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Universidade Federal Rural do Semi-Árido�UFERSA
Departamento de Ciências Exatas e Naturais�DCEN
Prof. Dr. Antonio Ronaldo Gomes Garcia
II-Lista de Inrodução às Funções de Várias Variáveis
1. Se f : U ⊆ Rn → R, U aberto, for diferenciável em X0 ∈ U , então existirá
uma função ϕ de�nida em U a valores em R tal que
f(X)− f(X0) = ∇f(X0) � (X −X0) + ϕ(X)‖X −X0‖
com
lim
X→X0
ϕ(X) = 0 = ϕ(X0).
2. Sejam f : U ⊆ Rn → R, U aberto, e γ : I ⊆ R → Rn, tais que γ(t) ∈ U
para todo t ∈ I. Nestas condições, se γ for diferenciável em t0 e f em
X0 = γ(t0), então a função composta F (t) = f(γ(t)) será diferenciável em
t0 e vale a regra da cadeia
F ′(t0) = ∇f(γ(t0)) � γ′(t0).
3. Sejam f(x, y) = xy e γ(t) = (t3, t2). Considere a composta F (t) = f(γ(t)).
(a) Calcule F (t);
(b) Calcule F ′(t) e veri�que que F ′(t) = ∇f(γ(t)) · γ′(t).
4. Sejam z = x2y, x = et
2
e y = 2t+ 1. Calcule dzdt .
5. Seja F (t) = f(et
2
, sin t), onde f(x, y) é uma função dada, diferenciável em
R2.
(a) Expresse F ′(t) em termos das derivadas parciais de f ;
(b) Calcule F ′(0) supondo ∂f∂y (1, 0) = 5.
6. Suponha f(x, y) diferenciável e que, para todo x, f(3x + 1, 3x − 1) = 4.
Veri�que que
∂f
∂x
(3x+ 1, 3x− 1) = −∂f
∂y
(3x+ 1, 3x− 1).
7. Seja z = f(e−u, u2), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Ex-
presse dzdu em termos das derivadas parciais de f .
8. Seja z = f(u2 + v2, uv), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada.
Expresse ∂z∂u ,
∂z
∂v em função das derivadas parciais de f .
1
9. Seja F (r, θ) = f(x, y), onde x = r cos θ, y = r sin θ, sendo f(x, y) uma
função diferenciável dada. Veri�que que
∂f
∂y
(x, y) =
cos θ
r
∂F
∂θ
(r, θ) + sin θ
∂F
∂r
(r, θ).
Como �ca a expressão de ∂f∂x (x, y)? Justi�que!
10. Suponhamos z = f(x, y) de classe C1, f(1, 2) = −2, ∂f∂x (1, 2) = 3 e
∂f
∂y (1, 2) =
4. Admita que a imagem da curva γ(t) = (t2, 3t − 1, z(t)), t ∈ R, esteja
contida no grá�co de f .
(a) Calcule z(t);
(b) Ache a equação da reta tangente a γ no ponto γ(1).
11. Seja f(x, y) diferenciável em (x0, y0), γ(t) uma curva diferenciável em t0,
cuja imagem está contida no grá�co de f . Seja γ(t0) = (x0, y0, f(x0, y0)).
Então a reta tangente a γ no ponto γ(t0) está contida no plano tangente
ao grá�co de f no ponto γ(t0).
12. Admita que, para todo (x, y)
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 2.
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(x, y), x = 2 cos t, y = sin t.
13. Admita que, para todo (x, y)
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 0.
Prove que f é constante sobre a elípse x
2
4 + y
2 = 1.
14. Considere a função F (x, y) = f
(
x
y ,
y
x
)
. Mostre que
x
∂F
∂x
+ y
∂F
∂y
= 0.
15. Seja f(x, y) de�nida e diferenciável na bola aberta U . Suponha que f
veri�ca em U a relação de Euler
x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y) = λf(x, y).
Prove que f é homogênea de grau λ (ver Ex. 10, pg. 733 de Guidorizzi).
16. A função diferenciável y = y(x) é de�nida implicitamente pela equação
y3 + xy + x3 = 3. Expresse dydx em função de x e y.
2
17. Suponha que a função diferenciável z = g(x, y) seja dada implicitamente
pela equação f(x, y, z) = 0, onde f é diferenciável num aberto de R3.
