A GEOMETRIA DO COLÉGIO NAVAL (Volume II)

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G - 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G - 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G - 3 
 
 
Colégio Naval 
 
 
 
 
A matemática dos vestibulares do Colégio Naval 
 Prof. Grad, Adriano Carneiro Tavares. 
actav29@gmail.com 
 
“É na experiência da vida que o homem evolui” 
 
 
 
G - 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G - 5 
 
 
Adriano Carneiro Tavares 
Mestre em matemática 
(UFC – Universidade Federal do Ceará) 
 
COLEGIO NAVAL 
GEOMETRIA 
Por Adriano Carneiro 
 
 
 
203 problemas com algumas soluções, na seção militar temos 178 
problemas com gabaritos. Portanto, neste volume temos um total 
de 381 problemas. 
 
 
 
1ª Edição – 2008 
G - 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G - 7 
 
 
Geometria 
 
1. (Col. Naval – 75) Achar a razão do apótema para o lado do hexágono regular. 
A) 3 B) 
2
3
 C)
3
32
 D) 
2
1
 E) 
6
3
 
2. (Col. Naval – 75) Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 
m 63 ? 
A) m 312 B) m 612 C) m 36 D) m 38 E) m 212 
 
3. (Col. Naval – 75) Os pontos D C, B, ,A e E são cinco vértices consecutivos de 
um decágono regular. Achar o ângulo BAE . 
A) º60 B) º36 C) º45 D) º108 E) º54 
 
4. (Col. Naval – 75) O lado de um triângulo eqüilátero é igual ao lado de um 
hexágono regular e ambos medem cm 36 . Se colocarmos, sobre um plano, o 
triângulo ao lado do hexágono, de maneira que dois lados fiquem em 
coincidência, qual será a distância entre os centros das duas figuras. 
A) cm 312 B) cm 12 C) cm 18 D) cm 5,7 E) cm 5,12 
G - 8 
 
5. (Col. Naval – 75) Um trapézio de cm 22 de altura tem, para uma de suas 
bases, a diagonal de um quadrado de cm 6 de lado. Achar a área do trapézio, 
sabendo que a outra base tem as extremidades sobre os lados do quadrado . 
A) 2cm 16 D) 2cm 216 
B) 2cm 20 E) 2cm 32 
C) 2cm 220 
6. (Col. Naval – 75) Uma circunferência de cm 4 de raio está dentro de um 
ângulo de º120 tangenciando os lados do ângulo nos pontos A e B . Achar a 
área do retângulo inscrito na circunferência que tem, para um dos lados a corda 
___
AB. 
A) 2cm 16 D) 2cm 316 
B) 2cm 38 E) 2cm 24 
C) 2cm 312 
 
7. (Col. Naval – 75) Cinco círculos de cm 1 de raio são interiores ao quadrado. 
Um deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada um dos demais 
tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a 
área do quadrado. 
A) 2cm 18 D) 2cm 5,12 
B) ( ) 2cm 2412+ E) ( ) 2cm 61210+ 
C) ( ) 2cm 2812+ 
 
G - 9 
 
8. (Col. Naval – 75) Achar a área do círculo inscrito triângulo de lados 
cm 5 ,cm 9 e cm 6 . 
A) 2cm 
2

 B) 2cm  C) 2cm 4 D) 2cm 2 E) 2cm 5 
 
9. (Col. Naval – 75) Na figura abaixo, temos 55AB
___
= cm e 5AC
___
= cm . Calcule 
a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo BDC. 
A) 
5
6
 
B) 1 
C) 
6
5
 
D) 
6
11
 
E) 2 
 
 
 A 
 D 
 C 
 B 
 
10. (Col. Naval – 75) Três círculos de raio igual a cm 2 , são tangentes 2 a 2 , nos 
pontos B ,A e C. Calcular a área da figura plana limitada pelo menores arcos 
BC ,AB e CA. 
A) ( ) 2cm 423 − D) ( ) 2cm 434 − 
B) ( ) 2cm 432 − E) ( ) 2cm 234 − 
C) ( ) 2cm 232 − 
11. (Col. Naval – 76) Calcular o ângulo interno do polígono regular em que o 
número de diagonais excede de 3 unidades o número de lados 
G - 10 
 
A) º60 B) º72 C) º108 D) º150 E) º120 
 
12. (Col. Naval – 76) A área de um losango é 2cm 120 . Calcular o seu perímetro, 
sabendo que uma das diagonais vale cm 10 . 
A) cm 48 B) cm 52 C) cm 60 D) cm 40 E) cm 76 
 
13. (Col. Naval – 76) Dividindo-se um círculo de cm 8 de raio em duas partes 
equivalentes, por meio de uma circunferência interior ao círculo, qual será o 
raio do círculo inferior ? 
A) cm 4 B) cm 2 C) cm 24 D) cm 22 E) cm 8,4 
 
14. (Col. Naval – 76) Sobe os lados de um hexágono regular de cm 4 de lado, e 
exteriormente a ele, constroem-se quadrados, de modo que cada quadrado 
tenha um lado em comum com o hexágono. Calcular a área do dodecágono 
cujos vértices são os vértices dos quadrados que não são vértices do hexágono: 
A) ( ) 2cm 2348 + D) 2cm 192 
B) ( ) 2cm 2350 + E) 2cm 36 
C) ( ) 2cm 4324 + 
 
15. (Col. Naval – 77) Um triângulo ABCtem 2m 96 de área. 
___
AM e 
___
BN são duas 
medianas e P é o ponto de inserção dessas medianas. A área do triângulo 
PMN é de: 
A) 2m 10 B) 2m 8 C) 
2m 5,12 D) 2m 6,9 E) 2m 4,6 
 
G - 11 
 
16. (Col. Naval – 77) A área do segmento circular determinado por uma corda 
de cm 34 em um círculo de cm 4 de raio é : 
A) 2cm 33
3
8






−

 D) 2cm 34
3
16






−

 
B) 2cm 36
3
9






−

 E) 2cm 32
9
16






−

 
C) ( ) 2cm 334 − 
 
17. (Col. Naval – 77) A área de um triângulo eqüilátero inscrito em uma 
circunferência tem 2cm 600 . A área do hexágono regular inscrito na mesma 
circunferência medirá: 
A) 2cm 1200 D) 2cm 3800 
B) 2cm 450 E) 2cm 31000 
C) 2cm 3600 
 
18. (Col. Naval – 77) Em um círculo de centro em Pe cm 20 de raio está inscrito 
um ângulo de º30 formado por duas cordas iguais 
___
MA e 
___
MB . A área do 
quadrilátero MAPB é de: 
A) 2cm 3150 D) 2cm 3100 
B) 2cm 200 E) ( ) 2cm 13100 + 
C) ( ) 2cm 13200 + 
 
G - 12 
 
19. (Col. Naval – 77) As tangentes tiradas de um ponto P a um círculo de centro 
O e cm 4 de raio formam um ângulo de º60 e tocam o circulo nos pontos Q e 
T. A área do eqüilátero PQOT é de: 
A) 
2cm 38 D) 
2cm 312 
B) 
2cm 316 E) 
2cm 332 
C) 
2cm 324 
 
20. (Col. Naval – 77) A razão entre as áreas dos quadrados inscritos em um 
semicírculo e num círculo de mesmo raio é igual é igual a: 
A) 2:1 B) 3:2 C) 5:2 D) 4:3 E) 5:3 
 
21. (Col. Naval – 78)nula. A área do quadrilátero circunscrito a um círculo de 4 
cm de raio e que tem para soma dos comprimentos de dois de seus dois lados 
opostos 17 cm, é: 
A) 68 cm2 B) 34 cm2 C) 136 cm2 D) 51 cm2 E) 40 cm2 
 
22. (Col. Naval – 78)nula. A hipotenusa do triângulo retângulo, em que as 
medianas dos catetos medem cm17 e cm8 , tem: 
A) cm25 D) cm8 
B) cm52 E) cm24 
C) cm5 
 
G - 13 
 
23. (Col. Naval – 78)nula. A área de um círculo inscrito em um setor circular de 
90º, de um círculo de ( )cm233 + de raio, é: 
A) ( ) 2234 cm+ D) ( ) 2234 cm− 
B) ( ) 2243 cm− E) 29 cm 
C) 
( ) 2
4
21827
cm
+
 
24. (Col. Naval – 78)nula. Um triângulo eqüilátero ABC tem 
2316 cm de área. 
Do ponto Q sobre BC, traçamos paralelas aos outros dois lados, determinando 
os pontos P e R sobre estes lados. O perímetro do paralelogramo APQR mede: 
A) 24cm B) 16cm C) 12cm D) cm38 E) cm316 
 
25. (Col. Naval – 78)nula. A diferença entre o número de diagonaisde dois 
polígonos convexos é 29, e a diferença entre as somas dos ângulos internos 
destes polígonos é de 360º. A soma dos números de lados dos dois polígonos é: 
A) 22 B) 28 C) 32 D) 36 E) 35 
 
26. (Col. Naval – 78)nula. ABC é um triângulo retângulo em A, de hipotenusa 
igual a 8 cm. O ângulo C mede 30º. Ligando o vértice C a um ponto M do cateto 
oposto AB, e sendo P o pé da perpendicular baixada de M sobre a hipotenusa 
CB, obtém-se os triângulos AMC e MBP de mesma área. O valor de MB é: 
A) ( )cm123 + D) ( )cm128 − 
B) ( )cm12 + E) cm32 
C) cm53 
G - 14 
 
 
27. (Col. Naval – 78)nula. Na figura abaixo temos que a medida do ângulo A é 
igual a 30º, o menor arco QS é dobro do menor arco PR e as cordas PQ e RS são 
iguais. A razão da corda QS para a corda PR é: 
A) 
2
3
 
B) 2 
C) 2 
D) 3 
E) faltam dados 
 
28. (Col. Naval – 78)nula. Na figura abaixo, temos AD = DF = FC = AE = EG = GB = 
2cm e BC = 6 2 . A área do trapézio DEGF é igual a: 
 
A) 2 2 cm2 
B) 6 cm2 
C) 3 cm2 
D) 4 2 cm2 
E) 4 cm2 
 
29. (Col. Naval – 78) Num triângulo de vértices A, B, C, os lados opostos medem 
respectivamente a = 13 cm, b = 12 cm e c = 5 cm. O círculo inscrito tem centro 
G - 15 
 
em O e tangencia os lados a e b respectivamente nos pontos T e P. A área do 
quadrilátero CTOP mede: 
A) 6 cm2 B) 20 cm2 C) 4 cm2 D) 10 cm2 E) 8 cm2 
 
30. (Col. Naval – 78) Um ponto P dista d de uma circunferência de raio R. Do 
ponto P traçam-se as tangentes PA e PB à circunferência. A expressão da flecha 
menor da corda AB é: 
A) 
Rd
Rd
+
−
 D) 
22 dR
dR
−
 
