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Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
1
Professor Antonio Carlos 
Colangelo Luiz
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
2
Conceitos básicos 3
Matemática financeira: importância 3
Valor do dinheiro no tempo 4
Matemática financeira: objetivos 5
Fluxo de caixa 5
Juro 9
Juros simples 10
Juros compostos 15
Desconto 28
Características da operação 28
Coeficientes de financiamentos 33
Sistemas de financiamento 38
Séries de pagamento: fluxos de caixa 44
Técnicas de orçamento de capital 49
Referências bibliográficas 73
Sumário
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
3
ConCeitoS báSiCoS
Com a entrada em decadência da economia inglesa, até então a mais importante do mundo, os Estados 
Unidos da América apresentaram forte crescimento da última década do século XIX até o final dos anos 1920, 
quando o país adquiriu o status de maior economia do mundo.
O rápido crescimento do produto nacional, aliado à sua extensão territorial, gerou a necessidade de 
uma eficiente infraestrutura de transporte no país. Aproveitou-se, logicamente, a experiência em transporte 
ferroviário desenvolvida na antiga metrópole.
Sendo assim, os primeiros trabalhos sobre engenharia econômica foram elaborados nos Estados Unidos no 
final do século XIX, voltados para a análise de viabilidade econômica de projetos ferroviários. 
Desde então, os projetos de investimento realizados tanto por pessoas jurídicas como por pessoas físicas 
passaram a utilizar os conceitos fundamentais de engenharia econômica.
Segundo Nakano (1967), a engenharia econômica procura conciliar a eficiência tecnológica, objeto de 
estudo da engenharia, com a eficiência econômica, objeto de estudo da economia.
Resumidamente, de acordo com a teoria econômica, investir é abrir mão de um consumo presente por um 
consumo maior no futuro. Esse conceito envolve a utilização de recursos em épocas diferentes. Pode haver, 
ainda, séries com recebimentos parciais ou pagamentos parcelados, resultando na consideração de recursos 
em várias datas.
Os conceitos de engenharia econômica são importantes na decisão de viabilidade de projetos de 
investimento e, para tanto, utilizam as técnicas de matemática financeira, que usam taxas de juros, taxas de 
desconto e fatores de capitalização, necessários para comparar o valor do dinheiro aplicado e/ou recebido em 
uma determinada data, com os recebimentos e os pagamentos observados em diversos períodos.
A engenharia fornece o instrumental matemático básico para trabalhar, e a economia, o ferramental 
necessário para tratar do futuro da forma menos arriscada. Assim conseguimos avaliar os projetos de 
investimento da maneira mais eficiente possível.
matemátiCa finanCeira: importânCia
A matemática financeira é um conjunto de técnicas destinadas a estudar o valor do dinheiro no tempo.
Podemos observar facilmente que, com R$ 100,00 que temos hoje, podemos comprar menos bens do que 
comprávamos com os mesmos R$ 100,00 um ano atrás. Provavelmente, essa quantia de dinheiro deverá 
comprar ainda menos bens daqui a um ano.
Portanto, não podemos comparar o valor do dinheiro de um ano atrás com o valor dele hoje, nem no 
próximo ano.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
4
Essa observação é importante, tanto para pessoas físicas quanto para pessoas jurídicas, no sentido de 
organizar a vida financeira e descobrir que é possível liberar recursos para investir.
Esse processo é chamado de planejamento financeiro e ajuda a responder às seguintes perguntas:
• De onde vem e para onde vai o dinheiro?
• Por que investir?
• Devem-se manter as aplicações ou pagar dívidas assumidas no passado?
• Como selecionar os objetivos?
• Quais são as opções de investimentos?
Cabe lembrar que investimentos são aplicações de recursos que geram renda ou retorno ao detentor dos 
recursos. 
Por exemplo, a compra de um imóvel que será utilizado como moradia não deve ser considerada um 
investimento, uma vez que não gera renda. Pelo contrário, é um bem que gera gastos, como manutenção, 
impostos, limpeza etc. Investimento é aquele imóvel adquirido para ser alugado, pois, nesse caso, está 
cobrindo os custos de manutenção e agregando renda ao aplicador dos recursos.
Da mesma forma, um automóvel não é um investimento e sim um produto de consumo, uma vez que seu 
valor se deprecia e envolve a necessidade de gastos futuros de manutenção, não gerando retorno financeiro 
ao comprador.
Valor do dinheiro no tempo
Vamos imaginar uma situação bastante simples, relacionada ao nosso cotidiano, por exemplo: um amigo 
pede emprestado R$ 1.000,00 para você hoje, prometendo devolver igual quantia daqui a um ano. O que 
você acha?
Algumas dúvidas podem surgir, como:
• Será que ele vai pagar?
• O poder de compra dos R$ 1.000,00 daqui a um ano será o mesmo?
• Se eu aplicar os R$ 1.000,00 hoje na caderneta de poupança, qual seria o rendimento?
Cabe observar, nessa situação, três fatores que influenciam o valor do dinheiro no tempo:
a. Risco de crédito – relacionado à capacidade de pagamento desse empréstimo daqui a um ano por parte 
de seu amigo.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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b. Inflação – aumento generalizado e persistente dos preços dos bens e dos serviços na economia, 
alterando o poder de compra do dinheiro.
c. Taxa real de juros – em função dos fatores anteriores, é normal que você cobre um valor adicional para 
se precaver do risco de crédito e da inflação. Esse valor é chamado de juro, que deve incluir a reposição 
do poder de compra do dinheiro e mais um prêmio pelo risco de crédito. A taxa real de juros é justamente 
um percentual equivalente a esse prêmio que deve ser acrescentado à recomposição do valor perdido pela 
inflação. No nosso exemplo, a recomposição poderá ser obtida pelo rendimento da caderneta de poupança 
ou pela variação de índices de inflação. 
O índice de inflação oficial no Brasil é o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), calculado pelo 
IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística). A série desse índice teve início em 1979 e engloba 
famílias que recebem de um a oito salários mínimos, nas 11 maiores regiões metropolitanas do país. 
matemátiCa finanCeira: objetiVoS
Toda operação financeira envolve um fluxo de recursos no tempo, denominado fluxo de caixa.
A operação financeira pode ser uma aplicação de recursos com a finalidade de se obter um rendimento 
futuro ou uma captação de recursos que deverão ser devolvidos (recursos de terceiros: empréstimos, 
fornecedores etc.) ou remunerados adequadamente (recursos próprios) no futuro.
Os objetivos da matemática financeira são:
• Transformar fluxos de caixa em diversos períodos em outro equivalente, com aplicação das taxas de 
juros de cada período, considerando o valor do dinheiro no tempo.
• Possibilitar a análise e a comparação de diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma 
operação.
fluxo de Caixa
Fluxo de caixa é a movimentação de recursos originada de uma operação financeira, ou seja, as entradas 
e as saídas de recursos do caixa de uma pessoa física ou jurídica, ao longo do seu prazo de duração. Toda 
operação financeira pode ser representada pelo seu fluxo de caixa.
As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas 
apontadas para baixo. As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são 
representadas por setas apontadas para cima.
Convenções:
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0 = momento do início do projeto. Nesse caso, uma entrada em caixa (empréstimo bancário – recursos de 
terceiros – ou aporte de capital dos acionistas – recursos próprios). No caso de uma saída de caixa, estaria 
representado por uma seta para baixo (um investimento ou uma aplicação de recursos).
A representação da movimentação financeira pode ser por intermédio de setas a partir dos pontos da linha 
do tempo, para cima (entradas) e para baixo (saídas), ou da forma a seguir, comtodas as setas do lado de 
cima da linha do tempo:
0 1 2 3 … n
(-)
$
(+)
$
(-)
$
(-)
$
(+)
$
(-)
$
TEMPO
Figura 1. Fonte: Assaf (2012).
 = entradas (sinal +): receitas
 = saídas (sinal -): despesas 
+ e - = os sinais indicam movimentos opostos, importantes na utilização da calculadora financeira HP 12C 
ou do Excel, que deverá reconhecer um fluxo de caixa, isto é, uma movimentação de recursos que envolve 
entradas e saídas de dinheiro.
A calculadora financeira HP 12C acumula informações na função financeira que, a partir de certa quantidade, 
atrapalham os cálculos. Nesse caso, após a utilização de uma série de cálculos, recomendamos sempre a 
utilização da função limpeza da memória financeira, como segue:
• Pressionar a função amarela f.
• Pressionar a tecla FIN (função branca x><y).
• Dessa forma, limpamos os dados dos registros financeiros. 
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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A calculadora financeira HP 12C realiza cálculos com duas até nove decimais. Para efeito de maior precisão, 
recomendamos a utilização de nove casas decimais. Para o estabelecimento desse número, procedemos da 
seguinte maneira:
• Pressionar a função amarela f.
• Escolher o número de casas desejado no teclado numérico.
• Assim, o número de casas decimais aparecerá no visor, após a vírgula.
A calculadora financeira HP 12C é adaptada às convenções norte-americanas e, portanto, o ponto separa 
os números inteiros das casas decimais. A vírgula é utilizada para separar os milhares nos números inteiros. 
Para inverter essas funções (ponto e vírgula) e adaptá-las às convenções brasileiras, realizamos a seguinte 
operação:
• Com a máquina desligada, pressionamos a tecla . (ponto).
• Em seguida, ligamos a máquina na tecla ON e soltamos a tecla ..
• Aparecerá no visor 0,0000..., e as funções (ponto e vírgula) foram invertidas, de acordo com as 
convenções brasileiras.
n = períodos de tempo: ano, semestres, trimestres, meses e dias. No mercado financeiro, é utilizado o 
ano comercial com 360 dias e não o ano calendário com 365 dias. Assim, um ano comercial é composto por 
dois semestres de 180 dias, quatro trimestres de 90 dias e 12 meses de 30 dias cada.
Posição END – Na calculadora HP 12C, essa posição é acionada mediante o seguinte procedimento:
• Função azul – tecla g.
• Tecla END – correspondente à tecla branca de número 8. Note que a palavra END está escrita em azul 
na parte inferior da tecla.
