Lista de Exercícios Variáveis Aleatórias

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
COLEGIADO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Disciplina: Controle Estatístico da Qualidade
Professora: Antonio Pires Crisóstomo
1. Suponha que 10% dos itens que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente
suas contas (prestações). Se num particular dia, a loja vende a crédito para 10 pessoas, qual é a
probabilidade de que mais de 20% deixem de pagar regularmente as contas?
2. Numa fábrica, 3% dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender 400
peças e recebeu duas propostas:
Proposta 1: o comprador A propõe examinar uma amostra de 80 peças. Se houver 3 ou menos
defeituosas, ele paga 60 unidades monetárias (u.m.) por peça; caso contrário, ele paga 30 u.m.
por peça.
Proposta 2: o comprador B propõe examinar 40 peças. Se todas forem perfeitas, ele está disposto
a pagar 65 u.m. por peça; caso contrário, ele paga 20 u.m. por peça.
Qual a melhor proposta para o fabricante?
3. Suponha que o número de falhas em certo tipo de placa plástica tenha distribuição de Poisson,
com taxa média de 0,05 defeito por m². Na construção de um barco, é necessário cobrir uma
superfície de 3 m x 2 m com essa placa.
a) qual a probabilidade de que não haja falhas nessa superfície?
b) qual a probabilidade de que haja mais que uma falha nessa superfície?
c) na construção de 5 barcos, qual é a probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito
na superfície plástica?
4. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e internet.
O número de pedidos que chegam por qualquer meio (no horário comercial) é uma variável
aleatória discreta com distribuição Poisson com taxa de 5 pedidos por hora.
a) calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora
b) em um dia de trabalho (8horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
c) não haver nenhum pedido em um dia de trabalho é um evento raro?
5. Um livreiro descuidado mistura 4 exemplares defeituosos junto com outros 16 perfeitos de um
certo livro didático. Quatro amigas vão a essa livraria para comprar seus livros escolares.
a) calcule a probabilidade de 3 levarem livros defeituosos
b) qual a probabilidade de, após a visita dessas meninas, restarem o mesmo número de
defeituosos na livraria? E de não restar nenhum?
6. Na construção de um complexo sistema eletrônico são utilizados certos componentes de
backup, nos seus subsistemas. Um subsistema tem 4 componentes idênticos, cada um com
probabilidade de 0,2 de probabilidade de falhar em menos de 1.000 horas. O subsistema
funcionará se no mínimo dois dos quatro componentes estiver operando. Assuma que os
componentes operam de forma independente.
a) encontre a probabilidade que exatamente dois dos quatro componentes demorem mais do que
1.000 horas
b) encontre a probabilidade de que o subsistema esteja operando mais do que 1.000 horas.
7. Uma prova de múltipla escolha tem um total de 15 questões, cada questão com cinco possíveis
respostas, das quais apenas uma é correta. Suponha que um estudante faz a prova “chuta” todas
as questões, de forma aleatória. Qual a probabilidade que ele acerte, no mínimo, 10 questões?
8. O número de erros de digitação feito por um digitador específico tem uma distribuição de
Poisson com uma média de quatro erros por página. Se mais de quatro erros aparecem em uma
página, o digitador precisa digitar novamente a página inteira. Qual a probabilidade de que
determinada página não precise ser digitada novamente?
9. Um exame de múltipla escolha consiste em dez questões, cada uma com quatro possibilidades
de escolha. A aprovação exige, no mínimo, 50% de acertos.
a) qual a probabilidade de aprovação se o candidato comparece ao exame sem saber
absolutamente nada, apelando apenas para o “palpite”?
b) e se o exame tivesse 100 questões?
10. Certo tipo de cimento tem resistência à compressão média de 5.800 kg/cm², com variabilidade
modelada por uma distribuição normal com desvio padrão igual a 180 kg/cm². Dada uma amostra
desse cimento, calcule as seguintes probabilidades:
a) resistência inferior a 5.600 kg/cm²
b) resistência entre 5.600 kg/cm² e 5.950 kg/cm²
c) se quer que a garantia de que haja 95% de probabilidade do cimento resistir a determinada
carga, qual deve ser o valor máximo dessa carga?