B) ))(( RdRd −+ E) 
22 Rd
dR
+
 
C) 
Rd
dR
+
 
 
31. (Col. Naval – 78) Um losango é inteiro a uma circunferência de 6 cm de raio, 
de maneira que a diagonal maior do losango coincide com um diâmetro da 
circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do losango tem 60º 
podemos afirmar que a área deste losango é: 
A) 
2cm 312 D) 
2cm 36 
B) 
2cm 324 E) 
2cm 336 
C) 
2cm 348 
 
32. (Col. Naval – 78) Um triângulo retângulo tem os catetos medidos 3 cm cada 
um. Tomando-se os catetos e a hipotenusa como lados, construirmos 
externamente 3 quadrados cujos centros são os pontos B, A e C. A área do 
triângulo ABC é: 
G - 16 
 
A) 2cm 
2
9
 D) 
2cm 
4
9
 
B) 
2cm 18 E) 
2cm 6 
C) 
2cm 9 
 
33. (Col. Naval – 78) A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 são os vértices consecutivos de 
um octógono regular de cm 26 de lado. Ligando-se os pontos A1, A2, A3, 
A4,obtém-se um trapézio cujo área é de: 
A) ( )
2cm 1218 + D) ( )
2cm 2236 + 
B) ( ) 2cm 2224 + E) ( )
2cm 1236 + 
C) ( )
2cm 1224 + 
 
34. (Col. Naval – 80) PQ é a corda comum de duas circunferências secantes de 
centros em A e B. A corda PQ, igual a cm 34 , determina, nas circunferências, 
arcos de 60º e 120º. A área do quadrilátero convexo APBQ é: 
A) 
2cm 36 D) 
2cm12 
B) ( ) 2cm12 33 + E) 2cm 316 
C) ( ) 2cm36 12 + 
 
35. (Col. Naval – 80) A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores 
dá 9 e a soma dos comprimentos de suas circunferências 8π cm. Uma tangente 
comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois centros em um ponto 
exterior P que está a uma distância do centro do círculo maior de: 
G - 17 
 
A) 5 cm B) 7 cm C) 4 cm D) 3 cm E) 6 cm 
 
36. (Col. Naval – 80) Uma figura de 6 pontas é obtida pela arrumação de 2 
triângulos eqüiláteros circunscrito ao círculo de 4 cm de raio, de maneira que os 
lados fiquem 2 a 2, paralelos. A área dessa figura: 
A) 
2cm 332 D) 
2cm 336 
B) 
2cm 364 E) 
2cm 372 
C) 
2cm 396 
 
37. (Col. Naval – 80) Na base AB de um triângulo isósceles de vértice C, toma-se 
o ponto P. A base mede 3 cm e o perímetro 17 cm. Do ponto P tomam-se 
paralelas aos lados iguais, obtendo um paralelogramo que terá de perímetro: 
A) 20 cm B) 23 cm C) 14 cm D) 18 cm E) 16 cm 
 
38. (Col. Naval – 80) Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de 3 cm 
de raio tem dois ângulos internos iguais. Um o 3º ângulo interno mede 150º. A 
soma das diagonais dá: 
A) ( )cm 33 + D) ( )cm 332 + 
B) cm 9 E) ( )cm 333 + 
C) cm 6 
 
39. (Col. Naval – 80) A área do círculo inscrito no trapézio que tem 2cm 332 
G - 18 
 
de área, e 16 cm para soma dos lados não paralelos é de: 
A) 18π cm2 B) 12π cm2 C) 27π cm2 D) 16π cm2 E) 9π cm2 
 
40. (Col. Naval – 80) Um paralelogramo tem 24 cm de perímetro, 24 cm2 de 
área e uma altura é o dobro da outra. A soma dessas alturas dá: 
A) 5 cm B) 7 cm C) 9 cm D) 11 cm E) 13 cm 
 
41. (Col. Naval – 81) Em um triângulo AB = AC = 5cm e BC = 4cm. Tomando-se 
sobre AB e AC os pontos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja 
paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja circunscritível a um círculo, a 
distância AD = AE mede: 
A) 0,75cm B) 1,2cm C) cm
7
15
 D) cm
3
4
 E) cm
3
5
 
 
42. (Col. Naval – 81) Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma 
secante que corta a circunferência nos pontos M e N de maneira que PN = 3x e 
PM = x – 1. Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma 
circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e PS = x + 1. O comprimento do 
segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os 
segmentos estão medidos em cm é: 
A) cm40 B) cm60 C) cm34 D) cm10 E) cm8 
 
43. (Col. Naval – 81) O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6 
cm e o ângulo em C é de 30º. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o 
ponto P, de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos 
triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será: 
G - 19 
 
A) cm4 D) ( )cm126 + 
B) ( )cm236 − E) ( )cm126 − 
C) ( )cm236 − 
 
44. (Col. Naval – 81) O triângulo ABC tem 60 cm2 de área. Dividindo-se o lado 
BC em 3 partes proporcionais aos números 2, 3 e 7 e tomando-se esses 
segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto A, a área do 
maior dos três triângulos é: 
A) 30 cm2 B) 21 cm2 C) 35 cm2 D) 42 cm2 E) 28 cm2 
 
45. (Col. Naval – 81) X é o lado do quadrado de 4820 mm2 de área; Y é o lado do 
hexágono regular de cm3
2
7
 de apótema e Z é o lado do triângulo eqüilátero 
inscrito no círculo de 4cm de raio. Escrevendo em ordem crescente esses três 
números teremos: 
 
A) Z, X, Y D) Y, X, Z 
B) Z, Y, X E) X, Y, Z 
C) Y, Z, X 
 
46. (Col. Naval – 81) Um triângulo retângulo tem os catetos com 2cm e 6cm. A 
área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e tangencia os dois catetos 
é de: 
G - 20 
 
A) 2
4
9
cm

 D) 
220 cm 
B) 2
9
25
cm

 E) 
218 cm 
C) 2
9
16
cm

 
 
47. (Col. Naval – 81) Um hexágono regulartem 
2324 cm de área. Se ligarmos, 
alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, vamos encontrar 
um triângulo eqüilátero de área: 
A) 
2312 cm D) 
236 cm 
B) 
238 cm E) 
2318 cm 
C) 
239 cm 
 
48. (Col. Naval – 81) Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma 
reta tangencia essas circunferências nos pontos M e N respectivamente. Se PM 
= 4cm e PN = 2cm, o produto dos raios desses circunferências dá: 
A) 8 cm2 B) 4 cm2 C) 5 cm2 D) 10 cm2 E) 9 cm2 
 
49. (Col. Naval – 81) Em um círculo de 3 cm de raio, a corda AB tem 1,8 cm. A 
distância do ponto B à tangente ao círculo em A mede: 
A) 0,54 cm B) 1,08 cm C) 1,5 cm D) 2,4 cm E) 1,8 cm 
 
G - 21 
 
50. (Col. Naval – 82) Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado 
AB é o lado do triângulo eqüilátero inscrito nesse círculo. O lado CD é o lado do 
hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo formado pelas diagonais do 
quadrilátero é de: 
A) 30º B) 45º C) 60º D) 90º E) 108º 
 
51. (Col. Naval – 82) As bases de um trapézio isósceles medem 8 cm e 4 cm e a 
altura 6 cm. As diagonais desse trapézio dividem-no em quatro triângulos. A 
área, em 2 cm , de um dos triângulos que não contêm nenhum das bases é: 
A) 8 B) 6 C) 9 D) 10 E) 12 
 
52. (Col. Naval – 82) O segmento da bissetriz do ângulo reto de um triângulo 
vale 24 cm. Um dos catetos vale 5 cm. A hipotenusa vale, em cm: 
A) 173 B) 174 C) 175 D) 176 E) 177 
 
53. (Col. Naval – 82) Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma 
circunferência de raio R, traça-se uma tangente. Com centro na extremidade B, 
descreve-se um arco de raio 4R, que intercepta a tangente no ponto C. Traça-se 
BC que encontra a circunferência dada em E. O valor de BE é: 
A) 0,25R B) 0,5R C) 0,75R D) 0,8R E) R 
 
54. (Col. Naval – 82) Num círculo de 2 cm de raio traçam-se dois diâmetros 
perpendiculares, AA’ e BB’. Sobre o arco AB marca-se o ponto P de modo 
que PB = PQ, sendo PQ perpendicular a AA’ e Q situado em AA’. A medida 
de PB, em cm, vale: 
G - 22 
 
A) 3 B) 232 − C) 1 3 + D) 1 E) 32 
 
55. (Col. Naval – 82) Duas circunferências têm centros, respectivamente, em 
R e S. Seus raios medem 3 cm e 4 cm. Essas circunferências se cortam em P 
e Q. Sabendo que a maior passa no centro da menor, a área do quadrilátero 
convexo RPSQ, em cm2, é: 
A) 553 B) 552 C) 55 D) 
2
553
 E) 
2
55
 
 
56. (Col. Naval – 82) A diagonal de um pentágono regular convexo de lado 
igual a 2 cm, mede, em cm: 
A) 25 + B) 25 − C) 5 D) 15 − E) 15 + 
 
57. (Col. Naval – 83) O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. 
Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno 
do polígono que tem o ângulo central menor, mede: 
A) 120º B) 135º C) 140º D) 144º E) 150º 
 
58. (Col. Naval – 83) Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R. O 
segmento da tangente ao círculo tirado do veículo do vértice A mede 4 cm. 
Se o lado oposto a esse vértice mede 5 cm, a área do triângulo ABC, é: 
A) 20R cm2 B) 10R cm2 C) 5R cm2 D) 9R cm2 E) 4R cm2 
 
59. (Col. Naval – 83) Um triângulo de 30 cm de altura é dividido por duas 
paralelas perpendiculares a essa altura, em altura em três partes 
G - 23 
 
equivalentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por 
essas paralelas é: 
A) cm 35 D) cm 315 
B) cm 36 E) cm 320 
C) cm 310 
 
60. (Col. Naval – 83) Na figura: AC = 3AF e BC = 3 CE, sendo S a área do 
triângulo ABC, a área do triângulo AGF é: 
A) 
3
S
 
B) 
7
S
 
C) 
9
S
 
D) 
21
S
 
E) 
18
S
 
 
61. (Col. Naval – 83) O número de triângulos diferentes cujos lados têm 
medidas representados por números inteiros e de perímetro 12 cm, é: 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 
 
G - 24 
 
62. (Col. Naval – 83) Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e 
raio R e tal que .3ROP = Traça-se por P a secante PAB o círculo se PA = R, 
AB é igual a: 
A) R B) 2
R
 C) 3R D) 2R E) 2R 
 
63. (Col. Naval – 83) Em um triângulo ABC, o ângulo ∠A é o dobro do ângulo 
∠B, AB = 9 cm e AC = 4 cm. O lado BC mede: 
A) cm139 B) cm133 C) cm134 D) cm136 E) cm132 
 
64. (Col. Naval – 84) A secante (r) a uma circunferência de 6 cm de raio 
determina uma corda AB de cm 28 de comprimento. A reta (s) é paralela 
a (r) e tangencia a circunferência no menor arco AB. A distância entre (r) e 
(s) é de: 
A) 6 cm B) 10 cm C) 5 cm D) 4 cm E) 7 cm 
 
