2+y2 ≤ z ≤ 2−x2−y2.
38. Calcule
˝
B
xdxdydz, ondeB = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x+ y}.
39. Calcule as integrais de linha
3
(a)
´
γ
~F · d~r, sendo ~F (x, y) = x~i+ y~j e γ(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1];
(b)
´
γ
~F · d~r, sendo ~F (x, y) = −y
x2+y2
~i+ x
x2+y2
~j e γ(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π;
40. Suponhamos ~F : Ω ⊂ R3 → R3 um campo de forças contínuo. Sob a ação da
força resultante ~F , uma partícula de massa m desloca-se de A até B, sendo sua
trajetória descrita pela curva γ : [a, b]→ Ω, de classe C 1, com γ(a) = A, γ(b) =
B (γ(t) é a posição da partícula no instante t.) Sejam vA, vB as velocidades
escalares nos instantes a, b, nesta ordem. Prove que
´
γ
~F · d~r = 1
2
(mv2B −mv2A).
Isto é, o trabalho realizado pela resultante ~F no deslocamento de A até B é igual
à variação na energia cinética da partícula.
41. Calcule
´
γ
xdx+ (x2 + y + z)dy + xyzdz, onde γ(t) = (t, 2t, 1), t ∈ [0, 1].
42. Calcule
´
γ
−ydx + xdy, onde γ : [a, b] → R2 é uma curva de classe C 1 cuja
imagem é a elipse x2
4
+ y
2
9
= 1 e, tal que, quando t varia de a até b, γ(t) descreve
a elipse no sentido anti-horário.
43. Calcule
´
γ
xdx+ xydy, onde γ(t) = (t, |t|), t ∈ [−1, 1].
44. Calcule
´
γ
xdx+ ydy, onde γ é uma curva cuja imagem é a poligonal de vértices
(0, 0), (2, 0) e (2, 1), orientada de (0, 0) para (2, 1).
45. Calcule
´
γ
−ydx+xdy, onde γ é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices
(0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-horário.
46. Calcule
´
γ
(x2 + y2)ds, onde γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
47. Calcule a massa do fio γ(t) = (t, t, t), t ∈ [0, 2], sendo δ(x, y, z) = xyz sua
densidade linear.
48. Mostre que se ~F é um campo conservativo, então rot~F = 0.
49. O campo vetorial ~F (x, y) = x
x2+y2
~i + y
x2+y2
~j é conservativo? Se for for dê sua
função potencial. E o campo vetorial ~G(x, y) = −y~i+ x~j é conservativo?
50. Verifique se as formas diferenciais abaixo é ou não exata:
(a) 2xdx+ 2ydy;
(b) ydx+ 2xdy.
51. Calcule:
(a)
´
γ
xdx+ ydy, onde γ é dada por x = arctanx e y = sin t3, t ∈ [0, 1];
(b)
´
γ
~F · d~r, onde ~F (x, y) = x
x2+y2
~i + y
x2+y2
~j e γ : [a, b] → R2 \ {(0, 0)} é uma
curva de classe C 1 por partes e fechada, isto é, γ(a) = γ(b).
4
52. Seja ~F (x, y) = −y
x2+y2
~i + x
x2+y2
~j, (x, y) 6= (0, 0). Verifique que este campo não
é conservativo, mesmo sendo o seu rot(~F ) = 0. Mostre que a integral sobre a
curva fechada γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] deste campo é diferente de zero.
5