Avaliação de Funções de n-Variáveis

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universidade federal rural do semiárido FUNÇ~OES DE n−VARIÁVEIS - AVALIAÇ~AO 1/3 - 16/08/2021
universidade federal rural do semiárido
centro de ciências exatas e naturais
Prof. Alexsandro Belém Departamento de Matemática
alexsandro.belem@ufersa.edu.br Universidade Federal Rural do Semiárido
1st VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM
FUNÇÕES DE n−VARIÁVEIS – 2021.1
ALUNO: TURMA:
ALUNO: TURMA:
ALUNO: TURMA:
ALUNO: TURMA:
ALUNO: TURMA:
ALUNO: TURMA:
Problema Escores Esc obtidos
A 10
B 10
C 10
D 10
E 10
F 20
G 20
TOTAL 90
1
universidade federal rural do semiárido FUNÇ~OES DE n−VARIÁVEIS - AVALIAÇ~AO 1/3 - 16/08/2021
Importante:
1. Formem grupos de até 6 alunos (sugiro que mantenham os grupos já formados para a lista).
2. Apenas um integrante do grupo envia a prova.
3. A prova tem duração de 4h.
4. Apresente suas soluções de forma clara e bem organizada.
5. Argumentos devem ser cuidadosamente justificados para serem eleǵıveis à pontuação.
6. Respostas sem a devida justificativa não serão consideradas.
7. Respostas enviadas fora do horário permitido pelo sistema não serão aceitas em qualquer hipótese.
8. Respostas que não sejam enviadas em papel A4 branco não serão aceitas em qualquer hipótese.
9. Respostas que não sejam enviadas em um único arquivo no formato .pdf não serão aceitas em qualquer
hipótese.
10. Avaliação individual (por grupo). Cópias não serão aceitas em qualquer hipótese.
A. Supondo que a função T : R2 → R definida por
T (x, y) = 30−
(
x2 +
1
4
y2 +
1
9
z2
)
representa a temperatura nos pontos da região delimitada pelo elipsóide
x2 +
1
4
y2 +
1
9
z2 = 1,
pergunta-se:
1. Em que ponto a temperatura é a mais alta posśıvel?
2. Se uma particula se afasta da origem, deslocando-se sobre o eixo positivo dos x, sofrerá aumento ou
diminuição da temperatura?
3. Em que pontos a temperatura é a mais baixa posśıvel?
B. Seja E um espaço vetorial com produto interno e considere em E a norma induzida por tal produto.
1. Prove a identidade do paralelogramo
||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2), ∀ x, y ∈ E.
(Isso quer dizer que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual a soma dos dos
quadrados dos seus quatro lados.)
2. Prove que a identidade do item anterior não é válida para as normas da soma e do máximo.
3. Conclua que as normas da soma e do máximo não provêm de produto interno algum em Rn.
2
3
C. Seja f : X ⊂ R2 → R. Defina curva de ńıvel de f. Defina o grafico de f . Desenhar algumas curvas de ńıvel
e esboçar o gráfico das seguintes funções
1. f(x, y) = 2x2 + 2y2 2. f(x, y) = 4x2 + y
3. z = x+ y + 1 4. f(x, y) = (x− y)2.
D. Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
1. hélice circular x = 2 cos t, y = 4t, : z = 2 sin t, t ∈ [0, π/2].
2. hipociclóide ~r(t) = (a cos3 t, , a sin3 t), t ∈ [0, π/2].
E. No instante t, a posição de uma part́ıciula no espaço é:
x(t) = t2, y(t) = 2
√
t, z(t) = 4
√
t3
1. Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da part́ıcula.
2. Determinar um vetor tangente à trajetória da part́ıcula no ponto P (1, 2, 4).
3. Determinar a posição, a velocidade e a aceleração da part́ıcula para t = 4.
F. Seja f : R2 → R homogênea e suponha que f(a, b) = 0 para todo (a, b) com a2 + b2 = 1. Prove que
f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
G. Uma função f : X ⊂ R2 → R é chamada homogênea de grau λ quando
f(tx, ty) = tλf(x, y),
para todo t > 0 e todo (x, y) ∈ X tal que (tx, ty) ∈ X. Dizemos ainda que o número λ é o grau
de homogeneidade de f . Seja g : [0, 2π) → R uma função dada. Prove que existe uma única função
f : R2 → R, homogênea de grau λ 6= 0, tal que, para todo α ∈ [0, 2π), f(cosα, sinα) = g(α).
Boa prova!!!
Cada dia é uma chance pra ser melhor que ontem
O sol prova isso quando cruza o horizonte
Vira fonte que aquece, ilumina
Faz igualzinho o olhar da minha menina!
Emicida.
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