Veri�que que:
(a) ∂z∂x = −
∂f
∂x (x,y,z)
∂f
∂z (x,y,z)
em todo (x, y) ∈ Dg, com ∂f∂z (x, y, z) 6= 0;
(b) ∂z∂y = −
∂f
∂y (x,y,z)
∂f
∂z (x,y,z)
em todo (x, y) ∈ Dg, com ∂f∂z (x, y, z) 6= 0.
18. A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação
xyz + x3 + y3 + z3 = 5. Expresse ∂z∂x ,
∂z
∂y em termos de x, y, z.
19. As funções diferenciáveis y = y(x), z = z(x), de�nidas no intervalo aberto
I, são dadas implicitamente pelo sistema{
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0,
onde F e G são supostas diferenciáveis num aberto de R3. Expresse dydx ,
dz
dx
em termos das derivadas parciais de F e de G.
20. Sejam y = y(x), z = z(x) funções diferenciáveis em R e dadas implicita-
mente pelo sistema {
2x+ y − z = 3
x+ y + z = 1.
(1)
(a) Calcule dydx e
dz
dx ;
(b) Determine um par de funções y = y(x) e z = z(x) que sejam dadas
implicitamente pelo sistema (1).
21. Enuncie os teoremas das funções implícitas nos casos:
(a) F (x, y) = 0;
(b) F (x, y, z) = 0;
(c) F (x, y, z) = 0 = G(x, y, z);
(d) Exempli�que cada caso acima.
22. A curva γ(t) passa pelo ponto (1, 2) e é tal que f(γ(t)) = 6,∀ t no domínio
de γ, onde f(x, y) = x3y3 − xy. Suponha que γ(t0) = (1, 2) e γ′(t0) 6= 0.
Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 2).
23. Considere a equação a derivadas parciais
2
∂f
∂x
+
∂f
∂y
= 0.
(a) Com argumentos geométricos, obtenha a solução da equação acima;
3
(b) Suponha f : R2 → R diferenciável; prove que se f satisfaz a equação
acima, então existe φ : R→ R diferenciável tal que f(x, y) = φ(2y −
x).
24. Seja y = f(x) uma função diferenciável de�nida implicitamente pela equação
y3 +xy+x3 = 3x. Determine as equações das retas tangente e normal ao
grá�co de f no ponto (1, 1).
25. Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
xyz + x3 + y3 + z3 = 3z no ponto (1,−1, 2).
26. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule ∂f∂u (1, 1) onde u é o versor de
(a) v = (−1, 1);
(b) v = (1, 2);
(c) v = (1, 1).
27. São dados uma função f(x, y) = x2 + y2, um vetor unitário (a, b) e um
real β > 2. Suponhamos que (1 + sa, 1 + sb) e
(
1 + t√
2
, 1 + t√
2
)
, com
s, t > 0 pertençam à curva de nível f(x, y) = β. Compare a taxa média
se variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) e entre os pontos
(1, 1) e
(
1 + t√
2
, 1 + t√
2
)
.
28. Seja u = (a, b) um vetor unitário dado. Calcule ∂f∂u (0, 0) sendo
f(x, y) =
{
x3
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
29. Sejam f : U ⊆ Rn → R, U aberto, X0 ∈ U e u = (a1, a2, . . . , an) um vetor
unitário. Se f for diferenciável em X0, mostre que f admitira derivada
direcional em X0, na direção do vetor u, e
∂f
∂u
(X0) = ∇f(X0) � u.
30. Seja f(x, y) = x2y. Determine u de modo que ∂f∂u (1, 1) seja máximo. Qual
o valor máximo de ∂f∂u (1, 1) ? Estando-se no ponto (1, 1), que direção e
sentido deve-se tomar a �m que f cresça mais rapidamente?
31. Admita que T (x, y) = x2+3y2 represente uma distribuição de temperatura
no plano xy : T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (suponha T em
oC, x, y em cm).
(a) Estando-se em
(
2, 12
)
, qual a direção e sentido de maior crescimento
da temperatura e qual a taxa deste crescimento?
(b) Estando-se em
(
2, 12
)
, qual a direção e sentido de maior decrescimento
da temperatura e qual a taxa deste decrescimento?
4
32. Suponhamos que T (x, y) = 4x2 + y2 represente uma distribuição de tem-
peratura no plano xy. Determine uma parametrização para a trajetória
descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto (1, 1), sempre
na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.
33. Seja A =
{
(x, y) ∈ R2|5− x2 − 4y2 ≥ 0
}
. Suponhamos que o grá�co de
z = 5− x2− 4y2, (x, y) ∈ A, represente a superfície de um monte. (Adote
o km como unidade de medida.) Um alpinista que se encontra na posição
(1, 1, 0) pretende escalá-lo. Oriente-o segundo uma trajetória que busque
sempre a direção de maior aclive. Esboça a �gura do monte e da trajetória
a ser descrita pelo alpinista.
