TRANSFORMADA DE FOURIER

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CAPÍTULO 2
TRANSFORMADA DE FOURIER
PARTE 2
ZATTAR
Espectros discretos de frequência
Sinal simples no domínio da frequência
Se t é a variável tempo, um sinal sinusoidal simples s = s(t) pode ser escrito na forma
O sinal depende de 2 parâmetros:
C1 = C1(w) é a amplitude em função de w.
2. = (𝞠) é o ângulo de fase em função de (w)
Com estas funções, é possível estudar o sinal s = s(t) em função da frequência angular w, donde provém o nome sinal no domínio da frequência.
Motivos para estudar espectros de Fourier
1. Series de Fourier são utilizadas no estudo de sinais periódicos, enquanto que Transformadas de Fourier são utilizadas no estudo de sinais não periódicos
2. Séries de Fourier e Transformadas de Fourier, quando usadas em conjunto, são adequadas para estudar o espectro de um sinal.
3. O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a frequência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo além de informar a medida da frequência do sinal.
4. A série de Fourier com coeficientes reais parece dar a impressão que pode ser obtida mais facilmente do que a série de Fourier com coeficientes complexos.
 A série complexa de Fourier possui as características matemáticas do sinal de uma forma mais sintética.
série complexa de Fourier permite obter mais facilmente a fase e a amplitude do sinal.
Represente as amplitudes e fase no domínio da frequência
A informação essencial sobre os harmônicos de um sinal periódico consiste de seus módulos, seus ângulos de fase e suas frequências e tudo isso pode ser resumido por um conhecimento de Cn e Wo = 2 /T conforme equação:
 Cn(y) = H(jkWo)] ejkWot
Transformada de Fourier
Enquanto que as séries de Fourier eram definidas apenas para sinais periódicos, as Transformadas de Fourier são definidas para uma classe de sinais muito mais ampla. 
Devido ao fato que os sinais senoidais são diferenciáveis, a transformada de Fourier permite representar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes na forma de equações algébricas ordinárias. 
Outro detalhe: as transformadas de Fourier tornam a
 operação de convolução em multiplicações simples. 
No estudo processamento do sinal e de imagem, convolução é um operador linear que, a partir de duas funções dadas, resulta numa terceira que mede a soma do produto dessas funções ao longo da região subentendida pela superposição delas em função do deslocamento existente entre elas. 
O conceito de convolução está ligado à integral de superposição de Fourier, no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo, às funções de correlação e de autocorrelação em estatística e em processamento de sinais, e a diversos conceitos usados em análise de imagens, como digitalização de imagens.
Transformadas de Fourier para sinais contínuos
A série de Fourier só se aplica a sinais periódicos. Sinais que não são periódicos (ditos sinais “aperiódicos”) têm uma outra representação com a transformada de Fourier. 
Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito. 
Mas na série de Fourier, quando o período T de um sinal periódico aumenta, a frequência ωo.
diminui, e o termos harmonicamente relacionados ficam mais próximos na frequência. 
Ou seja, quando o período T cresce, 
e por conseguinte a frequência wo diminui
As componentes em frequência (os ck ‘s) formam um contínuo, e o somatório da série de Fourier deste sinal se converte em uma integral.
Considere portanto um sinal contínuo x(t) pertencente a C {conjunto dos números complexos}.
O sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária.
A transformada de Fourier deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:
Permite expressar o sinal x(t), o que não era possível com a série de Fourier se o sinal não fosse periódico, como:
 
 
 Equação de síntese ou fórmula da transformada inversa de Fourier.
 Onde X(jw) é a transformada de Fourier de x(t):
 
 fórmula da transformada de Fourier ou equação de análise.
A transformada de Fourier é uma função de w (ou de jw) e, de certa forma, generaliza a série de Fourier.
Quanto à convergência destas integrais, é possível mostrar que estas fórmulas são válidas para uma classe bastante ampla de sinais de duração infinita.
Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos
conhecidos