livro Cálculo Diferencial Integral a uma Variável

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Cálculo Diferencial e Integral
Cálculo Diferencial e Integral
Ed. v0.8.8
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Cálculo Diferencial e Integral
Sumário
1 Números Reais 1
1.1 Sistema dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Relações e Funções 17
2.1 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Domínio, imagem e gráfico de uma relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Relação inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa . . . . . . . 21
2.3 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Translações e reflexões de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Funções comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.3 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.4 Função periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.5 Função crescente e função decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.6 Função definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
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Cálculo Diferencial e Integral
3 Limites 47
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Limite de uma funcão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Leis do limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Limites infinitos no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.11 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.12 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Continuidade 78
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Noção intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Definição formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Tipos de descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Continuidade de funções em intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.6 Teorema de valor intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Funções inversas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 A Derivada 95
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 A derivada e a reta tangente de uma função em um ponto. . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3 A derivada como função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Derivadas laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.5 Reta normal a uma curva em um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 A derivada da composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.8 Teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.10 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.11 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.12 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.13 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
iii
Cálculo Diferencial e Integral
6 Aplicações da Derivada 122
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Determinando Valores Extremos de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5 Concavidade e esboço de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.6 Construindo o gráfico de y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.7 Formas indeterminadas e a regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.8 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 A Integral Indefinida 147
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 A Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 Integrais Imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.6 Técnicas de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.6.1 Integrais de Funções que Contêm um Trinômio Quadrado . . . . . . . . . . 163
7.6.2 Integrais de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . 165
7.6.3 Integraçãopor Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.6.4 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6.5 O método de Hermite-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.6.6 Integrais de Funções Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 A Integral Definida 198
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2.1 Propriedades do Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3 Cálculo da Área de uma Região Plana por Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.1 Partição de um Intervalo Fechado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.2 Aproximação da Área de uma Região por Áreas de Retângulos . . . . . . . . 201
8.3.3 Soma Superior e Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3.4 Propriedades dos Somatórios Superiores e Inferiores . . . . . . . . . . . . . 206
iv
Cálculo Diferencial e Integral
8.4 Integrais Inferiores e Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.5 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.7 Teorema do Valor Intermediário para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.8 Teoremas Fundamentais do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.9 Mudança de Variável em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.10 Integração por Partes em uma Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.11 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.11.1 Integrais Impróprias com Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.11.2 Integrais Impróprias com Limites Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.12 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.12.1 Áreas de Regiões Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.12.2 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.12.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.12.4 Área de uma Superfície de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.13 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
8.14 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9 Referências 238
9.1 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
v
Cálculo Diferencial e Integral
Prefácio
Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciatura
em Computação a Distância um material didático de fácil entendimento dos fundamentos de um
curso de Cálculo Diferencial e Integral. Temos nos esforçado em apresentar o cálculo de forma não
tão rigorosa. Isto é, neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e não nos aprofundamos
nas demonstrações destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento teórico com exemplos e com uma
quantidade razoável de atividades para uma fixação do conteúdo, de tal forma que resulte de máximo
proveito aos estudantes.
A obra é composta por 8 capítulos contendo os principais tópicos abordados em uma disciplina básica
de Cálculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de conteúdo, por isto reco-
mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada capítulo e resolva a máxima quantidade
de atividades.
No primeiro capítulo se faz uma apresentação axiomática dos números reais e suas principais propri-
edades; no segundo capítulo tratamos das relações e das funções que serão o principal objeto mate-
mático tratado neste livro; no terceiro capítulo estudamos os conceito de limite, fundamental para a
teoria subsequente; no quarto capítulo estudamos a continuidade de uma função; no quinto capítulo
introduzimos a derivada de uma função e suas principais propriedades; no sexto capítulo apresenta-
mos algumas aplicações da derivada; no sétimo capítulo tratamos da integral indefinida e os métodos
de integração; e no oitavo e último capítulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamos
de algumas das aplicações desta.
Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam o mesmo conteúdo apresentado
aqui, alguns até mais abrangentes. Somos porém, realistas que em uma primeira abordagem demos
prioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos básicos e interpretações, deixando a
prova de todos esses resultados a posteriori.
Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-
ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicações práticas no mundo real.
João Pessoa, agosto de 2013.
Kely D. V. Villacorta
Felipe A. G. Moreno
Público alvo
O público alvo desse livro são os alunos de Licenciatura em Computação, na modalidade à distância.1
1Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraíba, o seu uso não se restringe
a esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.
vi
Cálculo Diferencial e Integral
Como você deve estudar cada capítulo
• Leia a visão geral do capítulo
• Estude os conteúdos das seções
• Realize as atividades no final do capítulo
• Verifique se você atingiu os objetivos do capítulo
NA SALA DE AULA DO CURSO
• Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso
• Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados
• Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina
Caixas de diálogo
Nesta seção apresentamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durante o texto. Confira os
significados delas.
Nota
Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão.
Dica
Esta caixa é utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.
Importante
Esta caixa é utilizada para chamar atenção sobre algo importante.
Cuidado
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.
Atenção
Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.
Os significados das caixas são apenas uma referência, podendo ser adaptados conforme as intenções
dos autores.
vii
Cálculo Diferencial e Integral
Compreendendo as referências
As referências são apresentadas conforme o elemento que está sendo referenciado:
Referências a capítulos
Prefácio [vi]
Referências a seções
“Como você deve estudar cada capítulo” [vii], “Caixas de diálogo” [vii].
Referências a imagens e tabelas
Figura 1 [ix] Tabela 1 [viii]
Nota
Na versão impressa, o número que aparece entre chaves “[ ]” corresponde ao número da
página onde está o conteúdo referenciado. Nas versões digitais do livro você poderá clicar
no link da referência.
Contribuindo com o livro
Você pode contribuir com a atualização e correção deste livro. A tabela a seguir resume os métodos
de contribuições disponíveis:
Tabela 1: Métodos para contribuição do livro
Método de
contribui-
ção
Habilidades necessárias Descrição
Issue track
• Inscrição no site do
github
• Preenchimento de um
formulário
Consiste em acessar o repositório do livro e
submeter um erro, uma sugestão ou uma crítica —
através da criação de um Issue.Quando
providências forem tomadas você será notificado
disso.
Submissão
de correção
• Realizar fork de
projetos
• Atualizar texto do livro
• Realizar PullRequest
Consiste em acessar os arquivos fontes do livro,
realizar a correção desejada e submetê-la para
avaliação. Este processo é o mesmo utilizado na
produção de softwares livres.
viii
Cálculo Diferencial e Integral
Importante
Quando for enviar sua contribuição lembre-se de informar qual a versão e página do livro que
está se referindo.
Contribuição através do Issue track
Para contribuir com um erro, sugestão ou crítica através de um envio de uma mensagem acesse:
https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/issues/new
Figura 1: Exemplo de contribuição através do Issue track
Baixando a edição mais nova deste livro
Nós estamos constantemente atualizando o nosso material didático. Todas as versões deste livro
encontram-se disponíveis para download.
Dica
Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases para bai-
xar a versão mais nova deste livro.
ix
Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 1
Números Reais
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Entender o conceito do sistema dos números reais e saber diferenciar os subconjuntos
que o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;
• Dados dois números reais, reconhecer a relação de ordem estabelecida entre eles;
• Dada uma desigualdade, establecer a que intervalo ela está relacionada;
• Determinar o conjunto solução de uma inequação dada;
• Dominar o conceito de valor absoluto;
• Familiarizar-se com o Axioma do supremo.
O sistema dos números reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexões por
parte do homem. Desde o início de nossa civilização já se conheciam os números inteiros positivos,
ou seja, 1,2,3, . . . Os números inteiros tão grandes quanto 100000 já eram utilizados no Egito em
épocas como 300 a. C.
Na aritmética de números inteiros positivos que desarrolhou os antigos Egípcios e Babilônios podiam
efetuar-se as operações de adição e multiplicação, embora essa última não tenha sido desenvolvida
por completo. Além disso, naquela época já se conheciam certas frações, isto é, os números racionais.
Por outro lado, os Babilônios tiveram maior êxito no desenvolvimento da aritmética e da álgebra, e a
notação que eles usavam também era superior à dos egípcios, com a diferença que eles trabalhavam
na base 60 e não na 10.
Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no século XII
mediante a tradução de textos árabes. Porém, essa notação demorou para ter uma aceitação geral, e
muito depois disso veio a aceitação dos números negativos, a qual aconteceu apenas no final do século
XVI, época em que eram descartadas as raízes negativas das equações.
Ainda que a necessidade dos números irracionais, tais como
√
2 e pi , tivesse se apresentado já aos ma-
temáticos da antiga Grécia no seus estudos geométricos, não foram introduzidos métodos satisfatórios
de construção dos números reais a partir dos racionais até finais do século XIX, quando os matemá-
ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construção total dos números reais, abordagem
esta que ainda é usada até hoje.
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Cálculo Diferencial e Integral
O ponto de vista adotado aqui não é construtivo, pois assume-se que existam certos objetos, chamados
de números reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste capítulo. Todas as proprie-
dades dos números reais que serão apresentadas neste livro, ou estão entre estes axiomas, ou podem
ser deduzidos a partir destes.
Portanto, neste capítulo revisaremos o sistema dos números reais, desigualdades e intervalos, inequa-
ções, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando a teoria apresen-
tada.
1.1 Sistema dos Números Reais
Um conjunto não vazio de suma importância é o conjunto dos números reais, que é representado por
R. O sistema dos números reais é o conjunto R fornecido de duas operações: adição (+) e multi-
plicação (·), de uma relação de ordem (<) (se lê menor que) e de um axioma chamado Axioma do
supremo. O sistema dos números reais é denotado por (R;+; ·;<), porém por simplicidade usamos
a notação R. Cada elemento x ∈ R é chamado de número real.
