lista de exercicios 2

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
campus Poços de Caldas 
Engenharia Elétrica – Automação e Telecomunicação 
 
Sinais e Sistemas 
 
 
 PUC campus Poços de Caldas 1 
 
Segunda Lista de Exercícios – Capítulo 6 – Livro Sinais e Sistemas 
 
 
1. Encontre a série trigonométrica de Fourier para o sinal periódico x(t) mostrado 
abaixo. Esboce o espectro de amplitude e fase de x(t). 
 
 
 
RESPOSTA 
a0 = 0,5 





=
2
nπ
sen
nπ
2
a n bn = 0 
 
2. Encontre a série trigonométrica de Fourier para o sinal periódico x(t) mostrado 
abaixo. Esboce o espectro de amplitude e fase de x(t). 
 
 
 
RESPOSTA 
a0 = 0 an = 0 





=
2
nπ
sen
nπ
A8
b
22n
 
 
3. Considere o circuito retificador de meia onda mostrado na figura com o 
correspondente sinal de saída vO(t), dado um sinal de entrada vI(t) senoidal: 
 
 
 
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a. Obtenha os termos da série trigonométrica de Fourier compacta. 
b. Esboce o espectro de amplitude e fase deste sinal. 
 
RESPOSTA 
a0 = A/π ( )
parnp/,
n1π
2A
a
2n
→
−
= 0=nb 
 
4. Considere o circuito retificador de onda completa mostrado na figura abaixo com 
o correspondente sinal de saída vO(t), dado um sinal de entrada vI(t) senoidal. 
 
 
 
a. Obtenha os termos da série trigonométrica de Fourier compacta. 
b. Esboce o espectro de amplitude e fase deste sinal. 
 
RESPOSTA 
a0 = 2/π ( )2n 4n1π
4
a
−
= 0=nb 
 
5. Para cada um dos sinais mostrados nas figuras abaixo, encontre a série 
trigonométrica de Fourier compacta e esboce o espectro de amplitude e fase. Se 
os termos seno ou cosseno forem anulados na série de Fourier, explique por que. 
 
(a) 
 
 
(b) 
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(c) 
 
 
(d) 
 
RESPOSTA 
(a) a0 = 0,5 an = 0 
nπ
1
bn −= 
( ) 





+





++





++





++= 
2
π
3tcos
3
1
2
π
2tcos
2
1
2
π
tcos
π
1
0,5tx 
 
(b) a0 = 0 an = 0 





−=
2
nπ
cos
2
nπ
sen
nπ
2
nπ
2
bn 
 ( ) +





++





++





−+





−=
2
π
8tcos
2π
1
2
π
6tcos
9π
4
2
π
4tcos
π
1
2
π
2tcos
π
4
tx
22
 
 
(c) a0 = 1/6 





−+= 1
3
n2π
sen
3
n2π
3
n2π
cos
n2π
3
a
22n
 





−=
3
n2π
cos
3
n2π
3
n2π
sen
n2π
3
b
22n
 
 
(d) a0 = 0,5 bn = 0 





−=
3
n2π
cos
3
nπ
cos
nπ
6
a
22n
 
( ) ( ) 





+++−++= t
3
7π
cos
49
1
t
3
5π
cos
25
1
ππtcos
9
2
t
3
π
cos
π
6
0,5tx
2
 
 
6. Encontre a série trigonométrica de Fourier para x(t) mostrado na figura abaixo. 
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RESPOSTA 
a0 = 0,504 





+
=
2n 16n1
2
0,504a 





+
=
2n 16n1
8n
0,504b 
 
7. (a) Encontre a série trigonométrica de Fourier para y(t) mostrado na figura. 
(b) O sinal y(t) pode ser obtido pela reversão temporal de x(t) do exercício 6. Use 
este fato para obter a série de Fourier de y(t) à partir do resultado do exercício 4. 
Verifique que a série de Fourier obtida desta forma (reversão temporal) é 
idêntica a obtida em (a). 
 
