Atividade 1 de Análise Combinatoria

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Instituto Federal de Pernambuco - IFPE - Campus Pesqueira 
Licenciatura em Matemática 
Semana 01 - 2020.1 
Análise Combinatória 
Professor: Bruno Lopes 
Aluno: Rodrigo Cavalcanti de Lima 
 
 
1. De quantas maneiras 3 americanos, 4 franceses e 3 belgas podem sentar em fila, de modo que os de 
mesma nacionalidade sentem juntos? 
 
 
 
 Permutação 3 
 Permutação 3 Permutação 4 Permutação 3 
 
𝑝3 = 3! = 3.2.1 = 6 
𝑝4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
𝑝3. 𝑝4.𝑝3. 𝑝3 = 6.24.6.6 = 5184 
 
 
2. Numa classe existem 8 alunas das quais uma se chama Maria e 7 alunos, sendo José o nome de um 
deles. Formam-se comissões constitúıdas de 5 alunas e 4 alunos. Quantas são as comissões das quais: 
 
(a) Maria participa? 
 
𝑐7,4 =
7!
4!. (7 − 4)!
→ 𝑐7,4 =
7!
4! .3!
→ 𝑐7,4 =
7.6.5.4!
4! .3.2.1
→ 𝑐7,4 =
7.6.5
3.2.1
→ 𝑐7,4 =
210
6
→ 𝑐7,4 = 35 
 
𝑐7,4. 𝑐7,4 = 35.35 = 12125 
 
(b) Maria participa sem José? 
 
𝑐6,4 =
6!
4!. (6 − 4)!
→ 𝑐6,4 =
6.5.4!
4! .2!
→ 𝑐6,4 = 3.5 → 𝑐6,4 = 15 
 
𝑐7,4. 𝑐6,4 = 35.15 = 525 
 
(c) José participa? 
 
 
𝑐8,5 =
8!
5!. (8 − 5)!
→ 𝑐8,5 =
8.7.6.5!
5! .3!
→ 𝑐8,5 =
8.7.6
3.2.1
→ 𝑐8,5 = 4.7.2 → 𝑐8,5 = 56 
 
𝑐6,3 =
6!
3!. (6 − 3)!
→ 𝑐6,3 =
6!
3! .3!
→ 𝑐6,3 =
6.5.4.3!
3! .3.2.1
→ 𝑐6,3 =
6.5.4
3.2.1
→ 𝑐6,3 =
120
6
→ 𝑐6,3 = 20 
 
𝑐8,5. 𝑐6,3 = 56.20 = 1120 
 
3 americanos 4 franceses 3 belgas 
(d) José participa sem Maria? 
 
𝑐7,5 =
7!
5!. (7 − 5)!
→ 𝑐7,5 =
7.6.5!
5! .2!
→ 𝑐7,5 = 7.3 → 𝑐7,5 = 21 
 
𝑐7,5. 𝑐6,3 = 21.20 = 420 
 
(e) Maria e José participam simultaneamente? 
 
8 alunas 7 alunos 
Maria ___ ____ ____ ____ João ___ ____ _____ 
Alunas: 
𝑐7,4 =
7!
4!. (7 − 4)!
→ 𝑐7,4 =
7!
4! .3!
→ 𝑐7,4 =
7.6.5.4!
4! .3.2.1
→ 𝑐7,4 =
7.6.5
3.2.1
→ 𝑐7,4 =
210
6
 
→ 𝑐7,4 = 35 
 
Alunos 
𝑐6,3 =
6!
3!. (6 − 3)!
→ 𝑐6,3 =
6!
3! .3!
→ 𝑐6,3 =
6.5.4.3!
3! .3.2.1
→ 𝑐6,3 =
6.5.4
3.2.1
→ 𝑐6,3 =
120
6
 
→ 𝑐6,3 = 20 
 
𝑐7,4. 𝑐6,3 = 35.20 → 𝑐7,4. 𝑐6,3 = 700 
 
 
3. Quantos números distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000, podem ser formados com os algarismos 
1, 2, 3, 4, 5 e 6 de modo que: 
 
(a) cada algarismo seja usado apenas uma vez em cada número? 
___ ___ ____ 
𝐴6,3 =
6!
3!
→ 𝐴6,3 =
6.5.4.3!
3!
→ 𝐴6,3 = 6.5.4 → 𝐴6,3 = 120 
 
(b) os números sejam pares e formados de algarismos distintos? 
 
