Cálculo II - Aula 8 - DERIVADAS PARCIAIS

Prévia do material em texto

Cálculo II 
Aula 8: 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Derivadas 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
Consideremos os seguintes enunciados: 
 
1. Dados o paraboloide 𝑧 = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑦 = 2, cuja visualização no 
primeiro octante é obtida como mostra a figura abaixo. Denotamos por 𝐶 a curva 
resultante da interseção dessas superfícies. Dado um ponto 𝑃 dessa curva, por 
exemplo, 𝑃 1,2,11 , como calculamos a inclinação da reta tangente à curva 𝐶 em 
𝑃? 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
Analisando a situação anterior, observamos que estamos diante de funções de duas 
variáveis e de situação que nos faz lembrar a interpretação geométrica da derivada 
de uma função de uma variável e de taxa de variação, respectivamente. 
 
A ideia a ser usada nessa e em outras situações similares, para que obtenhamos 
respostas para o enunciados é fazer uma análise considerando que apenas uma 
variável se modifica, enquanto todas as outras são mantidas fixas. Este 
procedimento nos leva à definição de derivadas parciais. 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções 
de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas 
deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. 
 DEFINIÇÃO: 
A Derivada Parcial de 𝑓 em relação 
a 𝑥 em um ponto (𝑥, 𝑦) é definida 
como sendo o valor do limite 
 
 
 
 
A Derivada Parcial de 𝑓 em relação 
a 𝑦 em um ponto (𝑥, 𝑦) é definida 
como sendo o valor do limite 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 A Técnica das Derivadas Parciais: 
A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a 
derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. 
𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
→ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
→ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcule as derivadas parciais de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 + 𝑦3 − 4𝑥3𝑦4 + 7 
 
R.: 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
= 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟒 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= 𝟑𝑦2 − 𝟏𝟔𝒙𝟑𝒚𝟑; 
 
 
 
2. Calcule as derivadas parciais das funções a seguir: 
 
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2𝑦3 − 7𝑥3 + 2𝑦4 − 6 
b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (6𝑥2 + 𝑦3) 
c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 5𝑥3 cos 𝑦 + 2 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva 
no ponto dado. Nas funções do tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) de duas variáveis, a derivada em relação a 
x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0) e numa 
seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x 
constante. 
 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Esta reta tangente tem 
coeficiente angular f (x0, 
y0) 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
Eixo vertical no 
 plano x = xo 
 Reta tangente 
A curva z = f (x, y0) 
no plano x = xo 
Eixo horizontal no 
plano 
x = xo 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA 
Eixo horizontal no 
plano y = yo 
A curva z = f (x, y0) 
no plano y = yo 
Reta tangente 
Eixo vertical no 
plano y = yo 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
Uma função 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 é dita diferenciável em um ponto (𝑥0, 𝑦0) se esta 
função é contínua em (𝑥0, 𝑦0) e se possui derivadas parciais neste ponto 
𝑥0, 𝑦0 . 
Assim a diferencial total de 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 é: 
𝑑𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 𝑑𝑦 
 DIFERENCIAL TOTAL 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DIFERENCIAL TOTAL 
A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem 
contínuas. A diferencial de uma função 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) de 𝑛 variáveis é: 
EXERCÍCIOS 
1) Calcule a diferencial da função f 𝑥, 𝑦 = x + 𝑥𝑦 no ponto (1,1). 
 SOLUÇÃO: 𝑑𝑓 1,1 =
3
2
𝑑𝑥 +
1
2
𝑑𝑦 
 
2) Dado um retângulo de medidas: 4cm e 2cm, calcule um valor aproximado para a 
variação da área deste retângulo quando suas medidas são codificadas de 4cm e 2cm para 
4,01 cm e 2,001 cm, respectivamente. 
SOLUÇÃO: 𝑑𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝐴
𝜕𝑦
𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 
 Para 𝑥 = 4𝑐𝑚 𝑒 ∆𝑥 = 4,01 − 4 = 0,01𝑐𝑚 
 𝑦 = 2𝑐𝑚 𝑒 ∆𝑦 = 2,001 − 2 = 0,001𝑐𝑚 
 Temos: 𝑑𝐴 = 2 ∗ 0,01 + 4 ∗ 0,001 = 0,0024𝑐𝑚2 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são 𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝑓𝑦 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas 
parciais de segunda ordem, que são representadas por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 
OBSERVAÇÃO: 
 
Quando o somatório das derivadas parciais de segunda ordem de uma 
função 𝑓(𝑥, 𝑦) é igual a zero, dizemos que a função é harmônica. 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦2
= 0 
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 . 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
EXEMPLO: 
 
Calcule 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑥2
, 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦2
, 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑥𝜕𝑦
 para 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥 cos 𝑦 
 
𝜕𝑓 
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒𝑥 + cos 𝑦 ; 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑥2
= 𝑦𝑒𝑥; 
 
𝜕𝑓 
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦; 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦2
= −𝑥 cos 𝑦 ; 
 
 
𝜕2𝑓 
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 𝑒𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DERIVADAS IMPLÍCITAS 
Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma 
variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de 
explícitas. Exemplo, 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) . Na forma implícita seria 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0, etc. 
A derivada de uma função implícita do tipo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, em relação a 𝑥 é 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
 DERIVADAS IMPLÍCITAS 
Derivadas Parciais de Funções de 2 Variáveis 
Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e diferenciando, e após 
algumas considerações teremos: 
 
 DERIVADAS IMPLÍCITAS 
EXERCÍCIOS 
 
1. Verifique qual das seguintes funções é harmônica. 
 
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 
 
b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥𝑦2 − 2𝑦2 + 2𝑥𝑦 
 
c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥2 + 𝑦2) 
 
 
2. Derivar as funções implícitas e achar 
𝜕𝑧 
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑧 
𝜕𝑦
 , nas expressões abaixo: 
 
a) 2x3 − 4 y2 – 6 z = 0 
b) 𝑥2 + 𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦𝑧3 – 3 = 0