Problemas de Geometria e Trigonometria

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Um tenente do Exército está fazendo um
levantamento topográfico da região onde será
realizado um exercício de campo. Ele quer determinar
a largura do rio que corta a região e por isso adotou
os seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A
(uma árvore que ele observou na outra margem) e B
(uma estaca que ele fincou no chão na margem onde
ele se encontra); marcou um ponto C distante 9
metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo
(teodolito) de tal modo que o ângulo no ponto B seja
reto e obteve uma medida de
𝜋
3
rad para o ângulo
𝐴 መ𝐶𝐵. Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
9 3 metros
3 3 metros
9 3
2
metros
3 metros
4,5 metros
Um soldado, sua sombra e a trajetória do Sol estão
em um mesmo plano perpendicular ao solo onde o
soldado se encontra. O soldado está de sentinela
em um quartel quando os raios solares formam
ângulos de 60º e 30º com o solo, respectivamente
no início e no final de sua missão. Nestas
condições, pode-se afirmar que a medida da
sombra do soldado no final de sua missão é:
a metade da medida de sua sombra no início da
missão.
o dobro da medida de sua sombra no início da
missão.
o triplo da medida de sua sombra no início da
missão.
o quádruplo da medida de sua sombra no início
da missão.
um terço da medida de sua sombra no início da
missão.
Em uma das primeiras tentativas de determinar a
medida do raio da Terra, os matemáticos da
antiguidade observavam, do alto de uma torre ou
montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual
se avistava o horizonte, tangente à Terra,
considerada esférica, conforme mostra a figura.
Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função
do ângulo α é dado por:
𝑅 =
𝑠𝑒𝑛(𝛼 ℎ)
1− 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑅 =
ℎ𝑠𝑒𝑛 𝛼
1− 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑅 =
ℎ𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼−1
𝑅 =
1−𝑠𝑒𝑛 𝛼
ℎ𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑅 =
1+𝑠𝑒𝑛 𝛼
ℎ𝑠𝑒𝑛 𝛼
Um topógrafo, querendo conhecer a altura de
um penhasco, mediu a distância do ponto A
até a beira do rio (ponto E), obtendo 20
metros. A largura do rio (EB) é desconhecida.
A figura abaixo mostra os ângulos 𝐵 መ𝐴𝐶 = 30°
e 𝐵 ෠𝐸𝐶 = 60°. Altura do penhasco encontrada
pelo topógrafo foi
15 3 m.
12 3 m.
10 3 m.
20 3 m.
40 3 m.
Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de
um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é
vista por um rato no ponto A, no solo, sob um
ângulo de 30°, conforme mostra figura ao lado. O
rato se desloca em linha reta até o ponto B, de
onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com
o chão e a uma distância BR de medida 6 2
metros.
Com base nessas informações, estando os pontos
A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura
do poste, pode-se afirmar então que a medida do
deslocamento AB do rato, em metros, é um número
entre:
3 e 4
4 e 5
5 e 6
6 e 7
7 e 8
O domínio e a imagem da função
f(x) = 
1
5–𝑠𝑒𝑛𝑥
são, respectivamente:
ℝ – {5} e [–1,1]
ℝ e −
1
5
,
1
4
ℝ e 
1
6
,
1
4
ℝ* e 
1
6
,
1
3
ℝ – {5} e −1,
1
3
Se 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
5
13
e 𝛼 𝜖
𝜋
2
, 𝜋 , então o
valor da tg 𝛼 é igual a:
–
5
12
5
12
12
13
12
5
–
12
13
O produto 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 é positivo,
portanto, x pertence ao
1º ou 2º quadrantes.
1º ou 4º quadrantes.
2º ou 3º quadrantes.
2º ou 4º quadrantes.
3º ou 4º quadrantes.
O valor da expressão 
𝑐𝑜𝑠 15°+cos 75°
𝑠𝑒𝑛 15°
+
𝑠𝑒𝑛 15°+sen 75°
𝑐𝑜𝑠 15°
é igual 
3
4
5
6
7
O cosseno do menor ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio às 14
horas e 30 minutos vale
−
3+1
2
−
2+1
2
1+ 2
4
−
6− 2
4
2+ 3
4
Conforme a figura, a 60 metros do chão
o helicóptero H avista, sob um ângulo 𝛼,
dois alvos, B e C, que serão logo
abatidos.