Os valores que ocorrem ao longo dos intervalos dos períodos são representados nos finais dos respectivos 
períodos. Tratam-se, portanto, de séries denominadas postecipadas. Graficamente, essa posição pode ser 
assim demonstrada:
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0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i i i i
Tabelas
HP
Excel
ii
Figura 2. Fonte: Assaf (2012).
Posição BEGIN – Na calculadora HP 12C, essa posição é acionada mediante o seguinte procedimento:
• Função azul – tecla g.
• Tecla BEG – correspondente à tecla branca de número 7. Note que a palavra BEG está escrita em azul 
na parte inferior da tecla.
Os valores que ocorrem ao longo do intervalo dos períodos podem ser representados nos inícios dos 
respectivos períodos. Nesse caso, as séries são denominadas antecipadas.
0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i i i i i i
HP
Excel
Figura 3. Fonte: Assaf (2012).
PV = present value: valor presente – principal - capital – investimento inicial.
FV = future value: valor futuro – montante – valor de resgate.
PMT = prestações, pagamentos ou parcelas intermediárias de valores iguais.
i = taxa de juros, sempre utilizada nas fórmulas sob a forma de número decimal.
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Capitalização dos valores = quando o PV é levado ao futuro com uma determinada taxa de juros para ser 
comparado com o FV. Nesse caso, o valor presente está sendo capitalizado.
Desconto de valores = quando o FV é trazido ao presente com uma determinada taxa de juros para ser 
comparado com o PV. Nesse caso, o valor futuro está sendo descontado.
juro
O juro (J) é a diferença entre o dinheiro emprestado ou aplicado no presente e o cobrado ou obtido no 
futuro. Portanto:
J = FV - PV
A taxa de juros (i) refere-se ao percentual ou aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada 
centésima parte do capital. Portanto: 
J = PV . i
É importante observar que a taxa de juros (i) e o número de períodos do fluxo de caixa (n) devem estar 
sempre na mesma base, ou seja, taxa mensal para períodos mensais, taxa anual para períodos anuais etc.
São utilizados dois regimes de juros em matemática financeira:
a. Juros simples - Juros do período calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). Esse regime 
é pouco utilizado no mercado financeiro brasileiro, sendo atualmente considerado apenas em operações de 
desconto de duplicatas. 
Os juros acumulados ao longo dos períodos não rendem, apesar de ficarem retidos pela instituição 
financeira. O crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear, ou seja, comporta-se de acordo com uma 
progressão aritmética.
b. Juros compostos - Juros do período calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período. 
Com exceção do desconto bancário, todas as demais operações financeiras no mercado nacional utilizam 
esse regime.
Os juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e 
também rendem juros. O crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial, ou seja, comporta-se 
de acordo com uma progressão geométrica.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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juroS SimpleS
Conceito e fórmulas
No conceito de juros simples, a taxa de juros é calculada sempre sobre o capital inicial, ou o principal, 
ou ainda o valor presente (PV), durante todo o período de capitalização da operação financeira, mediante a 
utilização da seguinte fórmula:
J = PV . i . n
Onde:
• PV = valor presente (principal).
• J = juros acumulados até o final de n períodos de capitalização.
• i = taxa de juros empregada por período de capitalização.
• n = número de períodos capitalizados.
O valor obtido após o término do período de capitalização é chamado de montante, ou valor futuro (FV), 
calculado da seguinte forma:
FV = PV + J
Combinando as duas fórmulas anteriores, temos a equação geral dos juros simples:
FV = PV . (1 + i . n)
Exemplo: Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, durante quatro anos?
Solução 1: Extrai-se do enunciado diretamente que:
 PV = 1.000
 i = 8% ao ano ou 0,08 e
 n = 4 anos.
Note-se que a taxa de juros (i) e o período de capitalização (n) estão na mesma base, isto é, em anos. 
Logo, podemos iniciar os cálculos usando as duas primeiras fórmulas e, assim, teremos:
 J = PV. i. n
 J = 1.000 × 0,08 × 4 = 320
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e
 FV = PV + J
 FV = 1.000 + 320 = 1.320
Resposta 1: O montante é de R$ 1.320,00.
Solução 2: Usando, agora, a equação geral, temos:
 FV = PV . (1+ i . n)
 FV = 1.000 × (1+ 0,08 × 4)
 FV = 1.000 x (1,32)
 FV = 1.320
Resposta 2: O montante é de R$ 1.320,00.
Solução alternativa: Os exercícios de juros simples podem ser resolvidos com o auxílio da calculadora 
financeira HP 12C. Contudo, não recomendamos o uso dela nesses casos, uma vez que são necessárias 
mais etapas do que as realizadas pela solução matemática normal, mediante o uso das fórmulas. Vejamos o 
exercício anterior resolvido com o auxílio da HP 12C:
• 1.000 CHS PV - muda o valor atual para negativo e armazena em PV.
• 8 - devemos entrar com a taxa em percentual ao ano.
• Pressionamos i.
• 4 ENTER - devemos entrar com o tempo em dias.
• 360 x - (4 x 360).
• Pressionamos n.
• f INT – f é a função amarela, e INT está grafado em amarelo acima da tecla i (função branca). Com 
esse comando, a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: 320.
Para obtermos a resposta da questão, lembramos que:
 FV = PV + J
 FV = 1.000 + 320 = 1.320
Economia da Engenhariae Analise de Investimentos
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Resposta: O montante é de R$ 1.320,00.
demonstração
Para melhor entendimento, mostramos a forma de cálculo dos juros simples no quadro a seguir.
Observe-se que o juro (J), destacado na terceira coluna do quadro, é sempre calculado sobre o capital 
inicial em todos os períodos considerados.
Quadro 1. Cálculo de juros simples
Ano Saldo inicial Juros do ano Saldo final
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00
2 1.000,00 80,00 1.160,00
3 1.000,00 80,00 1.240,00
4 1.000,00 80,00 1.320,00
Fonte: Assaf (2012).
O pagamento dos juros pode ocorrer anualmente ou, como é mais comum, no final do prazo de capitalização. 
Neste caso, o fluxo de caixa é o seguinte:
Figura 4. Fonte: Assaf (2012).
Graficamente, podemos observar que o juro calculado pelo sistema de juros simples apresenta um 
comportamento linear, conforme demonstrado a seguir:
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Figura 5. Fonte: Assaf (2012).
taxas proporcionais
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção direta com os tempos a elas 
referidos reduzidos à mesma unidade.
Sendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à 
fração 1/k do período, temos: 
Exemplo: Supondo que um problema envolva o cálculo de uma taxa (i) anual para um período (n) 
mensal, calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Solução: Lembrando que, no cálculo, deve ser considerado o ano comercial com 12 meses de 30 dias 
cada, temos:
 i = 30% a.a
 k = 12 meses = fração do ano
Portanto, aplicando diretamente a fórmula, temos:
 imês = 30/12
 imês = 2,5%
Resposta: A taxa proporcional a 30% ao ano é de 2,5% a.m.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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exercício resolvido
Uma instituição financeira cobra de seus clientes 28% ao ano no regime de juros simples para saldos 
negativos em conta especial. O banco efetua seus cálculos com base no ano comercial. Quais os juros que 
cobrará para uma conta que ficou “estourada” em R$ 4.200,00 por 16 dias?
Esse exercício pode ser resolvido de duas formas:
Solução 1: Extraindo-se os dados a seguir do enunciado, temos:
 PV = 4.200
 i = 28% ao ano
 n = 16 dias
Note que a taxa de juros está em ano e o período de capitalização está em dias. Devemos, então, 
transformar a taxa de juros de anual em diária, utilizando a relação das taxas proporcionais, da seguinte 
forma:
Ou seja, lembrando que o problema se refere ao ano comercial:
 ik = 0,07778 % ao dia
Agora sim podemos usar a fórmula do cálculo dos juros simples:
 J = PV. i. n
Substituindo os valores numéricos na equação e lembrando que a taxa de juros deve ser considerada em 
números decimais, ou seja, 0,07778% dividido por cem é igual a 0,0007778, temos:
 J = 4.200 x 0,0007778 x 16
 J = 4.200 x 0,0124448
 J = 52,27
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Resposta: Os juros cobrados pelo banco foram de R$ 52,27.
Solução 2: Usando as informações do enunciado, temos:
 PV = 4.200
 i = 28% ao ano = 0,07778% ao dia
 n = 16 dias
Considerando a fórmula: FV = PV . (1 + i . n), vamos substituir os dados do problema:
 FV = 4.200 x (1 + 0,0007778 x 16)
 FV = 4.200 x (1 + 0,0124448)
 FV = 4.200 x 1,0124448
 FV = 4.252,27
Como FV = PV + J,
Temos que: J = FV – PV,
Portanto: J = 4.252,27 – 4.200,00 = 52,27.
Resposta: Os juros cobrados pelo banco foram de R$ 52,27.
juroS CompoStoS
Conceito e fórmulas
No conceito de juros compostos, o juro é calculado no final de cada período e é incorporado ao principal 
ou capital, passando assim a também render juros no próximo período. A partir da fórmula de juros simples, 
podemos deduzir a seguinte fórmula para os compostos:
FV = PV . (1 + i)n
Note-se que, para o primeiro período, o juro simples é igual ao juro composto.
Exemplo: Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, agora no conceito de 
juros compostos, durante quatro anos?
Solução: Considerando que:
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 PV = 1.000
 i = 8% ao ano ou 0,08 e
 n = 4 anos
Substituímos os valores na fórmula:
 FV = PV . (1 + i)n
 E temos:
 FV = 1.000 x (1 + 0,08)4
 FV = 1.000 x (1,3605)
 FV = 1.360,50
Resposta: O montante é igual a R$ 1.360,50.
O valor destacado, de 1,3605, é denominado fator de capitalização.
Observe que o montante calculado sob o regime de juros compostos é superior ao calculado sob o regime 
de juros simples, uma vez que o juro de cada período é adicionado ao principal anterior e capitalizado para 
compor o próximo principal.