34. Seja
f(x, y) =
{
x3
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
Mostre que ∂f∂u (0, 0) 6= ∇f(0, 0) � u, onde u =
(
1√
2
, 1√
2
)
.
35. Calcule todas as derivadas parciais até segunda ordem das funções:
(a) f(x, y) = 4x5y4 − 6x2y + 3;
(b) z = ln(1 + x2 + y2;
(c) g(x, y) = ex
2−y2 + sin(xy2) + cos(x2 − y);
(d) h(x, y) = 4x3y4 + y3 + xy.
36. Seja
f(x, y) =
{
x3y
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0).
Calcule ∂
2f
∂x∂y e
∂2f
∂y∂x no ponto (0, 0). Estas derivadas no ponto (0, 0)
satisfazem o Teorema de Schwarz? E fora do (0, 0) satisfaz?
37. Seja u(x, t) = A sin(aλt+ϕ) sin(λx) com A, a, λ e ϕ constantes. Veri�que
que
∂2u
∂t2
= a2
∂2u
∂x2
.
38. Sejam f(x, y) = x5y4, x = 3t e y = 2t + 1. Calcule g′′(t), sendo g(t) =
f(3t, 2t+ 1).
39. Como �cam os teoremas do valor médio e de Taylor para funções de várias
variáveis? Dê exemplos.
40. Seja f(x, y) = 2x− y e seja A = {(x, y) ∈ R2|x, y ≥ 0, x+ y ≤ 3, y ≥ x}.
Estudef com relação a máximo e mínimo no conjunto A.
5
41. Seja {
x2 + y2, x2 + y2 ≤ 4
1− (x− 3)2 − y2, x2 + y2 > 4.
Mostre que (0, 0) é ponto de mínimo local; (3, 0) é ponto de máximo local
e todo (x0, y0) na circunferência x
2 + y2 = 4 é ponto de máximo global de
f . Esboce o grá�co de f para concluir o seu raciocínio.
42. Selecione os candidatos a extremantes locais, sendo f dada por:
(a) f(x, y) = 2x2 + y2 − 2xy + x− y;
(b) f(x, y) = x3 − y2 + xy + 5;
(c) f(x, y) = x4 + y4 + 4x+ 4y;
(d) f(x, y) = x5 + y5 − 5x− 5y.
43. Seja f(x, y) = x3+y
3−3x−3y+4. Calcule os pontos críticos de f e os classi�que-
os com respeito a máximo e mínimo.
44. Deseja-se construir uma caixa, sem tampa, com a forma de um par-
alelepípedo retangular e com vm3 de volume. O material a ser utilizado
nas laterias custa o tríplo do que será utilizado no fundo. Determine as
dimensões da caixa que minimiza o custo do material.
45. Estude com relação a máximos e mínimos locais se a função f é:
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y;
(b) f(x, y) = 3
√
x2 + 2xy + 4y2 − 6x− 12y;
(c) f(x, y) = x2 − y2 − 3xy + x+ 4y;
(d) f(x, y) = x2 + 2y2 + 3xy + 2x+ 2y.
46. Determine o ponto do plano x+2y− z = 4 que se encontra mais próximo
da origem.
47. Duas partículas P1 e P2 deslocam-se no espaço com velocidaes constantes
v1 = (1, 1, 0) e v2 = (0, 1, 1), respectivamente. No instante t = 0 a
P1encontra-se na posição (1, 1, 3). Sabe-se que a trajetória descrita por
P2 passa pelo ponto (1, 1, 0). Qual deverá ser a posição de P2 no instante
t = 0 para que a distância mínima entre elas seja a menor possível?
48. Determinada empresa produz dois produtros, cujas quantidades são indi-
cadas por x e y. Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a
preços unitários P1 e P2, respectivamente, que dependem de x e y conforme
equações:
P1 = 120− 2x, P2 = 200− y.
O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos
produtos é dado por
C = x2 + 2y2 + 2xy.
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Admitindo-se que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado,
determine a produção que maximiza o lucro.
49. Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 12 cuja soma dos quadrados
das distâncias a (0, 0, 0) e (1, 1, 1) seja mínima.
50. Determine o extremante de f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y em A = {(x, y) ∈
R2|0 ≤ x ≤ 2, |y| ≤ 2}.
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