65. (Col. Naval – 84) Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo 
escaleno de área S por uma paralela a um dos lados do triângulo que passa 
pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é: 
A) S
9
5
 B) S
9
4
 C) S
3
2
 D) S
3
1
 E) S
2
1
 
 
66. (Col. Naval – 84) Um triângulo ABC está inscrito em um círculo e o arco 
BC mede 100º. Calcular a medida do ângulo ∠BEC, sendo E o ponto de 
interseção da bissetriz externa relativa a ∠B com o prolongamento do 
segmento CM, onde M é o ponto médio do arco menor AB 
G - 25 
 
A) 15º B) 25º C) 20º D ) 40º E) 50º 
 
67. (Col. Naval – 84) A roda de um veículo tem 50 cm de diâmetro. Este móvel, 
em velocidade constante, completa 10 voltas em cada segundo, com um gasto 
de um litro de combustível por 10 km rodados. Sabendo-se que o veículo fez 
uma viagem de 6h, o número que mais se aproxima da quantidade de litros 
gastos na viagem é: 
A) 52 B) 40 C) 30 D) 34 E) 20 
 
68. (Col. Naval – 84) Num triângulo ABC de lado AC de medida 6 cm, traça-
se a ceviana AD que divide internamente o lado BC nos segmentos BD de 
medida 5 cm e DC de medida 4 cm. Se o ângulo B mede 20º e o angulo C 
mede 85º, então o ângulo BAD mede: 
A) 65º B) 55º C) 75º D) 45º E) 35º 
 
69. (Col. Naval – 84) As retas PA e PB são tangentes à circunferência de raio 
R nos pontos A e B respectivamente. Se PA = 3x e x é a distância do ponto A 
à reta PB, então R é 
A) ( )x223 − D) ( )x2322 + 
B) ( )x2233 + E) x 
C) x3 
 
70. (Col. Naval – 84) Num triângulo ABC, a medida do lado AB é o dobro da 
medida do lado AC. Traça-se a mediana AM e a bissetriz AD (M e D 
G - 26 
 
pertencentes a BC). Se a área do triângulo ABC é S, então a área do triângulo 
AMD é: 
A) 
3
S
 B) 
4
S
 C) 
6
S
 D) 
8
3S
 E) 
12
S
 
 
71. (Col. Naval – 84) Na figura, o diâmetro AB mede e a corda CD forma um 
ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, 
a área da região hachurada mede: 
A) ( ) 338 − 
B) ( ) 1310 + 
C) ( ) 3218 + 
D) ( ) 2327 − 
E) ( ) 338 + 
 
72. (Col. Naval – 85) Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam 
pelo seu centro. O valor da medida do ângulo interno do referido polígono está, 
em graus, compreendidos entre 
A) 70º e 80º D) 140º e 150º 
B) 100º e120º E) 150º e 160º 
C) 120º e 130º 
 
73. (Col. Naval – 85) Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um 
quadrilátero L, obtém-se um losango . Pode-se afirmar que L 
G - 27 
 
A) é um retângulo 
B) tem diagonais perpendiculares 
C) é um trapézio isósceles 
D) é um losango 
E) tem diagonais congruentes 
 
74. (Col. Naval – 85) Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os 
segmentos CD e GH são congruentes e os segmentos são colineares. A razão 
entre a área de um deles e a área do triângulo EMN é igual a: 
 
 
 
A) 6 B) 9 C) 12 D) 16 E) 18 
75. (Col. Naval – 85) Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e a altura 
relativa ao terceiro lado mede 3 cm. O perímetro do círculo circunscrito ao 
triângulo mede 
A) 4π cm B) 6π cm C) 8π cm D) 12π cm E) 16π cm 
 
76. (Col. Naval – 85) O pentágono ABCDE da figura abaixo é regular e de lado l. 
Sabendo que o segmento AF tem medida igual a 
l, pode-se afirmar que o ângulo ∠BFE mede 
G - 28 
 
 
A) 36º 
B) 45º 
C) 54º 
D) 60º 
E) 72º 
 
77. (Col. Naval – 85) O círculo de centro O da figura abaixo tem 6 cm de raio. 
Sabendo que PA é tangente à circunferência e que a medida do segmento PC é 
igual a 6 cm, a área hachurada é, em cm2, aproximadamente, igual a 
A) 10 B) 10,5 C) 11 D) 11,5 E) 12 
 
78. (Col. Naval – 85) Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm e 6 cm. O 
terceiro lado é um número inteiro expresso por x2 + 1. O seu perímetro é: 
A) 13 cm B) 14 cm C) 15 cm D) 16 cm E) 20 cm 
 
79. (Col. Naval – 86) O retângulo ABCD da figura abaixo tem base igual a x + y. 
O segmento AF tem medida z. Sabe-se 
que x2 + y2 + z2 = 3,54 e que xy + yz – xy 
= 0,62. A área do quadrado FBCE é 
A) 2 D) 2,7 
B) 2,1 E) 2,5 
C) 2,3 
 
G - 29 
 
80. (Col. Naval – 86) O número de triângulos de perímetro igual a 19 a uma das 
alturas igual a 4, inscritíveis num círculo de raio 5, e cujos lados têm medidas 
expressas por números inteiros é: 
A) 1 D) 4 
B) 2 E) 5 
C) 3 
 
81. (Col. Naval – 86) As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm. Os 
segmentos determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base 
média, são proporcionais aos números : 
A) 1, 1, 1 B) 1, 2, 1 C) 1, 3, 1 D) 1, 4, 1 E) 2, 3, 4 
 
82. (Col. Naval – 86) Na figura abaixo, as retas r, s e 
t são tangentes à circunferência de diâmetro. O 
segmento mede 4 cm. A medida, em 
centímetros, do segmento CD é: 
A) 16 
B) 14 
C) 12 
D) 8 
E) 20 
 
83. (Col. Naval – 86) Um trapézio ABCD retângulo 
possui bases AB e CD de medidas iguais a 10 e 6 
respectivamente. Sabendo que a bissetriz do 
G - 30 
 
ângulo A intercepta BC no seu ponto médio M, a altura do trapézio é igual a: 
A) 152 
B) 158 
C) 156 
D) 154 
E) 155 
 
84. (Col. Naval – 86) Em um triângulo os lados de medidas m e n são opostos, 
respectivamente, aos ângulos de 60º e 40º. O segmento da bissetriz do maior 
ângulo interno do triângulo é dado por: 
A) 
n
nm
m
+
 D) 
nm
m
n
+
 
B) 
m
nm
n
+
 E) 
n
m
 
C) 
nm
n
m
+
 
 
85. (Col. Naval – 86) Considere um ponto P interno a um hexágono regular de 
lado igual a 6 cm. A soma das distâncias de P a cada uma das retas suportes dos 
lados deste hexágono 
A) depende da localização de P 
B) é igual a 36 cm 
C) é igual a 18 cm 
D) é igual a 12 cm 
G - 31 
 
E) é igual a 18 cm 
 
86. (Col. Naval – 86) Na figura abaixo tem-se QB e QA são tangentes ao círculo 
de raio 2; a medida do segmento PA é 32 e a potência do ponto P em 
relação ao círculo é igual a 24 . A área hachurada da figura é igual a 
A) ( )−32
3
4
 
B) ( )−33
3
4
 
C) ( )−3
3
4
 
D) ( )−34
3
4
 
E) ( )−36
3
4
 
 
87. (Col. Naval – 86) Num triângulo ABC de lado AC = 12, a reta AD divide 
internamente o lado BC em dois segmentos: BD = 18 e DC = 6. Se ∠ABD = x e 
∠ACD = y, o ângulo ∠BDA é dado por 
A) y – x B) x + y C) 2x – y D) 2y – x E) 2x + y 
 
88. (Col. Naval – 87) Uma expressão que dá o lado do eneágono regular, em 
função das diagonais a, b e c, com a < b < c, é: 
A) 
a
bc 22 +
 B) 
a
cb
 C) 
a
bc 22 −
 D) 
a
bc 2)( +
 E) 
a
bc 2)( −
 
G - 32 
 
 
89. (Col. Naval – 87) Um triângulo retângulo de perímetro 2p está inscrito num 
círculo de raio R e circunscrito a um círculo de raio r. Uma expressão que dá a 
altura relativa à hipotenusa do triângulo é: 
A) 
R
pr
 B) 
R
rp +
 C) 
pr
R
 D) 
rp
R
+
 E) 
R
pr2
 
 
90. (Col. Naval – 87) Um polígono regular tem vinte diagonais. A medida, em 
graus, de um de seus ângulos internos é : 
A) 201 º B) 167 º C) 162 º D) 150 º E) 135 º 
 
91. (Col. Naval – 87) Por um ponto P exterior a um círculo de centro O e raio R = 
1cm, traça-se uma secante que intersecta a circunferência do círculo dado nos 
pontos A e B, nesta ordem. Traça-se pelo ponto A uma paralela à reta PO que 
intersecta a mesma circunferência no ponto C. Sabendo que o ângulo, 
OPA mede 15º, o comprimento do menor arco BC, em centímetros, é: 
A) 
12

 B) 
6

 C) 
4

 D) 
3

 E) 
12
5
 
 
92. (Col. Naval – 87) O vértice E de um triângulo eqüilátero ABE está no interior 
de um quadrado ABCD e F é o ponto de interseção da diagonal BD e o lado 
AE. Se a medida de AB é igual a 31+ , então a área do triângulo BEF é: 
A) 
4
3
3 − D) 
4
13 −
 
B) 
4
3
1− E) 
4
33 −
 
G - 33 
 
C) 
4
13 +
 
 
93. (Col. Naval – 88) Os lados de um triângulo medem AB = 40, AC = 50 e BC = 
60. Sendo D a interseção da bissetriz interna do ângulo B com o lado AC, a área 
do triângulo ABD é: 
A) 7225 D) 7125 
B) 7
2
375
 E) 775 
C) 7150 
 
94. (Col. Naval – 88) Um polígono regular convexo de 18 vértices A1A2A3...A18 
está inscrito em uma circunferência de raio R. Traçam-se as diagonais A1A7 e 
A2A5. A área da parte do círculo compreendida entre essas diagonais é: 
A) ( )334
12
2
−
R
 D) ( )332
12
2
−
R
 
B) 
3
2R
 E) 
6
2R
 
C) ( )32 −R 
 
95. (Col. Naval – 88) Considere as cordas AP = 13 e BD = 12 de uma 
circunferência, que se intersectam no ponto Q; e um ponto C da corda AP, tal 
que ABCD seja um paralelogramo. Determinado este ponto C, AC mede 
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 18 
G - 34 
 
96. (Col. Naval – 88) As medianas traçadas dos ângulos agudos de um triângulo 
retângulo medem cm17 e cm23 . A medida da mediana traçada do ângulo 
reto é: 
A) cm25 B) cm24 C) cm23 D) cm22 E) cm2 
 
97. (Col. Naval – 89) O número de polígonos regulares, tais que quaisquer duas 
de suas diagonais, que passam pelo seu centro formam entre si ângulo expresso 
em graus por número inteiro, é: 
A) 17 B) 18 C) 21 D) 23 E) 24 
 
98. (Col. Naval – 89) Os lados do triângulo ABC medem 2=AB ; 
22=AC e 4=BC . A áreada interseção entre o circulo de centro B e 
raio BA, o circulo de centro C e raio CA e o triângulo ABC é: 
A) 32
2
3
−

 D) 32
3
5
−

 
B) 32
3
4
−

 E) 32
5
6
−

 
C) 32
4
5
−

 
 
99. (Col. Naval – 89) Na figura abaixo tem-se que O é o centro do círculo, P é 
um ponto qualquer do seu interior, a Med (PM) 
= Med (MB) = a e AB é tangente ao círculo em A 
. Se a2 = bc, o rio do círculo é igual a: 
 
A) |a + c – b| 
G - 35 
 
B) |2a + c – b| 
C) |a + b – c| 
D) |2a – c| 
E) |b – c| 
 
100. (Col. Naval – 90) O total de polígonos cujo número n de lados é expresso 
por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonais é tal que d > 26n, 
é: 
A) 4 D) 7 
B) 5 E) 8 
C) 6 
 
Solução: (A) Como devemos ter d > 26n. Então fica: 
 ,5535252326
2
)3(
+−
−
nnnn
nn
 logo; 
 n = {66, 77, 88, 99}. 
 
