Calcule a reta tangente e a reta normal à função y = x2 + 2x no ponto x0= 1.

Vamos calcular f(x₀)

f(x) = x² + 2x
f(1) = 1² + 2*1
f(1) = 3

Calculando a derivada 

f(x) = x² + 2x
f'(x) = 2x + 2

Calculando f'(x₀)

f'(1) = 2*1 + 2
f'(1) = 4

Substituindo os dados na fórmula

RETA NORMAL
A reta normal é dada por

Os dados são os mesmos da reta tangente, então vamos substituir na fórmula

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\[\eqalign{ y_0 &= x_0^2+2x_0 \cr &= 1^2+2\cdot 1 \\ &= 1+2 \\ &= 3 }\]

1. Reta tangente: o coeficiente angular \(a_{tan}\)de uma reta tangente a uma função \(y\)é calculado da seguinte forma:

\[a_{tan}={\partial y \over \partial x}\]

Substituindo \(y=x^2+2x\):

\[\eqalign{ a_{tan}&={\partial y \over \partial x} \\ &={\partial \over \partial x}(x^2+2x) \\ &= 2x+2 }\]

Substituindo o ponto \(x_0=1\) o valor correspondente de \(a\)é:

\[\eqalign{ a_{tan} &= 2x_0+2 \cr &=2\cdot 1+2 \\ &=4 }\]

Portanto, a equação da reta tangente \(y_{tan}\)fica da seguinte forma:

\[\eqalign{ y_{tan} &= a_{tan}\cdot x+b_{tan} \\ &= 4x+b_{tan} \\ }\]

Substituindo o ponto \((x_0,y_0)=(1,3)\)na equação anterior, o valor de \(b_{tan}\)é:

\[\eqalign{ 3 &= 4\cdot 1+b_{tan} \\ b_{tan} &= 3-4 \\ &= -1 }\]

Portanto, a equação completa da reta tangente \(y_{tan}\)é:

\[y_{tan}=4x-1\,\,\,\, (I)\]

1. Reta normal: como a reta tangente e a reta normal são perpendiculares entre si, o coeficiente angular \(a_{nor}\)da reta normal é calculado da seguinte forma:

\[a_{nor} = -{1 \over a_{tan}}\]

Substituindo \(a_{tan}=4\) o valor de \(a_{nor}\)é:

\[\eqalign{ a_{nor} &= -{1 \over a_{tan}} \\ &= -{1 \over 4} \\ &= -0,25 }\]

Portanto, a equação da reta normal \(y_{nor}\)fica da seguinte forma:

\[\eqalign{ y_{nor} &= a_{nor}\cdot x+b_{nor} \\ &= -0,25x+b_{nor} \\ }\]

Substituindo o ponto \((x_0,y_0)=(1,3)\)na equação anterior, o valor de \(b_{nor}\)é:

\[\eqalign{ 3 &= -0,25\cdot 1+b_{nor} \\ b_{nor} &= 3+0,25 \\ &= 3,25 }\]

Portanto, a equação completa da reta normal \(y_{nor}\)é:

\[y_{nor} = -0,25x+3,25\,\,\,\,(II)\]

Concluindo, pelas equações \((I)\)e \((II)\) a reta tangente e a reta normal à função \(y = x^2 + 2x\)no ponto \(x_0= 1\)são, respectivamente:

\[\boxed{ \left\{ \begin{matrix} \eqalign{ y_{tan}&=4x-1\cr y_{nor} &= -0,25x+3,25 } \end{matrix} \right. }\]