Ensino Remoto Calculo III - Lista de Exercícios 7

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Mat 002: Cálculo Diferencial e Integral III
LISTA DE EXERCÍCIOS 7
1. Integrais de Linha
1.1 Calcule a integral de linha
∫
C
(
x2y
)
ds, onde C é parametrizada por x(t) =
cos(t), y(t) = sin(t), z(t) = t, 0 ≤ t ≤ π
2
.
(
Resposta:
√
3
2
)
1.2 Calcule a integral de linha
∫
C
x2y dx+(x−2y) dy, onde C esta parametrizada
por (a) r(t) = (t, t2), 0 ≤ t ≤ 1; (b) r(t) =
(
sin(t) sin2(t)
)
, 0 ≤ t ≤ π
2
.(
Resposta: − 2
15
; − 2
15
)
1.3 Calcule a integral de linha
∫
C
xy2 dx−
(
x+y
)
dy, onde C é o arco de parábola
y = 2x2 ligando (0, 0), (1, 2).
(
Resposta: −8
3
)
1.4 Calcule a integral de linha
∫
C
1
y
dx + 1
x
dy, onde C é a parte da hipérbole
xy = 4 de (1, 4) a (4, 1).
(
Resposta: 0
)
1.5 Calcule a integral de linha
∫
C
(
x + 2y
)
dx + x2 dy, onde C é composto dos
segmentos de retas ligando (0, 0) a (2, 1) e (2, 1) a (3, 0).
(
Resposta: 5
2
)
1.6 Calcule a integral de linha
∫
C
xyeyz dy, onde C está parametrizada por x = t,
y = t2, z = t3, 0 ≤ t ≤ 1.
(
Resposta: 2
5
(e− 1)
)
1.7 Calcule a integral de linha
∫
C
z2 dx+ x2 dy + y2 dz, onde C consiste no seg-
mento de reta ligando (1, 0, 0) a (4, 1, 2).
(
Resposta: 35
3
)
1.8 Calcule a integral de linha
∫
C
F· dr, onde F(x, y) = xy2i−x2j, r(t) = t3i+t2j,
0 ≤ t ≤ 1.
(
Resposta: 1
20
)
1.9 (Revertendo Orientação) Calcule a integral de linha
∫
C
F· dr, onde F(x, y) =
(−y, x) e (a) r(t) =
(
cos(t), sin(t)
)
, 0 ≤ t ≤ π; (b) r(t) =
(
cos(t+π), sin(t)
)(
Resposta: π;−π
)
1.10 Se F(x, y) = yi−xj
x2+y2
, calcule
∫
C
F · dr de (−1, 0) a (1, 0)
(a) ao longo do semi-ćırculo y =
√
1− x2 (Resposta: π)
(b) ao longo da linha quebrada ligando (−1, 0) até (0, 1) até (1, 1) até (1, 0).
(Resposta: π)
1
2
1.11 Uma part́ıcula move sobre o arco da cicloide r(t) =
(
t− sin(t) , 1− cos(t)
)
,
0 ≤ t ≤ 2π sob a ação do campo de força F(x, y) = xi + (y + 2)j. Calcule o
trabalho feito.
(
Resposta: 2π2
)
1.12 A posição de um objeto com massa 2 no instante t é r(t) =
(
3
2
t2 , 4
3
t3
)
,
0 ≤ t ≤ 1.
(a) Qual é a magnitude da força que atua sobre o objeto no instante t
(Resposta: 10)
(b) Qual o trabalho feito pela força durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1.
(Resposta: 25)
2. Teorema Fundamental Integrais de Linha
2.1 Determine se o campo vetorial F é ou não conservativo. Se for, determine
uma função f tal que ∇f = F.