101. (Col. Naval – 90) No triângulo ABC, tem-se BC = a e a altura AH = h. O 
lado do triângulo eqüilátero DEF inscrito em ABC tal que DE é paralelo a BC, 
é dado a expressão: 
A) 
ha
ah
23
2
+
 
G - 36 
 
O
O
B) 
3ah
ah
+
 
C) 
ah
h
+3
2
 
D) 
ha
a
+3
2
 
E) 
ha
ah
+32
2
 
 
Solução: (A) Do enunciado temos que o triângulo inscrito é eqüilátero; temos então 
que ME = L/ 2, e CN = (a – L)/ 2. Fazendo a semelhança dos triângulos AEM com ECN 
teremos: 
ha
ah
L
ahhaL
ahhLaL
LhLaLahL
La
L
L
Lh
La
L
L
Lh
23
2
2)23(
223
32323
332
2
2
3
2
2
32
22
+
=
=+
=+
+−−=
−
=
−

−
=
−
 
102. (Col. Naval – 90) O lado do hexágono eqüilátero 
inscrito numa semicircunferência do círculo e raio r e 
centro o, onde uma de suas bases está sobre o 
diâmetro, é: 
G - 37 
 
A CH
D
B
A) 
2
r
 D) r 
B) 
2
2r
 E) 
3
2r
 
C) 
2
3r
 
 
103. (Col. Naval – 90) O triângulo ABC da figura abaixo tem 
área S. A área da região rachurada é, em função de S: 
Dados: AB = BC = 2AC, BH é altura e AD é a 
bissetriz do ângulo  
A) 
10
25
 D) 
30
75
 
B) 
10
5
 E) 
21
5
 
C) 
18
5
 
 
104. (Col. Naval – 90) De um ponto fora do círculo de 60 cm de raio traçam-se 
duas tangentes. Os pontos de tangência determinam na circunferência um arco 
de 10cm. O ângulo formado pelas duas tangentes vale: 
A) 30o B) 120o C) 145o D) 150o E) 330o 
 
105. (Col. Naval – 90) Na figura abaixo AB e AC são respectivamente, os lados 
do quadrado e do octógono regular inscrito no circulo de centro o e raio r. A 
área rachurada é dada por : 
G - 38 
 
A
C
B
O
A) )(
r
224
8
2
−+ 
B) )(
r
224
8
2
++ 
C) )(
r
224
8
2
−+ 
D) )(
r
−+ 224
8
2
 
E) )(
r
224
8
2
+− 
 
106. (Col. Naval – 91) A área hachurada na figura abaixo onde ABCD é um 
quadrado de área S , ABAF .
2
1
= e ABAE .
3
1
= é igual a: 
 
A) 
12
S
 
B) 
14
S
 
C) 
18
S
 
D) 
70
11S
 
E) 
420
31S
 
 
 
A E F B 
C D 
G 
G - 39 
 
107. (Col. Naval – 91) Num quadrilátero inscritível, um de seus ângulos é a 
sexta parte do seu ângulo oposto. Escrito em graus, minutos e segundos, o 
número da parte inteira de segundos, do referido ângulo, é: 
A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 54 
 
Solução: (B) Da figura temos que 6x + x = 180º para Q 
inscritível! 
 7x = 180º 
 x = 
7
º180
 
 x = 25º 42’ 51,43’’ 
Sendo 51 a parte inteira. 
 
108. (Col. Naval – 91) Num triângulo ABCas medidas dos lados AB, AC e BC, 
são respectivamente iguais a 4 , 6 e 8 . Da extremidade D da bissetriz AD 
traça-se o segmento DE, E pertencente ao lado AB, de tal forma que o 
triângulo BDE é semelhante ao triângulo ABD. A medida do segmento BE é 
igual a: 
A) 56,2 B) 64,1 C) 32,1 D) 28,1 E) 1 
 
109. (Col. Naval – 92) Um polígono regular admite para medida de suas 
diagonais apenas os números 27321 n,...,n,n,n tais que .n...nnn 27321  Logo 
este polígono 
 
A) Tem 30 lados. 
B) Pode ter 54 lados. 
C) Pode ter 57 lados. 
D) Pode ter 58 lados. 
E) Tem um número de lados maior que 60 . 
 
G - 40 
 
110. (Col. Naval – 92) Sejam d , 21 err , respectivamente, os raios e a distância 
entre os centros de duas circunferências exteriores 21 C e C . Se 
2r e 32r ,4 21
2 +=−=+= xxxd , logo o conjunto de todos os valores de x 
é: 
A) 0 D)  2\ − xRX 
B) 







2
3
 x\RX E) 






−
2
3
2\ xRX 
C) R 
 
111. (Col. Naval – 92) Sejam os triângulos ABC e 'C'B'A onde os lados ABe AC
são, respectivamente, congruentes aos lados 'B'A e '.C'A Sabendo que os 
ângulos internos Be 'B possuem a mesma medida, considere as seguintes 
afirmativas: 
I- Os triângulos ABCe 'C'B'A possuem o mesmo perímetro. 
II- Os triângulos ABCe 'C'B'A possuem a mesma área. 
III- Os ângulos Ce 'C podem ser suplementares. 
Logo pode-se afirmar que: 
A) Apenas I é verdadeira. D) Apenas I e II são verdadeiras. 
B) Apenas II é verdadeira. E) I, II e III são verdadeiras. 
C) Apenas III é verdadeira. 
 
112. (Col. Naval – 92) Qual a área do terreno da figura abaixo? 
 
4,32456 m 
4,32456 m 
3 ,6 7544m 
3 ,6 7544m 
 
 
A) 2m19296,5 D) 2m31266,5 
B) 2m28386,5 E) 2m38756,5 
C) 2m29176,5 
113. (Col. Naval – 92) Qual o perímetro do heptágono regular convexo inscrito 
num círculo de raio 5,2 , é um número Rx tal que 
A) 1514  x D) 1817  x 
B) 1615  x E) 1918  x 
G - 41 
 
C) 1716  x 
 
114. (Col. Naval – 92) Considere a figura, onde x e y são medidas de arcos e 
z é a medida de ângulo assinalado. Pode-se afirmar que zyx ++ é igual a: 
A) º255 
B) º265 
C) º275 
D) º285 
E) º295 
 
Solução: (C) Sabendo que 2x + y + 30º + 50º = 360º 
 2x + y = 280º (I) 
 y – x = 2.20º (II) 
 2z = y + 30º (III) 
Resolvendo o sistema formado por I e II, temos: x = 80º e y = 120º 
Na equação III, 2z = 120º + 30º => 2z = 150º => z = 75º. Portanto x + y + z = 275º 
 
115. (Col. Naval – 92) Num triângulo retângulo ABCde catetos 8AB= e 6AC=
, a mediana AMintercepta a bissetriz BD no ponto E. A área do triângulo BME 
é expressa pelo número real x , tal que 
A) 0,4x5,3  D) 5,5x0,5  
B) 5,4x0,4  E) 5,6x0,5  
C) 0,5x5,4  
116. (Col. Naval – 93) Considere que, ao congelar-se, a água aumenta de 
15
1
 do 
seu volume. Quantos litros de água obtém-se quando se descongela um bloco 
de gelo de m50,0 de comprimento, m30,0 de largura e m40,0 de altura ? 
A) 56 B) 25,56 C) 5,56 D) 60 E) 64 
 
 
50º 
30º 
20º x 
z 
y 
x 
G - 42 
 
 
A
 
 
B C 
E 
 D 
117. (Col. Naval – 93) A razão entre o comprimento de uma circunferência e o 
seu diâmetro é um número 
A) que varia em função do raio da circunferência.B) constante e inteiro. 
C) constante e tem notação decimal finita . 
D) constante e tem notação decimal infinita periódica 
E) constante e tem notação decimal infinita e não periódica . 
118. (Col. Naval – 93) Sendo x o lado do quadrado inscrito em um 
hexágono regular convexo de lado 12, tem-se que : 
A) 13x5,12  D) 5,14x14  
B) 5,13x13  E) 15x5,14  
C) 14x5,13  
 
119. (Col. Naval – 93) O triângulo ADE da figura é equivalente ao 
quadrilátero BCDE . Se ABAE
3
2
= , então 
___
AD é qual fração de 
___
AC ? 
A) 
3
2
 D) 
5
4
 
B) 
4
3
 E) 
8
5
 
C) 
2
1
 
 
G - 43 
 
120. (Col. Naval – 93) Os raios de dois círculos medem m 15 e m 20 e a 
distância dos seus centros tem m 35 . O segmento da tangente comum, 
compreendido entre os pontos de contato , mede em metros : 
A) 5 3 B) 10 3 C) 12 3 D) 15 3 E) 20 3 
 
121. (Col. Naval – 93) A área esquematizada abaixo representa um pátio 
para estacionamento de veículos. Reservando-se um espaço retangular 
mínimo de 2 veículos . Reservando-se um espaço retangular mínimo de 2 
metros por 3 metros para cada um , 
quantos veículos no máximo pode-se ali 
estacionar ? 
A) 1150 
B) 1155 
C) 1160 
D) 1166 
E) 1170 
 
122. (Col. Naval – 93) Um aluno escreveu o ângulo formado pelas mediatrizes 
de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo de treze lados, em 
graus, minutos e segundos. Sendo estes últimos com uma parte inteira e outra 
fracionária. Assim sendo, pode-se afirmar que o número inteiro de segundos é: 
A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) 34 
123. (Col. Naval – 94) Um retângulo é obtido unindo-se os pontos médios dos 
lados de um trapézio retângulo ABCD de bases 32=AB e 8=CD . A altura 
BC é igual a: 
A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20 
 