Resolvemos a questão usando a solução matemática mediante a utilização da fórmula. Poderíamos contar 
com o auxílio da calculadora financeira HP 12C e, por intermédio do acionamento das teclas com função 
branca, localizadas na sua parte superior esquerda, obteríamos a resposta de forma mais rápida, conforme 
apresentado no tópico 8.3 a seguir.
demonstração
Demonstramos, no quadro a seguir, a forma de cálculo dos juros compostos, destacando a forma como 
são calculados anualmente:
Quadro 2. Cálculo de juros compostos
Ano Saldo inicial Juros do ano Saldo final
0 1.000,00
1 1.000,00 80,00 1.080,00
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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2 1.080,00 86,40 1.166,40
3 1.166,40 93,31 1.259,71
4 1.259,71 100,78 1.360,49
Fonte: Assaf (2012).
Note que os juros, em cada período, equivalem a 8% do saldo devedor no início do mesmo período.
Dessa forma, o gráfico dos juros compostos apresenta um crescimento exponencial e não linear como o 
comportamento dos juros simples.
fórmulas de juros compostos
Da fórmula geral dos juros compostos, podemos extrair outras para o cálculo de cada uma das variáveis 
consideradas, como segue:
Figura 6. Fonte: Assaf (2012).
É importante notar que, de acordo com as propriedades da potenciação, a raiz n de um número qualquer é 
igual a esse número elevado a 1/n. Essa operação, junto com os cálculos envolvendo logaritmos, é facilmente 
executada na calculadora financeira HP 12C e no Excel.
Além disso, a calculadora HP 12C permite o cálculo de maneira ainda mais simples, utilizando a parte 
superior esquerda de seu teclado, conforme mostrado a seguir.
Vamos usar, neste tópico, apenas as funções brancas. Observe que existem funções amarelas e azuis que 
usaremos mais adiante.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Figura 6. Fonte: Produção do autor.
Assim, o exemplo utilizado no tópico 8.1 pode ser resolvido de maneira mais simples, como segue:
Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00, capitalizados a 8% ao ano, agora no conceito de juros 
compostos, durante quatro anos?
Solução: Considerando:
 PV = 1.000
 i = 8% ao ano ou 0,08
 n = 4 anos
Imputamos os dados na calculadora na seguinte ordem:
 4 armazenamos na tecla n
 8 na tecla i
 1.000 - antes devemos trocar seu sinal apertando a tecla CHS
 e depois armazenamos na tecla PV
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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 em seguida, acionamos a tecla FV para obter o resultado direto no visor: 
Quadro 3. Resultado da operação
N i PV FV CHS
4 8 -1.000 1.360,49
O resultado aparece positivo, uma vez que trocamos o sinal do PV e, assim, a 
calculadora reconhece que se trata de um fluxo de caixa (entrada e saída).
Resposta: O montante é igual a R$ 1.360,50.
Exemplos das demais fórmulas:
a. Determinar o principal necessário para produzir um montante de R$ 1.000,00 no final de dois anos, a 
uma taxa de 1,25% a.m., no regime de juros compostos.
Solução: O enunciado pede a determinação do PV (principal), sabendo que:
 FV = 1.000
 i = 1,25% ao mês
 n = 2 anos = 24 meses (mesma base da taxa i)
Portanto, usando a fórmula do PV, temos:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Com o auxílio da calculadora HP 12C, armazenamos os dados na seguinte ordem sugerida:
 1.000 CHS FV (não se esquecer de trocar o sinal)
 1,25 i
 24 n
 Acionamos a tecla PV = 742,20 (aparece no visor)
Note que a ordem de armazenamento não érelevante, conforme quadro a seguir: 
Quadro 4. Dados na calculadora HP 12C
n i PV FV
24 1,25 742,20 - 1.000,00
Resposta: O valor do principal solicitado na questão é de R$ 742,20.
a. Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de R$ 1.000,00 se transformar num montante de R$ 
1.150,00, no final de 10 meses, no regime de juros compostos?
Solução: Nessa questão, é solicitada a taxa de juros i em termos mensais, sabendo que:
 PV = 1.000
 FV = 1.150
 n = 10 meses
Portanto, utilizando a fórmula da taxa de juros i:
 i = (FV / PV) 1/n - 1
Temos:
 i = (1.150 / 1.000)1/10 – 1
 i = (1,15)0,1 – 1 =
 i = 1,014074 – 1
 i = 0, 014074
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Transformando o resultado em percentual:
 i = 0,014074 x 100
 i = 1,4074% ao mês
Na calculadora HP 12C, sugere-se o armazenamento na seguinte ordem:
 1.150 CHS FV
 1.000 PV
 10 n
Mudamos o sinal do FV, mas poderíamos mudar o do PV. O importante é que um dos dois valores seja 
negativo para a calculadora identificar um fluxo de caixa.
Em seguida, acionamos a tecla i, e o seguinte valor aparece no visor: 1,4074.
Novamente, salientamos que a ordem de entrada dos dados na calculadora não é relevante, como segue:
Quadro 5. Dados na calculadora HP 12C
n I PV FV
10 1,4074% ao mês 1.000,00 -1.150,00
Resposta: A taxa de juros solicitada é de 1,4074% ao mês.
a. Se efetuarmos uma aplicação no mercado financeiro, em quantos anos o capital dobra se conseguirmos 
uma taxa de 6% ao ano, no regime de juros compostos?
Solução: O objetivo, agora, é descobrir o número de períodos n necessários para dobrar um capital 
qualquer a uma taxa de 6% ao ano. Sendo assim, devemos estabelecer um capital inicial hipotético de R$ 
100,00, fácil de trabalhar, e determinamos que:
 PV = 100
 FV = 200
 i = 6% ao ano
Dessa forma, podemos usar a fórmula do número de períodos n, como segue:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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O logaritmo, tanto do numerador quanto do denominador, deve estar na mesma base. Se usarmos o 
logaritmo na base 10, teremos os seguintes valores:
A calculadora HP 12C utiliza logaritmo neperiano, isto é, na base “e”, em que o número irracional “e” é 
igual a aproximadamente 2,718.... Portanto, os valores são:
Nos dois casos, o número de períodos n é igual a praticamente 12 anos.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
23
Ao utilizar diretamente a calculadora HP 12C, sugerimos a seguinte ordem de entrada para armazenamento 
dos dados:
 100 CHS PV
 200 FV
 6 i
Ao acionar a tecla n, aparecerá no visor o número de períodos n = 12 anos, que é justamente o tempo 
em que um capital inicial dobra a uma taxa de 6% ao ano.
No quadro a seguir, reafirmamos que a ordem de entrada dos dados para armazenamento na calculadora 
HP 12C é irrelevante:
Quadro 6. Dados na calculadora HP 12C
n i PV FV
12 anos 6,00 100,00 -200,00
Resposta: O número de períodos n que dobra qualquer volume de recursos aplicados a taxa de 6% ao 
ano é de 12 anos.
taxas equivalentes
No regime de juros compostos, da mesma forma, o número de períodos (n) deve estar na mesma base 
da taxa de juros (i). Portanto, taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital nos mesmos 
períodos, devem produzir o mesmo montante.
Logo, a taxa composta anual é igual à taxa semestral elevada ao quadrado, igual à taxa quadrimestral 
elevada à quarta potência e assim por diante, conforme mostramos a seguir:
 ( 1 + ia ) = ( 1 + is )
2 = ( 1 + it )
4 = ( 1 + im )
12 = ( 1 + id )
360
Da mesma forma, quando temos a taxa equivalente para um período maior e queremos a de um período 
menor, extraímos a raiz quadrada, a raiz quarta e assim por diante.
Exemplo 1: Em uma determinada questão que considera o regime de juros compostos, pode surgir o 
seguinte problema: qual a taxa anual equivalente à de 1% ao mês?
Solução: Temos a taxa para um período menor e queremos a taxa equivalente para um período maior, 
no sistema de juros compostos. Assim, resolvemos da seguinte maneira:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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 (1 + ia) = (1 + im)
12
Logo:
 (1 + ia) = (1 + 0,01)
12
 ia = (1,01)
12 – 1
 ia = 1,126825 – 1
 ia = 0,126825
Transformando o valor encontrado em porcentagem, temos:
 ia = 0,126825 x 100
 ia = 12,6825% ao ano
Resposta: A taxa mensal de 1% equivale, em termos de juros compostos, a 12,6825% ao ano.
Exemplo 2: Em outra questão na qual é utilizado o sistema de juros compostos, pode, agora, surgir a 
seguinte dúvida: qual a taxa mensal equivalente à de 10% a.a.?
Solução: Nesse caso, temos a taxa para um período maior e queremos a taxa equivalente, pelo sistema 
de juros compostos, àquela para um período menor.
Devemos usar a operação matemática inversa à potenciação, como segue:
 (1 + im) = (1 + ia)
1/12
Lembrando que, pela propriedade da radiciação, a raiz 12 de um número, ou uma expressão, como é o 
caso, é igual a essa expressão elevada a 1/12.
Logo:
 (1 + im) = (1 + 0,10)
0,083333
 (1 + im) = (1,10)
0,083333
 (1 + im) = 1,007974
 im = 1,007974 – 1
 im = 0,007974
Transformado em porcentagem:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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 im = 0,007974 x 100
 im = 0,7974% ao mês
Resposta: A taxa mensal equivalente a 10% ao ano, no sistema de juros compostos, é de 0,7974% ao 
mês.
exercício resolvido
Um investidor possui R$ 300.000,00 para aplicar no mercado financeiro. O gerente do banco dele propõe 
a aquisição de um CDB (Certificado de Depósito Bancário) que rende, por 24 meses, a taxa de 42% ao ano. 
Determinar os juros e o montante dessa aplicação?