(a) F(x, y) = (xy + y2)i + (x2 + 2xy)j
(b) F(x, y) = y2exyi + (1 + xy)exyj
(c) F(x, y) =
(
yex + sin(y)
)
i +
(
ex + x cos(y)
)
j
(d) F(x, y) =
(
3x2 − 2y2
)
i +
(
4xy + 3
)
j
2.2 Determine uma função f tal que F = ∇f e calcule
∫
C
F · dr sobre a curva
C dada.
(a) F(x, y) = x2y3i + x3y2j, C: r(t) = (t3 − 2t, t3 + 2t), 0 ≤ t ≤ 1 .
(Resposta: −9)
(b) F(x, y, z) = yz exzi + exzj + xy exzk, C: r(t) = (t2 + 1)i + (t2 − 1)j +
(t2 − 2t)k, 0 ≤ t ≤ 2. (Resposta: 4)
2.3 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral∫
C
tan(y) dx+ x sec2(y) dy,
C é qualquer caminho de (1, 0) a (2, π
4
). (Resposta: 2)
2.4 Seja F(x, y) = yi−xj
x2+y2
.
(a) Calcule ∂P
∂y
− ∂Q
∂x
. (Resposta: 0)
3
(b) Calcule
∫
C
F · dr de (−1, 0) a (1, 0) ao longo do semi-ćırculo inferior
y = −
√
1− x2. Use exerćıcio 1.10 para concluir que
∫
C
F · dr não é
independente do caminho. (Resposta −π)
2.5 Suponha que uma part́ıcula de massa m move no plano-xy sob a influência
do campo gravitacional constante F = mg j. Se a part́ıcula move do ponto
(x1, y1) até o ponto (x2, y2) ao longo de um caminho C, mostre que o trabalho
feito por F será
W = mg
(
y1 − y2
)
,
independente do caminho C.
2.6 A partir do gráfico de F você diria que o campo vetorial é conservativo?
Justifique.
(a)
(b)
4
2.7 (a) Encontre um potencial para o campo gravitacional
F(x, y) = −mG
(
x
(x2 + y2)3/2
,
y
(x2 + y2)3/2
)
.
(b) Se uma part́ıcula está a uma altura h da curva x2 + y2 = 1, calcule o
trabalho feito por F para trazer a part́ıcula até a curva. Assuma que
h << 1. (Resposta: ≈ mGh)
2.8 Calcule
∫ (1,1)
( 1
2
, 1
4
)
cos(x) sin(
√
y)dx+
1
2
√
y
sin(x) cos(
√
y)dy, Resposta:
cos(1)− cos(2)
2
3. Teorema de Green
3.1 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando
Teorema de Green:
(
Resposta: 2
3
)
∮
xy dx+ x2y3 dy, C triângulo de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 2)
3.2 Calcule a integral de linha usando Teorema de Green ao longo da curva com
orientação positiva∫
C
(
y + e
√
x
)
dx+
(
2x+ cos(y2)
)
dy,
C é o limite da da região englobada pelas parábolas y = x2 e x = y2.
(Resposta: 1
3
)
3.3 Calcule a integral de linha usando Teorema de Green ao longo da curva com
orientação positiva ∫
C
y3 dx− x3 dy,
C é o ćırculo x2 + y2 = 4 (Resposta: −24π)
3.4 Use o Teorema de Green para calcular a integral
∫
C
F · dr, onde
F(x, y) =
(
y − cos(y), x sin(y)
)
,
C é o ćırculo (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4 com orientação no sentido horário.
(Resposta: 4π)
5
3.5 (a) Use o Teorema de Green para calcular a área sob um arco da cicloide
x = t− sin(t), y = 1− cos(t). (Resposta: 3π)
(b) Calcule a área limitada pela curva astroide x = 2 cos3(θ), y = 2 sin3(θ),
0 ≤ θ ≤ 2π. (Resposta: 3
2
π)
3.6 Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde
F(x, y) =
2xy i + (y2 − x2) j
(x2 + y2)2
e C é a curva fechada abaixo. Dica use Teorema de Green para fazer o
cálculo no ćırculo C1. (Resposta 0)