100m 
7
0
 m
 
G - 44 
 
 
124. (Col. Naval – 94) A que distância do vértice de um triângulo eqüilátero de 
lado igual cm 6 deve-se traçar uma reta paralela à base, de forma que o 
quadrilátero assim obtido seja circunscritível? 
A) cm 3 B) cm 32 C) cm 33 D) cm 34 E) cm 35 
 
125. (Col. Naval – 94) Um triângulo de vértices A , B e C, retângulo em A , os 
catetos AB e AC medem respectivamente cm 36 e cm 6 . Traça-se o 
segmento AN, com M pertencente e interno ao segmento BC. Sabendo-se que 
ângulo MAC mede º15 , a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC é: 
A)
2
13 +
 D)
2
32 −
 
B) 
2
13 −
 E) impossível de se determinar com 
C)
2
32 +
 apenas esses dados 
 
126. (Col. Naval – 94) Um polígono regular convexo tem seu número de 
diagonais expresso por 810
2 +− nn , onde n é o seu número de lados. O seu 
ângulo interno x é tal que: 
A) º120x D) º150º140  x 
B) º130º120  x E) º150x 
C) º140º130  x 
 
G - 45 
 
127. (Col. Naval – 94) Na figura abaixo, 
___
PA é uma secante ao círculo, 
___
PT é uma 
tangente ao círculo e 
___
BC é uma corda do círculo. Qual das relações abaixo 
sempre será válida? 
A) 
___
____
____
___
PA
PT
PT
PD
= D) 
___
___
___
____
PI
IG
CI
PT
= 
B) 
___
____
____
___
AD
PT
PT
PD
= E) 
___
___
___
___
PA
CI
BI
PD
= 
C) 
___
___
___
___
DI
AI
BI
CI
= 
 
128. (Col. Naval – 94) Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a 
cada um dos números 6 , 8 e 14, obtém-se as medidas dos lados de um 
triângulo em que o ortocentro está no seu interior ? 
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 
 
129. (Col. Naval – 95) No triângulo ABC, retângulo em A , da figura, cAB= , 
bAC= , 2AM= e AH e a altura relativa ao lado BC. Qual é a área do triângulo 
AHM? 
 
A) 
22 cb
bc
+
 
B) 
22
22
cb
cb
+
 
 
A 
M 
H 
C B 
 
C T 
A B 
I
 A 
D
D
 A 
P
 A 
G - 46 
 
C) 
22
2
cb
bc
+
 
D) 
22
22
cb
cb
+
 
E) 
22 cb
bc
+
 
 
Solução: (C) Considerando a figura ao 
lado e usando relações métricas nos 
triângulos retângulos ∆ABC e ABH 
encontramos os valores de 
,
22 cb
bc
AH
+
= 
.
22
2
22
2
cb
bc
he
cb
c
e
+
=
+
= 
Logo a área do AHM vale .
2
2
22
2
cb
bc
h
h
+
==

 
 
130. (Col. Naval – 95) Sejam os triângulos ABC e MPQ, tais que: 
 I - º90ACDMPQ == III - º50BAC= 
II - º70PQM= IV - MPAC= 
Se xPQ= e yBC= ,então AB é igual a: 
A) yx + D) 
yx
xy2
+
 
G - 47 
 
B) 22 yx + E) yx2 + 
C) 
( )2yx
xy2
+
 
 
131. (Col. Naval – 95) Sejam KLABCDEFGHIJ os vértices consecutivos de 
um regular dodecágono num círculo de raio 6 . O perímetro do triângulo de 
vértices AEH é igual a: 
A)  3233 ++ D)  33223 ++ 
B)  3213 ++ E)  32213 +− 
C)  32213 ++ 
 
132. (Col. Naval – 95) Sabendo-se que a velocidade para rebobinar uma fita de 
vídeo é 
3
52
 da normal, qual o tempo gasto para rebobinar uma fita de um 
filme de 156 minutos? 
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 
 
133. (Col. Naval – 95) Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC: 
I - Os vértices B e C são eqüidistantes da mediana M .AM é o ponto médio do 
segmento BC; 
II - A distância do baricentro G ao vértice B é o dobro da distância de G ao 
ponto N, médio do segmento AC; 
III - O incentro 1 é eqüidistante dos lados do triângulo ABC; 
IV - O circuncentro S é eqüidistante dos vértices B ,A e C. 
G - 48 
 
O número de afirmativas verdadeiras é: 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
 
134. (Col. Naval – 95) Sejam 1C e 2C dois círculos ortogonais de raios 1R e 2R . 
A distância entre os centros é  . A soma das áreas dos círculos é igual a: 
A) 
2
3 2
 B) 
4
2
 C) 2 D) 3 E) 
4
5 2
 
 
135. (Col. Naval – 95) Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as 
cordas que interceptam no ponto E. Sabe-se que existe a relação 
( )2222 dc4c4ab2dc +=+++ . O valor de x é: 
A) 
2
dc +
 
B) 
3
dc +
 
C) 
4
dc2 +
 
D) 
8
d2c +
 
 E) 
6
d4c3 +
 
 
136. (Col. Naval – 95) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A , o ponto 
O é o centro do semi-círculo de raio r , tangente aos lados AB e AC. Sabendo-
se que 3rOB = , a área do triângulo ABC é dada por: 
 
T 
A 
D 
E 
C B 
a 
x 
c 
b d 
G - 49 
 
A) ( )422
3
2
+
r
 
B) ( )432
4
2
+
r
 
C) ( )223
4
2
+
r
 
D) ( )423
4
2
+
r
 
E) ( )434
3
2
+
r
 
 
137. (Col. Naval – 96) Um aluno declarou o seguinte, a respeito de um polígono 
convexo Pde n lados: “Partindo da premissa de que eu posso traçar ( )3n−
diagonais de cada vértice de P, então, em primeiro lugar, o total de diagonais de 
Pé dado por ( )3n.n − ; e, em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de Pé 
dada por ( )3n− º180. . Logo o aluno: 
A) Errou na premissa e nas conclusões 
B) Acertou na premissa e na primeira conclusão, mas errou na segunda 
conclusão. 
C) Acertou na premissa e na segunda conclusão, mas errou na primeira 
conclusão. 
D) Acertou na premissa e nas conclusões 
E) Acertou na premissa e errou nas conclusões 
 
138. (Col. Naval – 96) As quatro circunferências da figura abaixo têm raios 
5,0r = . O comprimento da linha que as envolve é aproximadamente iguala: 
 
A) 96,6 
B) 96,7 
 
C B 
O 
 A 
 
G - 50 
 
C) 96,8 
D) 96,9 
E) 96,10 
 
139. (Col. Naval – 96) Considere a figura abaixo, o triângulo ABC de lados 
8AB= , 10AC= e 12BC= e seja H o seu ortocentro. As retas que passam por A e 
H, B e H, C e H intersectam o círculo circunscrito ao triângulo nos pontos 
D e E ,F , respectivamente. A área do hexágono de vértices E e C F, B, D, A, é 
igual a: 
 
A) 730 
B) 718 
C) 80 
D) 70 
E) 65 
 
 
F 
B 
D 
A 
E 
C 
H 
 
140. (Col. Naval – 96) O ponto P interno ao triângulo ABC é eqüidistante de 
dois de seus lados e dois de seus vértices. Certamente P é a interseção de: 
A) Uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo 
B) Uma bissetriz interna e uma mediatriz dos lados desse triângulo 
C) Uma mediatriz de um lado e uma mediana desse triângulo 
D) Uma altura e uma mediana desse triângulo 
E) Uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo 
 
141. (Col. Naval – 96) Na figura abaixo, tem-se um semicírculo de centro O e 
diâmetro AD e os semicírculos de diâmetros CDBCAB ,, e os centros 
21,OO e 3O , respectivamente. Sabendo-se que CDBCAB == e que 
RAO = , a área hachurada é igual a: 
G - 51 
 
A) 
( )
4
33R2 −
 
B) ( )+ 32
16
R2
 
C) ( )−36
8
R2
 
D) 
( )
24
235R2 −
 
E) 
4
R2
 
 
142. (Col. Naval – 96) Quantos triângulos obtusângulos existem, cujos lados são 
expressos por números inteiros consecutivos? 
A) um B) dois C) três D) quatro E) cinco 
 
143. (Col. Naval – 96) Um quadrilátero de bases paralelas B e b , é dividido em 
dois outros semelhantes pela sua base média, caso seja, necessariamente, um: 
A) paralelogramo D) trapézio qualquer 
B) trapézio retângulo E) losango 
C) trapézio isósceles 
 
144. (Col. Naval – 97) Define-se como potência de um ponto P em relação a 
um círculo, C , de centro O e raio r , como sendo o quadrado da distância de 
P a O , menos o quadrado de r . Qual e a potência de um dos vértices do 
hexágono regular circunscrito a um círculo de raio r , em relação a este círculo? 
 
B C 
D A 
O1 O3 
O2 
G - 52 
 
A) 32 2r D) 42r 
B) 22r E) 62r 
C) 32r 
 
Solução: (C) Pelo enunciado temos a seguinte figura: 
 
33
4
3
2 22
2
2
2
22 rr
r
r
r
rPOP =−=−





=−= 
145. (Col. Naval – 97) Considere as afirmativas abaixo sobre um polígono 
regular de n lados, onde o número de diagonais é múltiplo de n . 
 
I . O polígono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro. 
II . n pode ser múltiplo de 17. 
III . n pode ser um cubo perfeito. 
IV . n pode ser primo. 
 
Assinale a alternativa correta: 
A) Todas as afirmativas são falsas. 
B) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
G - 53 
 
C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
E) Todas as afirmativas são verdadeiras. 
 