Solução: As informações contidas no enunciado são as seguintes:
 PV = 300.000
 n = 24 meses
 i = 42% ao ano
A primeira operação a ser feita é colocar o período de capitalização n (em meses) na mesma base da taxa 
de juros i (ao ano). Nesse caso, podemos agir da seguinte forma:
a – Transformamos o período de capitalização n em anos e:
 n = 24 meses = 2 anos (maneira mais fácil)
b - Transformamos a taxa de juros i em taxa mensal, extraindo sua raiz 12, como segue:
 (1 + im) = (1 + ia)
1/12
 (1 + im) = (1 + 0,42)
0,08333
 (1 + im) = (1,42)
0,08333
 (1 + im) = 1,02965254
 im = 1,02965254 – 1
 im = 0,02965254
O resultado em porcentagem é igual a:
 im = 0,02965254 x 100
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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 im = 2,965254% ao mês
Substituindo, agora, os dados na fórmula:
 FV = PV . (1 + i)n
Temos:
a - FV = 300.000 x (1 + 0,42)2
 FV = 300.000 x (1,42)2
 FV = 300.000 x 2,0164
 FV = 604.920
b - FV = 300.000 x (1 + 0,02965254)24
 FV = 300.000 x (1,02965254)24
 FV = 300.000 x 2,0164
 FV = 604.920
Para o cálculo dos juros, lembramos que:
 J = FV – PV
Portanto:
 J = 604.920 – 300.000
 J = 304.920
Resposta: O juro dessa operação financeira é de R$ 304.920,00, e o montante a ser recebido pelo 
investidor no final do prazo é de R$ 604.920,00.
outras taxas
O mercado financeiro utiliza várias denominações de taxas, a saber:
a. Taxa efetiva – quando a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização.
Exemplo: Taxa de 10% ao ano, capitalizada anualmente. Ou ainda, taxa de 8% ao semestre, capitalizada 
semestralmente. 
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Nesse caso, é comum no mercado financeiro dizer apenas que a taxa efetiva da operação é de 10% ao 
ano ou de 8% ao semestre. 
b. Taxa nominal – quando a unidade de tempo é anual e não coincide com a unidade de tempo dos 
períodos de capitalização.
Nesse caso, a taxa nominal tem uma taxa efetiva implícita, obtida por meio de taxas proporcionais (juros 
simples).
Exemplo: a antiga caderneta de poupança rende no Brasil a taxa nominal de 6% ao ano, capitalizados 
mensalmente. Para determinar a taxa efetiva da caderneta de poupança, devemos fazer o seguinte cálculo 
(taxas proporcionais – juros simples):
 imes = 6 / 12 = 0,5 % ao mês
Colocando a taxa mensal no formato de juros compostos, temos:
 iefetiva = (1 + 0,005)
12 = 1, 0617
Diminuindo 1e multiplicando por 100 para retornar ao percentual, temos:
 iefetiva = 6,17% ao ano
Portanto, a taxa efetiva implícita da caderneta de poupança é de 6,17% ao ano.
c. Taxa real – é a taxa de juros descontada a inflação do período a que se refere.
Exemplo: Vamos supor que a taxa de juros (média) da economia em 2014 foi de 11% ao ano. Essa é a 
taxa aparente, uma vez que em 2014 a inflação média foi de 6,5%. Deve-se, então, descontar a inflação da 
taxa aparente para se obter a taxa real, no formato de juros compostos, assim:
 (1 + ireal) = (1 + iaparente) / (1 + iinflação)
Assim, temos:
 (1 + ireal) = (1 + 0,11) / (1 + 0,065) = 1,11 / 1,065 = 1,0423 
O resultado, recolocado sob a forma percentual (diminuindo 1 e multiplicando por 100), dá a taxa real de 
juros da economia em 2014, que foi de 4,23%.
d. Taxa líquida de juros – é a taxa bruta de juros descontada do Imposto de Renda (IR) incidente sobre a 
operação financeira, calculada da seguinte forma:
 ilíquida = ibruta . (1 - IR)
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Exemplo: Um banco está negociando seu CDB (Certificado de Depósito Bancário) à taxa prefixada bruta 
de 2,1% a.m. O Imposto de Renda (IR) é de 20% calculado sobre o rendimento nominal da operação 
financeira e pago pelo cliente no resgate. Qual a taxa líquida de juros praticada por esse banco?
Solução: Temos que:
 ibruta = 2,1% ao mês
 IR = 20% = 0,20
Portanto,
 ilíquida = 2,1 x (1 – 0,20) = 2,1 x 0,80
 ilíquida = 1,68% ao mês
Resposta: A taxa líquida de juros oferecida por esse banco para a aplicação em seu CDB é de 1,68% ao 
mês.
deSConto
Conceito
É normal que uma quantia em dinheiro devida em uma data futura seja representada por um título de 
crédito (comprovante da dívida) emitido pelo devedor em favor do credor.
O título de crédito, portanto, tem uma data de vencimento, mas o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, 
obtendo com isso um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das mais comuns aplicações da 
regra de juro.
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra 
de câmbio:
• A nota promissória é o comprovante da aplicação de um capital com vencimento pré-determinado. É 
um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.
• A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), 
para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a ser pagos no futuro, segundo contrato.
• A letra de câmbio também é o comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado, 
mas é um título emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
CaraCteríStiCaS da operação
O título que será descontado possui as seguintes características:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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• Valor nominal (VN) - valor futuro, valor de face ou valor de resgate - é o valor indicado no título a 
ser pago no dia do vencimento.
• Valor atual (VA) - valor presente - é o valor líquido pago (ou recebido) antes do vencimento, já 
considerado o desconto, ou seja:
VA = VN - desconto
• Tempo (n) - prazo - é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de 
seu vencimento.
Sendo assim, desconto (d) é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor 
nominal e o valor atual:
d = VN – VA
tipos de operação de desconto
Existem dois tipos de operações de desconto de títulos, a saber:
a. Desconto comercial – considera como capital o valor nominal.
Também chamado de desconto bancário ou calculado por fora, é o desconto equivalente aos juros simples 
produzidos pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a uma determinada taxa 
fixada.
Considerando:
 d = valor do desconto comercial
 VN = valor nominal do título
 VA = valor atual comercial 
 n = tempo que falta para o vencimento e
 i = taxa de desconto
O desconto comercial é dado pela seguinte fórmula:
d = VN . i . n
O valor atual bancário é dado por:
VA = VN . (1 – i . n)
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Exemplo: Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para 
o vencimento, determine:
• O valor do desconto comercial.
• O valor atual comercial.
Solução: O enunciado da questão fornece os seguintes dados:
 VN = 60.000,00
 i = 2,1% a.m.
 n = 45 dias
Usando a fórmula do desconto comercial:
 d = VN . i . n
Temos:
 d = 60.000 x 0,021 x 1,5 (um mês e meio)
 d = 1.890
Portanto, o desconto comercial é de R$ 1.890,00.
Note que a taxa i e o número de períodos n devem estar na mesma base. No nosso exemplo, transformamos 
n, que estava em dias, para mês, mesma base da taxa i. No ano comercial, cada mês tem 30 dias, daí a 
transformação para um mês e meio.
Poderíamos, também, manter n = 45 dias e transformar a taxa i ao mês em taxa dia. Como no desconto 
comercial é considerado o sistema de juros simples, temos:
E chegamos ao mesmo resultado:
 d = VN . i . n
 d = 60.000 x 0,0007 x 45
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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 d = 1.890
Lembrando que a fórmula do valor atual comercial é:
 VA = VN – d
Temos:
 VA = 60.000 – 1.890
 VA = 58.110
Resposta: O valor do desconto comercial do título é de R$ 1.890,00, e o valor atual do título é de R$ 
58.110,00.
b. Desconto racional - considera como capital o valor atual.
Também chamado de desconto calculado por dentro, é o desconto equivalente aos juros simples produzidos 
pelo valor atual do título durante o tempo correspondente e a uma determinada taxa fixada.
O desconto racional (d) é igual:
 d = VN – VA
Exemplo: Considerando as mesmas características do título no exemplo acima, para desconto comercial, 
ou seja, valor nominal de R$ 60.000,00, a ser descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o 
vencimento do título, determine:
• O valor atual racional.
• O valor do desconto racional.
Solução: Dados:
 VN = R$ 60.000,00
 i = 2,1% a .m. = 0,021a.m.
 n = 45 dias = 1,5 mês
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Considerando a fórmula do valor atual racional:
Portanto, o valor atual racional do título é de R$ 58.167,72.
Para o cálculo do desconto racional, usamos:
 d = VN – VA
Assim, temos:
 d = 60.000 – 58.167,72
 d = 1.832,28
Resposta: O valor atual racional é de R$ 58.167,72, e o valor do desconto racional é de R$ 1.832,28.
Observe que o valor atual racional é superior ao valor atual comercial e, em consequência, o desconto 
racional é menor, favorecendo o cliente detentor do título que deseja descontá-lo.
Algumas instituições, quando querem fidelizar grandes clientes, adotam o desconto racional, menos 
vantajoso para elas.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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CoefiCienteS de finanCiamentoS
Conceito
Quando é efetuada uma compra a prestação ou qualquer tipo de operação de financiamento, é utilizado 
um fator financeiro constante, denominado coeficiente, que, ao ser multiplicado pelo valor presente do 
financiamento, fornece o valor das prestações. Portanto:
 Valor do financiamento x coeficiente financeiro = valor das prestações
O coeficiente financeiro é o inverso do fator de valor presente (financiamento) e é muito utilizado nas 
operações de CDC (crédito direto ao consumidor), de arrendamento mercantil (leasing), de financiamento de 
veículos e de eletrodomésticos.
Cálculo dos coeficientes
A construção das tabelas de coeficientes de financiamento é realizada mediante a utilização da calculadora 
financeira HP 12C, a partir da fixação de um valor mínimo de financiamento (R$ 1,00), de uma determinada 
taxa de juros e de um prazo definido da operação.