1.1.1 Adição e Multiplicação de Números Reais
Adição e multiplicação de números reais são duas operações internas em R e se definem como segue:
Adição
dados a e b ∈ R se associa um único c ∈ R, chamado de soma de a e b, e se escreve c= a+b.
A adição de números reais satisfaz os seguintes axiomas:
Axioma 1
a+b= b+a, ∀a,b ∈ R.
Axioma 2
(a+b)+ c= a+(b+ c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 3
Existe o número real zero, denotado por 0, tal que a+0 = a, ∀a ∈ R.
Axioma 4
Para cada número real a existe um real chamado de oposto de a e é representado por −a,
tal que a+(−a) = 0.
Multiplicação
Dados a e b∈R se associa um único d ∈R, chamado de produto de a e b, e se escreve d = a ·b.
A multiplicação de números reais satisfaz os seguintes axiomas:
Axioma 5
a ·b= b ·a, ∀a,b ∈ R.
Axioma 6
(a ·b) · c= a · (b · c), ∀a,b,c ∈ R.
Axioma 7
Existe o número real um, denotado por 1, tal que a ·1 = a, ∀a ∈ R.
Axioma 8
Para cada número real a, diferente de zero, existe um real chamado de inverso de a e é
representado por a−1 ou
1
a
, tal que a ·a−1 = a · 1
a
= 1.
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Cálculo Diferencial e Integral
O axioma distributivo relaciona a adição e multiplicação de números reais:
Axioma 9
a(b+ c) = a ·b+a · c, ∀a,b,c ∈ R
Nota
a. Os Axiomas 1 e 5 são conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente.
b. Os Axiomas 2 e 6 são conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-
plicação, respectivamente.
O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operações.
Teorema 1.1
i. Os números 0, 1, −a e a−1 são únicos;
ii. a=−(−a), ∀a ∈ R;
iii. Se a 6= 0, então a= (a−1)−1;
iv. a ·0 = 0, ∀a ∈ R;
v. −a= (−1) ·a, ∀a ∈ R;
vi. a · (−b) = (−a) ·b, ∀a, b ∈ R;
vii. (−a) · (−b) = a ·b, ∀a, b ∈ R;
viii. Se a+ c= b+ c, então a= b;
ix. Se a · c= b · c e c 6= 0, então a= b;
x. a ·b= 0 ⇔ a= 0 ou b= 0;
xi. a ·b 6= 0 ⇔ a 6= 0 e b 6= 0;
xii. a2 = b2 ⇔ a= b ou a=−b.
1.1.2 Subtração e Divisão de Números Reais
Subtração
dados a e b ∈ R, a diferença de a e b é a−b= a+(−b).
Divisão ou quociente
dados a e b ∈ R, com b 6= 0, o quociente de a e b é a
b
= a · (b−1).
Teorema 1.2
i. a−b=−(b−a);
ii. a−b= c ⇔ a= b+ c;
iii. Se b 6= 0, então c= a
b
⇔ b · c= a;
iv. a · (b− c) = a ·b−a · c;
v. Se b 6= 0 e d 6= 0, então a
b
± c
d
=
a ·d±b · c
b ·d .
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1.1.3 Relação de Ordem
Axioma 10
Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R+, que satisfaz as
seguintes propriedades:
i. Se a ∈ R, então a ∈ R+ ou −a ∈ R+ou a= 0;
ii. Se a ∈ R+ e b ∈ R+, então a+b ∈ R+ e a ·b ∈ R+.
Definição 1.1
Sejam a, b ∈ R. Diz-se que:
i. a é menor que b e se denota por a< b, ⇔ b−a ∈ R+;
ii. a é menor ou igual que b e se escreve a≤ b, ⇔ a< b ou a= b.
Nota
a. Escrever a< b, é equivalente a escrever b> a e se lê “b é maior que a”;
b. Da mesma forma, se diz que b é maior ou igual que a e se escreve b≥ a.
O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas à relação de ordem.
Teorema 1.3
i. Lei da tricotomia: Dados a, b ∈ R, então a= b ou a< b ou a> b;
ii. a2 ≥ 0. ∀a ∈ R. Se a 6= 0, então a2 > 0;
iii. Lei transitiva: Se a< b e b< c, então a< c;
iv. Lei da monotonia para a soma: Se a< b, então a+ c< b+ c, ∀c ∈ R
v. Se a< b e c< d, então a+ c< b+d;
vi. Se a< b e c> 0, então a · c< b · c;
vii. Se a< b e c< 0, então a · c> b · c;
viii. Se a< b e 0< c< d, então a · c< b ·d;
ix. a e a−1 têm o mesmo sinal:• Se a> 0, então a−1 > 0,
• Se a< 0, então a−1 < 0;
x. Se 0< a< b, então a−1 > b−1 > 0. Se 0> b> a, então 0> a−1 > b−1;
xi. a ·b> 0 ⇔ (a> 0 e b> 0) ou (a< 0 ou b< 0) ;
xii. a ·b≥ 0 ⇔ (a≥ 0 e b≥ 0) ou (a≤ 0 ou b≤ 0)
xiii. a ·b< 0 ⇔ (a< 0 e b> 0) ou (a> 0 ou b< 0) ;
xiv. a ·b≥ 0 ⇔ (a≤ 0 e b≥ 0) ou (a≥ 0 ou b≤ 0)
xv. Se a≥ 0 e b≥ 0, então a< b ⇔ a2 < b2;
xvi. a2+b2 = 0 ⇔ a= 0 e b= 0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. Se a e b são dois números tais que a2 = b, diz-se que a é a raiz quadrada de b e se
escreve a=
√
b. Por exemplo, 2 e−2 são raízes quadradas de 4, pois (−2)2 = 22 = 4.
No decorrer deste livro, a notação
√
b denotará a raiz quadrada positiva e −√b, a
raiz quadrada negativa.
b. Se b< 0, pelo Teorema 1.3.ii, não existe a ∈R tal que a2 = b. Em outras palavras, no
conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de números negativos.
c. Se a2 = 0, então se deduz que a= 0, Portanto,
√
0 = 0.
No decorrer deste livro, entenderemos que resolver a equação E(x) = 0, onde E(x) é uma expressão
algébrica, significa determinar todos os números reais que satisfazem a dita equação.
Exemplo 1.1 Resolvamos as seguintes equações
a. 5x+6 = 8.
Solução
5x+6 = 8 ⇔ x= 2
5
, pois 5 · 2
5
+6 = 8.
b. x2+1 = 0.
Solução
Essa equação não tem solução, em R, pois x2+1> 0, ∀x ∈ R.
c. 5x+5 = 1−3x .
Solução
5x+5 = 1−3x ⇔ 8x=−4 ⇔ x=−1
2
.
d. 4x2− x−3 = 0.
Solução
4x2− x− 3 = 0 ⇔ (4x+ 3)(x− 1) = 0 ⇔ 4x+ 3 = 0 ou x− 1 = 0 ⇔ x = −3
4
ou
x= 1.
Outro método (Completando quadrados)
4x2− x−3 = 0 ⇔ (2x)2− x+
(
−1
4
)2
=
49
16
⇔
(
2x− 1
4
)2
=
49
16
⇔ 2x− 1
4
=
−7
4
ou 2x− 1
4
=
7
4
⇔ 2x=−3
2
ou 2x= 2 ⇔ x=−3
4
ou x= 1.
1.2 Desigualdades e Intervalos
Os números reais são identificados por pontos em uma reta. E essa identificação dá-se da seguinte
maneira:
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Figura 1.1: Reta Real
Dada uma reta L (por conveniência horizontal) e uma unidade de medida arbitrária, fixamos o ponto
0 da reta, logo, a cada número real x se identifica com o ponto que está situado a x unidades à direita
do 0, se x> 0, e com o ponto situado a −x unidades à esquerda do 0, se x< 0.
Essa correspondência entre os números reais e os pontos da reta é biunívoca, isto é, a cada número
real há um único ponto correspondente na reta, e a cada ponto na reta há um único número real
correspondente. No decorrer deste livro não faremos nenhuma diferença entre ambos elementos.
Se x, y e z ∈ R tais que x < y< z, então x está à esquerda de y, a uma distância de y− x unidades e z
está à direita de y, a uma distância de z− y unidades.
zyx
y-x z-y
Figura 1.2: Distância entre x e y, e distância entre y e z
Uma expressão que contém relações como <, ≤, >, ≥ é chamada de desigualdade. Assim:
x< y< z significa que x< y e y< z;
x< y≤ z significa que x< y e y≤ z;
x≤ y< z significa que x≤ y e y< z;
x≤ y≤ z significa que x≤ y e y≤ z.
Definição 1.2
Dados os números reais a e b com a < b, os intervalos são subconjuntos de R e podem ser
clasificados em:
Intervalos Limitados
1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x ∈ R : a< x< b}
a b
2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x ∈ R : a≤ x≤ b}
a b
3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x ∈ R : a≤ x< b}
a b
4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x ∈ R : a< x≤ b}
a b
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Intervalos Ilimitados
1. Intervalo Aberto:
• (a,+∞) = {x ∈ R : a< x}
a
• (−∞,a) = {x ∈ R : x< a}
a
2. Intervalo Fechado:
• [a,+∞) = {x ∈ R : a≤ x}
a
• (−∞,a] = {x ∈ R : x≤ a}
a
3. A Reta Real: (−∞,+∞) = R
Nota
os intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] também podem ser referenciados como
intervalos semifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.
Exemplo 1.2
Dados os intervalos
A= [−5,2], B= (−2,3] e C = (2,6)
-5
A
2
-2
B
3
6
C
2
Então,
a. A∩B= [−2,2]
-2 2
b. A∩C = /0
c. B∩C = (2,3]
32
d. A∪B= [−5,3]
-5 3
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e. A∪C = [−5,6)
6-5
f. B∪C = (−2,6)
-2 6
Exemplo 1.3
Se x ∈ (1,2], provemos que x2−2x ∈ (−1,0].