146. (Col. Naval – 97) Num triângulo ABC , retângulo em A , os lados AB e 
AC valem, respectivamente c e b . Seja o ponto G o baricentro do triângulo 
ABC , a área do triângulo AGC é: 
A) 2bc D) 6bc 
B) 3bc E) 9bc 
C) 4bc 
 
147. (Col. Naval – 97) O número de trapézios distintos que se obter dispondo-se 
de 4 , e apenas 4 , segmentos de reta medindo, respectivamente, cm1 , cm2 , 
cm4 e cm5 é: 
A) nenhum B) um C) dois D) três E) quatro 
 
148. (Col. Naval – 98) Um hexágono regular ABCDEF tem lado cm3 . 
Considere os pontos: M , pertencente a AB , tal que MB é igual a cm1 ; N , 
pertencente a CD , tal que ND é igual a cm1 ; e P pertencente a EF , tal que 
PF é igual a cm1 ,. O perímetro, em centímetros, do triângulo MNP é igual a: 
A) 153 B) 173 C) 193 D) 213 E) 233 
 
G - 54 
 
149. (Col. Naval – 98) Um triângulo isósceles tem os lados congruentes 
medindo cm5 , a base medindo cm8 . A distância entre o seu baricentro é, 
aproximadamente, igual a: 
A) cm1,0 B) cm3,0 C) cm5,0 D) cm7,0 E) cm9,0 
 
150. (Col. Naval – 98) Quando uma pessoa caminha em linha reta uma distância 
x , ela gira para a esquerda de um ângulo de º60 ; e quando caminha em linha 
reta uma distância 22 −= xy , ela gira para a esquerda de um ângulo de 
º45 . Caminhando x ou y a partir de um ponto P, pode-se afirmar que, para 
qualquer que seja o valor de x , é possível chegar ao ponto P descrevendo um 
I - convexo pentágono . III - convexo heptágono . 
II - convexo hexágono . IV - convexo octógono . 
O número de afirmativas verdadeiras é: 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 
 
151. (Col. Naval – 98) Considere o quadrado ABCD e o triângulo eqüilátero 
ABP , sendo P interior ao quadrado. Nestas condições o triângulo cobre cerca 
de quanto por cento da área do quadrado? 
A) 40 B) 43 C) 45 D) 50 E) 53 
 
152. (Col. Naval – 98) Na figura, DE é paralela a BC e AM é bissetriz interna 
do triângulo ABC . Sabendo que 6=AD , xAE = , 2=DB , 5=EC , 
6=BM e yMC = Então yx + é igual a: 
A) 15 
 M 
 E D 
 C B 
 A 
G - 55 
 
B) 20 
C) 25 
D) 30 
E) 35 
 
153. (Col. Naval – 98) A distância entre os centros de dois círculos de raios 
iguais a 5 e 4 é 41 . Assinale a opção que apresenta a medida de um dos 
segmentos tangentes aos dois círculos. 
A) 5,38 B) 39 C) 5,39 D) 40 E) 5,40 
 
154. (Col. Naval – 98) Um quadrilátero convexo Q tem diagonais 
respectivamente iguais a 4 e 6 . Assinale dentre as opções, a única possível 
para o perímetro de Q. 
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 
 
155. (Col. Naval – 99) Dado um trapézio qualquer, de bases 6 e 8 , traça-se 
paralelamente às bases um segmento de medida x que o divide em outros dois 
trapézios equivalentes. Podemos afirmar que: 
A) 5,6x = B) 34x = C) 7x = D) 25x = E) 5,7x = 
 
156. (Col. Naval – 99) Dadas as afirmativas abaixo, coloque (V) verdadeiro ou (F) 
falso: 
( ) Se a altura AH de um triângulo ABC o divide em dois triângulos ABH e 
ACH semelhantes, então o triângulo ABC é retângulo. 
G - 56 
 
( ) A mediana AM de um triângulo ABC o divide em dois triângulos AMB e 
AMC equivalentes. 
( ) A bissetriz interna AD de um triângulo ABC o divide em dois triângulos ABD 
e ACD cujas áreas são, respectivamente, proporcionais aos lados AB e AC. 
Assinale a alternativa correta. 
A) ( ) ( ) ( )V ,V ,V D) ( ) ( ) ( )F ,V ,F 
B) ( ) ( ) ( )F ,V ,V E) ( ) ( ) ( )F ,F ,V 
C) ( ) ( ) ( )V ,F ,V 
 
157. (Col. Naval – 99) Dados os casos clássicos de congruência de triângulos 
0A.L.A LLL, ,.. ALA onde LadoL = , Ângulo =A e oposto Ângulo0 =A
ao lado dado, complete corretamente as lacunas das sentenças abaixo e 
assinale a alternativa correta. 
1- Para se mostrar que a mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico 
dos pontos eqüidistantes dos extremos B e A , usa-se o caso _______ de 
congruência de triângulos. 
2- Para se mostrar que a bissetriz de um ângulo ABC tem seus pontos 
eqüidistantes dos lados BC e BA desse ângulo, sem usar o teorema da soma 
dos ângulos internos de um triângulo, usa-se o caso ______ de congruência de 
triângulos. 
A) A.L.A / .. LAL D) L.A.L / .. 0AAL 
B) 0L.A.A / .. LAL E) L.L.L. / ... ALA 
C) 0L.A.A / .. LLL 
 
G - 57 
 
158. (Col. Naval – 99) Em uma circunferência de raio R está escrito um 
regular onopentadecág P. Coloque ( )V verdadeiro ou ( )F falso nas afirmativasabaixo: 
( ) P tem diagonal que mede R2 
( ) P tem diagonal que mede 2R 
( ) P tem diagonal que mede 3R 
( ) P tem diagonal que mede 5210
2
R
− 
Assinale a alternativa correta: 
A) ( ) ( ) ( ) ( )F ,F ,V ,V . D) ( ) ( ) ( ) ( )F ,V ,V ,V . 
B) ( ) ( ) ( ) ( )F ,V ,V ,F . E) ( ) ( ) ( ) ( )V ,V ,V ,V . 
C) ( ) ( ) ( ) ( )V ,V ,F ,F 
 
159. (Col. Naval – 99) Uma pizza circular de raio cm30 foi dividida em 6 partes 
iguais para seis pessoas. Contudo, uma das pessoas resolveu repartir ao meio o 
seu pedaço, como mostra a figura acima. O valor de x é: 
A) 
3
2
10

 
B) 
3
3
10

 
C) 
3
10

 
 
X 
X 
 
G - 58 
 
D)
3
3
10

 
E)
3
5
10

 
 
160. (Col. Naval – 99) O número de triângulos que podemos construir com 
lados medindo 8 ,5 e x , de tal forma de que o seu ortocentro seja interno ao 
triângulo é: 
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 
 
161. (Col. Naval – 99) No quadrilátero da figura abaixo, o ângulo BAD mede 
90 e as diagonais AC e BD são 
perpendiculares. Qual área desse quadrilátero, 
sabendo que 4 ,9 == DIBI e 2=CI ? 
A) 26 
B) 39 
C) 52 
D) 65 
E) 104 
 
162. (Col. Naval – 99) Num círculo, duas cordas CD e AB se interceptam no 
ponto I interno ao círculo. O ângulo DAI mede º40 e o ângulo CBI 
mede º60 . Os prolongamentos de CB e AD encontram-se num ponto P 
externo ao círculo. O ângulo APC mede: 
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º 
G - 59 
 
163. (Col. Naval – 00) Para se demarcar o estacionamento de todo o lado 
direito de uma rua reta, foram pintados 20 retângulos de 4,5 metros de 
comprimento e 2,5 metros de largura. Sabendo-se que os carros estacionam no 
sentido do comprimento dos retângulos e da rua, e à frente e atrás de cada um 
dos retângulos tem 50 centímetros de folga, qual é o comprimento, em metros, 
da rua? 
A) 90 B) 90,5 C) 95 D) 100 E) 100,5 
 
Solução: (E) Existem 20 retângulos e 21 “folgas”. Cada retângulo tem 4,5 m de 
comprimento e cada “folga” tem 50 cm, ou 0,5 m de comprimento. Portanto, o 
comprimento da rua será: 
Comprimento da rua = m5,1005,0215,420 =+ 
 
164. (Col. Naval – 00) Os pontos X, O e Y são vértices de um polígono regular de 
n lados. Se o ângulo XOY mede 22 30’, considere as afirmativas: 
( I ) n pode ser igual a 8. 
( II ) n pode ser igual a 12. 
( III ) n pode ser igual a 24. 
Podemos afirmar que: 
A) apenas I e II são verdadeiras. 
B) apenas I e III são verdadeiras. 
C) apenas II e III são verdadeiras. 
D) apenas uma delas é verdadeira. 
E) I, II e III são verdadeiras. 
 
Solução: (B) O ângulo interno de um polígono regular de n lados é dado por: 
G - 60 
 
n
n
A
o
i
180)2( −
= Para n = 8 lados  
o
o
iA 135
8
180)28(
=
−
= 
Na figura, o ângulo YXO ˆ é ângulo interno do 
octógono e, portanto, mede 135o. Como o polígono é 
regular, os ângulos YOX ˆ e OYX ˆ são congruentes. 
Lembrando que a soma das medidas dos ângulos 
internos de um triângulo é igual a 180o e considerando o triângulo OXY, então: 
'3022
2
135180
)ˆ( o
oo
YOXm =
−
= Portanto, n pode ser igual a 8 e a afirmativa 
I é verdadeira. 
 
 Como 24 é múltiplo de 8 ( 24 = 3x8), então cada um dos vértices do octógono regular (n 
= 8) coincide com um vértice do dodecágono regular (n = 
12), para uma mesma medida do raio da circunferência 
circunscrita. Assim, é possível definir um ângulo YOX ˆ 
no dodecágono regular tal que: 
'3022)ˆ( oYOXm = 
 
 Portanto, n pode ser igual a 24 e a afirmativa III 
é verdadeira. 
 
Para n = 12 lados  
o
o
iA 150
12
180)212(
=
−
= 
 
oYXOm 150)ˆ( =  '302215
2
150180
)ˆ( oo
oo
YOXm =
−
= 
X 
Y 
O 
X 
Y’ 
O 
Y 
G - 61 
 
Os ângulos 'ˆYOX e OYY 'ˆ são congruentes e a soma dos ângulos internos de um 
quadrilátero é igual a 360o. 
Considerando o quadrilátero OXYY’, resulta: 
'302230)'ˆ(360150150)'ˆ(2 ooooo YOXmYOXm ==++
 
Todos as outras medidas possíveis para o ângulo YOX ˆ são maiores do que 22o30’ 
Portanto, n não pode ser igual a 12 e a afirmativa II é falsa. 
 
165. (Col. Naval – 00) Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n ) seja a medida de 
um ângulo convexo, menor que um ângulo reto, inscrito em um círculo de raio 
r. Assim sendo, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 
igual a : 
A) n
4

 B) n
2

 C) n D) n2 E) n4 
 
Solução: (D) Pelo Teorema do Ângulo Inscrito, a 
medida do arco central de comprimento r será igual a 
2n, ou seja, o dobro da medida do ângulo inscrito 
correspondente. 
 A soma das medidas dos ângulos internos de 
um triângulo é 180o. Como o comprimento da 
circunferência completa é C = 2r, o comprimento do 
arco de 180o será a metade, ou seja, r. 
 Assim, monta-se a proporção: 
r
n
r
o 2180
=

  n
o 2180 = 
 
2n
2n 
n 
r 
r 
r 
G - 62 
 
166. (Col. Naval – 00) Uma massa fermentada, ao ser colocada para descansar, 
ocupou uma área circular S de raio r. Após um certo tempo t, ela passou a 
ocupar uma área 21% maior que S. Qual o valor de r, em centímetros, para que 
a massa não transborde, quando colocada para descansar durante o tempo t, 
em um tabuleiro circular de raio 22 centímetros? 
A) 17,38 B) 
11
2
18 C) 20 D) 20,38 E) 21 
 
Solução: (D) Área circular inicial: 
2rS = 
Área circular final: 
2' 21,121,1)
100
21
1(%21 rSSSSS ==+=+= 
Área do tabuleiro: 
22 )484(22 cmS tabuleiro  == 
Para que a massa não transborde, a área final deve ser igual à área do tabuleiro: 
 48421,1 2 =r 
400
21,1
4842 ==r 
cmr 20= 
 
167. (Col. Naval – 00) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados 
opostos NÃO são paralelos. Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, 
respectivamente, iguais a 12 e 16, um valor possível para o segmento de 
extremos M(ponto médio do lado AD) e N (ponto médio do lado BC) é: 
A) 12,5 B) 14 C) 14,5 D) 16 E) 17 
 
G - 63 
 
 Solução: (A) Se o quadrilátero em questão fosse um 
trapézio, o segmento MN representaria a mediana, e sua 
medida seria: 
 
 14
2
1612
2
''
' =
+
=
+
=
DCAB
MN , para 
'//' DCAB 
 
Porém, uma vez que os lados opostos não são paralelos, 
existirá um ângulo relativo entre AB e DC. Então, a mediana 
passa a apresentar uma medida menor do que 14 e pode 
assumir qualquer valor no intervalo aberto: 
12 < MN < 14 
 
Um valor possível, portanto, seria 12,5, que está contido neste intervalo. 
 
