Aula_01_-ISOSTATICA (1)

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Engenharia Civil
Isostática
INTRODUÇÃO
Profª Irene Joffily
Engenharia Civil
Conceitos 
Uma estrutura é definida com uma composição de
peças, ligadas entre si e ao meio externo de modo a
formar um sistema em equilíbrio.
Deve:
• Receber solicitações externas (cargas)
• Absorvê-las internamente
• Transmiti-las aos seus apoios ou vínculos
• Deve existir forças externas equilibrantes (reações)
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Engenharia Civil
Conceitos 
Os elementos que
constituem as estruturas
são:
• Vigas
• Lajes
• Paredes
• Pilares
• Sapatas e blocos
Os elementos estruturais devem apresentar as propriedades
de resistência e rigidez, ou seja, serem capazes de resistir as
cargas sem se romper e sem grandes deformações.
Engenharia Civil
Conceitos 
Resistência: capacidade de transmitir as forças
internamente, sem que ocorra a ruptura da peça. Para
sua análise é necessário determinar:
• Esforços solicitantes internos
• Tensões internas
Rigidez: capacidade de não deformar excessivamente,
de forma a não comprometer o funcionamento e
aspecto da peça.
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Engenharia Civil
Conceitos 
Representação gráfica
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Pórtico planoViga Treliça
Grelha
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Pórticos espaciais
Cabos
Arcos
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Viga: é um elemento unifilar (eixo bem definido). É
um modelo estrutural cujas barras estão todas em
um mesmo eixo.
Geralmente está associada a transferências de
cargas verticais, mas cargas horizontais podem
atuar.
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Treliças: modelo estrutural reticulado que tem
todas as ligações entre barras articuladas.
Apresenta apenas esforços normais (tração ou
compressão)
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Grelhas: modelo estrutural reticulado. Modelos
planos com cargas na direção perpendicular ao
plano.
Geralmente é utilizado para representar o
comportamento de um pavimento de um edifício.
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Cabos e arcos: modelos que têm elementos
estruturais com eixos bem definidos e que, por
hipótese, estão submetidos à tração pura ou
compressão pura, respectivamente.
Engenharia Civil
Força
É uma grandeza vetorial e precisa ter:
• Direção
• Sentido
• Intensidade
• Ponto de aplicação
No espaço, pode ser
caracterizada por suas
componentes: Fx, Fy e Fz
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Engenharia Civil
Momento
É também uma grandeza vetorial com:
• Direção
• Sentido
• Intensidade
• Ponto de aplicação
Representa a tendência de rotação em torno de
um ponto, provocada por uma força. No espaço,
tem-se os momentos Mx, My e Mz
Engenharia Civil
Momento
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Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Solicitação externa: são determinadas em função
da finalidade da estrutura , de acordo com as
normas:
• NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de
edificações
• NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações
São classificadas quanto à posição, à duração, à
forma de aplicação e à variação com o tempo.
Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Quanto à posição:
• Fixas: que não mudam de posição
• Móveis: cargas que mudam de posição – veículos
Quanto à duração:
• Permanentes: peso próprio
• Acidentais: sobrecarga de pessoas, móveis, cargas
de vento
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Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Quanto à forma de aplicação:
• Concentradas: pontual, devido à simplificação de
cálculo
• Distribuídas: transmissão de uma força de forma
distribuída ao longo de um comprimento ou
superfície
Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Quanto à variação com o tempo:
• Estáticas: não variam com o tempo
• Dinâmicas: quando ocorre variação ao longo do
tempo – explosões e terremotos
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Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Peso próprio:
Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Cargas acidentais:
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Engenharia Civil
Esforços ou Ações
Engenharia Civil
Esforços ou Ações
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Engenharia Civil
Exemplo:
Determine o carregamento de uma viga de 5 m e
seção transversal de 20 x 50 cm, considere:
1) Peso próprio da viga
2) Uma parede com bloco cerâmico (9 cm) e altura de 3 m,
apoiada em toda a viga
3) Reboco de 2 cm nos dois lados da parede
Esforços ou Ações
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Ligações internas
As ligações entre as barras de um pórtico são
consideradas perfeitas (ligações rígidas).
Porém pode existir ligações articuladas (rótulas),
permitindo o giro independente das barras.
Uma rótula não é capaz de transferir momento, apenas
cortante e normal – condição adicional de equilíbrio
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Ligações internas - rótulas
- Zera o momento fletor em um determinado ponto da
viga
- Pode transformar uma viga hiperestática em
isostática
- Somente as vigas hiperestáticas podem ser rotuladas
- Para evitar esforços adicionais provenientes de
recalques diferenciais de apoios, variação de
temperatura, etc
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Ligações internas - rótulas
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios – Aparelho de apoio
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Ligações internas
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
A ligação de um modelo estrutural com o meio externo
é considerada através de apoios, que representam
condições de suporte nos pontos de contato externo.
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
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Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
Nem sempre é uma aproximação razoável considerar
que uma restrição ao deslocamento ou rotação é
completa. Existem apoios que oferecem restrições
apenas parciais.
Engenharia Civil
Modelo de estruturas reticuladas
Apoios
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Engenharia Civil
Exemplo
Determine as reações de apoio.
Engenharia Civil
Exemplo
Determine as reações de apoio.
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Engenharia Civil
Esforços internos
Representam as forças e momentos atuantes entre
partes separadas por um corte em uma seção
transversal da estrutura.