Solução
Desde que x2−2x é equivalente a (x−1)2−1, trabalharemos com esta última expressão.
x ∈ (1,2] ⇔ 1 < x ≤ 2 ⇔ 0 < x−1 ≤ 1 ⇔ 0 < (x−1)2 ≤ 1 ⇔ −1 < (x−1)2−1 ≤ 0
⇔ −1< x2−2x≤ 0. Portanto, x2−2x ∈ (−1,0].
Exemplo 1.4
Se x ∈ (0,2), encontremos m e M ∈ R tais que m< x+2
x+5
<M.
Solução
Desde que
x+2
x+5
é equivalente a 1− 3
x+5
, trabalharemos com este último.
x ∈ (0,2) ⇔ 0< x< 2 ⇔ 5< x+5< 7 ⇔ 1
7
<
1
x+5
<
1
5
⇔ −3
5
<− 3
x+5
<−3
7
⇔
1− 3
5
< 1− 3
x+5
< 1− 3
7
⇔ 2
5
<
x+2
x+5
<
4
7
. Portanto, m=
2
5
e M =
4
7
.
1.3 Inequações
Definição 1.3
Uma inequação é uma expressão algébrica que contém alguma das relações <, ≤, >, ≥.
Exemplo 1.5
• Inequação de Primeiro grau
3x−4< 2− x
• Inequação de Segundo grau
3x2−4x−5< 0
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• Inequação de Racional
x2−5x+4
x2−4 ≥ x+2
Definição 1.4
Diz-se que um número real a satisfaz uma inequação, ou é solução da inequação, se ao
substituir a variável da equação por a, a desigualdade se faz verdadeira.
Exemplo 1.6
a. O número real 2 satisfaz a inequação de segundo grau acima, pois 3(2)2−4(2)−5≤ 0;
b. porém o número real 4 não a satisfaz, pois 3(4)2−4(4)−5> 0.
Definição 1.5
O conjunto de todos os números que satisfazem uma inequação é chamado de conjunto solu-
ção, denotado por C. S.. Resolver uma inequação significa encontrar seu conjunto solução.
Exemplo 1.7 Encontremos o conjunto solução das seguintes inequações
a. 3x−4< 2+ x.
Solução
3x−4< 2+ x ⇔ 2x< 6 ⇔ x< 3. Portanto, C. S.= (−∞,3).
b. x2−2< 3x+2.
Solução
Primeiro método (Decompondo)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x−4)(x+1)< 0 ⇔ (x−4< 0 e x+1> 0)
ou (x−4> 0 e x+1< 0) ⇔ (x< 4 e x>−1) ou (x> 4 e x<−1) ⇔ −1< x< 4
⇔ x ∈ (−1,4).
Segundo método (Completando Quadrados)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x< 4 ⇔ x2−3x+ 9
4
< 4+
9
4
⇔
(
x− 3
2
)2
<
25
4
⇔
−5
2
< x− 3
2
<
5
2
⇔ −1< x< 4 ⇔ x ∈ (−1,4).
Terceiro método (Encontrando o quadro de sinais)
x2−2< 3x+2 ⇔ x2−3x−4< 0 ⇔ (x+1)(x−4)< 0. Os valores de x para os
que (x+1)(x−4) = 0 são x=−1 e x= 4 (raízes de cada fator). Logo,
-1 4
- - - - - -
- - - - - -
+ + + + +
- - - - - -
- - - - - - + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + 
sinal de (x+1)(x-4)
sinal de x-4
sinal de x+1
Figura 1.3: Quadro de sinais
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Cálculo Diferencial e Integral
Na Figura 1.3 observamos que (x+1)(x−4)< 0, se x ∈ (−1,4).
Portanto, C. S.= (−1,4).
Regra para determinar o sinal de um produto ou quociente
• Para determinar o sinal de x−a, temos que considerar:
i. O sinal de x−a é + ⇔ x−a> 0 ⇔ x> a ⇔ x está à direita de a.
ii. O sinal de x−a é − ⇔ x−a< 0 ⇔ x< a ⇔ x está à esquerda de a.
• Para determinar o sinal de um produto, consideram-se as seguintes regras:
(+)(+) = +; (−)(−) = +; (+)(−) =−; (+)(−) =−.
• O sinal de quocientes é obtido de forma análoga.
Exemplo 1.8 Resolvamos a seguinte inequação
a.
x−2
x−4 >
x+2
x
Solução
x−2
x−4 >
x+2
x
⇔ x+2
x
− x−2
x−4 < 0 ⇔
(x+2)(x−4)− x(x−2)
x(x−4) < 0 ⇔
−8
x(x−4) < 0
⇔ 1
x(x−4) > 0.
As raízes dos fatores são os valores de x que têm o zero como numerador e denominador,
isto é, x= 0 e x= 4.
 0 4
- - - - - - -
- - - - - - -
+ + + + + +
- - - -
- - - - + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + 
sinal de x(x-4)
sinal de x-4
sinal de x
Logo, C. S.= (0,4).
Nota
Para evitar o trabalho de determinar o sinal de cada fator, será suficiente considerar um ponto
em cada intervalo e determinar o sinal de E(x) em determinado ponto. Esse sinal será, por
sua vez, o sinal de E(x) em todo o intervalo.1.4 Valor absoluto
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Cálculo Diferencial e Integral
Definição 1.5
O valor absoluto de um número real, denotado por |a|, se define como:
|a|=
{
a, se a≥ 0
−a, se a< 0.
Desde que o ponto de vista geométrico |a| representa a distância entre o ponto da reta real a e o origem
0.
0 a
|a|
Da mesma forma, |a−b|= |b−a| se interpreta como a distância entre os pontos a e b.
a b
|b-a|=|a-b|
Exemplo 1.9
a. |7|= 7;
b. |0|= 0;
c. |−4|= 4;
d. |− |a||= |a|.
Teorema 1.4
Se a e b ∈ R, então:
i. |a| ≥ 0, ∀a ∈ R e |a|= 0 ⇔ a= 0;
ii. |ab|= |a||b|;
iii. |a+b| ≤ |a|+ |b|.
A seguir enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto verifica.
Teorema 1.5
Se a, b e x ∈ R, então:
i. |a|2 = a2;
ii. Se b≥ 0, |a|= b ⇔ a= b ou a=−b;
iii. |a|= |b| ⇔ a= b ou a=−b;
iv. |−a|= |a|=
√
a2;
v.
∣∣∣a
b
∣∣∣= |a||b| , b 6= 0;
vi. Se a< x< b⇒ |x|<max{|a|, |b|};
vii. Se b> 0, |x|< b ⇔ −b< x< b;
viii. Se b≥ 0, |x| ≤ b ⇔ −b≤ x≤ b;
ix. Se |x|> b ⇔ x> b ou x<−b;
x. Se |x| ≥ b ⇔ x≥ b ou x≤−b;
xi. ||a|− |b|| ≤ |a−b| ≤ |a|+ |b|.
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Exemplo 1.10 Resolvamos as seguintes equações com valor absoluto:
a. |3x−5|= 4
Solução
|3x−5|= 4 ⇔ 3x−5 = 4 ou 3x−5 =−4 ⇔ x= 3 ou x= 13 .
Portanto, C. S.= {1
3
,3}.
b. ||7−4x|−3|= 9
Solução
||7−4x|−3|= 9 ⇔ |7−4x|−3= 9 ou |7−4x|−3=−9 ⇔ |7−4x|= 12 ou |7−4x|=
−6, porém |7−4x| ≥ 0 e −6< 0. Então, só devemos analisar |7−4x|= 12.
Assim, |7−4x|= 12 ⇔ 7−4x= 12 ou 7−4x=−12 ⇔ x=−5
4
ou x=
19
4
.
Portanto, C. S.= {5
4
,
19
4
}.
c. |x−2|+3|x−4|= 5|x+1|
Solução
Denotemos por E(x) a equação |x−2|+3|x−4| = 5|x+1|. Nesse caso, consideramos a
definição de cada valor absoluto. Igualando cada valor absoluto a zero, obtemos os pontos
x= 2, x= 4 e x=−1 e podemos analisar os 4 casos a seguir:
Caso 1
Se x<−1, então
• x+1< 0 ⇒ |x+1|=−x−1
• x−2<−3 ⇒ |x−2|=−x+2
• x−4<−5 ⇒ |x−4|=−x+4
Logo, E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 =−5x−5. Assim, x=−19 e −19 ∈
(−∞,−1).
Caso 2
Se −1≤ x< 2, então
• 0≤ x+1< 3 ⇒ |x+1|= x+1
• −3≤ x−2< 0 ⇒ |x−2|=−x+2
• −5≤ x−4<−2 ⇒ |x−4|=−x+4
Logo, E(x) é equivalente a −x+2−3x+12 = 5x+5. Assim, x= 1 e 1 ∈ [−1,2).
Caso 3
Se 2≤ x< 4, então
• 3≤ x+1< 4 ⇒ |x+1|= x+1
• 0≤ x−2< 2 ⇒ |x−2|= x−2
• −2≤ x−4< 0 ⇒ |x−4|=−x+4
Logo, E(x) é equivalente a x−2−3x+12= 5x+5. Assim, x= 5
7
, porém
5
7
6∈ [2,4).
Caso 4
Se 4≤ x, então
• 5≤ x+1 ⇒ |x+1|= x+1
• 2≤ x−2 ⇒ |x−2|= x−2
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• 0≤ x−4 ⇒ |x−4|= x−4
Logo, E(x) é equivalente a x− 2+ 3x− 12 = 5x+ 5. Assim, x = −19, porém
−19 6∈ [4,+∞).
Portanto, o C. S. é obtido dos casos 1 e 2, isto é, C. S.= {−19,1}.
1.5 Axioma do Supremo
Antes de começar a falar sobre os limitantes de um conjunto A ⊂ R, vejamos alguns conjuntos
importantes em R:
• O conjunto dos números naturais, denotado por N, é o conjunto
N= {1,2,3,4, . . . ,n,n+1, . . .}
Se n ∈ N, então n é dito de número natural.