168. (Col. Naval – 00) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrado e 
PAB é um triângulo eqüilátero, sendo P interno ao quadrado ABCD. Qual é a 
medida do ângulo PCB? 
A) 30o B) 45o C) 60o D) 75o E) 90o 
Solução: (D) O ângulo CBA ˆ é reto, pois é um dos ângulos internos do quadrado ABCD. 
O ângulo PBA ˆ , por ser ângulo interno do 
triângulo eqüilátero PAB, mede 60o. Então: 
m( CBP ˆ ) = m( CBA ˆ ) - m( PBA ˆ ) = 90o - 60o 
= 30o 
Os segmentos BC e BP são congruentes, 
pois o lado do triângulo eqüilátero tem a 
mesma medida do lado do quadrado. Logo, 
C 
B 
A 
D 
N 
12 
c
16 
M N’ 
B’ 
C’ 
16 
12 
c
A 
D 
B 
C 
 
P 
 
 
 
 
60o 
60o 
60o 
30o 
75o 
75o 
G - 64 
 
o triângulo PBC é isósceles e os ângulos da base são iguais: 
m( CPB ˆ ) = m( BCP ˆ ) 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o : 
m( CPB ˆ ) + m( BCP ˆ ) + m( CBP ˆ ) = 180o 
 2[ m( BCP ˆ )] + 30o = 180o m( BCP ˆ ) = 
2
30180 oo −
  m( BCP ˆ ) = 75o 
 
169. (Col. Naval – 00) Considere três quadrados de bases AB, CD e EF, 
respectivamente. Unindo-se o vértice A com F, B com C e D com E, observa-se 
que fica formado um triângulo retângulo. Pode-se afirmar que: 
I – O perímetro do quadrado de maior lado é igual à soma dos perímetros dos 
outros dois quadrados. 
II – A área do quadrado de maior lado é igual à soma das áreas dos outros dois 
quadrados. 
III – A diagonal do quadrado maioré igual à soma das diagonais dos outros dois 
quadrados. 
Logo, apenas: 
A) A afirmativa I é verdadeira. 
B) A afirmativa II é verdadeira. 
C) A afirmativa III é verdadeira. 
D) As afirmativas I e II são verdadeiras. 
E) As afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Solução: (B) Lembrando que, para um quadrado: 
= 4P (Perímetro) 
2=S (Área) 
= 2d (Diagonal) 
A afirmativa I é falsa, pois: )()()( EFCDAB + 
 )(4)(4)(4 EFCDAB + 
A afirmativa II é verdadeira, pois: 
222 )()()( EFCDAB += corresponde ao próprio 
enunciado do Teorema de Pitágoras. 
A afirmativa III é falsa, pois: 
F 
D A 
B 
E 
C 
G - 65 
 
)()()( EFCDAB +  
)(2)(2)(2 EFCDAB + 
 
170. (Col. Naval – 01) Considere um retângulo inscrito em um losango, conforme a figura 
abaixo. Se as diagonais do losango medem, respectivamente, cm 8 e cm 12 e a área do 
retângulo é 
2cm 24 , então o perímetro deste retângulo, em cm , é igual a: 
A) 28 
B) 24 
C) 22 
D) 20 
E) 18 
 
1ª Solução: (D) Sendo x e y as medidas do retângulo, temos que: xy = 24. 
 No ∆ABC com catetos de 4 e 6 centímetros, encontraremos a medida AC: 
AC2 = 42 + 62 
AC2 = 16+ 36 
AC2 = 52 cm, mas traçando a diagonal do 
retângulo notamos que AC = DE e usando a mesma relação, fica: 
x2 + y2 = DE2, somando 2xy em ambos os membros 
x2 + 2xy + y2 = 52 + 2xy 
(x + y)2 = 52 + 2xy, mas xy = 24 cm. 
(x + y)2 = 52 + 2.24 = 52 + 48 = 100 = 102; 
x + y = 10. O perímetro vale 2.(x + y) = 2. 10 = 20 cm. 
 
 
G - 66 
 
2ª Solução: (D) Note que temos 16 triângulos de mesma área formando o losango de 
área 48 cm2, Daí os triângulos possuem área igual a 3 cm2. 
 
Do triângulo ABE temos que: cmx
x
ABE 26
2
.6
][ === . 
Do mesmo modo no triângulo BCD com altura x, temos que: 
61226
2
.
][ ==== yy
xy
BCD 
Para finalizar o perímetro do retângulo será: 4x + 2y = 4.2 + 2.6 = 20 cm. 
 
171. (Col. Naval – 01) Um pedaço de doce de leite tem a forma de um 
paralelepípedo, com seis faces retangulares, como indica a figura abaixo. O 
doce deve ser dividido totalmente em cubos iguais, cada um com mm x de 
aresta. O maior valor inteiro de x é: 
A) 16 
B) 18 
C) 24 
D) 30 
E) 32 
 
172. (Col. Naval – 01) As diagonais AC , BD , CE , DF , EA e FB de um 
hexágono regular ABCDEF interceptam-se formando outro hexágono 
 
256 mm 
96 mm 
192 mm 
G - 67 
 
'''''' FEDCBA conforme a figura abaixo. Qual a razão entre as áreas do maior 
e a do menor hexágono? 
A) 2 
 
B) 3 
 
C) 2
3 
 
D) 2 
 
E) 3 
 
A 
C 
D E 
F 
F’ 
E’ 
A’ 
D’ 
C’ 
B’ 
B 
 
 
173. (Col. Naval – 01) Considere um quadrado ABCD e dois triângulos 
eqüiláteros ABP e BCQ , respectivamente, interno e externo ao quadrado. A 
soma das medidas dos ângulos ADP , BQP e DPQ é igual a: 
A) º270 D) º360 
B) º300 E) º390 
C) º330 
 
174. (Col. Naval – 01) Observe a figura abaixo que representa três semi-
circunferências de centros M, N e P, tangentes duas a duas, respectivamente, 
nos pontos A , B e C. Os segmentos 'MM , 'NN , 'BB e 'PP 
são perpendiculares à reta r . Se a medida do 
 
B A C P M N 
M’ 
P’ 
N’ B’ 
 
G - 68 
 
segmento 'BB é cm 6 , a área do triângulo 'P'N'M , em 2cm , é igual a: 
A) 9 
 
B) 10 
 
C) 12 
 
D) 18 
 
E) 36 
 
175. (Col. Naval – 01) Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista 
cm 6 e cm 10 , respectivamente, das tangentes AQe BQ. A distância, em cm, 
do ponto P á corda AB é igual a : 
A) 30 
 
B) 152 
 
C) 16 
 
D) 18 
 
E) 106 
 
 
Q 
P 
A 
B 
G - 69 
 
176. (Col. Naval – 02) Se os lados de um triângulo medem, respectivamente 3x, 
4x e 5x, em que x é um número inteiro positivo, então a distância entre os 
centro dos círculos inscrito e circunscrito a esse triângulo corresponde a 
A) 5x/4 D) x5/2 
B) (1 + 2).x/2 E) 5x/6 
C) x2 
 
Solução: (D) Tem-se que (5x)2 = 25x2 e (3x)2 + (4x)2 = 9x2 + 16x2 = 
25x2 ➔ (5x)2 = (3x)2 + (4x)2 ➔ o triângulo é retângulo. 
Como GA = DH, resulta, GA = r (raio do círculo inscrito). 
Da propriedade da tangente, CG = CE ➔ CE = b – r. 
Considerando a área do triângulo ABC, 
A = b.c/2 = r.a/2 + r.b/2 + r.c/2 ➔ bc = r.(a + b + c). 
Como b = 3x, c = 4x e a = 5x, tira-se 3x.4x = r.(3x + 4x + 5x) ➔ 12x2 
= 12x.r ➔ x = r. 
 
Temos então: CE = 3x – x = 2x . 
Sendo F o centro da circunferência, F é o ponto médio da hipotenusa ➔ CF = 2,5x. 
Portanto, EF = 2,5x – 2x = 0,5x = x/2. 
Do triângulo retângulo DEF, 
DF2 = DE2 + EF2 ➔ DF2 = x2 + (x/2)2 = x2 + x2/4 = 5x2/4 ➔ DF = x5/2 . 
 
177. (Col. Naval – 02) Se um segmento AB tem 2 cm de comprimento, então a 
flecha do arco capaz de 135º desse segmento mede: 
A) 2 + 1 B) 2 C) 2 – 1 D) 3 E) 2 - 2 
 Solução: (C) O arco capaz do segmento AB está indicado em vermelho na figura ao 
lado. Na figura <BAE = 135º sendo EA tangente à circunferência. 
G - 70 
 
 
Como BFA é um arco ex-inscrito, a medida do arco BFA é igual ao dobro do ângulo BAE. 
Portanto, o arco BFA vale 135º x 2 = 270º. Assim, o arco capaz ACB tem 360º - 270º = 
90º. Desta forma AB é o lado do quadrado inscrito no círculo. Desta forma, temos L = R. 
2 ➔ R = 2/2 = 2. Ora, a flecha desse arco é igual à diferença entre o raio da 
circunferência e a metade do lado do quadrado, ou seja: 2 – (1/2).2 = 2 – 1. 
 
178. (Col. Naval – 02) Considere um triângulo retângulo e uma circunferência 
que passa pelos pontos médios dos seus três lados. Se x, y e z, (x < y < z) são as 
medidas dos arcos dessa circunferência, em graus, exteriores ao triângulo, 
então 
A) z = 360º – y D) x + y = 180º 
B) z = x + y E) z = 2x + y 
C) x + y + z = 180º 
 
Solução: (B) Como o segmento que liga os pontos médios de BA e BC é paralelo a AC, o 
quadrilátero GEFA é um retângulo. Assim, os arcos x = GA e EF são iguais pois 
compreendem cordas de mesmo comprimento (lados opostos do retângulo AFEG). 
 
 
G - 71 
 
 
Sendo AFED um retângulo inscrito no círculo, AE = GF é um diâmetro do círculo. 
Desta forma, x + arc GD + y = z + arc EF ➔ x + arc GD + y = z + x ➔ 
arc GD = z – y. (1) 
De ABC, <B = [(z + arc EF) – arc GD]/2 (2). 
Como E é o ponto médio da hipotenusa, AE De (1) e (2) = 2.(<B) = z + x – (z – y) ➔ 2.(<B) 
= x + y. (3)= BE = EC ➔ triângulo AEB é isósceles ➔ <BAE = <B. 
Das paralelas GA e EF, com transversal AE, <B = < BAE = <AEF. 
Desta forma <B = z/2 (ângulo inscrito) ➔ 2.(<B) = z (4). 
De (3) e (4) conclui-se z = x + y. 
 