Assim, supondo que desejamos cobrar uma taxa de juros de 4% ao mês para uma operação de 10 meses, 
o coeficiente financeiro que poderá ser aplicado a qualquer valor financiado será de:
 1 CHS PV – trocamos o sinal da unidade e armazenamos na tecla PV
 4 i – armazenamos a taxa dejuros na tecla i
 10 n – armazenamos o prazo da operação na tecla n
Pressionamos a tecla PMT = 0,123291 (o coeficiente aparece no visor)
Geralmente, os coeficientes de financiamento são calculados com seis casas decimais. Logo, se um cliente 
solicitar R$ 15.000,00 por 10 meses, à taxa de 4% ao mês, o valor da prestação será de:
 PMT = 15.000 x 0,123291 = R$ 1.849,36
Se outro cliente solicitar R$ 40.000,00 por mesmo prazo e mesma taxa, teremos:
 PMT = 40.000 x 0,123291 = R$ 4.931,64
Note que, em ambos os casos, os clientes estão pagando 4% ao mês. Além disso, essa tabela pode ser 
montada para vários períodos (n), e poderá ser prevista taxa de juros diferente de um período para outro.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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exercício resolvido
O número que, multiplicado pelo valor financiado, resulta no valor da prestação chama-se fator ou coeficiente 
de financiamento. Construa uma tabela de coeficientes para o período de três meses, considerando uma taxa 
de 5% ao mês e prestações postecipadas.
Solução: Vamos utilizar a calculadora financeira HP 12C. Como as prestações são postecipadas, 
manteremos a tecla END (função azul – g) acionada.
Assim,
Primeiro mês – cálculo:
 1 CHS PV
 1 n
 5 i
Pressionamos PMT = 1,05.
Segundo mês – cálculo:
 1 CHS PV
 2 n
 5 i
Pressionamos PMT = 0,537805.
Terceiro mês – cálculo:
 1 CHS PV
 3 n
 5 i
Pressionamos PMT = 0,367209.
Resposta: Com os valores calculados anteriormente, podemos construir a tabela de coeficientes de 
financiamentos a ser utilizados em valores a ser cobrados em até três prestações, com uma taxa de 5% ao 
mês, como segue: 
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Quadro 7. Coeficientes de financiamentos
Período (n) Coeficiente
1 1,05
2 0,537805
3 0,367209
perpetuidades
Existem algumas situações no mercado financeiro em que se apresentam séries perpétuas de recebimentos 
ou pagamentos. São séries ou anuidades infinitas, ou seja, os fluxos de caixa são perpétuos. Por exemplo:
a. Aquisição de uma empresa – o comprador de uma empresa não pretende vendê-la em um prazo 
determinado. Pelo contrário, como empreendedor, sua disposição é mantê-la por toda a vida e deixá-la para 
seus sucessores.
b. Formação de poupança previdenciária – o aplicador forma uma poupança para manter seu nível de vida 
após a aposentadoria. Pretende, com isso, receber um fluxo de rendimento por toda sua vida.
Essas séries são chamadas de perpetuidades, e a fórmula de cálculo é a seguinte:
Exemplo: Suponha que a empresa Leão do Norte S. A. precisa emitir ações preferenciais a um preço 
de R$ 100,00 por ação, objetivando completar o montante de recursos necessários à implantação do seu 
programa de investimentos.
Uma emissão de ações preferenciais, já realizada por outra empresa do setor muito semelhante, obteve o 
preço de R$ 40,00 por ação, mediante uma oferta de dividendos trimestrais de R$ 1,00 por ação.
Qual é o dividendo que a Leão do Norte deveria oferecer se suas ações preferenciais fossem emitidas 
nesse momento?
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Solução:
A emissão que já ocorreu possui um valor presente de R$ 40,00 e um fluxo de caixa trimestral (pagamento 
de dividendos) de R$ 1,00 para sempre. Como é uma perpetuidade, temos a taxa de juros dessa operação 
financeira de:
Colocando o resultado obtido em porcentagem, temos:
 i = 0,025 x 100
 i = 2,5% a.t.
Para ser competitiva, a nova emissão da Leão do Norte também deverá oferecer um rendimento trimestral 
de 2,5%. Portanto, para que o valor presente seja R$ 100,00, os dividendos precisam ser iguais a:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Resposta: A Leão do Norte deverá oferecer um dividendo equivalente a R$ 2,50 por trimestre.
No exemplo, assumimos a hipótese de que os dividendos a ser distribuídos pelas empresas serão 
constantes perpetuamente. Na prática, observamos que eles tendem a acompanhar o crescimento dos lucros 
das companhias. Portanto, devem apresentar uma determinada taxa de crescimento no longo prazo.
Sendo assim, a fórmula a ser utilizada passa a ser a seguinte:
Em que k = taxa de crescimento constante esperada para os dividendos a ser distribuídos no futuro.
A fórmula é válida e pode ser utilizada desde que a taxa de desconto dos pagamentos seja superior à taxa 
de crescimento esperada dos pagamentos, isto é:
 i > k
No exemplo da empresa Leão do Norte, se for previsto um crescimento trimestral de 0,5% no dividendo 
a ser distribuído no futuro, o valor a ser pago passaria a ser de:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Resposta: Se ocorrer um crescimento trimestral de 0,5% no dividendo, a Leão do Norte deverá oferecer 
um valor equivalente a R$ 2,00 por trimestre para os novos acionistas.
SiStemaS de finanCiamento
Principais tipos de sistemas de financiamento
Existem três tipos especiais de sistemas de financiamento destinados a incentivar a aquisição de 
determinados bens, especialmente aqueles de valor unitário muito elevado e que, de outra forma, só poderiam 
ser adquiridos por uma pequena parcela da população. Esses sistemas são conhecidos como:
• Sistema de amortização americano.
• Sistema de amortização francês ou tabela Price (TP).
• Sistema de amortização constante (SAC).
Sistema de amortização americano
Por esse sistema, o devedor de um empréstimo paga os juros periodicamente, e o valor do principal 
emprestado é resgatado apenas no final do prazo estipulado para a operação.
Chamando de PV o valor emprestado à taxa i, os juros pagos em cada período (J) são iguais e calculados 
como:
J = PV . i
Terminado o prazo, no último pagamento, o devedor, além dos juros, paga o capital emprestado (PV).
Exemplo: Uma empresa realizou o empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 10% a.m., pelo prazo de 
quatro meses. Qual será o desembolso mensal que o devedor terá, caso tenha efetuado o empréstimo pelo 
sistema americano, com juros pagos mensalmente?
Solução: O desembolso mensal que o devedor terá será equivalente aos juros de cada período, calculado 
pela seguinte fórmula:
 J = PV . i
Assim:
 J = 100.000 x 0,10 = R$ 10.000,00
Resposta: A quantia de R$ 10.000,00 será paga nos primeiros três meses, e, no quarto mês, o desembolso 
será de R$ 110.000,00, sendo R$10.000,00 referentes aos juros e R$ 100.000,00 para saldar o principal da 
dívida.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Sistema de amortização francês ou tabela price
Por esse sistema, o devedor paga o total do empréstimo em prestações iguais e sucessivas, incluindo, em 
cada uma, uma parcela de amortização parcial do principal devido e uma referente aos juros sobre o saldo 
devedor.
Esse sistema é muito empregado no Brasil, especialmente, até a década de 1990, para a aquisição de 
imóveis pelo Sistema Financeiro da Habitação.
O número de prestações varia em cada contrato.
Supondo o empréstimo PV, à taxa i, para ser pago em n prestações, as características principais do sistema 
Price são:
• Pagamento em parcelas constantes.
• Cálculo da parcela pela expressão da série anual uniforme a seguir:
Ou com a utilização da calculadora HP 12C.
Exemplo: Considerando o mesmo empréstimo de R$ 100.0000,00, à taxa de 10% a.m., por quatro 
meses, agora devendo ser pago no sistema Price, determinar o pagamento mensal e fazer um demonstrativo 
do estado da dívida nesses quatro meses.
Solução: O pagamento mensal pode ser calculado mais facilmente na HP 12C, da seguinte forma:
 100.000 CHS PV
 10 i
 4 n
Pressionando PMT = 31.547,08 (aparece no visor)
Resposta: Sabendo o valor dos pagamentos, que serão sempre iguais, podemos montar uma tabela com 
o demonstrativo da dívida, envolvendo os montantes pagos de juros e de amortização do principal, além do 
saldo devedor por período, como segue:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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Quadro 8. Demonstrativo da dívida
N Pagamentos Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 100.000,00
1 31.547,08 10.000,00 21.547,08 78.452,912 31.547,08 7.845,29 23.701,79 54.751,13
3 31.547,08 5.475,11 26.071,97 28.679,16
4 31.547,08 2.867,92 28.679,16 -
Fonte: Assaf (2012).
Pode-se observar que os juros são cada vez menores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor, 
que é decrescente. Consequentemente, as amortizações são cada vez maiores para que, somadas aos juros, 
totalizem as prestações iguais (pagamentos).
Sistema de amortização constante (SaC)
Pelo fato de a amortização do empréstimo (PV) ser constante, a série de pagamentos não é uniforme e, 
portanto, o procedimento adotado é o seguinte:
a. Calculam-se inicialmente as amortizações, por intermédio da seguinte fórmula:
b. Calcula-se o saldo devedor em todos os anos, mediante a expressão:
 SD = PV - Amort
c, Por último, os juros são calculados sobre o saldo devedor, como segue:
 J = PV . i 
Exemplo: Considerando, mais uma vez, o empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 10% a.m., por quatro 
meses, agora devendo ser pago no sistema SAC, fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro 
meses.
Solução: Iniciando pelo cálculo da amortização, que é constante, temos:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
41
Resposta: Sabendo o valor a ser amortizado mensalmente, montamos a tabela a seguir com o 
demonstrativo da dívida a ser paga, envolvendo o valor de cada parcela, os juros e o saldo devedor por 
período (última coluna do quadro):
Quadro 9. Demonstrativo da dívida
N Pagamento Juros Amortização Saldo devedor
0 - - 100.000,00
1 35.000,00 10.000,00 25.000,00 75.000,00
2 32.500,00 7.500,00 25.000,00 50.000,00
3 30.000,00 5.000,00 25.000,00 25.000,00
4 27.500,00 2.500,0 25.000,00 -
Fonte: Assaf (2012).
Observamos que os juros pagos, de acordo com esse sistema, são cada vez menores, uma vez que são 
calculados sobre o saldo devedor decrescente. Como as amortizações são iguais, quando adicionadas aos 
juros, totalizam prestações decrescentes.
Comparando as prestações obtidas pelo SAC com aquelas calculadas pelo sistema Price, notamos que no 
primeiro as primeiras são mais elevadas e as últimas são menores, enquanto a calculada pelo segundo situa-
se muito próxima da calculada pelo SAC paga na metade do prazo da operação de empréstimo.