Se AB = 40 m e BC = 260 m, então 𝛼
mede
15º
30º
45º
60º
75º
O valor de (𝑐𝑜𝑠165° + 𝑠𝑒𝑛155° +
𝑐𝑜𝑠145° − 𝑠𝑒𝑛25° + 𝑐𝑜𝑠35° + 𝑐𝑜𝑠15°)
é
2.
-1.
0.
1.
1
2
.
Murakami costuma levar Lucas, seu filho, á
praça, certo dia, ao observar Lucas brincar no
balanço, Murakami, que é professor de
matemática, resolveu calcular a medida do
comprimento do arco (AB) formado pela
trajetória do balanço do momento em que
descrevia um movimento pendular.
Considerando que o ângulo (AOB), tenha sido
de 30° que a medida da corrente que sustenta
o balanço era de 3 m e que o valor atribuído a
𝜋 foi de 3,14 , então, o comprimento de AB
calculado foi :
1,35 m
1,57 m
1,89 m
2,15 m
2,31 m
Um foguete foi lançado de uma rampa
inclinada e seguiu uma trajetória reta,
enquanto alguns observadores se
posicionavam a 500m do ponto de
lançamento. A distância dos
observadores ao foguete, quando este
tinha percorrido 500m, conforme mostra
a figura ao lado é igual a:
200 m
200 3 m
200 5 m
500 3 m
600 m
A água utilizada em uma fortificação é captada e
bombeada do rio para uma caixa d’água localizada
a 50 m de distância da bomba. A fortificação está a
80 m de distância da caixa d’água e o ângulo
formado pelas direções bomba – caixa d’água e
caixa d’água – fortificação é de 60º, conforme
mostra a figura abaixo. Para bombear água do
mesmo ponto de captação, diretamente para a
fortificação, quantos metros de tubulação são
necessários?
54 metros.
55 metros.
65 metros.
70 metros.
75 metros.
O valor numérico da expressão
𝑠𝑒𝑛
13𝜋
12
∙ 𝑐𝑜𝑠
11𝜋
12
é
1
2
1
3
1
4
1
6
1
8
Na figura ao lado está representado um
trecho do gráfico de uma função real da
forma
𝑦 = 𝑚 · 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) + 𝑘, com 𝑛 > 0.
Os valores de 𝑚,𝑛 e 𝑘 , são,
respectivamente,
3,
𝜋
3
𝑒 − 1.
6,
𝜋
6
𝑒 1.
−3,
𝜋
6
𝑒 1.
−3,
𝜋
3
𝑒 1.
3,
𝜋
6
𝑒 − 1.
Um triângulo tem o lado maior medindo 1
m e dois de seus ângulos são 27º e 63º.
O valor aproximado para o perímetro
desse triângulo, dados 2 = 1,4 e cos18º
= 0,95, é de
1,45 m
2,33 m 
2,47 m
3,35 m
3,45 m
Dadas as funções reais 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) e
𝑔 𝑥 =
1
2
tal que 𝑥 ∈ 0, 2𝜋 . Então, o
número de interseções entre os gráficos
de f e g é:
6
2
1
4
8
A soma das soluções da equação
cos(2x) - cos(x)= 0, com x ∈ [0, 2 𝜋), é
igual a
5𝜋
3
2𝜋
7𝜋
3
𝜋
8𝜋
3
As funções 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑦 = cos 𝑥 estão
representadas no gráfico ao lado. Então, a
medida da área do triângulo retângulo definido
pelos segmentos retilíneos AB, BC e AC é:
𝜋
8
∙ 2 − 2
𝜋
8
𝜋
16
∙ 2 − 2
𝜋 2
16
𝜋
16
∙ 1 − 2
A soma de todas as soluções da
equação
2𝑐𝑜𝑠3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0, 
que estão contidas no intervalo [0, 2𝜋], é
igual a
2𝜋.
3𝜋.
4𝜋.
5𝜋.
6𝜋.