179. (Col. Naval – 02) Considere um triângulo eqüilátero ABC, inscrito em um 
círculo de raio R. Os pontos M e N são, respectivamente, os pontos médios do 
arco menor AC e do segmento BC . Se a reta MN também intercepta a 
circunferência desse círculo no ponto P, P  M, então o segmento NP mede 
A) R7/2 D) R5/7 
B) 3R3/2 E) R5/3. 
C) 3R7/14 
 
Solução: (C) Como CB e MP são cordas que se interceptam 
temos: CN.NB = MN.NP. 
CN e NB são iguais à metade do lado do triângulo eqüilátera 
inscrito. Portanto, CN = NB = R3/2. 
Levando este valor para a igualdade anterior resulta: 
 (R3/2).( R3/2) = MN.NP ➔ MN.NP = 3R2/4. (1) 
Do ângulo MCD, temos <MCD = (arc AM)/2. Como M é o ponto 
médio do arco AC, podemos escrever: <MCD = (arc AC)/4. Ora, 
arc AC = 360º/3 = 120º ➔ <MCD = 120º/4 = 30º. 
 
 
G - 72 
 
 Para o ângulo ACB, temos <ACB = (arc AB)/2 = 120º/2 ➔ <ACB = 60º. 
Assim, o triângulo MCN é um triângulo retângulo, tendo como catetos MC = lado do 
hexágono = R e CN = (1/2)(lado do triângulo eqüiláteroinscrito) = (1/2).(R3) = R3/2. 
Deste modo, MN2 = CM2 + CN2 ➔ MN2 = R2 + (R3/2)2 = R2 + 3R2/4 = 7R2/4 ➔ MN = 
R7/2 (2). 
Substituindo este valor em (1), resulta: R7/2.NP = 3R2/4 ➔ NP = 3R/27 = 37R/14. 
 
180. (Col. Naval – 02) Considere os triângulos ABC e MNP. Se as medidas dos 
lados do segundo triângulo são, respectivamente, iguais às medidas das 
medianas do primeiro, então a razão da área de MNP para a área de ABC é igual 
a 
A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3 D) 3/4 E) 5/6 
 
Solução: (D) Consideremos o triângulo ABC para facilidade de cálculos. 
A mediana do triângulo eqüilátero é a bissetriz e altura. Se “a” é o lado do triângulo a 
altura vale h = a3/2. Como esta é também a medida da mediana, o triângulo MNP será 
eqüilátero de lado a3/2. 
A área do triângulo de lado “a” é a23/4. A área de um triângulo de lados a3 é 
(a3/2)2.3/4 = a2.33/16. A razão entre as áreas é então ( a2.33/16]/ [a23/4] = 3/4. 
 
181. (Col. Naval – 02) Em um trapézio, cujas bases medem a e b, os pontos M e 
N pertencem aos lados não- paralelos. Se MN divide esse trapézio em dois 
outros trapézios equivalentes, então a medida do segmento MN corresponde a 
A) média aritmética de a e b. 
B) média geométrica das bases. 
C) raiz quadrada da média aritmética de a2 e b2 . 
D) raiz quadrada da média harmônica de a2 e b2. 
E) média harmônica de a e b. 
 
G - 73 
 
Solução: (C) Como a propriedade deve ser válida 
para um trapézio qualquer ela é válida para um 
trapézio retângulo. 
Da semelhança dos triângulos NEC e BFC, 
tiramos: CF/FB = CE/EM ➔ h/(b – a) = x/(MN – 
a) ➔ x = h.(MN – a)/(b – a). (1) 
 
Da relação entre as áreas tiramos: (a + MN).x/2 = (a + b).h/4 (2). Substituindo o valor de 
x em (1) em (2), resulta: [(a + MN)/2].[h(MN – a)/(b – a)] = (a + b).h/4. Simplificando o 
fator comum h e eliminando os denominadores teremos: MN2 – a2 = (b2 – a2)/2 ➔ MN2 
= (a2 – b2)/2 – a2 ➔ MN2 = (a2 + b2)/ 2 ➔ MN é a raiz quadrada da média aritmética de 
a2 e b2. 
 
182. (Col. Naval – 03) Num quadrilátero ABCD tem-se: AB = 42, BC = 48, CD = 
64, DA= 49 e P é o ponto de interseção entre as diagonais AC e BD. Qual é a 
razão entre os segmentos PA e PC , sabendo-se que a diagonal BD é igual a 56? 
A) 7/8 B) 8/7 C) 7/6 D) 6/7 E) 49/64 
 
183. (Col. Naval – 03) Num triângulo acutângulo isósceles ABC, o segmento BP, 
P interno ao segmento AC, forma com o lado BA um ângulo de 15°. Quanto 
mede o maior ângulo de PBC, sabendo que os triângulos ABP e ABC são 
semelhantes? 
A) 65,5° B) 82,5° C) 97,5° D) 135° E) 150° 
 
184. (Col. Naval – 03) Considere uma circunferência  de raio R e diâmetros 
perpendiculares AB e CD. O raio da menor circunferência tangente 
interiormente à  e à corda AC, no seu ponto médio, é dado por 
A) 
4
R
 D) 
( )
4
12 +R
 
G - 74 
 
B) 
4
2R
 E)
6
R
 
C) 
( )
4
22 −R
 
185. (Col. Naval – 03) Quantos são os pontos de um plano  que estão 
eqüidistantes das três retas suportes dos lados de um triângulo ABC contido em 
 ? 
A) Um B) Dois C) Três D) quatro E) cinco 
 
186. (Col. Naval – 03) 
 
 
 Num quadrado ABCD tem-se os pontos: P pertencente ao lado AB; Q, 
pertencente ao lado CD; R, médio de DA; e S, médio de BC. Se PB é o dobro de 
DQ e E é o ponto de interseção entre PQ e RS, quantos trapézios retângulos 
semelhantes sempre existirão na figura ,sabendo-se que PB + DQ < AB? 
A) Dois B) Três C) quatro D) cinco E) seis 
 
187. (Col. Naval – 04) 
G - 75 
 
 
Qual é o produto notável representado ,geometricamente , na figura acima ,na 
qual ABCD é um retângulo ? 
A) 
33 ba + 
B) ( )3ba + 
C) ( )2ba + 
D) ( )222 ba + 
E) ( )4ba + 
188. (Col. Naval – 04) 
 
 
Na figura acima, ABCD é um quadrado de área 104 e o ponto O é o centro do 
semicírculo de diâmetro AB. A área do triângulo AEF é dada por 
G - 76 
 
A) ( )3332 + D) ( )3343 − 
B) ( )3346 − E) ( )3348 − 
C) ( )6345 − 
 
Solução de Welkson Carneiro: (D) 
Usando ângulos notáveis encontramos AE, BE e DC. 
4
3.
º120
2
1
..][
ADAE
senADAEADE == 
2
.
][
AFAD
ADF = , como 
4
)23(
][
][][][
AFAE
ADAEF
ADFADEAEF
−
=
−=
 
Agora temos que: ][AEF
4
)23(
4
. AFAE
AD
AFAE −
== , desta igualdade 
encotramos 
13
2636264.6 −
=AF . Sendo 
( )
4.13
26.3364.626
4
263
.
13
2636264.6
4
.
][
−
=
−
==
ACAF
AEF 
( ).3343][ −=AEF 
 
189. (Col. Naval – 04) Dado um triângulo retângulo ,seja P o ponto do plano do 
triângulo eqüidistante dos vértices .As distâncias de P aos catetos do triângulo 
são k e L .O raio do círculo circunscrito ao triângulo é dado por 
G - 77 
 
A) 
4
LK +
 D) 
2
22 LK +
 
B) LK +2 E) 22 LK + 
C) 
4
22 LK +
 
 
190. (Col. Naval – 04) Considere o triângulo escaleno ABC e os pontos P e Q 
pertencentes ao plano de ABC e exteriores a esse triângulo . SE : as mediadas 
dos triângulos PAC e QBC são iguais ; as medidas dos ângulos PCA e QCB são 
iguais ; M é o ponto médio de AC ; N é o ponto médio de BC ; 1S é a área do 
triângulo PAM ; 2S é a área do triângulo QBN ; 3S é a área do triângulo PMC ; e 
4S é área do triângulo QNC ,analise as afirmativas: 
 
I. 1S está para 4S ,assim como 3S está para 2S . 
II. 1S está para 2S ,assim como (PM)
2 está para (QN)2 . 
III. 1S está para 3S ,assim como 2S está para 4S . 
 
Logo pode-se concluir ,corretamente ,que 
A) apenas a afirmativa 1 é verdadeira. 
B) apenas as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras . 
C) apenas as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras . 
D) apenas as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras . 
E) as afirmativas 1 ,2 e 3 são verdadeiras. 
 
Solução de Welkson Carneiro: (E) Segue do enunciado! 
G - 78 
 
MedianasMMM
MedianasNNN
BCQAPC
→
→

321
321
,,
,, 
.
,
21
CQAP
eBCCPBQAC
BaricentroGeG
=
==
→
 
 
 
Usando a propriedade do Baricentro, temos que as 6 áreas formadas no BCQ são 
iguais. O mesmo serve para o ,APC que também possui as 6 áreas iguais. 
Como os triângulos são congruentes, as áreas do APC são iguais ao do BCQ . Logo 
todas as afirmativas estão corretas. 
 
191. (Col. Naval – 04) 
 
Um retângulo ABCD de lados AB = a e BC = b (a > b), é dividido, por um 
segmento EF, num quadrado AEFD e num retângulo EBCF, semelhante ao 
A 
D 
B 
 C 
E 
F 
G - 79 
 
retângulo ABCD conforme a figura acima. Nessas condições, a razão entre a e b 
é aproximadamente igual a 
A)1,62 B) 2,62 C) 3,62 D) 4,62 E) 5,62 
 
192. (Col. Naval – 05) Três dos quatro lados de um quadrilátero circunscritível 
são iguais aos lados do triângulo eqüilátero, quadrado e hexágono regular 
circunscritos a um circulo de raio 6. Qual é a medida do quarto lado desse 
quadrilátero, sabendo-se que é o maior valor possível nas condições dadas? 
A) 12316 − D) 8312 + 
B) 12312 − E) 8316 − 
C) 1238 + 
 
Solução: (A) Como esse quadrilátero é circunscritível termos: a + b = c + d. 
 
Denotamos a, b e c respectivamente por 32R , R2 e 3
3
2R
, já que são os 
lados do triângulo eqüilátero, quadrado e hexágono regular circunscritos a um círculo 
de raio 6. Logo; 
.34
3
36.2
126.2,31236.2 ====== ceba 
Isso resolve nosso problema: d = 312 + 12 – 34 = 12316 − 
 
G - 80 
 
193. (Col. Naval – 05) Um polígono convexo de n lados tem três