Para o número par =4 
___ ___ 4_ 
𝐴5,2 =
5!
2!
→ 𝐴5,2 =
5.4.3.2!
2!
→ 𝐴5,2 = 5.4.3 → 𝐴5,2 = 60 
 
Para o número par =6 
___ ___ 6_ 
𝐴5,2 =
5!
2!
→ 𝐴5,2 =
5.4.3.2!
2!
→ 𝐴5,2 = 5.4.3 → 𝐴5,2 = 60 
 2. 𝐴5,2 = 60.2 = 120 
 
 
 
(c) os números possuam o 4 como algarismo do meio? 
 
___ _4_ ___ 
𝐴5,2 =
5!
2!
→ 𝐴5,2 =
5.4.3.2!
2!
→ 𝐴5,2 = 5.4.3 → 𝐴5,2 = 60 
 
 
4. Dentre todos os números de 7 d́ıgitos, quantos possuem exatamente 3 d́ıgitos 9 e os 4 d́ıgitos restantes 
todos diferentes? 
 
I. Supondo que o primeiro dígito não pode ser 0 ou 9, temos: 
 𝑐6,3 
__ _9_ _9 _9_ ___ ___ ____ 
 8 8 7 6 
𝑐6,3 =
6!
3! (6 − 3)!
→ 𝑐6,3 =
6.5.4.3!
3! 3!
→ 𝑐6,3 =
6.5.4
3.2.1
→ 𝑐6,3 = 5.4 → 𝑐6,3 = 20 
8.20.8.7.6 = 53760 
II. Supondo que o primeiro dígito começa por 9, temos: 
 𝑐6,2 
_9_ _9_ _9 __ ___ ___ ____ 
 1 9 8 7 6 
𝑐6,2 =
6!
2! (6 − 2)!
→ 𝑐6,2 =
6.5.4!
2! 4!
→ 𝑐6,2 =
6.5
2.1
→ 𝑐6,2 = 3.5 → 𝑐6,2 = 15 
1.15.9.8.7.6 = 45360 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼 + 𝐼𝐼 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 53760 + 45360 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 99120 
 
5. Uma prova tem 10 questões do tipo teste, cada uma valendo 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se 
estiver errada (não há meio certo nas questões). De quantos modos é posśıvel tirar nota 7 nessa prova? 
 
𝑐10,7 =
10!
7! (10 − 7)!
→ 𝑐10,7 =
10.9.8.7!
7! .3!
→ 𝑐10,7 =
10.9.8.
3.2.1
→ 𝑐10,7 =
720
6
→ 𝑐10,7 = 120 
 
6. Realizadas todas as permutações simples com os algarismos 0, 3, 4, 6 e 7 e colocados os números 
assim obtidos em ordem decrescente, qual a posição do número 46.307? 
 
Numero maximo = 76430 
1 _7_ ___ ___ ___ ___ 𝑝4 = 4! → 𝑝4 = 4.3.2.1 → 𝑝4 = 24 
 
2 _6_ ___ ___ ___ ___ 𝑝4 = 4! → 𝑝4 = 4.3.2.1 → 𝑝4 = 24 
 
3 _4_ _7_ ___ ___ ___ 𝑝3 = 3! → 𝑝3 = 3.2.1 → 𝑝3 = 6 
 
4 _4_ _6_ _7__ ___ ___ 𝑝2 = 2! → 𝑝2 = 2.1 → 𝑝2 = 2 
 
5 _4_ _6_ __3_ _0__ ___ 𝑝1 = 1! → 𝑝1 = 1 
24 + 24 + 6 + 2 + 1 = 57 Portanto, como a posição procurada é a próxima, será a 58ª posição 
 
 
7. Sabendo-se que numa reunião todos os presentes apertaram as mãos entre si e que ao todo foram feitos 
66 cumprimentos, calcule o número de pessoas presentes à reunião. 
 