• O conjunto dos números inteiros, denotado por Z, é o conjunto
Z= {. . . ,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . .}
Se z ∈ Z, então z é dito de número inteiro.
• O conjunto dos números racionais, denotado por Q, é o conjunto
Q=
{a
b
: a ∈ Z e b ∈ Z, com b 6= 0
}
Se q ∈Q, então q é dito de número racional.
• O conjunto dos números irracionais, denotado por I, é o conjunto
I= {x ∈ R : x 6∈Q}
Se x ∈ I, então x é dito de número irracional.
Nota
a. Entre os números irracionais temos:
•
√
2,
√
3, 7
√
4, −√7, . . .
• pi = 3,141592 . . .
• e= 2,71828182 . . .
b. Uma propriedade importante dos números racionais e irracionais é que:
• Entre dois números racionais existe um número infinito de números irracionais;
• Entre dois números irracionais existe um número finito de números racionais.
c. Verifica-se que:
N⊂ Z⊂Q⊂ R, R=Q∪ I e Q∩ I= /0.
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Cálculo Diferencial e Integral
Definição 1.6
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. A é limitado superiormente, se existe M ∈ R tal que
x≤M, ∀x ∈ A.
O número M é chamado de limitante superior de A.
ii. A é limitado inferiormente, se existe m ∈ R tal que
m≤ x, ∀x ∈ A.
O número m é chamado de limitante inferior de A.
iii. A é limitado, se existe k > 0 tal que
|x| ≤ k, ∀x ∈ A.
Um conjunto é limitado se é limitado superiormente e inferiormente.
Exemplo 1.11
a. Os conjuntos N e (−1,+∞) são limitados inferiormente pelo limitante−2, por exemplo, porém
não são limitados superiormente.
b. Os conjuntos (−∞,4] e −N são conjuntos limitados superiormente pelo limitante superior 7,
por exemplo, porém não são limitados inferiormente.
c. Os conjuntos
{
2
3z
: z ∈ Z\{0}
}
e {x ∈ R : 2x− x2 ≥−7} são limitados por 4.
Definição 1.7
Seja A um subconjunto não vazio de R. Diz-se que:
i. s ∈ R é o supremo de A, denotado por Sup(A) se:
• s é limitante superior de A, isto é, x≤ s, ∀x ∈ A.
• Se b ∈ R e b< s, então existe x ∈ A tal que b< x≤ s.
ii. r ∈ R é o ínfimo de A, denotado por Inf(A) se:
• r é limitante inferior de A, isto é, r ≤ x, ∀x ∈ A.
• Se c ∈ R e r < c, então existe x ∈ A tal que r ≤ x< c.
Nota
a. O supremo de um conjunto é o menor limitante superior, e o ínfimo é o maior
limitante inferior.
b. Se o supremo e o ínfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses ele-
mentos são chamados máximo de A, denotado por max(A), e mínimo de A,
denotado por min(A), respectivamente.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 1.12
Dados os conjuntos
A= (−1, 9
4
], B=
{
1
k
: k ∈ N
}
e C = {x ∈Q :−20≤ x}
temos que:
a. Inf(A) =−1, Sup(A) = 9
4
= max(A). Portanto, A é limitado.
b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B é limitado.
c. Inf(C) = −20 = min(C). Porém, C não tem supremo, logo, não tem ínfimo. Portanto, não é
limitado.
O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos números reais.
Axioma 11 (Axioma do Supremo)
Todo subconjunto não vazio, limitado superiormente, B⊂ R possui um supremo s= Sup(B) ∈
R.
Teorema 1.6
Seja A⊂ R com A 6= /0. Se A é limitado inferiormente, então este possui ínfimo.
Para finalizar, embora o princípio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele será
apenas enunciado.
Teorema 1.7 (Princípio da boa ordem)
Todo subconjunto não vazio de Z, limitado inferiormente, possui ínfimo.
Este princípio é usado para demonstrar o Princípio da Indução Finita e para provar várias propriedades
referentes aos números inteiros.
1.6 Recapitulando
Neste capítulo apresentamos as noções básicas sobre os Números Reais com o intuito de fazer com
que o aluno tenha um melhor entendimento dos próximos capítulos.
Desta forma, apresentamos o sistema dos números reais, e nele os axiomas que regem a adição e
multiplicação. Seguindo esse raciocínio, apresentamos dois teoremas que mostram as propriedades
da substração e divisão.
Desde que em matemática é importantíssimo entender qual é a relação de ordem entre dois ele-
mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequações, etc., esse conceito e suas
principais propriedades foram revisadas.
Nas seções subsequentes trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, inequações e valor
absoluto, além de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.
Por último, mas não menos importantes, o axioma do supremo e o princípio da boa ordem foram
apresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,
supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
No proxímo capítulo, apresentaremos as noções básicas sobre relações e funções, já que esta teoria é
fundamental para, por exemplo, determinar com precisão o domínio e a imagem das funções reais.
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Cálculo Diferencial e Integral
1.7 Atividades
1. Encontrar M tal que ∀x ∈ R se verifique:
i. 2x− x2 ≤M. ii. −(x2+4x+13)≤M. iii. 2− x 13 − x 23 ≤M.
2. Encontrar M tal que:i.
∣∣∣∣ x+62x+1 −3
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (0,4). ii. ∣∣∣∣2x+7x2 − 12
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (2,5).
iii.
∣∣∣∣3x+4x−1 −2
∣∣∣∣<M, ∀x ∈ (3,7). iv. ∣∣∣∣ x−2x2+4x−5
∣∣∣∣<M, se |x−2|< 12.
v.
∣∣∣∣ x2−5xx2+ x+10
∣∣∣∣<M, se |x+1|< 1.
3. Encontre as raízes reais das seguintes equações:
i. 12x−4 = 3x+9. ii. 2x2−11x−4 = 0.
iii. x4−2x2−8 = 0. iv. ∣∣x2−4x∣∣= 3x+4.
v. |2x−1|= x−1.
4. Encontre o conjunto solução das seguintes inequações:
i. 3x−8< 5x−2. ii. 3x2−5x−2> 0.
iii. (x2+ x−6)(4x−4− x2)≤ 0. iv. x−2
x+4
≤ x+5
x+3
.
v.
x2−2x+3
x2−4x+3 >−2. vi.
32
x2−4 ≥
x
x−2 −
4
x+2
.
vii.
√
x2−2x−15> x+1. viii. √x2−11x+30> 6− x.
ix.
√
x2+3x−4
4−√x2+6x > x−2. x.
∣∣∣∣x2+3x−2x2−1
∣∣∣∣< 1.
xi. 3
(
|x+1|− 1
6
)2
≥ 1−2
∣∣∣∣|x+1|− 16
∣∣∣∣.
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Cálculo Diferencial e Integral
Capítulo 2
Relações e Funções
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
Ao final deste capítulo você deverá ser capaz de:
• Determinar com precisão o domínio e a imagem de funções reais;
• Dado o gráfico de uma relação, estabelecer se esta relação é funcional;
• Dada uma função, saber estabelecer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora;
• Realizar operações com funções, isto é, soma, substração, produto, divisão e composi-
ção de funções;
• Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e simbolismo matemático relativo às
funções definidas no conjunto dos números reais;
• Encontrar a inversa de uma função, se ela existir.
No nosso dia a dia, ao lermos um jornal, ao assistirmos televisão, nos deparamos com gráficos, tabelas
e ilustrações, pois estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Um texto com
ilustrações é muito mais interessante, chamativo, agradável e de fácil compreensão. Não é só nos jor-
nais ou revistas que encontramos gráficos, eles também estão presentes nos exames laboratoriais, nos
rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos, nas bulas
de remédios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos estes gráficos, verificamos a necessidade
dos conceitos necessários para o bom entendimento dos mesmos.
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta
em função da intensidade de luz a que ela é exposta, ou pessoa em função da impressão digital,
percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os
fenômenos físicos, biológicos e sociais.
Observamos então que as aplicações das relações e funções estão presentes no nosso cotidiano. Por-
tanto, neste capítulo revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemática: a função. Inicia-
remos o capítulo dando as definições gerais de relação. Em seguida, definiremos as funções reais de
variável real, pois são estas funções o objetivo de estudo deste capítulo e de todos os outros.
2.1 Relações
Na matemática, como em outras ciências, muitas vezes se deseja estabelecer uma relação ou corres-
pondência entre dois conjuntos. Suponhamos que temos os conjuntos A= {18,20,21,33} e
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Cálculo Diferencial e Integral
B = {Joao, Maria, Pedro, Brenda} e queremos estabelecer uma relação entre estes conjuntos, de
modo que a cada número do conjunto A associamo-lhes o nome de uma pessoa do conjunto B. As-
sim, podemos estabelecer o seguinte esquema conforme a figura abaixo:
18
20
21
33
João
Maria
Pedro
Brenda
A B
No entanto, este esquema pode ser representado mediante pares ordenados, isto é:
(18,João), (20,Maria), (21,Pedro), (33,Brenda).
Esta correspondência determina um subconjunto do conjunto A×B, e denotaremos este conjunto por:
R= {(18,João), (20,Maria), (21,Pedro), (33,Brenda)} .
É claro que a relação estabelecida não é única, pois é possível estabelecer outras relações entre estes
dois conjuntos. Abaixo apresentamos a definição formal de uma relação.
Definição 2.1
Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto de A× B, isto é,
R⊂ A×B, e é denotada por R : A→ B.
Definição 2.2
Seja a relação R : A→ B. Então:
i. Diz-se que o conjunto A é o conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de chegada;
ii. Se (x,y) ∈ R, diz-se que x esta em relação com y mediante R, e é denotado por xRy;
iii. Desde que /0⊂ A×B, /0 é uma relação de A em B, é chamada de relação nula;
iv. Se R⊂ A×A, diz-se que R é uma relação em A.