 
RESPOSTA 
a0 = 0,504 





+
=
2n 16n1
2
0,504a 





+
−=
2n 16n1
8n
0,504b 
 
8. (a) Encontre a série trigonométrica de Fourier para y(t) mostrado na figura abaixo. 
(b) O sinal y(t) pode ser obtido pela compressão temporal, por um fator de 2, de 
x(t) do exercício 6. Use este fato para obter a série de Fourier de y(t) à partir do 
resultado do exercício 2. Verifique que a série de Fourier obtida desta forma 
(compressão temporal) é idêntica a obtida em (a). 
 
 
 
RESPOSTA 
a0 = 0,504 





+
=
2n 16n1
2
0,504a 





+
=
2n 16n1
8n
0,504b 
 
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9. Se duas metades de um período de um sinal periódico são idênticas na forma 
exceto que uma metade é o negativo da outra, o sinal periódico é dito ter uma 
simetria de meia-onda. Se o sinal periódico x(t) com período T0 satisfaz a 
condição de simetria de meia-onda, então 
 
( )tx
2
T
tx 0 −=





− 
 
Neste caso, mostre que todas as harmônicas de número par desaparecem e que 
os coeficientes das harmônicas de número impar são dados por 
 
( ) ( )=
2
T
0
0
0
n
0
dttnωcostx
T
4
a e ( ) ( )=
2
T
0
0
0
n
0
dttnωsintx
T
4
b 
 
Usando estes resultados, encontre a série de Fourier para os sinais periódicos 
mostrados abaixo. 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
RESPOSTA 
(a) a0 = 0 ímparnp/,1
2
nπ
sen
2
nπ
nπ
4
a
22n
→





−= 
ímparnp/,
2
nπ
sen
nπ
4
b
22n
→= 
(b) a0 = 0 
0,01n
0,0465
a
2n +
= 
0,01n
1,461n
b
2n +
= (Verificar) 
 
 
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10. Encontre a série exponencial de Fourier da função: 
 
( ) t3etf = , se ( )π20,t , e ( ) ( )tfπ2tf =+ , t . 
 
RESPOSTA 
( )
( )

+
−= −
−
=
n
jnt6π
πj2n6π
e1e
tf 
 
11. Ache os coeficientes da série exponencial de Fourier e esboce o espectro de 
frequências (amplitude e fase) da função dente de serra definida por: 
 
( )
2
1
t
T
1
-tf += , se Tt0  , e ( ) ( )tfTtf =+ , t . Observe que esta função f(t) 
possui valor médio igual a zero. 
 
RESPOSTA 
0D,
nπ2
j
D 0n == 
 
12. Ache a série exponencial de Fourier da função dente de serra definida por: 
 
( ) t
T
A
tf = , se Tt0  , e ( ) ( )tfTtf =+ , t . 
 
RESPOSTA 
( )






++
−=
+= 2
π
tnωj
n
0
e
n
1
2π
A
2
A
tf (Verificar) 
 
13. Encontre a série exponencial de Fourier da função periódica ( )tf , resultante da 
retificação completa de uma onda senoidal, definida por: 
 
( ) ( )πtAsentf = , se 1t0  , e ( ) ( )tf1tf =+ , t . 
 
RESPOSTA 
( ) 
+
−= −
=
n
ntj2π
2
e
14n
1
π
2A
-tf
 
 
 
 
 
 
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14. O espectro da série trigonométrica de Fourier de um sinal periódico x(t) é 
mostrado abaixo. Por inspeção, esboce o espectro da série exponencial de 
Fourier. Obtenha também a largura de banda e largura espectral do espectro 
exponencial. 
 
 
 
15. Considere o espectro de Fourier (amplitude e ângulo), obtido através da série 
trigonométrica de Fourier, de um determinado sinal x(t) mostrado na figura 
abaixo. 
 
 
 
a. Esboce o espectro de Fourier obtido pela série exponencial de Fourier. 
b. Calcule a potência do sinal através do espectro de Fourier obtido pela sérietrigonométrica. 
c. Calcule a potência do sinal através do espectro de Fourier obtido pela série 
exponencial.