MFEP_-_Integral_J

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Mecânica da Fratura Elasto-
plástica - MFEP
Profa. Dra. Renata N. Penha
rnp@unifei.edu.br
IEM – Sala 2.07 
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Integral J
• Integral de linha cuja solução produz 
resultados invariantes quando calculados em 
diferentes contornos próximos à ponta da 
trinca.
James Rice
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Sob comportamento elástico-não linear
•Usando a definição da energia de Griffith para materiais 
elásticos não lineares, mas substituindo 𝒢 por J:
•Onde ∏ é a energia potencial e A é a área da trinca. A 
energia potencial é dada por:
•Onde U é a energia armazenada e F é trabalho feito pela 
carga externa.
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•Considerando o carregamento:
• Se a espessura da placa for unitária, A=a. Para controle 
da carga:
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•Onde U* é a energia de deformação complementar, 
definida como:
• Se a placa está sob carga controlada, J é dado por:
• Se a trinca avança em um deslocamento fixo, F=0, e J é 
dado por:
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•Pela figura vemos que dU* difere de dU na quantidade 
de ½ dPd∆.
•Retomando as definições de U e U*, J pode ser escrito 
em função do carregamento ou deslocamento:
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• Em função do carregamento:
• Em função do deslocamento:
• Integrando as equações acima por partes, percebe-se 
que elas são iguais, ou seja, J é o mesmo para 
carregamento e deslocamento fixos.
•Assim para um material linear-elástico 𝐽 = 𝒢
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•Logo:
𝐽𝑐 = 𝒢𝑐 =
𝐾𝑐
2
𝐸′
•O parâmetro J:
• É um parâmetro energético
• Independe do caminho de integração escolhido
• Caracteriza os esforços ao redor da ponta da trinca
• Constitui um parâmetro de fratura quando atinge seu valor 
crítico Jc.
𝒢𝑐... Taxa crítica da energia de Griffith
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J como uma integral de linha
•Considerando um caminho arbitrário no sentido anti-
horário (Γ) ao redor da ponta da trinca a integral J é dada 
por:
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•A densidade de energia de deformação é definida por:
•Considerando o estado de tensão plana e carregamento 
puro em tração:
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• E as componentes do vetor de tensão:
• Exemplo:
𝑇1
𝑇2
=
𝜎11 𝜎12
𝜎21 𝜎22
𝑛1
𝑛2
• 𝑛1 e 𝑛2são cossenos dos ângulos 𝜃1e 𝜃2que o vetor 𝑛 faz com os 
eixos x e y. 
 
𝑑𝑥 = −𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃2
𝑑𝑦 = −𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃1
j = 1, 2 ,3
𝑥
𝑦
𝜃1
𝜃2
n é um vetor unitário normal à Γ
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• Se Γ1 e Γ3 estão conectados por segmentos por segmentos ao 
longo da face da trinca (Γ2 e Γ4), um contorno fechado é 
formado.
• O J total deste contorno fechado é soma da contribuição de cada 
segmento:
𝐽 = 𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 + 𝐽4
• Na face da trinca, 𝑇𝑖 = 𝑑𝑦 = 0. Então, qualquer caminho 
arbitrário (anti-horário) ao redor da trinca terá o mesmo valor.
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is 5. a) Mostre que a integral-J desaparece 
no contorno de um quadrado no 
sentido anti-horário a-b-c-d como 
mostra a figura. O quadrado tem 4 
seguimentos tal que Γ = 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 −
𝑐𝑑 − 𝑑𝑎. b) Determine a densidade 
de energia de deformação W e a 
integral-J sob os estados de tensão 
plana e deformação plana, para uma 
placa com w= 50,8 mm, σ=LE=700 
MPa, ν=1/3 e E=207 GPa.