Sistemas de amortização com carência
A instalação de indústrias de grande porte, especialmente na área de infraestrutura, além de exigir um 
elevado montante de recursos, apresenta um retorno lento, de longo prazo.
Dessa forma, algumas instituições financeiras possuem linhas de financiamento destinadas a incentivar 
essas modalidades de projetos de investimentos, como o BNDES (Banco Nacional de Desenvolvimento 
Econômico e Social).
Além de taxas de juros diferenciadas, essas instituições fornecem recursos para os projetos com carência.
Carência é o acordo entre o tomador do empréstimo e o financiador estipulando que, durante um 
determinado período de tempo, apenas os juros sejam cobrados, sem pagamento de amortização. Quando 
se atinge o fim da carência, o empréstimo é quitado por meio de algum método predeterminado.
Dois tipos de carência são muito utilizados:
Caso 1 - Durante o prazo de carência, apenas os juros sobre o principal são devidos.
Caso 2 - Durante o prazo de carência, não há pagamento nenhum, nem de juros sobre o saldo devedor, 
nem de amortização do principal. Dessa forma, os juros são somados ao saldo devedor, resultando este 
maior.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
42
Exemplo: Utilizando o sistema de amortização francês – tabela Price para os casos 1 e 2, vamos supor o 
financiamento do valor de um investimento de R$ 10.000,00, pelo prazo total de 10 anos, com dois anos de 
carência, a juros de 10% a.a..
Elaborar um demonstrativo da situação da dívida nos dois casos, para o período de 10 anos.
Solução caso 1: Considerando os dados obtidos no enunciado, como segue:
 PV = 10.000
 n = 10
 Carência = 2
 i = 10% ao ano
Nos dois primeiros anos, há apenas pagamento de juros do principal, como segue:
 J = PV . i
 J = 10.000 x 0,10
 J = R$ 1.000,00
Os juros de R$ 1.000,00 comporão também o valor da parcela a ser paga no terceiro ano (primeiro período 
com amortização do principal). 
Pelo sistema Price, o valor de cada parcela é fixo e calculado da seguinte maneira:
 10.000 CHS PV
 10 i
 8 n
Note que o prazo do empréstimo é de 10 anos, mas, nos dois primeiros, haverá apenas o pagamento dos 
juros. Sendo assim, calculamos as parcela a partir do terceiro ano e, portanto, para oito anos:
Pressionamos PMT = 1.874,44 (aparece no visor)
Resposta caso 1: Com o valor do juro a ser pago nos dois anos de carência e as prestações iguais a ser 
pagas no restante do período, montamos a tabela a seguir com o demonstrativo da dívida:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
43
Quadro 10. Demonstrativo da dívida
Fonte: Assaf (2012).
Note que a empresa começa a amortizar o principal do empréstimo somente a partir do terceiro ano, de 
forma crescente, à medida que o projeto de investimento for apresentando retorno cada vez maior.
Solução caso 2: Como há ausência de pagamentos de juros nos dois primeiros anos, esses valores são 
incorporados ao principal, da seguinte maneira:
 FV = PV (1 + i)2
 FV = 10.000 x (1 + 0,10)2
 FV = 10.000 x 1,21
 FV = R$ 12.100,00
Esse valor passa a ser o saldo devedor inicial da operação no terceiro ano.
Portanto, o cálculo referente à prestação prevista pelo sistema Price é efetuado a partir do terceiro ano, 
como segue:
 12.100 CHS PV
 8 n
 10 i
Pressionando a tecla PMT = 2.268,07 (aparece no visor)
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
44
Solução caso 2: Sabendo o valor dos pagamentos, que serão sempre iguais a partir do terceiro ano, 
podemos montar uma tabela com o demonstrativo da dívida, envolvendo os montantes pagos de juros e de 
amortização do principal, além do saldo devedor por período, como segue:
Quadro 11. Demonstrativo da dívida
Fonte: Assaf (2012).
Nesse caso, o benefício inicial é ainda maior, permitindo a melhor maturação dos investimentos realizados.
SérieS de pagamento: fluxoS de Caixa
Conceitos básicos
Vimos no início deste trabalho o conceito de fluxo de caixa como sendo a representação de uma série de 
pagamentos ou de recebimentos que devem ocorrer em determinado período de tempo. Essa movimentação 
financeira, contudo, acontece das mais diversas formas e tipos, como:
a. Quanto ao número de prestações:
• Finitas: quando ocorrem durante um período predeterminado de tempo.
• Infinitas: chamadas perpetuidades.
b. Quanto à periodicidade dos pagamentos:
• Periódicas: quando os pagamentos ocorrem em intervalos constantes.
• Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de 
tempo.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
45
c. Quanto ao valor das prestações: 
• Uniformes: quando as prestações ou anuidades são iguais.
• Não uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.
d. Quanto ao prazo de pagamentos: 
• Postecipadas: quando as anuidades se iniciam após o final do primeiro período.
• Antecipadas: quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, no início da série.
e. Quanto ao primeiro pagamento: 
• Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento 
do financiamento e a de pagamento da primeira prestação.
• Não diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro 
pagamento ou recebimento.
fórmulas
Como vimos nos exemplos anteriores, a calculadora HP 12C facilita sobremaneira os cálculos envolvidos 
na solução dos problemas de matemática financeira. Contudo, quando nos deparamos com séries uniformes, 
podemos obter a solução utilizando também algumas fórmulas destinadas a facilitar o manuseio de 
calculadoras normais e científicas.
Assim, podemos usar fórmulas para:
a. PMT = pagamento periódico igual:
b. FV = valor futuro:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos46
c. Séries com carência:
 Onde m = carência em número de períodos.
Equivalência financeira de fluxos de caixa
A análise de vários fluxos de caixa é comum nas tomadas de decisões financeiras para definir o melhor 
plano de empréstimo, as linhas de financiamentos mais atraentes, as propostas de refinanciamento e 
reescalonamento de dívidas etc.
Definição de equivalência: dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes quando produzem idênticos 
valores presentes (PV) em uma mesma data, a uma determinada taxa de juros.
Na prática, a maioria dos investimentos de pessoas físicas e jurídicas envolve muitos fluxos de caixa ao 
longo do tempo, ou seja, uma série de fluxos de caixa ou fluxos de caixa múltiplos.
Exemplo: Suponha que você deseja comprar um computador em dois anos, depositando hoje, numa 
aplicação que paga 8% a.a. de juros compostos, o valor de R$ 1.200,00, mais R$ 1.400,00 daqui a um ano. 
Quanto você deverá gastar no computador no final do segundo ano?
Solução: Essa questão deve ser respondida em duas etapas:
Primeira etapa: Considerando a fórmula dos juros compostos:
 FV = PV . (1 + i)n
E dados:
 PV1= 1.200
 n = 2 anos
 i = 8% a.a.
Temos:
 FV1 = 1.200 x (1 + 0,08)
2
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
47
 FV1 = 1.200 x 1,1664
 FV1 = 1.399,68
Segunda etapa: Dados: 
 PV2 = 1.400
 n = 1 ano
 i = 8% a.a.
Temos:
 FV2 = 1.400 x (1 + 0,08)
 FV2 = 1.512,00
Portanto, o total a ser gasto no final do segundo ano é igual à soma dos dois montantes calculados:
 FV1 + FV2 = 1.399,68 + 1.512,00 = 2.911,68
Resposta: O valor a ser gasto com a compra do computador daqui a dois anos será de R$ 2.911,68.
exercício resolvido
Uma empresa tem uma dívida de R$ 60.000,00 a ser paga daqui a sete meses e outra de R$ 80.000,00 
para daqui a 15 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 10% a.a., para fazer frente 
a elas?
Solução: A questão será respondida em duas etapas:
Primeira etapa: Considerando a fórmula dos juros compostos:
 FV = PV . (1 + i)n
Como a pergunta da questão refere-se ao valor aplicado hoje, portanto, o capital inicial ou, ainda, o valor 
presente da aplicação, podemos isolar o PV na equação anterior, a saber:
As informações do enunciado sobre a primeira etapa são as seguintes:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
48
 FV1 = 60.000
 n = 7 meses
 i = 10 % ao ano
Como os dois períodos considerados estão em meses, vamos transformar a taxa de juros de ano em 
meses, para poder trabalhar na mesma base.
Assim:
 (1 + im) = (1 + ia)
1/12
 (1 + im) = (1 + 0,10)
0,08333
 (1 + im) = (1,10)
 0,08333
 (1 + im) = 1,00797414
 im = 1,00797414 – 1
 im = 0,00797414
Resultado que, transformado em porcentagem, é:
 im = 0,00797414 x 100
 im = 0,797414% ao mês
Agora, podemos substituir as informações do problema na fórmula do PV, como segue:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
49
Segunda etapa – As informações do enunciado para essa etapa são:
 FV2 = 80.000
 n = 15 meses
 i = 0,797414% ao mês
Da mesma forma, substituindo as informações da etapa na fórmula do PV, teremos:
Portanto, o valor a ser aplicado pela empresa com o objetivo de fazer frente ao pagamento de suas dívidas 
é de:
 PV1 + PV2 = 56.755,17 + 71.014,83
 PV1 + PV2 = 127.770
Resposta: A quantia total de recursos que a empresa deverá aplicar hoje para fazer frente ao pagamento 
de suas dívidas é de R$ 127.770,00.
 téCniCaS de orçamento de Capital
Conceitos básicos
O processo de identificação, análise e seleção de alternativas de investimento de recursos é chamado de 
orçamento de capital.
O orçamento de capital envolve um conjunto de projetos que deverão apresentar um retorno econômico 
compatível com as metas fixadas pela administração no longo prazo. O objetivo da administração de uma 
companhia é criar valor para a empresa e, dessa forma, aumentar a riqueza de seus acionistas.
Como já vimos anteriormente, os projetos de investimentos envolvem uma movimentação financeira de 
entradas e saídas de recursos do caixa, durante períodos futuros. Sendo assim, ao montar um projeto desse 
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
50
tipo, estamos trabalhando com recursos em épocas diferentes, o que denominamos de valor do dinheiro no 
tempo.
