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Exercícios de Física II
Oscilações, Estática e Dinâmica dos Fluidos
September 23, 2020
1 Mostre que uma partícula solta em um túnel
que atravesse a Terra, conforme mostra a �gura,
irá executar um MHS. Determine o período do
movimento
A força restauradora é
F = −mg cos θ = −mg
RT
y
onde RT é o raio da Terra.
−mg
RT
y = mÿ
ÿ +
mg
RT
y = 0
1
Com isso identi�camos ω =
√
mg
RT
e, por �m
T =
2π
ω
= 2π
√
RT
mg
2 Determine a equação de movimento harmônico
de uma particula cujos deslocamentos são 0,
√
3
2
cm e −32 cm, rspectivamente em t1 = 1s,t2 = 2s e
t3 = 3s.
Seja a solução geral do MHS
x(t) = a sin (ωt+ ϕ)
Para t1 = 1s
0 = a sin (ω + ϕ)
ϕ = −ω
Da mesma forma para os outros intantes
√
3
2
= a sin (2ω + ϕ) = a sinω (1)
−3
2
= a sin (3ω + ϕ) = a sin 2ω = 2a cosω sinω (2)
Substituindo (1) na equação (2),
−3
2
= 2 cosω
√
3
2
cosω =
−
√
3
2
=⇒ ω = 5π
6
Usando esse resultado em (1)
√
3
2
= a sin
5π
6
=⇒ a =
√
3cm
Por �m
x(t) =
√
3 sin
(
5πt
6
− 5π
6
)
2
3 Um cilindro de madeira, de massa m e seção
transversal A, �utua verticalmente em um líquido
de densidade ρ com parte de seu comprimento
submerso. Quando em repouso, um compri-
mento Y permanece dentro do líquido. Ao em-
purrarmos levemente o cilindro para dentro do
líquido e soltarmos, ele passa a executar um
movimento harmônico. Determine o período
desse movimento.
No equilíbrio o peso se iguala ao empuxo (nesse caso o empuxo produzido pela
parte submersa que tem comprimento Y)
P = E(Y )
mg = ρgV = ρgY A
Fora do equilíbrio
E(Y + y)− P = −ma
E(Y ) + E(y)− P = −mÿ
ρgY A+ ρgyA−mg = −mÿ
ρgyA = −mÿ
ÿ +
ρgA
m
y = 0
indenti�camos então ω =
√
ρgA
m
T =
2π
ω
= 2π
√
m
ρgA
3
4 Um disco de massa M = 200 g é pivotado em
O e livre para girar ao redor de um eixo hor-
izontal que passa por esse ponto. Uma massa
m = 20 g e uma mola de constante k = 1960
N/m são conectadas por um �o que passa ao
redor do disco. O �o não desliza. Se a massa
m é deslocada para baixo ligeiramente e solta,
o sistema começa a oscilar. Determine a fre-
quência das oscilações.
Ao esticar a mola de um comprimento x, uma energia 12kx
2é armazenada. Ao
soltarmos a massa, essa energia é transformada em energia cinética translacional
e rotacional, ou seja
1
2
kx2 =
1
2
mv2 +
1
2
Iω2
4
onde I é o momento de inercia do disco em relação ao eixo que passa por O.
Usando I = 12MR
2
1
2
mv2 +
1
2
(
1
2
MR2
)
ω2 =
1
2
kx2
(
m+
M
2
)
v2 =
1
2
kx2
sendo R o raio do disco e onde usamos R2ω2 = v2.
Agora fazemos um pequeno �truque� matemático. Vamos derivar a expressão
acima em relação ao tempo(
m+
M
2
)
2v
dv
dt
= 2kx
dx
dt
ou
dv
dt
= ẍ =
−kx(
m+ M2
)
ẍ+
k
m+ M2
x = 0
Onde o sinal negativo foi introduzido uma vez que o deslocamento e a acel-
eração são em sentidos opostos. Por �m, identi�camos
ω =
√
k
m+ M2
ω = 20, 35cm/s
5