11. Uma empresa fabrica dois monitores de vídeo. É suposto que as durabilidades deles seguem
distribuições normais, sendo o monitor M1 com média de 6 anos e desvio padrão 2,3 anos; e o
monitor M2 com média de 8 anos e desvio padrão 2,8 anos. M1 tem 2 anos de garantia e M2 tem
3 anos. A empresa lucra $ 100,00 a cada M1 vendido e $ 200,00 a cada M2 vendido, mas se
deixarem de funcionar no período de garantia, a empresa perde $ 300,00 e $ 800,00, nos casos
de M1 e M2, respectivamente. Em média qual o monitor que gera mais lucro?
12. Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma distribuição
Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento mais
adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de 'magros', enquanto os 25% de
maior peso de 'obesos'. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações.
13. Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série
de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para
completar o teste seja distribuído de acordo com uma Normal de média 90 minutos e desvio
padrão 20 minutos.
a) para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos
fazem o teste, quantos são esperados passar?
b) se os 5% melhores colocados são alocados em aeronaves maiores, quão rápido deve ser o
candidato para que obtenha essa posição?
14. Com base em experiências anteriores, a Companhia Telefônica sabe que 10% das contas dos
seus clientes em uma comunidade são pagas com atraso. Para os itens abaixo, compare a
solução exata com aquela obtida através de aproximação da variável aleatória pela distribuição
Normal.
a) se 20 contas são enviadas em um dia pela Companhia Telefônica, qual é a probabilidade de
que menos do que 3 sejam pagas com atraso?
b) se 150 contas são enviadas mensalmente para a comunidade, encontre a probabilidade de de
17 ou mais sejam pagas com atraso.
15. Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal, em períodos de
seca numa certa região, pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30
mm e variância 16 mm².
a) qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de
probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor?
b) construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de
precipitação pluviométrica.
c) admitindo esse modelo correto para os próximos 50 meses, em quantos deles esperaríamos
uma precipitação pluviométrica superior a 34 mm?
16. A durabilidade média de uma amostra de 100 lâmpadas de certa marca é 1.615 horas. Por
similaridade com outros processos de fabricação, supomos o desvio padrão igual a 120 horas.
Utilizando α = 5%, desejamos testar se a duração média de todas as lâmpadas dessa marca é
igual ou é diferente de 1.600 horas. Qual é a conclusão. Determine a probabilidade do erro tipo II,
se a média fosse 1.620 horas.
17. Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontece e
vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a 0,09
cm². Para testar se a máquina está bem regulada, uma amostra de 100 peças é coletada.
a) formule o problema como um teste de hipóteses
b) qual a região crítica se α = 0,02%
c) se a região de aceitação fosse {x ϵ R І 1,95 ≤ x≥ 2,05 }, qual seria o nível de significância
do teste? Nesse caso, determine a probabilidade do erro tipo II se µ = 1,95.
18. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória
Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km.
a) sea Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que
deverão ser trocados na garantia?
b) o que aconteceria com a proporção do item (a), se a garantia fosse para os primeiros 45.000
km?
c) qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob
garantia no máximo 2% dos pneus?
d) se você comprar 4 pneus Rodabem qual será a probabilidade de que você utilizará a garantia
(45.000 km) para trocar um ou mais destes pneus?
19. O controle estatístico de certo processo estabeleceu que pelo menos 94% dos produtos têm
que estar sem defeitos. Para verificar a validade desta afirmação, foi coletada uma amostra de
150 produtos, obtendo uma proporção sem defeito igual a 92%.
a) com 1% de significância, há evidência de que o processo está em desacordo com o esperado?
b) se o percentual real sem defeito fosse 91%, qual a probabilidade de se tomar uma decisão
errada no item (a)?
c) suponha que se queira identificar, com 95% de probabilidade, a falsidade de H0, quando a
proporção de sem defeito for, na realidade, igual a 93%. Considerando que o teste será realizado
com 1% de significância, qual é o tamanho de amostra necessário?
20. As embalagens de óleo de cozinha devem conter 900 ml de conteúdo líquido. Deseja-se fazer
uma pesquisa com determinada marca para verificar que, em média, o conteúdo líquido não é
menor do que o valor estipulado. Com nível de significância de 5%, qual é o tamanho de amostra
necessário para identificar, com 90% de probabilidade, peso médio inferior a 892% ml? Considere
que já foi realizada uma pesquisa preliminar com 8 unidades, obtendo desvio padrão igual a 10 ml.