Exemplo 2.1
Sejam A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6,8,10}, determinemos por extenso as relações R e S definidas
por:
R= {(x,y) ∈ A×B : y= 2x} , S= {(x,y) ∈ A×B : y≥ 3x+1}
Solução
Das definições das relações R e S, temos que:
R= {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)} , S= {(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(2,8),(2,10),(3,10)} .
Na figura a seguir são ilustradas estas relações.
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2
4
6
8
10
R
2
4
6
8
10
S
A B A B
2.1.1 Domínio, imagem e gráfico de uma relação
Definição 2.3
Seja a relação R : A→ B, com R 6= /0. Então:
i. O domínio da relação R é o conjunto {x ∈ A : (x,y) ∈ A×B}, e é denotado por Dom(R);
isto é, o domínio de R é o subconjunto de A cujos elementos são os primeiros componentes
de todos os pares ordenados que pertencem à relação R.
ii. A imagem da relação R é o conjunto {y ∈ B : (x,y) ∈ A×B}, e é denotado por Im(R); isto
é, a imagem de R é o subconjunto de B cujos elementos são os segundos componentes de
todos os pares ordenados que pertencem à relação R.
iii. Se A e B são subconjuntos de R, o gráfico da relação R é o conjunto
{(x,y) ∈ R×R : (x,y) ∈ R}, e é denotado por Graf(R).
Nota
No momento de esboçar o gráfico de uma relação R, é usual posicionar o domínio no
eixo x (horizontal) e a imagem no eixo y (vertical).
Exemplo 2.2
Das relações R e S, definidas no Exemplo 2.1 [18], temos que:
Dom(R) = {1,2,3,4,5} , Im(R) = {2,4,6,8,10} ;
Dom(S) = {1,2,3} , Im(S) = {4,6,8,10} ;
Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir:
1 2 3 4 5
10
8
6
4
2
9
7
5
3
1
6
-
-
-
-
- - - - - -
-
-
-
-
-
-
Graf( )S
1 2 3 4 5
10
8
6
4
2
9
7
5
3
1
6
-
-
-
-
- - - - - -
-
-
-
-
-
-
Graf( )R
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Exemplo 2.3
Sejam as relações:
R=
{
(x,y) ∈ N×N : x2+ y2 ≤ 16} , S= {(x,y) ∈ R×R : x2+ y2 ≤ 16} .
Encontremos os domínios e as imagens delas e esboçemos seus gráficos.
Solução
• Da definição de R temos que:
R= {(1,1),(1,2)(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)} , Dom(R) = {1,2,3,4}= Im(R).
• Da definição de S temos que x2+y2 = 16 representa uma circunferência com centro na origem
e raio 4, concluímos que o gráfico de S está formado por todos os pontos da circunferência e
também por todos os pontos interiores a esta. Além disso, Dom(S) = [−4,4] = Im(S).
• Os gráficos de R e S são apresentados nas figuras a seguir:
Graf( )S
1 2
3
1
4
2
3
- - -
-
-
-
-
Graf( )R
4
-
0
-
2 1 1 2
3
1
1
3
4
2
2
4
3
-
-
-
- - - -
-
-
-
-
-
4
-
3
-
4
-
5
-
0
5
5
-
5-
-
- -- - -
-
-
-
-
-
2.2 Relação inversa
Definição 2.4
Seja uma relação R : A→ B, R 6= /0. A relação inversa de R, denotada por R−1, é o conjunto
R−1 = {(y,x) ∈ B×A : (x,y) ∈ R} .
Nota
A partir esta definição, é possível deduzir que R−1 é uma relação de B em A, isto é,
R−1 : B→ A, e é obtida a partir da relação R, interligando os componentes dos pares
ordenados que pertencem a R.
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Cálculo Diferencial e Integral
Exemplo 2.4
Sejam as relações R e S estabelecidas no Exemplo 2.1 [18]. Então
R−1 = {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)} ;
S−1 = {(4,1),(6,1),(8,1),(10,1),(8,2),(10,2),(10,3)} .
Propriedades da relação inversa
Da definição de R−1, temos que:
i. (y,x) ∈ R−1⇔ (x,y) ∈ R;ii. Dom(R−1) = Im(R) e Im(R−1) = Dom(R);
iii. (R−1)−1 = R; isto é, a relação inversa de R−1 é a própria R.
2.2.1 Relações entre o gráfico de uma relação e gráfico de sua inversa
Se R : R→ R, então, da propriedade acima, temos que:
(a,b) ∈ R⇔ (b,a) ∈ R−1.
Logo, os pontos (a,b) e (b,a) são simétricos com respeito à reta L : y = x; veja o item (a) da figura
a seguir. Isto implica que, os gráficos de R e R−1 são simétricos com respeito à reta L : y= x; veja o
item (b) da figura a seguir.
b-
b
-
0
a-
a
-
L: x=y
x
y
(b,a)
(a,b)
Graf(R)
Graf(R-1)
0
L: x=y
x
y
(a) (b)
Exemplo 2.5
Sejam as relações
R=
{
(x,y) ∈ R×R : x2+ y2 = 2x} e S= {(x,y) ∈ R×R : 2x≤ y} .
Determinemos as relações inversas e esbocemos seus respectivos gráficos.
Solução
a. Da definição de relação inversa temos que:
R−1 =
{
(y,x) ∈ R×R : x2+ y2 = 2x}
Porém, é convenção escrever x como primeiro componente de um par ordenado, e y como
o segundo componente, fazendo esta troca obtemos
R−1 =
{
(x,y) ∈ R×R : x2+ y2 = 2y}= {(x,y) ∈ R×R : x2+(y−1)2 = 1}
Os gráficos de R e R−1 são apresentados no item (a) da figura a seguir.
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Cálculo Diferencial e Integral
(a) (b)
x
y
0
1
1
x
Graf(R)
Graf(R -1)
Graf(S -1)
b. De forma análoga, para a relação S, obtemos que:
S−1 = {(x,y) ∈ R×R : 2y≤ x}
Os gráficos de S e S−1 são apresentados no item (b) da figura acima.
2.3 Funções
Nesta seção definiremos e desenvolveremos o conceito de função, que é objeto matemático básico
utilizado para descrever o mundo real em termos matématicos.
Definição 2.5
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B, com domínio Dom( f ).
Diz-se que f é uma função de A em B, se para cada elemento x ∈ Dom( f ) existe um único
elemento y ∈ B tal que (x,y) ∈ f . Ou equivalentemente,
f : A→ B é função, se (x,y) ∈ f e (x,z) ∈ f implica que y= z.
Nota
Desta definição temos que, em uma função não existem dois pares ordenados com
primeiros componentes iguais e segundos componentes diferentes.
Exemplo 2.6
Sejam os conjuntos A= {1,2,3,4} e B= {a,b,c,d,e}. Então:
a. A relação f1 : A→ B, definida por f1 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)}, é uma função de A em B.
Veja o item (a) da figura abaixo;
b. A relação f2 : A→ B, definida por f2 = {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(1,e)}, não é uma função
de A em B, pois ao elemento 1 lhe corresponde a dois elementos do conjunto B (isto é, (1,a) e
(1,e)). Veja o item (b) da figura abaixo;
c. A relação f3 : A→ B, definida por f3 = {(1,a),(2,a)}, é uma função de A em B. Veja o item
(c) da figura abaixo;
d. A relação f4 : A→ B, definida por f4 = {(1,a),(2,a),(3,a),(4,e)}, é uma função de A em B.
Veja o item (d) da figura abaixo.
22 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
a
b
c
d
e
f1 f2
a
b
c
d
e
f3
a
b
c
d
e
(a) (c)(b) (d)
f4
Nota
Seja uma função f : A→ B.
a. Se (x,y) ∈ f , se escreve y = f (x) (leia-se “y é igual a f de x”) e diz-se que y é o
valor de f em x, neste caso, x é denominada variável independente e y variável
dependente.
b. Desde que f é também uma relação, as definições de domínio, imagem e gráfico de f
são os mesmos estabelecidos na seção anterior.
c. Se Dom( f ) = A, diz-se que f é uma aplicação de A em B. Além disso, se Im( f ) = B,
diz-se que f é uma aplicação de A sobre B.
d. Se A e B são subconjuntos de R, então f é chamada de função real de variável real.
e. Se f é uma função real de variável real, definida pela regra de correspondência y =
f (x), então:
i. Quando Dom( f ) não é especificado, considera-se que este é o maior subcon-
junto de R para os quais a regra de correspondência tenha sentido e resulte em
valores reais. Isso é denominado domínio natural da função.
ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 são as coordenadas x para os quais o
gráfico de f intersecta o eixo x. Estes valores são denominados zeros de f ,
raízes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y= f (x) com o eixo x.
f. Os gráficos podem fornecer uma informação visual importante sobre uma função. Por
exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o grafico da equação y= f (x),
os pontos do gráfico são da forma (x, f (x)), ou seja, a coordenada y de um ponto do
gráfico de f é o valor de f na coordenada x correspondente.
Exemplo 2.7
Determinemos o domínio, a imagem e o gráfico de f , das funções a seguir:
a. Sejam A= {1,2,3,4}, B= {5,6,7,8,9} e f : A→ B definida por f (x) = x+2.
Solução
Desde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,
verificamos que os únicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B são
3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o gráfico de f é apresentado no item
(a) da figura abaixo
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Cálculo Diferencial e Integral
b. Seja f : R→ R definida por f (x) = 1
x
.
Solução
A função f dada esta definida para todo x ∈ R, exceto x= 0; assim Dom( f ) = R\{0}.
Para determinar Im( f ) é conveniente introduzir uma variável dependente y:
y=
1
x
.