Um projeto de investimento prevê uma saída de recursos no presente e a estimativa de recebimentos 
líquidos (receitas – despesas) no futuro.
Devemos, assim, trazer os valores do futuro a uma determinada taxa de desconto, a fim de poder comparar 
esses valores com o investimento realizado hoje. Somente procedendo dessa forma podemos saber se vale 
a pena ou não realizar o projeto, isto é, se ele possui viabilidade econômica.
As etapas necessárias à elaboração de um projeto de investimento são as seguintes:
a. Projeção dos fluxos de caixa – a característica fundamental dessa etapa é determinar a capacidade de 
geração de fluxos de caixa no futuro e não apenas apresentar lucro no conceito estritamente contábil. O 
cuidado nas projeções é primordial.
Devem-se considerar as informações históricas oficiais e os dados contábeis auditados para utilizar 
premissas futuras confiáveis e estimar com segurança as receitas e os gastos (custos e despesas) provenientes 
do projeto.
Quanto mais próximos da realidade estejam os dados históricos, mais consistentes serão os valores 
estimados.
O último exercício, isto é, o mais próximo das projeções tende a ser aquele que mais contribui com o 
processo de estimativa, uma vez que tende a ser o mais provável de se repetir nos próximos anos.
b. Avaliação dos fluxos de caixa – o ambiente macroeconômico e as informações microeconômicas que 
envolvem os negócios da empresa devem ser minuciosamente avaliados, com o objetivo de se evitar surpresas 
durante a implantação do projeto.
São considerados componentes do fluxo de caixa livre, que representa a geração da caixa da empresa que 
estará disponível para os acionistas.
O fluxo de caixa livre é igual ao lucro líquido da empresa ajustado pelas receitas que não representam 
entrada de caixa, por exemplo, aquelas provenientes de vendas a prazo que serão recebidas após a apuração 
do lucro, e pelas despesas que não representam saídas de caixa, por exemplo, a depreciação e a amortização 
dos ativos imobilizados de uma companhia.
Os investimentos necessários à manutenção do negócio da empresa ao longo do tempo também devem 
ser considerados no fluxo de caixa livre.
c. Cálculo da taxa de desconto – uma tarefa delicada é a determinação de uma taxa de desconto adequada 
para trazer os valores esperados no futuro e compará-los com o investimento total realizado.
 As formas mais comuns de determinação da taxa de desconto são:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
51
• Considerar o custo de oportunidade, que é a melhor remuneração que seria obtida no uso alternativo 
dos recursos.
• Determinar uma taxa mínima de atratividade (TMA), que pode ser a taxa SELIC, a taxa CDI, a variação 
da inflação medida pelo IGP-M ou outro índice oficial de inflação, o ROE (return on equity – retorno 
sobre o patrimônio líquido) da companhia etc.
• Vale lembrar que o ROE estabelece a eficiência com que a administração trabalha com os recursos 
colocados pelos acionistas na empresa e é dado pela seguinte fórmula:
• Calcular o custo médio ponderado de capital (CMPC) (WACC – weighted average cost of capital), que 
é uma média do custo do capital de terceiros e do custo do capital próprio, ponderada pelo grau de 
utilização de cada uma dessas fontes de recursos na companhia. 
d. Escolha da melhor alternativa de investimento mediante o uso de técnicas de orçamento de capital, 
que são o payback, o payback descontado, o valor presente líquido (VPL) e a taxa interna de retorno (TIR).
O mais simples de todos é o método do payback, razão pela qual é o mais utilizado em todo o mundo, 
especialmente pelas pequenas e médias empresas.
Os demais métodos trabalham com o fluxo de caixa do projeto descontado a uma determinadataxa e são 
mais recomendados para investimentos de maior porte. Para grandes projetos, o VPL é o mais recomendado, 
pois é o mais defensável academicamente. Já os profissionais da área financeira preferem trabalhar com o da 
TIR, que envolve a taxa de retorno e não a quantidade de recursos que excede o investimento.
e. Análise de sensibilidade – a projeção e a análise do fluxo de caixa do investimento são elaboradas a 
partir da estimativa de valores mais prováveis. 
Contudo, quando se trabalha com o futuro, com o maior cuidado possível, a incerteza sempre estará 
presente. Além disso, temos em finanças, como regra geral, que uma rentabilidade mais alta implica, 
logicamente, assumir riscos maiores.
Esses fatores de incerteza são denominados de riscos do projeto e podem ser agrupados em algumas 
modalidades:
• Risco econômico - dimensionamento de oferta e de demanda, variações de preços dos produtos e das 
matérias-primas, investimentos imprevistos, crescimento da renda nacional etc.
• Risco financeiro - falta de capacidade de pagamento, insuficiência de capital, variações bruscas da taxa 
de juros e/ou da taxa cambial, grau de inadimplência, nível de endividamento, grau de financiamento 
a clientes e de fornecedores, qualidade e concentração das vendas etc.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
52
• Risco operacional ou risco do negócio – adequação do processo produtivo, qualidade da matéria-prima, 
tecnologia utilizada, capacidade de gerenciamento, potencial de crescimento do setor de atuação da 
empresa, market share, processo de distribuição dos produtos etc.
• Risco político - fatores políticos e institucionais adversos, mudança de legislação, política econômica, 
política monetária (taxas de juros) e política cambial (taxa de câmbio e restrições às importações), 
alterações de alíquotas de impostos, taxas etc.
Existem várias técnicas para se avaliar investimentos em condições de risco, e algumas delas possibilitam 
a obtenção de distribuição de probabilidades das variáveis envolvidas nas projeções. Todavia, para se avaliar 
investimentos em condições de incerteza, o método mais utilizado, e mais simples, é a análise de sensibilidade.
O objetivo desse instrumento de análise é observar o quão sensíveis são os resultados obtidos pela 
aplicação das técnicas de orçamento de capital à variação de parâmetros de entrada, como vida útil de 
equipamentos, custos, receitas, quantidade vendida, preços, investimentos, taxa de desconto etc. Dessa 
forma, são estabelecidas hipóteses para esses parâmetros de entrada, dentro de intervalos: provável, otimista 
e pessimista.
A elaboração de gráficos que demonstrem o comportamento desses parâmetros melhora a qualidade da 
análise e ajuda a estabelecer níveis mínimos e máximos de oscilação deles, como:
• Menor preço do produto para que o projeto seja viável.
• Quantidade mínima que deve ser produzida para que o investimento ainda seja rentável.
• Custo máximo da matéria-prima para viabilizar a receita etc.
Assim, a análise de sensibilidade é um instrumento muito valioso no sentido de dimensionar dentro de 
parâmetros eficientes as principais variáveis de risco e, além disso, ajustar o projeto e corrigir seu rumo, à 
medida que o tempo vai decorrendo.
métodos de análise de investimentos
Projeto de investimento e projeções
Para melhor estudar os métodos de análise e avaliação de investimentos, devemos partir inicialmente da 
existência de um ou mais projetos de investimentos.
Em seguida, deverá ser realizado um trabalho de projeção do fluxo de caixa gerado por esse projeto, 
decorrente da obtenção de receitas e das necessidades de gastos (custos e despesas) para sua implementação.
Vamos supor o seguinte caso: a Metalúrgica Santista S.A. está avaliando a possibilidade de realizar um 
investimento, que consiste na aquisição de uma nova máquina, com as seguintes características:
• Preço de aquisição: R$ 145.000,00.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
53
• Custo de instalação: R$ 5.000,00.
• Economias anuais com mão de obra: R$ 80.000,00.
• Depreciação da nova máquina: 10 anos.
• Taxa de desconto - custo de capital: 18% a.a.
Com esses dados em mãos, o gerente financeiro da empresa preparou o fluxo de caixa livre do projeto, 
considerando, ainda, que o lucro da empresa está sujeito à incidência de Imposto de Renda (IR) e Contribuição 
Social (CS) no total de 34%. Assim, o quadro a seguir é preparado:
Quadro 12. Fluxo de caixa livre
Discriminação Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5
Economia de caixa 80.000 80.000 80.000 80.000 80.000
(-) Depreciação 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000
Lucro antes dos impostos 65.000 65.000 65.000 65.000 65.000
(-) IR e CS 22.100 22.100 22.100 22.100 22.100
Lucro líquido 42.900 42.900 42.900 42.900 42.900
(+) Depreciação 15.000 15.000 15.000 15.000 15.000
Investimento 150.000
Fluxo de caixa livre -150.000 57.900 57.900 57.900 57.900 57.900
Fonte: Assaf (2012).
Observe que o investimento da companhia é igual ao preço da máquina mais o seu custo de instalação, 
totalizando R$ 150.000,00.
Segundo o gerente financeiro da empresa, esse investimento produzirá um fluxo de caixa (recebimentos 
– pagamentos) constante de R$ 57.900,00, nos próximos cinco anos.
Cabe destacar que a depreciação é uma despesa para efeito de apuração do lucro tributável, uma vez que 
é um benefício fiscal, mas não representa saída de caixa. Essa é a razão pela qual ela reduz o lucro antes dos 
impostos e retorna ao caixa, aumentando o fluxo de caixa livre.
Sendo assim, vamos utilizar as diversas técnicas de avaliação de investimentos para determinar se o 
projeto da Metalúrgica Santista S.A. é viável economicamente ou não.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
54
Payback
Pelo método de análise de investimentos denominado de payback, é calculado o prazo de retorno do 
investimento, em número de períodos considerados no fluxo de caixa, mediante a fórmula:
A fórmula somente pode ser utilizada quando consideramos o fluxo de caixa como série uniforme. Caso 
contrário, é necessário diminuir o benefício obtido pelo projeto em cada período do valor total do investimento 
para determinar em quanto tempo deverá ocorrer seu retorno.
Essa técnica é muito utilizada no meio empresarial local e internacional, uma vez que o cálculo é muito 
simples e rápido.
Exemplo: Considerando o caso da Metalúrgica Santista S.A., visto no tópico anterior, qual o prazo de 
retorno do investimento em análise pelo método do payback? O projeto de investimento deve ser aceito ou 
rejeitado pela companhia?
