1 - Estruturas cristalinas

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Estruturas Cristalinas
Prof. José Henrique Alano
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Material cristalino: os átomos estão situados em um arranjo que
se repete ao longo de grandes distâncias atômicas, existe ordem
de longo alcance;
O estado amorfo apresenta alto grau 
de aleatoriedade atômica
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Estrutura cristalina: é a forma como os átomos, íons ou
moléculas estão arranjados em um material cristalino.
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Modelo de esferas rígidas: ao descrever uma estrutura cristalina é
comum representar os átomos ou íons como esferas sólidas de
diâmetro bem definido.
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Rede cristalina: um arranjo tridimensional de pontos que
coincidem com as posições atômicas (ou centros das esferas).
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Célula unitária: unidade estrutural básica (ou bloco de construção
básico) da estrutura cristalina. Representa a simetria do cristal.
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Estruturas cristalinas
❖ Conceitos fundamentais
❖ Célula unitária: unidade estrutural básica (ou bloco de construção
básico) da estrutura cristalina. Representa a simetria do cristal.
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Estruturas cristalinas
❖ Estruturas cristalinas dos materiais metálicos: a ligação
metálica é não-direcional → estruturas com elevado
empacotamento atômico;
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC): cobre,
alumínio, prata e ouro são exemplos de metais que apresentam
estrutura CFC.
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): cada átomo em um
vértice é compartilhado por 8 células unitárias.
𝑁𝑣𝑐𝑓𝑐 =
1
8
𝑥 8 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): já os átomos das
faces pertencem somente a duas células unitárias.
𝑁𝑓𝑐𝑓𝑐 =
1
2
𝑥 6 = 3 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
Átomo da face
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Ncfc): há 4 átomos por
célula unitária na estrutura CFC.
𝑁𝑐𝑓𝑐 = 𝑁𝑣𝑐𝑓𝑐 +𝑁𝑓𝑐𝑓𝑐
𝑁𝑐𝑓𝑐 =
1
8
𝑥8 +
1
2
𝑥6 = 4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Exemplo 1: Calcule a relação entre aresta e raio atômico de uma
célula unitária CFC.
𝑎 = 2𝑅 2
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Exemplo 2: Calcule a relação entre o volume da célula unitária
CFC e o raio atômico.
𝑉𝑐𝑓𝑐 = 16𝑅
3 2
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Número de coordenação: número de átomos vizinhos em contato
(12).
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Fator de empacotamento atômica (FEA): é a soma do volume de
todas as esferas dentro de uma célula unitária dividido pelo volume
da célula unitária.
𝐹𝐸𝐴 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜𝑠 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Fator de empacotamento atômica (FEA): é a soma do volume de
todas as esferas dentro de uma célula unitária dividido pelo volume
da célula unitária.
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Fator de empacotamento atômica (FEA): é a soma do volume de
todas as esferas dentro de uma célula unitária dividido pelo volume
da célula unitária.
Plano compacto (plano octaédrico) CFC
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de face centrada (CFC)
❖ Exemplo 3: Demonstre que o FEA da estrutura CFC é igual a 0,74.
𝐹𝐸𝐴 = 0,74
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC): cromo,
molibdênio e tungstênio são exemplos de metais que apresentam
estrutura CCC.
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): cada átomo em um
vértice é compartilhado por 8 células unitárias.
𝑁𝑣𝑐𝑐𝑐 =
1
8
𝑥 8 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): apresenta um átomo
inteiro no centro do cubo.
𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): há 2 átomos por
célula unitária na estrutura CCC.
𝑁𝑐𝑐𝑐 = 𝑁𝑣𝑐𝑐𝑐 + 𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑁𝑐𝑐𝑐 =
1
8
𝑥8 + 1 = 2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Número de coordenação: número de átomos vizinhos em contato
(8).
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Exemplo 4: Calcule a relação entre aresta e raio atômico de uma
célula unitária CCC.
𝑎 = 4𝑅/ 3
adc
df
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Exemplo 5: Calcule a relação entre o volume da célula unitária
CCC e o raio atômico.
𝑉𝑐𝑐𝑐 = 64𝑅
3/3 3
adc
df
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina cúbica de corpo centrado (CCC)
❖ Exemplo 6: Demonstre que o FEA da estrutura CCC é ≈ 0,68.
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC): titânio, cobalto
e zinco são exemplos de metais que apresentam estrutura HC.
Estrutura hexagonal compacta.
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): três átomos inteiros
no centro da célula unitária.
𝑁𝑐ℎ𝑐 = 3 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): o átomo no centro
de cada plano basal é compartilhado por apenas duas células
unitárias.
𝑁𝑏ℎ𝑐 =
1
2
𝑥 2 = 1 á𝑡𝑜𝑚𝑜
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): cada átomo dos
vértices estão sendo divididos por 6 células unitárias adjacentes.
𝑁𝑣ℎ𝑐 =
1
6
𝑥 12 = 3 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Número de átomos por célula unitária (Nc): há 6 átomos por
célula unitária na estrutura HC.
𝑁ℎ𝑐 = 𝑁𝑐ℎ𝑐+𝑁𝑏ℎ𝑐+𝑁𝑣ℎ𝑐
𝑁ℎ𝑐 = 3+
1
2
𝑥2 +
1
6
𝑥12 = 6 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Razão c/a: a razão altura/aresta ideal de uma célula unitária HC é
1,633.
a
c
Demonstre
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Exercício 7: Demonstre que o fator de empacotamento da célula
unitária HC é ≈ 0,74. A área da base do prisma hexagonal é
3𝑎2 3
2
.
a
c
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Estruturas cristalinas
❖ Estrutura cristalina hexagonal compacta (HC)
❖ Número de coordenação: número de átomos vizinhos em contato
(12).