𝑐𝑛,2 =
𝑛!
2! (𝑛 − 2)!
→ 66 =
𝑛(𝑛 − 1). (𝑛 − 2)!
2! (𝑛 − 2)!
→ 66 =
𝑛(𝑛 − 1)
2.1
→ 132 = 𝑛2 − 𝑛 
𝑛2 − 𝑛 − 132 = 0 
 
Soma e produto 
(−11) + 12 = 1 
(−11). 12 = −132 
 
A raiz -11 não serve pois é negativo 
Numero de pessoas= 12 
 
 
8. Numa promoção beneficente, 22 pessoas estão dispońıveis para exercer diversas atividades. Se há 
necessidade de 6 pessoas na cozinha, 4 pessoas no balcão de atendimento, 4 pessoas para os 
caixas, 6 pessoas para vender cartelas de bingo e 2 pessoas responsáveis pela animação, de quantas 
maneiras é posśıvel fazer a escalação? 
 
cozinha 
𝑐22,6 =
22!
6! (22 − 6)!
→ 𝑐22,6 =
22!
6! .16!
 
 
Balcão 
 
𝑐16,4 =
16!
4! (16 − 4)!
→ 𝑐16,4 =
16!
4! 12!
 
 
Caixas 
𝑐12,4 =
12!
4! (12 − 4)!
→ 𝑐12,4 =
12!
4! 8!
 
 
Cartelas de bingo 
 
𝑐8,6 =
8!
6! (8 − 6)!
→ 𝑐12,4 =
8!
6! 2!
 
 
Animação 
 
𝑐2,2 =
2!
2! (2 − 2)!
→ 𝑐2,2 =
2!
2! 0!
→ 𝑐2,2 =
2!
2!
 
 
Total= 
22!
6!.16!
.
16!
4!12!
.
12!
4!8!
.
8!
6!2!
.
2!
2!
=
22!
6!
.
1
4!
.
1
4!
.
1
6!
.
1
2!
=
22!
6!.4!.4!.6!.2!
=
22!
6!.4!.4!.6!.2!
 
 
Total =
22.21.20.19.18.17.16.15.14.13.12.11.10.9.8.8.6.5.4.3.2.1
6.5.4.3.2.1.4.3.2.1.4.3.2.1.6.5.4.3.2.1.2.1
 
 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 22.21.20.19.17.14.13.11.9.7.5 = 1882127847600 
 
 
9. Há 10 cadeiras em fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido 
senta separado de sua mulher? 
 
5!. 25 = 5.4.3.2.1.2.2.2.2.2 = 3840 
 
10. De um grupo de 10 pessoas, das quais 4 são mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podem 
ser formadas de modo que pelo menos 1 mulher faça parte? 
 
 
Comissão total 
 
𝑐10,5 =
10!
5! (10 − 5)!
→ 𝑐10,5 =
10.9.8.7.6.5!
5! 5!
→ 𝑐10,5 =
10.9.8.7.6
5.4.3.2.1
→ 𝑐10,5 =
30240
120
→ 
 
𝑐10,5 = 252 
 
Comissão de homens 
 
𝑐6,5 =
6!
5! (6 − 5)!
→ 𝑐10,5 =
6.5!
5! 1!
→ 𝑐10,5 = 6 
 
Comissão total - Comissão apenas com homens = Comissões com pelo menos uma mulher. 
 
𝑐10,5 − 𝑐6,5 = 252 − 6 = 246