Solução: Lembrando que:
 Investimento inicial = 150.000 (preço e custo de instalação da máquina)
 Fluxo de caixa = 57.900 (projetado para os próximos cinco anos)
Substituímos os valores na fórmula do payback:
Temos o seguinte resultado:
Isto é, o retorno do investimento realizado ocorrerá em 2,59 anos.
O custo de capital da empresa é de 18% ao ano. Portanto, o prazo de retorno esperado pela companhia 
em seus projetos é o inverso da taxa de desconto (custo de capital), calculado da seguinte forma:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
55
Resposta: O período de retorno do projeto, medido pelo payback, é de 2,59 anos. Como o projeto possui 
um prazo inferior ao prazo de retorno médio esperado pela empresa, que é de 5,56 anos, a implementação 
do projeto é viável e deve ser aceita.
Payback descontado
Uma séria crítica ao método do payback é que sua principal limitação diz respeito à não consideração do 
valor do dinheiro no tempo. Essa técnica, contudo, pode ser aprimorada quando incluímos esse conceito.
Esse procedimento é adotado no método do payback descontado, que calcula o tempo de retorno, 
ajustando o fluxo de caixa por uma taxa de desconto. 
Exemplo: Considerando o mesmo caso da Metalúrgica Santista S.A., qual o prazo de retorno do 
investimento em análise pelo método do payback descontado? O projeto de investimento deve ser aceito ou 
rejeitado pela companhia?
Solução: Lembrandoque:
• Investimento no ano 0 = R$ 150.000,00.
• Fluxos de caixa = R$ 57.900,00 anuais e iguais.
• n = 5 anos.
• Taxa de desconto = i = 18% ao ano.
Com essas informações, podemos montar o seguinte demonstrativo:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
56
Quadro 13. Demonstrativo de fluxo de caixa
Ano Fluxo de caixa anual FC descontadoa 18% a.a. FC descontado acumulado
0 - 150.000 - 150.000
1 57.900 49.068 - 100.932
2 57.900 41.583 - 59.349
3 57.900 35.240 - 24.109
4 57.900 29.864 + 5.755
5 57.900 25.309 + 31.064
Fonte: Assaf (2012).
A coluna 3, FC descontado a 18% a.a., é obtida trazendo o fluxo de caixa anual gerado pelo projeto no 
futuro a valor presente usando a fórmula de juros compostos:
FV = PV . (1 + i)n
Como vamos calcular o valor presente, isolamos o PV e usamos a fórmula a seguir:
Substituindo os dados do problema, teremos:
Em seguida, calculamos a coluna 4, FC descontado acumulado, adicionando o valor encontrado na coluna 
3 ao investimento inicial que está com sinal negativo, por se tratar de uma saída de caixa da empresa.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
57
Esse procedimento é realizado sucessivamente até que observamos que o último período negativo é o ano 
3 e o primeiro período positivo, o ano 4, isto é, quando o fluxo de caixa gerado pelo projeto supera o valor 
investido no ano 0.
O payback descontado está, então, entre o terceiro e o quarto ano, como podemos observar pela coluna 
4 do fluxo de caixa descontado acumulado.
Para o cálculo mais preciso, devemos usar a seguinte relação:
 Payback descontado = 3 + = 3,81 anos
Em que o algarismo 3 indica o decorrer de três anos.
Devemos lembrar que a taxa de desconto da empresa indica o prazo de retorno em 5,56 anos.
Resposta: O período de retorno do projeto, medido pelo método do payback descontado, é de 3,81 anos. 
Como mesmo assim o projeto possui um prazo inferior ao prazo de retorno médio esperado pela empresa, 
que é de 5,56 anos, a implementação do projeto é viável e deve ser aceita.
É importante observar que o prazo de retorno calculado pelo método do payback descontado é maior, ou 
seja, o retorno é mais demorado do que o obtido pelo método do payback.
Valor presente líquido (VPL)
Esse método é o resultado da diferença entre o valor dos fluxos anuais de caixa, trazidos ao período inicial 
por uma determinada taxa de desconto, e o valor do investimento inicial, ou seja:
 
O cálculo é igual ao do payback descontado, com a diferença de que a soma dos valores presentes anuais 
do fluxo de caixa é comparada com o investimento realizado inicialmente.
Sendo assim, o critério de decisão pelo método do VPL é:
Se VPL > 0, a empresa estaria obtendo um retorno maior do que o retorno mínimo exigido e, portanto, 
sugere que o projeto deve ser aprovado ou aceito.
Se VPL < 0, a empresa estaria obtendo um retorno menor do que o retorno mínimo exigido e, portanto, 
indica que o projeto deve ser reprovado ou rejeitado.
Exemplo: Considerando, novamente, o caso da Metalúrgica Santista S.A., qual o VPL do projeto de 
investimento em análise na empresa? O projeto deve ser aceito ou rejeitado pela companhia? Por quê?
Solução: Recuperando as informações do enunciado do problema, temos:
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
58
• Investimento no ano 0 = R$ 150.000,00.
• Fluxos de caixa = R$ 57.900,00 iguais.
• n = 5 anos.
• Taxa de desconto = i = 18% ao ano.
O cálculo do VPL do projeto pode ser realizado de duas maneiras: mediante a utilização da fórmula e com 
o uso da calculadora financeira HP 12C.
a. Aplicando a fórmula do VPL (valor presente líquido), teremos:
Ou ainda:
Substituindo os valores do enunciado:
Portanto, temos:
 VPL = 49.068 + 41.583 + 35.240 + 29.864 + 25.309 – 150.000 = 31.064
b. Utilizando a calculadora financeira HP 12C, a solução é mais simples. A calculadora facilita muito os 
cálculos envolvidos no VPL.
A seguir, demonstramos de que forma isso pode ocorrer, sugerindo a ordem como os dados primários 
devem ser armazenados na calculadora. 
Vamos utilizar as funções amarela – tecla f e a azul – tecla g da seguinte forma:
 150.000 CHS g CF0
A tecla CF0 é a mesma tecla branca PV. Note que na parte inferior da tecla branca PV está escrito CF0 em 
azul, que é a redução de cash flow (fluxo de caixa) no ano 0.
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
59
Em seguida:
 57.900 g CFj (tecla branca PMT)
 5 g Nj (tecla branca FV)
 18 i (tecla branca)
E, finalmente, acionamos a função amarela na tecla f e NPV, que é a mesma tecla branca PV. Note que 
está escrito NPV em amarelo na parte superior da tecla branca PV, cujo significado é net present value (valor 
presente líquido).
Aparecerá no visor o VPL já calculado de R$ 31.063,00 (diferença de R$ 1,00 em relação ao cálculo 
realizado com a fórmula, referente a arredondamentos).
No caso de fluxo de caixa não uniforme, isto é, com valores anuais distintos, cada valor deve ser armazenado 
separadamente na tecla g CFj. Nesses casos, não será possível usar a tecla g Nj, utilizada apenas quando há 
diversos períodos com o mesmo valor anual de pagamento.
A calculadora financeira HP 12C pode ser utilizada para avaliação de projetos de investimento com prazo 
de até 15 períodos.
Resposta: O VPL (valor presente líquido) do projeto é de R$ 31.063,00. O VPL é maior do que zero, 
ou seja, o fluxo de caixa anual do projeto descontado ao custo da capital da companhia totalizou uma 
quantia de recursos superior ao investimento de recursos inicial de R$ 150.000,00. Sendo assim, o projeto 
de investimento é viável economicamente e deve ser aceito pela companhia.
Taxa interna de retorno (TIR)
A taxa interna de retorno é a taxa de desconto que torna o VPL dos fluxos de caixa de um investimento 
igual a zero, ou, em outras palavras, é a taxa de retorno intrínseca do investimento a ser realizado em função 
dos fluxos de caixa projetados para o futuro. 
Matematicamente, a TIR pode ser assim representada:
Figura 7. Fonte: Assaf (2012).
Economia da Engenharia e Analise de Investimentos
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O critério de decisão pelo método da taxa interna de retorno é o seguinte:
a. TIR > taxa de desconto - a empresa obteria um retorno superior à taxa mínima de atratividade exigida 
e, portanto, deve aceitar ou aprovar o projeto.
b. TIR < taxa de desconto - a empresa obteria um retorno inferior à taxa mínima exigida e, portanto, deve 
rejeitar ou reprovar o projeto.
Exemplo: Considerando, mais uma vez, o mesmo caso da Metalúrgica Santista S.A., qual a TIR (taxa 
interna de retorno) do projeto de investimento em análise na empresa? O projeto deve ser aceito ou rejeitado 
pela companhia? Por quê?
Solução: Recuperando as informações do enunciado do problema, temos:
• Investimento no ano 0 = R$ 150.000,00.
• Fluxos de caixa = R$ 57.900,00 iguais.
• n = 5 anos.
• Taxa de desconto = i = 18% ao ano.
O cálculo da TIR do projeto de investimento também pode ser efetuado mediante o uso da fórmula ou 
com a utilização da calculadora financeira HP 12C.
a. A solução mediante a aplicação da fórmula da TIR é extremamente trabalhosa, uma vez que é um 
processo demorado de tentativa e erro (GRIFFIN, 2012, p. 215).
O processo consiste em descontar o fluxo de caixa do projeto de investimento a uma determinada taxa 
(TIR) até que o valor presente corresponda ao investimento inicial. Assim, o VPL iguala a zero.
b. Com o auxílio da calculadora HP 12C, o cálculo da TIR é bastante simples. São utilizadas novamente as 
funções amarela – tecla f e azul – tecla g.
Repetiremos as etapas utilizadas para o cálculo do VPL, como segue:
 150.000 CHS g CF0 (tecla branca PV)
 57.900 g CFj (tecla branca PMT)
 5 g Nj (tecla branca FV)
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 18 i (diretamente na tecla branca)
No final, acionamos a função amarela na tecla f e IRR, que é a tecla branca FV. Note que está escrito IRR 
em amarelo na parte superior da tecla, cujo significado é internal rate return (taxa interna de