Embora para muitos o conjunto dos possíveis valores de y não seja evidente nessa equação,
o gráfico de f . Veja o item (b) da figura abaixo, que sugere que Im( f ) = R \ {0}. Para
provar isto resolvamos a equação acima para x em termos de y:
x 6= 0 ⇒ xy= 1 ⇔ x= 1
y
.
Agora está evidente que essa expressão está definida para todo y ∈ R, exceto y = 0. Por-
tanto, Im( f ) = R\{0}.
0
Graf( )f
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
-
-
Graf( )f
x
y
x
y
1 2 3 4
8
6
9
7
5
- - - -
-
-
-
x
y
5
-
6
-
10-
-
-
4
3
-
-
2
1
-
-
0
Dom( )f
Im( )f
(a) (b) (c)
Graf( )f
c. Seja f : (0,5]→ [1,10) definida por f (x) = (x−3)2+1.
Solução
Da definição de f temos que Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, à medida que x varia sobre
o intervalo (0,5], o valor de (x− 3)2 varia sobre o intervalo [0,9); assim o valor de f (x)
varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).
Nesse caso, f é uma aplicação de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita como
f ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.
A próxima nota nos diz que nem toda curva no plano pode ser gráfico de uma função.
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Cálculo Diferencial e Integral
Teste da Reta Vertical
Uma relação f :R→R com domínio localizado no eixo horizontal e a imagem localizada no
eixo vertical, é uma função se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu gráfico no
máximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma função, enquanto que o
item (b) não corresponde a uma função.
x
y
0
y = f (x)
Graf( f ) x
y
0
L
P
Q
R
S
T
Graf( f )
(a) (b)
2.3.1 Translações e reflexões de uma função
Esta parte se dedicará a considerar o efeito geométrico de efetuar operações básicas com funções.
Isso nos permitirá usar gráficos de funções conhecidas para visualizar ou esboçar gráficos de funções
relacionadas.
Teorema 2.1 (Testes de simetria)
i. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x por
−x em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
ii. Uma curva plana é simétrica em relação ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y por
−y em sua equação obtém-se uma equação equivalente;
iii. Uma curva plana é simétrica em relação à origem se, e somente se, subtituindo-se x por
−x e y por −y em sua equação obtém-se uma equação equivalente.
Esboçando gráficos
Para esboçar o gráfico de uma função é importante considerar a relação entre ela e uma outra
função já conhecida, y = f (x). Seja o gráfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figura
abaixo. Então o gráfico de:
• y=− f (x) é a função simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) da
figura abaixo;• y = f (−x) é a curva simétrica ao gráfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) da
figura abaixo;
• y= | f (x)| se obtém transladando a parte do gráfico original que se encontra abaixo do eixo x
( f (x)< 0) de forma simétrica a este último e mantendo a parte do gráfico que está por cima
do eixo x ( f (x)≥ 0). Veja o item (d) da figura abaixo;
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Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
y = f (x)
x
f(x)
(a)
x
y
0
y = f (x)
y = - f (x)
(b) (d)
x
y
0
y = f (x) y = f (- x)
x
y
0
y = |f (x)|
y = f (x)
(c)
Sejam k > 0 e h> 0. Então o gráfico de:
• y = f (x)+ k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para cima.
Veja o item (a) da figura abaixo;
• y = f (x)− k se obtém transladando verticalmente o gráfico original k unidades para baixo.
Veja o item (a) da figura abaixo;.
• y = f (x+ h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
esquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;
• y = f (x− h) se obtém transladando horizontalmente o gráfico original h unidades para a
direita. Veja o item (b) da figura abaixo;
• y= f (x−h)+k se obtém efetuando uma dupla translação, h unidades para a direita horizon-
talmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.
x
y
0
y = f (x)
(c)
y = f (x - h) + k
k
h
x
y
0
y = f (x)
x
y
0
y = f (x)
(a) (b)
y = f (x) + k
y = f (x) - k
y = f (x+h) y = f (x-h)
k
k
h h
Exemplo 2.8
Dadas as seguintes funções:
a. f (x) = x2;
b. g(x) =−x2;
c. h(x) = x2+1;
d. i(x) = (x+1)2;
e. j(x) = (x−1)2−2;
f. k(x) = |x2−2|.
Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboço do gráfico de cada uma delas.
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Cálculo Diferencial e Integral
(b)
x
y
0
(a)
x
y
0
y = - x2
x
y
0
y = x2
y = x2 + 1
y = x2y = x2
1
(c)
(f)
x
y
0
(e)
x
y
0
y = x2
y = (x -1)2 - 2
1
y = |x 2 - 2|
y = x 2 - 2
x
y
0
y = (x +1)2
1
-2
(d)
y = x2
2.3.2 Funções comuns
Agora apresentaremos algumas funções reais de variável real que são de uso frequente em cálculo.
Função linear
É a função definida por f (x) = mx+b, onde m e b são constantes. O domínio da função linear
é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = R. Seu gráfico é a reta dependente m que intersecta o
eixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.
Casos particulares
a. Quando b= 0, a função f (x) =mx passa pela origem; veja o item (b) da figura abaixo.
b. Quando m= 1 e b= 0, a função f (x) = x é chamada de função identidade, também
denotada por Id(x), e seu gráfico é a reta diagonal do primeiro e terceiro quadrantes;
veja o item (c) da figura abaixo.
c. Quando m = 0, a função f (x) = b é chamada de função constante, e nesse caso
Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.
x
y
0
y = mx + b
Dom( ) = f
Im( ) = f R
R
x
y
0
y = b
Im( ) = {b}f
Dom( ) = f R
x
y
0
y = x
(a) (b) (c) (d)
y
y = x
y = - x
y = - 4x
3
2
5
2
y = 2x
y = x
b
27 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
Função valor absoluto
É a função definida por f (x) = |x|, x ∈ R. Da definição de valor absoluto temos:
|x|=
√
x2 =
{
x, se x≥ 0;
−x, se x< 0.
O domínio da função valor absoluto é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o
item (a) da figura abaixo.
Função raiz quadrada
É a função definida por f (x) =
√
x, x ≥ 0. O domínio da função raiz quadrada é Dom( f ) =
[0,+∞) e sua imagem é Im( f ) = [0,+∞); veja o item (b) da figura abaixo.
Função raiz cúbica
É a função definida por f (x) = 3
√
x, x ∈ R. O domínio da função raiz cúbica é Dom( f ) = R e
sua imagem é Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.
x
y
0
y = |x|
Im( ) = [0, + )f 8
Dom( ) = f R Dom( ) = 
x0
f
Im( ) = f
y = 3 x
R
R
y
x
y
0
y = x
f
Im( ) = [0, + )f 8
8Dom( ) = [0, + )
(a) (b) (c)
Função polinomial de grau n
É a função definida por f (x)= a0xn+a1xn−1+ · · ·+an, onde x∈R, a0,a1, . . . ,an são constantes
reais, a0 6= 0 e n∈N∪{0}. O domínio da função polinomial é Dom( f )=R, porém, sua imagem
depende de n.
Casos particulares
a. f (x) = xn, n ∈ N:
i. Se n é par, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞), seu gráfico é simétrico em relação ao
eixo y com formato geral de uma parábola, y = x2, embora não sejam realmente
consideradas assim quando n > 2, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,1) e
(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.
ii. Se n é impar, sua imagem é Im( f ) = R, seu gráfico é simétrico à origem com
formato geral de uma cúbica y = x3, e cada gráfico passa pelos pontos (−1,−1)
e (1,1), veja o item (b) da figura abaixo.
iii. Quando n cresce, no intervalo (−1,1) os gráficos ficam mais achatados e nos
intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) cada vez mais próximos ao eixo y;
b. Função quadrática ou função polinomial de 2◦ grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. O
gráfico desta função é uma parábola de vértice
(
− b
2a
,c− b
2
4a
)
.
i. Se a> 0, a parábola se abre para cima e Im( f ) =
[
c− b
2
4a
,+∞
)
; veja o item (c)
da figura abaixo.
28 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
ii. se a < 0, a parábola se abre para abaixo e Im( f ) =
(
−∞,c− b
2
4a
]
; veja o item
(d) da figura abaixo.
iii. O valor máximo ou mínimo da função ocorre no vértice, isto é, f
(
− b
2a
)
=
c− b
2
4a
é o valor máximo ou mínimo da função.
Dom( ) = 
x
y
0
f
Im( ) = f
y = x5
R
R
y = x3
Dom( ) = 
x
y
0
f
f
y = x4
Ry = x
2
8
(a) (b)
x
y
0 b
2a
b2
4a
c
x
y
0 b
2a
b2
4a
c
Im( ) = [0, + ) 
(c) (d)
y = x6
y = x7
Função racional
É a função definida por
f (x) =
a0xn+a1xn−1+ · · ·+an
b0xm+b1xm−1+ · · ·+bm , x ∈ R.
Esta função é o quociente dos polinômios P(x) = a0xn+a1xn−1+ · · ·+an e Q(x) = b0xm+b1xm−1+
· · ·+bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm são constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,m∈N∪{0}. O domínio
da função racional é Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) 6= 0} ≡ R\{x ∈ R : Q(x) = 0}.
