Lei de Gauss

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Lei de Gauss
Evandro Bastos dos Santos
12 de Agosto de 2019
1 Fluxo de Campo Elétrico
Com a lei de Coulomb calculamos o campo elétrico utilizando uma distribuição de cargas.
E a soma vetorial do campo elétrico gerado por cada carga era o campo elétrico devido à
distribuição.
Vamos considerar uma caixa, que pode conter (ou não) carga em seu interior.
Se houver carga no interior dessa caixa (superfície), haverá um campo elétrico. Que será
divergente para cargas positivas (figura 2) ou divergente para cargas negativas (figura 3).
E como podemos definir o fluxo de campo elétrico? As linhas de campo auxiliam a iden-
tificar que, ao colocar uma carga de prova positiva, em algum ponto fora da caixa. Iremos
perceber que, se a carga de prova for em direção à caixa, teremos uma carga negativa dentro
da caixa, consequentemente o fluxo de campo será para dentro. Se a carga se movimentar
na direção oposta à caixa, o fluxo de campo será para fora da caixa.
Para entendermos um pouco melhor, vamos observar a figura 4. No primeiro caso, todo
o campo elétrico passa pela espira. No caso b), há uma componente do campo elétrico
atravessando a espira e no caso c) nenhuma componente atravessa a espira.
Assim, podemos definir o fluxo do campo elétrico (ou de qualquer outro campo vetorial)
que atravessa uma espira (ou qualquer superfície) como sendo
φ = ~E · An̂. (1)
Em que n̂ é o vetor normal à superfície e A é a área da superfície. Se o vetor normal variar
ao longo da superfície ou o campo elétrico variar espacialmente, temos que considerar
φ =
∫
S
~E(x, y, z) · n̂dA. (2)
φ é o fluxo de um campo elétrico qualquer sobre qualquer superfície.
Figura 1: Caixa vazia
1
Figura 2: Carga positiva interna a uma superfície. As setas indicam as linhas de campo
elétrico
Figura 3: Carga negativa interna a uma superfície. As setas indicam as linhas de campo
elétrico
Figura 4: a) Campo paralelo ao vetor normal à espira, b) Campo a uma direção de 30o ao
vetor normal à espira, c) Campo perpendicular ao vetor normal à espira.
2
Figura 5: Esfera de raio R, com uma carga positiva em seu interior.
Figura 6: Esfera de raio R, com uma carga positiva em seu interior.
1.1 A Lei de Gauss
A lei de Gauss, para o cálculo do campo elétrico, servirá como uma alternativa à lei de
Coulomb, especialmente em situações de alta simetria e que a lei de Coulomb seja de difícil
aplicação.
A lei de Gauss garante que o fluxo de campo elétrico total através de qualquer superfície
fechada é proporcional à carga elétrica total no interior dessa superfície.
Vamos considerar uma carga pontual q, colocada no centro de uma esfera imaginária de
raio R.
Como conhecemos pela lei de Coulomb o campo elétrico em qualquer ponto dessa esfera
será:
~E =
1
4πε0
q
R2
(3)
Nessa superfície vamos considerar uma pequena fração de sua área, dA, figura 6.
Ao calcular o fluxo de campo elétrico que passa por essa área, vemos que o campo elé-
trico e o vetor normal a superfície esférica são paralelos. Então o fluxo é simplesmente o
produto do campo pela áerea,
φ = EA (4)
=
1
4πε0
q
R2
(4πR2) (5)
=
q
ε0
. (6)
Concluímos que o fluxo não depende do raio de nossa esfera imaginária, muito menos
de sua forma, apenas da carga em seu interior.
De forma geral, em situações em que a superfície e o campo não apontam na mesma
direção, temos que
∮
S
~E · n̂dA = qint
ε0
(7)
3
em que qint é a carga interna total contida na superfície. A superfície imaginária recebe o
nome de superfície gaussiana.
Em situações de simetria, em que o campo e o versos n̂ tem a mesma direção, e o campo
é constante em todos os pontos da superfície, podemos fazer
~E
∮
S
dA =
qint
ε0
. (8)
No caso da esfera, temos que
~E(4πR2) =
qint
ε0
(9)
~E =
qint
(4πR2)ε0
. (10)
Que é o valor do campo conhecido. Observe que para o cálculo do campo é necessário
simetria, para que o vetor ~E, possa ser retirado da integral. Porém a validade da lei de Gauss
é independente da simetria.
1.2 Aplicação a um condutor
Vamos calcular o campo elétrico dentro de um condutor. Para isso vamos considerar uma
esfera condutora carregada, de raio R.
Figura 7: Esfera condutora de raio R.
Se estamos no regiime eletrostático, podemos considerar que a força sobre as cargas é
zero, F = 0. Então se
~E =
~F
q
(11)
logo,
~E = 0. (12)
Ou seja, para um condutor carregado, o campo elétrico no interior da superfície é nulo.
Isso traz uma consequência importante. Vamos considerar uma superfície gaussiana, in-
terna a esse condutor, porém tão próximo da superfície do condutor quanto podemos ima-
ginar.
4
Figura 8: Gaussiana de raio r, interior a um condutor
Aplicando a lei de Gauss, temos que
~E(4πR2) =
qint
ε0
(13)
0 =
qint
(4πR2)ε0
(14)
qint = 0. (15)
Isso significa que a carga elétrica dentro de um condutor é zero, então se o condutor está
carregado, as cargas só podem estar situadas na superfície.
Exercícios:
Halliday, 8ed, problemas do cap 23: 1, 6, 20, 17, 24, 36, 44, 45
Halliday, 9ed, problemas do cap 23: 1, 4, 18, 19, 22, 34, 46, 47
Os problemas listados acima são equivalentes entre as edições.
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