• N – esforço normal
• Q – esforço cortante
• M – momento fletor
• T – momento torçor
Esforços ou Ações
Engenharia Civil
Esforços internos
Esforços ou Ações
Esforços resistentes internos (ERI) > esforços solicitantes internos (ESI)
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Engenharia Civil
Esforços internos solicitantes
FORÇAS NORMAIS DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
FORÇA TANGENCIAL
Engenharia Civil
Esforços internos solicitantes
MOMENTO FLETOR
MOMENTO DE TORÇÃO
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Engenharia Civil
Esforços internos solicitantes
Engenharia Civil
Esforços internos solicitantes
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Engenharia Civil
Esforços
ESFORÇOS ATIVOS: 
forças e momentos 
fletores e de torção
ESFORÇOS REATIVOS
ESFORÇOS INTERNOS 
SOLICITANTES
ESFORÇOS INTERNOS 
RESISTENTES
Força normal (tração ou compressão)
Força tangencial à seção
Momento fletores
Momentos de torção
Tensão de compressão
Tensão de tração
Tensão de cisalhamento
Tensão de torção
Engenharia Civil
Exemplo
Determine os esforços internos nos pontos A e B para a
viga abaixo:
Esforços internos solicitantes
A B
1 m
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Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Quanto a estabilidade as estruturas podem ser
classificadas em:
• Estáveis: o sistema de força reativas equilibrar o
sistema de forças ativas. As forças reativas não
podem ser paralelas ou concorrentes.
• Instáveis: as forças reativas são insuficiente ou
formarem um sistema paralelo ou concorrente
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Quanto ao equilíbrio estático, as estruturas em barras
são classificadas em:
• Hipostáticas
• Isostáticas
• Hiperestáticas
Instáveis
Estaticamente determinadasEstaticamente indeterminadas
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Engenharia Civil
Equilíbrio global
Pela 2ª lei de Newton, as resultantes de forças e
momentos, englobando cargas externas e reações de
apoio, devem ser nulas
• ΣFx = 0
• ΣFy = 0
• ΣFz = 0
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
• ΣMx = 0
• ΣMy = 0
• ΣMz = 0
Engenharia Civil
Classificação das estruturas – Método A
No cálculo das reações de apoio, verifica-se as
seguintes opções:
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
• Mais de uma solução
• Solução única
• Mais incógnitas que equações
Estrutura hipostática
Estrutura isostática
Estrutura hiperestática
nº de reações < nº de equações
nº de reações = nº de equações
nº de reações > nº de equações
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Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Classificação das estruturas – Método A
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
g = número de incógnitas – número de equações 
Estrutura hipostática
g = ge - giou
g < 0 
Estrutura isostáticag = 0 
Estrutura hiperestáticag > 0 
Classificação das estruturas – Método A
Onde:
g = grau de estaticidade
ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio
externo e interno
gi = número de incógnitas internas
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Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Estrutura hipostática
g = ge - gi
ou
g < 0 
Estrutura isostáticag = 0 
Estrutura hiperestáticag > 0 
Classificação das estruturas – Método A
Engenharia Civil
Graus de liberdade (GL)
São o número de movimentos rígidos possíveis e
independentes que um corpo pode executar.
Estruturas submetidas a forças atuantes em um só
plano, por exemplo xy possuem 3 graus de liberdade
� 2 translações (na direção dos dois eixos)
� 1 rotação (em torno do eixo perpendicular ao plano que
contém as forças externas)
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Classificação das estruturas – Método B
Obs: a rótula representa duas restrições
(similar a um apoio do segundo gênero)
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Engenharia Civil
Estrutura: Número de barras x 3 graus de liberdade
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
g = número de restrição - graus de liberdade
Graus de liberdade (GL)
Classificação das estruturas – Método B
Estrutura hipostáticag < 0 
Estrutura isostáticag = 0 
Estrutura hiperestáticag > 0 
g = gR – n.3
ou
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ____ 
ISOSTÁTICA
3
3
0
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ____ 
ISOSTÁTICA
3
1x3
0
Classificação das estruturas
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Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ___ 
HIPERESTÁTICA
4
3
1
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ____ 
HIPERESTÁTICA
4
1x3
1
Classificação das estruturas
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ____ 
ISOSTÁTICA
4
4
0
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ____ 
ISOSTÁTICA
6
2x3
0
Classificação das estruturas
31
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ____ 
ISOSTÁTICA
3
3
0
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ____ 
ISOSTÁTICA
3
1x3
0
Classificação das estruturas
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ____ 
HIPERESTÁTICA
6
5
1
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ___ 
HIPERESTÁTICA
10
3x3
1
Classificação das estruturas
32
Engenharia Civil
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Método A
ge = ____ 
gi = ____ 
g = ge – gi = ____ 
ISOSTÁTICA
3
3
0
Método B
ge = ____ 
gl = ____ 
g = ge – gl = ____ 
ISOSTÁTICA
3
1x3
0
HIPOSTÁTICA HIPOSTÁTICA
Classificação das estruturas
Engenharia Civil
Estruturas isostáticas
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
?
Estruturas isostáticas instáveis ou hipostáticas
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Engenharia Civil
Estruturas isostáticas
Estaticidade e Estabilidade das estruturas
Engenharia Civil
Estruturas hiperestáticas
Estaticidade e Estabilidade das estruturas