Casos particulares
a. f (x) =
1
xn
, n ∈ N:
i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem é Im( f ) =
R \ {0} e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y = 1
x
e cada gráfico passa pelos
pontos (−1,−1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) =R\{0}, sua imagem é Im( f ) = [0,+∞)
e seu gráfico é semelhante ao gráfico de y =
1
x2
, e cada gráfico passa pelos pontos
(−1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;
iii. O fato de x /∈ Dom( f ) implica que o gráfico tem uma quebra na origem. Por esse
motivo, zero é denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito será visto no
próximo capítulo;
iv. Quando n cresce, nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) os gráficos ficam mais achatados
e nos intervalos (−1,0) e (0,1) cada vez mais próximos ao eixo y.
b. f (x) =
1
1+ xn
, n ∈ N:
i. Se n é impar, o domínio da função é Dom( f ) = R \ {−1}, sua imagem é Im( f ) =
R \ {0} e seu gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item
(c) da figura abaixo;
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Cálculo Diferencial e Integral
ii. Se n é par, o domínio da função é Dom( f ) = R, sua imagem é Im( f ) = (0,1] e seu
gráfico tem um comportamento semelhante à curva mostrada no item (d) da figura
abaixo.
x
y
0
y = 
Dom( ) = - {0} f
Im( ) = - {0} f R
R
1
x
(a)
x
y
0
y = 
Dom( ) = - {0} f
Im( ) = [0, + )f
R
8
1
x2
(b) (c) (d)
x
y
0
Dom( ) = - { - 1} f
Im( ) = - {0} f R
R
-1
Dom( ) =f
Im( ) = (0, 1]f
Rx
y
0
1
Função algébrica
É qualquer função construída a partir de polinômios por meio de operações algébricas (adição,
subtração, multiplicação, divisão ou extração de raízes). Todas as funções racionais são algébri-
cas, porém existem outras funções mais complexas inclusas nesse conjunto. Os gráficos desse
tipo de função variam amplamente, e assim sendo, é difícil fazer afirmações sobre elas.
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = [0, + )f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
y = x2/3(x+2)2
(c)
3
4
8
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
y = x(1 - x)2/5
R
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = - 3 4, +f
R
1 2 3
5
10
-3 -2 -1
-5
y = 3x1/3(2+ x)
(b)
15
20
8
(a)
9
4[ )
Função trigonomética
Existem 6 funções básicas trigonométricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).
Os gráficos das funções seno e cosseno são mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),
respectivamente.
x
y
0 π
1
-1
y = sen(x)
(b)(a)
2
π
π
2
3
2π
π
2
π
2
3
π2
π x
y
0 π
1
-1
y = cos(x)
2
π
π
2
3 2ππ
2
π
2
3π2
π
Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f
30 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
Função exponencial
É da forma f (x) = ax, onde a base a> 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos o
domínio é Dom( f ) =R e sua imagem é Im( f ) = (0,+∞). Os gráficos para as bases 2, 3, 5, 70
são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.
Dom( ) = (0,+ )f 8
(a)
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = (0,+ )f
R
1
y = 7-x
y = 5-x
y = 3-x
y = 2-x
8
x
y
0
Im( ) = f R
1
y = log2 x
x
y
0
1
(b)
y = 7x
y = 5x
y = 3x
y = 2x
(c)
y = log3 x
y = log5 x
y = log7 x
Função logarítmica
É da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 é uma constante positiva e a 6= 1. Esta função é
a inversa das funções exponenciais. Em todos os casos o domínio é Dom( f ) = (0,+∞) e sua
imagem é Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os gráficos da função logarítmica para
a= 2, 3, 5, 7.
Função sinal
É denotada por sgn(x), x ∈ R, leia-se sinal de x e está definida por
sgn(x) =

−1, se x< 0;
0, se x= 0;
1, se x> 0.
O domínio da função sinal é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = {−1,0,1}. Seu gráfico é
apresentado no item (a) da figura abaixo.
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = f
R
1 2 3
1
2
-3 -2 -1
-1
-2
-3
y = x
x
y
0
Dom( ) = f
Im( ) = {-1, 0, 1} f
R
y = sgn(x)
(a) (b)
Função maior inteiro
É denotada por bxc, x ∈ R, leia-se maior inteiro de x e está definida por
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Cálculo Diferencial e Integral
bxc= n se, e somente se, n≤ x< n+1, n ∈ Z
Isto é, bxc representa o maior número inteiro que não supera a x. O domínio da função maior
inteiro é Dom( f ) = R e sua imagem é Im( f ) = Z. Seu gráfico é apresentado no item (b) da
figura acima.
Propriedades da função maior inteiro
a. x−1< bxc ≤ x, ∀x ∈ R;
b. Se n ∈ Z ⇒ bx+nc= bxc+n, ∀x ∈ R;
c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a função permanece cons-
tante é `=
1
|a| , desde que
baxc= n⇔ n≤ ax< n+1
n
a
≤ x< n
a
+
1
a
, se a> 0;
n
a
≥ x> n
a
+
1
a
, se a< 0.
Em ambos casos, `=
∣∣∣∣na + 1a − na
∣∣∣∣= 1|a| .
Exemplo 2.9
Dada a função maior inteiro bxc:
a. Se x= 3,1415⇒ bxc= 3;
b. Se x= 3⇒ bxc= 3;
c. Se x=−1,25⇒ bxc=−2;
d. Se x ∈ [−2,−1)⇒ bxc=−2;
e. Se x ∈ [−1,0)⇒ bxc=−1;
f. Se x ∈ [0,1)⇒ bxc= 0;
g. Se x ∈ [1,2)⇒ bxc= 1.
Exemplo 2.10
Esbocemos os gráficos das seguintes funções:
a. f (x) = b3xc
Solução
Pela definição, b3xc = n⇔ n ≤ 3x < n+ 1⇔ n
3
≤ x < n
3
+
1
3
. O gráfico desta função é
apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função perma-
nece constante é `=
1
3
.
32 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
b. f (x) =
⌊
−x
3
⌋
Solução
Pela definição,
⌊
−x
3
⌋
= n⇔ n ≤ −x
3
< n+ 1⇔ −3n− 3 < x ≤ −3n. O gráfico desta
função é apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a função
é constante é `=
1∣∣∣∣−13
∣∣∣∣ = 3.
x
y
-1 3 3
0 1 2 1
-1
-2
-3
3 3
2 1
y = 3x
x
y
0
1
2
-9
-1
-2
-3
3 6
y = 
9
-6 -3
x
3
(a) (b)
1
2
2.3.3 Função par e função ímpar
Definição 2.6
i. Uma função f :R→R é chamada par se para todo x ∈Dom( f ) se verifica−x ∈Dom( f )
e f (−x) = f (x).
x
y
0
y = xn
x
y
0
y = |x|
Im( ) = [0, + )f 8
Dom( ) = f R
x
y
0
y = 
Dom( ) = - {0} f
Im( ) = [0, + )f
R
8
1
xn
Dom( ) =f
Im( ) = (0, 1]f
R
x
y
0
1
y = 
1
xn+1
Figura 2.1: Gráficos de funções pares, em todos eles n é par.
ii. Uma função f : R→ R é chamada ímpar se para todo x ∈ Dom( f ) se verifica −x ∈
Dom( f ) e f (−x) =− f (x).
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Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
y = x
Dom( ) = f
Im( ) = f R
R
x
y
0
y = n x
Dom( ) = 
x
y
0
f
Im( ) = f
y = xn
R
R
x
y
0
y = 
Dom( ) = - {0} f
Im( ) = - {0} f R
R
1
xn
Figura 2.2: Gráficos de funções ímpares, em todos eles n é ímpar.
Nota
a. O gráfico de toda função par é simétrico em relação ao eixo y, uma vez que f (−x) =
f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,y) estiver no
gráfico. Uma reflexão através do eixo y não altera o gráfico.
b. O gráfico de toda função ímpar é simétrico em relação à origem, uma vez que f (−x) =
− f (x), um ponto (x,y) estará no gráfico se, e somente se, o ponto (−x,−y) estiver no
gráfico.
c. Um gráfico é simétrico em relação à origem se uma rotação de 180◦ em relação à
origem não altera o gráfico.
2.3.4 Função periódica
Definição 2.7
Uma função f : R→ R é dita periódica se existe um número real t 6= 0 tal que para todo
x ∈ Dom( f ) se verifica:
i. x+ t ∈ Dom( f )
ii. f (x+ t) = f (x).
iii. O menor valor de t é o período de f .
Exemplo 2.11
As seguintes funções são periódicas:
a. f (x) = x−bxc , x∈RNotamos que f (x+1) = (x+1)−bx+1c= x+1−(bxc+1) = x−bxc=
f (x) e desde que não existe outro número real t tal que 0 < t < 1 e que seja o período de f ,
assim f é de período 1; veja o item (a) da figura abaixo.
x
y
1
-1
f(x) = |sen(2x)|
π π-π
2
-π
2
x
y
0
1
-3 1 2
f(x) = x x
3-2 -1-4 4
(a) (b)
-1
Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR
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Cálculo Diferencial e Integral
b. f (x) = |sen(x)|, x ∈R O período de f é t = pi . De fato, f (x+pi) = |sen(x+pi)|= |− sen(x)|=
|sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.
2.3.5 Função crescente e função decrescente
Definição 2.8
Seja f uma função definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.
i. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é crescente em I; veja o item
(a) da figura abaixo.
x
y
a bx1 x2
f(x1)
f(x2)
0
I
x
y
a bx1 x2
f(x2)
f(x1)
0
I
ii. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, então dizemos que f é decrescente em I; veja o
item (b) da figura acima.
Nota
Uma função é crescente se seu gráfico é ascendente e é decrescente se seu gráfico é des-
cendente, em ambos casos da esquerda para a direita.
Exemplo 2.12
A função f (x)= |x2−4|, veja gráfico abaixo, é crecente nos intervalos [−2,0] e [2,+∞), e decrescente
nos intervalos (−∞,−2] e [0,2].
x
y
f(x) = | x2- 4 |
-2 2
4
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Cálculo Diferencial e Integral
2.3.6 Função definida por partes
Definição 2.9
Uma função f :R→R é definida por partes se ela é descrita por funções diferentes em partes
diferentes de seu domínio.
f (x)=

f1(x), se x ∈ I1;
f2(x), se x ∈ I2;
...
...
fn(x), se x ∈ In;
onde Ii ⊆ Dom( fi), ∀ i, Dom( f ) =⋃ni=1 Ii e Ii∩ I j = /0, ∀ i, j ∈ {1,2, . . . ,n}, i 6= j.