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•Dados:
𝜎𝑥 = 0 e 𝜎𝑦 = 𝜎
a) Sob o contorno:
𝐸𝑃𝑇 → 𝜎𝑧 = 0
𝐸𝑃𝐷 → 𝜎𝑧 = 𝜈 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 = 𝜈𝜎𝑦
𝑊 = 𝜎𝑖𝑗𝑑𝜀𝑖𝑗 =
𝜎2
2𝐸′
𝑢 =
𝜎
𝐸
 𝑦
𝑇 = 𝜎𝑖𝑗𝑛 = 𝜎𝑦𝑛
𝑛
𝑥
𝑦
𝜃1 = 90°
𝜃2 = 0°
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is 𝐽 = 
𝑠
𝑊𝑑𝑦 − 𝑇𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑆
𝐸𝑃𝑇 → 𝐸′ = 𝐸
𝑛
𝑥
𝑦
𝜃1 = 90°
𝜃2 = 0° 𝐽𝑎𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝑊𝑑𝑦 − 𝑇𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑆
0 0
• Trecho ab:
𝐽𝑎𝑏 = 0
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𝑛 𝑥
𝜃1 = 0°
𝜃2 = 90°
𝐽𝑏𝑐 = 
𝑏
𝑐
𝑊𝑑𝑦 − 𝑇𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑆
𝑦
0
• Trecho bc:
𝐽𝑏𝑐 = 
𝑏
𝑐
𝑊𝑑𝑦 =
𝜎2
2𝐸
𝑐 − 𝑏 = −
𝑤𝜎2
2𝐸′
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• Trecho cd:
𝑛
𝑥
𝑦
𝜃1 = 90°
𝜃2 = 0°
𝐽𝑐𝑑 = 
𝑐
𝑑
𝑊𝑑𝑦 − 𝑇𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑆
0 0
𝐽𝑐𝑑 = 0
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is
𝐽𝑑𝑎 = 
𝑑
𝑎
𝑊𝑑𝑦 − 𝑇𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑆
0
𝑛
𝜃1 = 0°
𝜃2 = 90°
𝑦
𝑥
• Trecho da:
𝐽𝑑𝑎 = 
𝑑
𝑎
𝑊𝑑𝑦 =
𝜎2
2𝐸
𝑎 − 𝑑 =
𝑤𝜎2
2𝐸′
∴ 𝐽𝑅= 𝐽𝑖 = 𝐽𝑎𝑏 + 𝐽𝑏𝑐 + 𝐽𝑐𝑑 + 𝐽𝑑𝑎
𝐽𝑅 = 0
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b) Densidade de energia:
𝐸𝑃𝑇 → 𝑊 =
𝜎2
2𝐸
= 1,18𝑀𝑃𝑎
𝑊 = 1,18𝑀 𝐽
𝑚3
𝐽𝑑𝑎 = −𝐽𝑏𝑐 = 𝑤𝑊
𝐽𝑑𝑎 = −𝐽𝑏𝑐 = 0,0508 ∙ 1,18 × 10
6
𝐽 = 60 
𝑘𝐽
𝑚2
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𝐸𝑃𝐷 → 𝑊 =
𝜎2
2𝐸′
= 1,05 
𝑀𝐽
𝑚3
𝐽𝑑𝑎 = −𝐽𝑏𝑐 = 𝑤𝑊
𝐽 = 53,3 
𝑘𝐽
𝑚2
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J incluindo o efeito da plasticidade
•Considere a geometria:
•Para o EPD, obtemos 𝐾𝐽, que é o fator de intensidade de 
tensão modificado incluindo o efeito da plasticidade:
𝐾𝐽 = 𝐽𝐸
𝐾𝐽 ≈ 𝐾 1 +
𝜀𝑝
𝜀𝑒 𝑛
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•Onde:
• 𝐾 = 𝑆𝑔 𝜋𝑎, da MFLE
• 𝜀𝑒 e 𝜀𝑝 são as deformações elástica e plástica 
correspondentes a tensão aplicada
• 𝑛 é o coeficiente de encruamento
Relação Ramberg-Osgood
m
m
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Abordagem de engenharia
•A integral J é definida a partir das considerações de 
Ramberg-Osgood:
𝐽 = 𝐽𝑒(𝑎𝑒) + 𝐽𝑝(𝑎)
𝐽𝑝 = 𝛼
′𝜎𝑜𝜀0𝜆1ℎ1
𝐿
𝐿𝑜
𝑛+1
Onde:
𝛼′ é uma constante []
𝜎𝑜 limite de escoamento [MPa]
𝜀0 deformação no escoamento []
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•𝜆1 constante geométrica [m]
•ℎ1constante []
•𝐿 carga aplicada por unidade de espessura [MN/m]
•𝐿𝑜 limite elástico de carga aplicada por unidade de 
espessura [MN/m]
•𝑛 é o coeficiente de encruamento
𝜓 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝑇
𝜓 = 3/2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐸𝑃𝐷
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is 𝜆1 = 𝑎 1 −
𝑎
𝑤
EPD: 𝐿𝑜 =
4 𝑤−𝑎 𝜎𝑜
3
EPT: 𝐿𝑜 = 2 𝑤 − 𝑎 𝜎𝑜
𝜆1 = 𝑤 − 𝑎
EPD: 𝐿𝑜 = 0,72 + 1,82(1 −
𝑎
𝑤
) 𝑤𝜎𝑜
EPT: 𝐿𝑜 =
4
3
1 −
𝑎
𝑤
𝑤𝜎𝑜
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is 𝜆1 = (𝑤 − 𝑎)(
𝑎
𝑤
)
EPD: 𝐿𝑜 = 1,455𝜂(𝑤 − 𝑎)𝜎𝑜
EPT: 𝐿𝑜 = 1,072𝜂 𝑤 − 𝑎 𝜎𝑜
𝜂 = 1 + 𝑎/(𝑤 − 𝑎) 2 − 𝑎/(𝑤 − 𝑎)
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Integral J pela norma ASTM E1820
•Corresponde a soma das componentes elástica e plásticade J:
𝐽 = 𝐽𝑒𝑙 + 𝐽𝑝𝑙
𝐽 =
𝐾2 1 − 𝜈2
𝐸
+ 𝐽𝑝𝑙
𝐽𝑝𝑙 =
𝜂𝑝𝑙𝐴𝑝𝑙
𝐵𝑏
Apl = área sob a curva força x deslocamento.
ηpl = constante
B = espessura
b = ligamento
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ASTM E1820
𝛿𝑐 =
𝐽𝑐
𝑚𝜎𝑜
𝑚 ... Constante
m = 1 (EPT) e m = 2 (EPD)
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Triângulo da Mecânica da Fratura
Tensão Defeito 
Tenacidade