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Estruturas cristalinas
❖ Comparativo entre as estruturas CFC, CCC e HC
CFC CCC HC
Número de 
coordenação
12 8 12
FEA 0,74 0,68 0,74
Átomos por 
célula unitária
4 2 6
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Estruturas cristalinas
❖ Densidade teórica dos metais
❖ Conhecendo-se a estrutura cristalina de um sólido metálico é
possível calcular a sua densidade teórica.
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
Onde:
• n – número de átomos associados a cada célula unitária;
• A – Peso atômico;
• Vc – Volume da célula unitária;
• NA – número de Avogrado (6,023 X 10
23 átomos/mol).
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Estruturas cristalinas
❖ Densidade teórica dos metais
❖ Exercício 8: O cobre possui um raio atômico de 0,128 nm (1,28Å),
uma estrutura cristalina CFC, e um peso atômico de 63,5 g/mol.
Calcule a densidade do cobre.
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Sistemas cristalinos
❖ Parâmetros de rede: a geometria da célula unitária é definida
pelos parâmetrosde rede. São eles: a, b, c, α, β e γ.
• a, b e c são os comprimentos das 
arestas;
• α, β e γ são os ângulos entres
os eixos.
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Sistemas cristalinos
❖ Sistemas cristalinos: existe somente sete combinações de a, b e c,
e α, β, e γ possíveis. Cada um dessas combinações constitui um
sistema cristalino.
• Cúbico;
• Tetragonal;
• Ortorrômbico;
• Romboédrico;
• Hexagonal;
• Monoclínico;
• Triclínico.
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Sistemas cristalinos
❖ As 14 redes de Bravais: os 7 sistemas cristalinas são subdivididos
em 14 redes diferentes, conhecidas por redes de Bravais.
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Sistemas cristalinos
❖ As 14 redes de Bravais: os 7 sistemas cristalinas são subdivididos
em 14 redes diferentes, conhecidas por redes de Bravais.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Direções cristalográficas: são vetores;
❖ Etapas utilizadas na determinação dos três índices direcionais
(índices de Miller):
• Determinar dois pontos que coincidem com a direção
cristalográfica;
• Subtrair as duas coordenadas (“calda” – “cabeça”) (“alvo” –
“origem”);
• Os três números obtidos são multiplicados ou divididos por um
fator comum, a fim de reduzi-los aos menores valores inteiros;
• Os três índices são colocados entre colchetes [u v w];
• Se um sinal negativo por obtido, este é indicado por uma barra
sobre o índice.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 9: Determinar os índices de Miller das direções A, B e C
mostradas na figura abaixo.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Família de direções: algumas direções são equivalentes se
redefinirmos o sistema de coordenadas.
❖ Exemplo: em um sistema cúbico, a direção [100] é equivalente à
direção [010] se nós redefinirmos o sistema de coordenadas.
❖ Um grupo de direções equivalentes é chamado de família → é
representado por <>.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Família <100>
[100], [100], [010], [010], [001],
[001]
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Planos e direções cristalográficas
❖ Planos cristalográficos:
• São representados de maneira semelhante às direções;
• Em todos os sistemas cristalinos (exceto o sistema cristalino
hexagonal), os planos cristalográficos são representados pelos
índices de Miller (hkl) ou (hkil→ hexagonal);
• Planos paralelos são equivalentes e possuem índices idênticos;
• Famílias de planos são representadas por {}.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Planos cristalográficos:
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Planos e direções cristalográficas
❖ Procedimento para determinação dos valores dos índices de
Miller de planos cristalográficos:
• Se o plano passar através da origem, nova origem deve ser
selecionada no vértice de uma outra célula unitária;
• O plano cristalográfico ou intercepta ou é paralelo a cada um
dos três eixos;
• Obtenção dos pontos de interceptação do plano com os eixos x,
y e z;
• Os valores inversos desses números são calculados e tomados
(h=1/a, k=1/b e l=1/c);
• Obtenção do menor conjunto de números inteiros pela
multiplicação ou divisão por um fator comum;
• Índices obtidos devem ser apresentados entre parênteses: (hkl).
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 10: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = ∞ 
Z intercepta = ∞ 
Plano (010) 
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 10: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = ∞ 
Z intercepta = ∞ 
Plano (010) 
52
Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 11: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = 1 
Z intercepta = ∞ 
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 11: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = 1 
Z intercepta = ∞ 
Plano (110) 
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 12: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = 1 
Z intercepta = 1 
55
Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 12: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
y intercepta = 1
x intercepta = 1 
Z intercepta = 1 
Plano (111) 
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Planos e direções cristalográficas
❖ Exemplo 13: Determinar os índices de Miller do plano indicado na
figura abaixo.
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Planos e direções cristalográficas
❖ Família {111}:
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Planos e direções cristalográficas
❖ Família {110}:
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Planos e direções cristalográficas
❖ Densidade linear: é a fração do comprimento da linha que é
interceptada pelos átomos;
❖ Exemplo:
𝐷𝑙 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟
= á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑚
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Planos e direções cristalográficas
❖ Densidade planar: é a fração da área cristalográfica planar total
que está ocupada pelos átomos.
❖ Exemplo:
𝐷𝑝 =
á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
= á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑚2
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Planos e direções cristalográficas
❖ Sistemas de escorregamento
❖ Exemplo: Estrutura cristalina CFC.
❖ Família {111} todos os planos estão densamente compactados.
❖ O escorregamento ocorre ao longo da direção <110>.
❖ {111} e <110> → sistema de escorregamento.