Exemplo 2.13
A função
f (x) =

(x+1)2+1, se x ∈ (−∞,−1);
|x|, se x ∈ [−1,1);
1, se x ∈ [1,pi);
−cos(x), se x ∈ [pi,+∞);
é definida por partes, e na figura abaixo podemos ver seu gráfico.
x
y
1
-1
f(x) 
π-1 1
2.4 Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva
Nesta seção apresentamos três conceitos muito importantes para funções: injetividade, sobrejetivi-
dade e bijetividade.
Definição 2.10
Seja f : A→ B uma função. Diz-se que:
i. f é injetiva se f (x1) = f (x2) implica que x1 = x2 para todo x1,x2 ∈ Dom( f ). Ou equiva-
lentemente, ∀x1,x2 ∈ Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).
ii. f é sobrejetiva ou sobre se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f (x) = y. Em outras
palavras, f : A→ B é sobrejetiva se Im( f ) = B.
iii. f é bijetiva se, e somente se, f é injetiva e sobrejetiva.
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Cálculo Diferencial e Integral
Nota
a. A função injetiva também é conhecida como função univalente ou um a um, já que
existe uma correspondência um para um entre os elementos do domínio e a imagem.
b. Geometricamente, uma função definida por y= f (x) é injetiva se ao traçar retas para-
lelas ao eixo x, essas intersectam o seu gráfico em não mais um ponto.
x
y
0
y
Exemplo 2.14
a. A função f : R→ R definida por f (x) = 3x+ 2, é injetiva. De fato, se f (x1) = f (x2) ⇒
3x1 + 2 = 3x2 + 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2. Além disso, f é sobrejetiva desde que se
y ∈R, existe x= y−2
3
tal que f (x) = f
(
y−2
3
)
= 3
(
y−2
3
)
+2 = y, assim f é sobrejetiva e
concluimos que f é bijetiva.
b. A função f : R→ [0,+∞) definida por f (x) = x2, é sobrejetiva pois Im( f ) = [0,+∞). Porém,
x1 =−2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto é, f (−2) = 4= f (2). Portanto, f não é bijetiva.
2.4.1 Operações com funções
Da mesma forma que fazemos operações aritméticas com números, podemos realizar este tipo de
operações entre funções, produzindo outras novas.
Definição 2.11
Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais com domínios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-
mente. Define-se:
A função soma
( f +g)(x) := f (x)+g(x), x ∈ Dom( f +g) = Dom( f )∩Dom(g).
A função diferença
( f −g)(x) := f (x)−g(x), x ∈ Dom( f −g) = Dom( f )∩Dom(g).
A função produto
( f ·g)(x) := f (x) ·g(x), x ∈ Dom( f ·g) = Dom( f )∩Dom(g).
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Cálculo Diferencial e Integral
A função quociente(
f
g
)
(x) :=
f (x)
g(x)
, x ∈ Dom
(
f
g
)
= Dom( f )∩ (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .
A função valor absoluto
| f |(x) := | f (x)|, x ∈ Dom(| f |) = Dom( f ).
A função produto de uma constante por uma função
(c f )(x) := c f (x), x ∈ Dom(c f ) = Dom( f ),
onde c ∈ R é uma constante real .
Exemplo 2.15
As funções
a. f (x) = 4x3−6 e g(x) =−(6−4x3) são iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).
b. f (x) =
√
(x−2)(x−5) e g(x) = √x−2√x−5 são diferentes, sendo Dom( f ) = (−∞,2]∪
[5,+∞) e Dom(g) = [5,+∞) ou seja Dom( f ) 6= Dom(g).
Exemplo 2.16
Sejam f (x) =
√
9− x2 e g(x) =
√
x2− 14 . Encontremos as regras de correspondência das funções:
f +g, f −g, f ·g, −8g,
(
f
g
)
, |g|.
Solução
Caculemos os domínios:
Dom( f ) =
{
x ∈ R : 9− x2 ≥ 0}= [−3,3];
Dom(g) =
{
x ∈ R : x2− 1
4
≥ 0
}
=
(
−∞,−1
2
]
∪
[
1
2
,+∞
)
;
Dom( f )∩Dom(g) =
[
−3,−1
2
]
∪
[
1
2
,3
]
a. ( f +g)(x) = f (x)+g(x) =
√
9− x2+
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
b. ( f −g)(x) = f (x)−g(x) =√9− x2−
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
c. ( f ·g)(x) = f (x) ·g(x) =√9− x2 ·
√
x2− 14 , x ∈ [−3,−12 ]∪ [12 ,3];
d. (−8g)(x) =−8g(x) =−8
√
x2− 14 , x ∈ [−3,3];
e.
(
f
g
)
(x) =
f (x)
g(x)
=
√
9− x2√
x2− 14
, x ∈ [−3,−12)∪ (12 ,3];
f. |g|(x) = |g(x)|=
∣∣∣∣√x2− 14∣∣∣∣=√x2− 14 , x ∈ [−12 , 12 ].
38 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
2.5 Composição de funções
A composição é outra forma de combinar funções, esta operação não tem analógo direto na aritmética
usual.
Definição 2.12
Sejam f : A→ B e g : B→C duas funções reais tais que Im( f )∩Dom(g) 6= /0. A composição
de g com f , denotada por g◦ f , é a função g◦ f : A→C definida por:
(g◦ f )(x) := g( f (x))
O domínio da função composta g◦ f é dado por
Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}
Na seguinte figura ilustramos a função composta g◦ f
A B C
Dom( f )
 g f °
Dom( g )
f (g(x))
f g
Nota
Falando de forma informal, a operação de composição de duas funções é a operação de
substituir a variável dependente da sua definição pela função que a precede.
Exemplo 2.17
Sejam as funções f (x) = 2x−6 e g(x) =√x. Encontremos g◦ f e f ◦g
Solução
a. (g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(2x−6) =√2x−6,
logo, o domínio da g◦ f é
Dom(g◦ f ) = {x ∈ R : x ∈ Dom( f ) e f (x) ∈ Dom(g)}
= {x ∈ R : x ∈ R e 2x−6≥ 0}
= [3,+∞)
b. ( f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (√x) = 2√x−6,
logo, o domínio da f ◦g é
Dom( f ◦g) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g) e g(x) ∈ Dom( f )}
= {x ∈ R : x≥ 0 e√x ∈ R}
= [0,+∞)
A seguinte figura ilustra cada uma destas composições.
39 / 238
Cálculo Diferencial e Integral
x
y
0
-4
-6
-2
1 5 6 9
x
(g f )(x) = 2x-6
y
3 540
°
(f g )(x) = 2 x - 6°
2
2
Nota
Deste exemplo, podemos concluir que a composição de funções não é comutativa, isto é,
g◦ f e f ◦g em geral são diferentes.
Exemplo 2.18
Sejam as funções
f (x) =
{
x2 se x< 1;
−x3 se x≥ 2; g(x) =
{ −x se x< 2;
2x se x≥ 4.
Encontremos f ◦g.
Solução
Neste caso cada uma das funções é definida por partes:
f (x) =
{
f1(x) se x ∈ Dom( f1);
f2(x) se x ∈ Dom( f2); g(x) =
{
g1(x) se x ∈ Dom(g1);
g2(x) se x ∈ Dom(g2).
Logo, o domínio de f ◦g será obtido analisando todas as combinações possíveis de f1, f2, g1 e
g2, isto é:
a. f1 ◦g1:
Dom( f1 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f1)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ (−∞,1)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−1,+∞)}
= (−1,2)
Então, ( f ◦g)(x) = f1(g1(x)) = f1(−x) = x2, ∀x ∈ (−1,2).
b. f1 ◦g2:
Dom( f1 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f1)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ (−∞,1)}
=
{
x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ (−∞, 1
2
)
}
= /0
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Cálculo Diferencial e Integral
c. f2 ◦g1:
Dom( f2 ◦g1) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g1) e g1(x) ∈ Dom( f2)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e − x ∈ [2,+∞)}
= {x ∈ R : x ∈ (−∞,2) e x ∈ (−∞,−2]}
= (−∞,−2)
Então, ( f ◦g)(x) = f2(g1(x)) = f2(−x) = x3, ∀x ∈ (−∞,−2).
d. f2 ◦g2:
Dom( f2 ◦g2) = {x ∈ R : x ∈ Dom(g2) e g2(x) ∈ Dom( f2)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e 2x ∈ [2,+∞)}
= {x ∈ R : x ∈ [4,+∞) e x ∈ [1,+∞)}
= [4,+∞)
Então, ( f ◦g)(x) = f2(g2(x)) = f1(2x) =−8x3, ∀x ∈ [4,+∞). Portanto,
( f ◦g)(x) =

x2, se x ∈ (−∞,−2);
x3, se x ∈ (−1,2);
−8x3, se x ∈ [4,+∞).
Propriedades da composição de funções
Sejam f ,g e h funções reais com domínios Dom( f ), Dom(g) e Dom(h), respectivamente. Então
se verifica que:
a. ( f ◦g)◦h= f ◦ (g◦h)
b. f ◦ Id = f = Id◦ f
c. ( f +g)◦h= f ◦h+g◦h
d. ( f −g)◦h= f ◦h−g◦h
e. ( f ·g)◦h= ( f ◦h) · (g◦h)
f.
(
f
g
)
◦h= f ◦h
g◦h
2.6 Função inversa
Dada uma função f : A→ B, sempre temos alguma das duas possibilidades: f é injetiva ou f não é
injetiva.
• Se f não é injetiva, existem pelo menos dois elementos x1,x2 ∈ A tais como:
(x1,y) ∈ f e (x2,y) ∈ f .
Portanto, a (relação) inversa de f , f−1, não é uma função de B em A.
• Se f : A→ B é injetiva, então a inversa f−1 : B→ A é uma função injetiva e é chamada de função
inversa de f
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Cálculo Diferencial e Integral
Ambos casos são apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo, respectivamente. No item (c) é
apresentada a interpretação da função inversa.
f
(a) (b)
y
f -1
A B
f
x1
x2
f