Derivadas: definição e exemplos

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Interpretação geométrica da derivada
Equação da reta
Equação da reta
Derivada de uma função
Outras notações:
Ex.: Calcule, por definição, a derivada das funções:
a) 
b) .
c) 
Teorema: Se , então 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Regras Operatórias: Se e são deriváveis, então:
1)(f+g)’=f’+g’
2)(f-g)’=f’-g’
3)(f.g)’=f’.g+f.g’
4)
Exemplos:
b) f(x)=
d) 
(6
e) 
Teorema: Toda função derivável é contínua.
Nem toda função contínua é derivável.
Ex.: A função é contínua na origem, mas não é derivável.
Veja que Além disso,
Logo, . Portanto, é contínua em .
 é derivável em ?
Vamos verificar os derivadas laterais em x=0.
Derivada lateral à direita
Derivada lateral à esquerda
 não é derivável em x=0.
Ex.: 
a) é contínua em x=2?
b) é derivável em x=2?
Solução:
a) 
 
 contínua em x=2.
b) Vamos verificar as derivadas laterais.
 não é derivável em x=2.
Derivada de funções trigonométricas
1) 
c) 
Voltando para o limite
Conclusão:
d) 
e) Se , então 
f) Se 
REGRA DA CADEIA (derivada da função composta)
Ex.: 
Ex.: 
Outra forma de calcular:
Regra da cadeia: Se a função g for derivável em x e a função a função for derivável em , então a função composta será derivável em e
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: (Função exponencial de base a) 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: (Derivada da função logarítmica de base a)
Fazendo tem-se que se , então Assim,
Obs.: Se , então e 
Ex.: 
Ex.: 
Derivação Implícita
A equação 
 (1)
define a função explicitamente.
Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Observe, por exemplo, a equação
 (2)
onde não podemos resolver em função de Dizemos que a função está definida implicitamente. 
No caso da equação (2), a derivada de em relação a pode ser encontrada por derivação implícita.
Seja a função definida pelo lado esquerdo da equação e a função definida pelo lado direito da equação
 e 
Desta forma a equação (2) pode ser escrita como
Então, para todos os valores de x para os quais é derivável temos
 (3)
Derivando o primeiro membro de (2) com relação a temos
 (4)
Utilizando a regra da cadeia para calcular a derivada do segundo membro de (2) com relação a temos
 (5)
Substituindo (3) e (4) em (5) temos
Ex.: Considere a equação
e suponha que exista pelo menos uma função derivável tal que se a equação acima está satisfeita. Determine .
Derivando implicitamente todos os membros da desigualdade acima com relação a x temos
Ex.: Ache uma equação da reta tangente à curva
no ponto (1,2).
Derivando implicitamente em relação a temos
No ponto (1,2), temos . Uma equação da reta tangente é dada por
Derivada de funções trigonométricas inversas
1) Derivada da função arco-seno
A função arco-seno é contínua e é a inversa da função . Temos,
 (1)
Derivando implicitamente (1) com relação a x temos
2) Derivada da função arco-cosseno.
A função arco-cosseno é contínua e é a inversa da função . Temos,
 (2)
Derivando implicitamente (2) com relação a x temos
3) Derivada da função arco-tangente
A inversa da função é a função arco-tangente. Temos,
 (3)
Derivando implicitamente (3) com relação a x temos
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Ex.: 
Derivada de 
Consideremos a função definida por 
Aplicando ln aos dois membros da equação obteremos
e, assim, 
Então,
Ex.: 
Ex.: