Experimento 3 Espectrometria

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Universidade Federal do ABC
Laboratório de Física 3 - Espectrometria
Bruno Barbosa de Oliveira, Carlos Alberto da Silva Junior,
Luciano Gonsales Caetano, Rodrigo Moura Costa,
Wellington Diego de Ascenção
Santo André, 27 de Abril de 2018
Resumo
Foram feitas medições dos comprimentos de onda, na região do visível, de radiação eletromagnética
emitida pelos átomos de hidrogênio, deutério, hélio e mercúrio utilizando-se o espectroscópio da
Pasco, modelo SP-9268A . Verificou-se os espectros de todos os átomos citados, também foi checada
a validade da série de Balmer para átomos hidrogênicos, determinando-se a constante de Rydberg
para o hidrogênio e Deutério. Ademais, compararam-se os dados obtidos com os dados da literatura
e outras referências e obteve-se uma boa concordância entre eles.
1 Introdução
Os elementos da tabela periódica ao serem expostos a fogo aumentam a energia de seu último
elétron, o que o excita, e faz com que ao decair o mesmo emita um fóton. O mesmo fenômeno
ocorre por excitação dos elétrons da última camada de um elemento em forma de gás confinado em
uma lâmpada sobre uma diferença de potencial [1]. Os comprimentos de onda específicos de cada
transição são uma função da energia de transição da partícula em seus estados vigentes. Essas
ondas a princípio encontram-se confinadas em um mesmo feixe, o qual pode ser difratado para que
sejam vistos separadamente, utilizando-se um espectroscópio. As energias E de estados do átomo
de Hidrogênio podem ser obtidas de forma exata a apartir da equação de Schrödinger [2]. Sendo:
Ĥ |Ψ〉 = E |Ψ〉 (1)
Onde Ĥ, o operador Hamiltoniano, é composto por um termo de partícula livre do elétron em
relação ao núcleo, e por um termo de interação de Coulomb [3]. Sendo P̂ o operador de momento
linear da partícula. Como o interesse é da relação entre elétron e o núcleo, dada a diferença de
massa entre ambos, o interesse é de se estudar especialmente o operador Hamiltoniano do elétron;
Ĥ =
P̂2
2µe
− 1
4π�0
e2
|r|
(2)
A equação de Schrödinger é uma equação de autovalores, onde esse autovalor do autovetor de
estado é a energia. O desenvolvimento da equação resulta no que se segue.Veja Apêndice 4.
En = −
(
µee
4
8�20h
2
)
1
n2
(3)
Sendo µe a massa reduzida do elétron para o átomo de hidrogênio. E do reconhecimento da relação
de Planck, E = hc/λ
1
λn
= −
(
µee
4
8�20ch
3
)
︸ ︷︷ ︸
≡RH
1
n2
(4)
1
Em uma transição a priori não se é possível saber de qual para qual estado ocorreu, entretanto,
sabemos como se dá a variação de energia entre quaisquer estados.
∆E = Ef − Ei = −
(
µee
4
8�20h
2
)(
1
n2f
− 1
n2i
)
(5)
Tomando novamente a relação de Planck.
1
λ
= −RH
(
1
n2f
− 1
n2i
)
(6)
Considerando-se para o átomo de hidrogênio que o estado final é nf = 1 temos a chamada série de
Lyman, já se o estado final é nf = 2, temos a série de Balmer. Como se segue abaixo [1].
• Série de Lyman. Espectro ultravioleta;
1
λ
= −RH
(
1
12
− 1
n2i
)
; n = 2, 3, 4, · · · (7)
• Série de Balmer. Espectro vísível;
1
λ
= −RH
(
1
22
− 1
n2i
)
; n = 3, 4, 5, · · · (8)
• Série de Paschen. Espectro infravermelho;
1
λ
= −RH
(
1
32
− 1
n2i
)
; n = 4, 5, 6, · · · (9)
Modelos similares, com valores diferentes de constantes R podem ser aplicados para átomos
específicos, como por exemplo, He+, Li2+ e Be3+. Esses átomos apresentam somente um elétron,
dessa forma, a equação de Schrödinger ainda pode ser calculada de forma exata, tomando a sepa-
ração entre a Hamiltoniana do centro de massa, e do elétron, onde a constante de Rydberg irá se
alterar, tomando dependência da massa reduzida do elétron em questão, em relação a massa de seu
núcleo. A situação também se repete para o deutério (2H),isótopo do hidrogênio, que apresenta
em seu núcleo próton e um nêutron. Dessa maneira, a dedução presente no Apêndice, secção 4,
torna-se a mesma para o deutério, diferenciando apenas no valor da constante de Rydberg.
R2H =
(
µde
4
8�20h
2
)
Onde µd é a massa reduzida do elétron do deutério.
Já para átomos não hidrogênicos, expressão usada para se determinar átomos com somente um
elétron, a relação já não é válida, uma vez que para a equação de Schödinger deve-se inserir o
termo de interação coulumbiana entre os elétrons do átomo. Para o átomo de Hélio, que constitui-
se de um átomo com dois elétrons orbitando o núcleo, ) modelo de Hartree-Fock pode ser utilizado
para se conseguir seu espectro de energia. O resultado que se obtem, considerando-se a relação de
Planck [4];
1
λ
= −RH
(
Z2 +
(Z + 1)2
n2
)
(10)
Para sistemas com mais de dois elétrons tal aproximação não é válida.
2 Descrição Experimental
2.1 Introdução ao kit experimental
O experimento consistiu no uso do espectrômetro da Pasco, modelo SP-9268A[5]. Este espectrome-
tro constitui-se basicamente de uma mesa rotacionável a qual possui um colimador e um telescópio
presos à ela. Entre o telescópio e colimador há uma mesa com um suporte no qual é possível inserir
um elemento óptico, tal como um prisma ou uma grade de dispersão. O kit fornecido também
2
possui um soquete especial para serem ligadas as lâmpada especiais que possuem gases dos ele-
mentos os quais terão o espectro analisado. Quanto as lâmpadas, estavam disponíveis para uso as
lâmpadas de: Hidrogênio, Hélio, Mercúrio e Deutério.
Figura 1: Representação gráfica simplificada de um espectrômetro. Obtida de [6]
2.2 Calibragem do espectrômetro
Inicialmente é introduzido no soquete a lâmpada com o elemento o qual deseja-se analisar o espectro
e após isto a lampada é ligada. O colimador do espectrômetro é então colocado frente a lâmpada e
alinhado de forma que o filete de luz da lâmpada esteja centralizado e com a máxima intensidade,
conforme a imagem mais à esquerda da Figura 2. Em seguida, é feito o alinhamento do telescópio,
ajustando a posição do telescópio de forma que o feixe fique centralizado, também visto na Figura 2,
na imagem ao centro. Feito isto, é possível ajustar o foco, tanto do telescópio quanto do colimador,
de modo a maximizar a qualidade da imagem observada. Por último, é realizado o alinhamento
da mesa entre o colimador e o telescópio, de modo que a grade de difração fique perpendicular ao
caminho óptico, como é visto na Figura 2, na imagem à direita. Esta última etapa é importante
pois ela torna simples a aplicação da Lei de Difração, descrita pela Equação 11, que será utilizada
para a análise das linhas espectrais. Colocada a grade de difração, faz-se a regulagem da graduação
do ângulo no leitor do espectrômetro, para que o ângulo na posição de alinhamento seja de zero
graus.
Figura 2: Alinhamento do kit. Da esquerda para a direita: Alinhamento da luz com o colimador,
alinhamento do filete com o telescópio devidamente focalizado, foto superior do kit centralizado.
2.3 Procedimento Experimental
Com a calibração, explicada na secção 2.2, realizada, o próximo passo é inserir a grade de difração
desejada (foram disponibilizadas as grades de: 300 linhas/mm e 600 linhas/mm) e obter a variação
do ângulo entre as duas extremidades do feixe de luz central - i.e. a "espessura"da lâmpada
em termos da variação angular do telescópio - esse valor é importante pois é tomado como a
incerteza dos ângulos obtidos para todas as linhas espectrais da lâmpada em análise - os valores de
incerteza determinados, tal como a justificativa, para cada lâmpada estão disponíveis no Apêndice,
na secção Ângulos de dispersão. Talvez seja importante ressaltar que todos os valores de ângulos
3
obtidos foram conseguidos através da movimentação, ou rotação, do telescópio em sentido horário
e, ou, em sentido anti-horário - que eventualmente são denominados simplesmente por "esquerda"e
movimentação "direita", respectivamente. Também é importante se lembrar que com este aparato
somente é verificável o espectro de luz visível de cada elemento.
Após obtido a variação angular descrita anteriormente, tomou-se sequência anotando em uma
tabela a cor de cada faixa observada e seu ângulo correspondente para ambos os lados, esquerdo
e direito.Após a coleta dos ângulos e cores das faixas visíveis das séries do espectro visível, a
lâmpada em análise é trocada por outra de interesse e todo o processo, desde a calibração, é
repetido, até que todas as lâmpada de interesse fossem analisadas.
É importante explicitar que devido às condições experimentais, tal como luz de fundo no ambiente,
não é possível verificar todas as faixas disponíveis no espectro visível dos elementos analisados. No
entanto, foi feito o máximo de esforço para obter a maior quantidade de faixas possíveis para
cada elemento. Abaixo seguem imagens com a superposição da câmera do celular com a grade de
difração, obtendo fotos dos espectros dos elementos analisados.
Figura 3: Espectro de emissão do Hidrogênio visualizado através de uma grade de difração de 600
linhas/mm. A "linha"no extremo esquerdo da imagem é, na verdade, a fonte de luz (a lâmpada
que contém gás hidrogênio).
Figura 4: Espectro de emissão do Hélio visualizado através de uma grade de difração de 600
linhas/mm. A "linha"no extremo direito da imagem é, na verdade, a fonte de luz (a lâmpada que
contém gás hélio).
Figura 5: Espectro de emissão do Mercúrio visualizado através de uma grade de difração de 600
linhas/mm. A "linha"no extremo direito da imagem é, na verdade, a fonte de luz (a lâmpada que
contém gás mercúrio).
3 Resultados de medições, cálculos e análise de dados
Todos os gráficos gerados nas Subsecções seguintes foram plotados a partir do Software de licença
livre SciDavis, um acrônimo para Scientific Data Analysis and Visualization.
4
3.1 Resultados de medições
Devido à extensa quantidade de valores obtidos através das medições, todos os valores obtidos
experimentalmente, juntos com suas respectivas incertezas, estão disponíveis no Apêndice, na
secção Ângulos de dispersão. Para a presente secção foi deixado uma síntese dos valores obtidos:
uma tabela, Tabela 1, que mostra a média dos ângulos obtidos experimentalmente para cada faixa
(recorde-se de que cada faixa possuía dois ângulos obteníveis, um para a direção "esquerda"e um
para a direção "direita") para cada lâmpada, com a incerteza calculada através de métodos de
propagação de erro, que estão disponíveis no Apêndice, na secção Propagação de incertezas.
Tabela 1: Média dos dois ângulos obtidos para cada linha espectral
de cada configuração de lâmpada
Linha Espectral Média dos Ângulos, em grausHidrogênio Hélio Mercúrio Deutério
1 7,8 ± 0,2 16,2 ± 0,2 14,4 ± 0,2 15,2 ± 0,2
2 8,3 ± 0,2 16,6 ± 0,2 18,8 ± 0,2 17,2 ± 0,2
3 11,3 ± 0,2 17,1 ± 0,2 19,9 ± 0,2 23,3 ± 0,2
4 14,8 ± 0,2 17,4 ± 0,2 30,8 ± 0,2 31,5 ± 0,2
5 16,8 ± 0,2 21,3 ± 0,2 40,1 ± 0,2 36,3 ± 0,2
6 22,8 ± 0,2 23,4 ± 0,2 - -
7 26,3 ± 0,2 44,5 ± 0,2 - -
8 35,7 ± 0,2 - - -
3.2 Determinação dos comprimentos de onda das faixas espectrais ob-
servadas e comparação com os valores obtidos de várias referências
Utilizando a Lei da Difração, também conhecida como Lei de Bragg [7], é possível determinar o
comprimento de onda da faixa espectral observada pois a equação que descreve o fenômeno estu-
dado, Equação 11, depende apenas do ângulo de incidência do raio luminoso, que é o mesmo ângulo
obtido experimentalmente, da distância entre as linhas da grade de difração e da ordem de difração.
λ =
a sin θ
m
(11)
Onde:
a : Distância entre as linhas da grade de difração utilizada;
m : Ordem de difração.
Os comprimentos de onda calculados para cada uma das linhas espectrais observadas para cada
uma das lâmpadas estão disponíveis, mais adiante, nas tabelas: Tabela 2, para o Hidrogênio; Ta-
bela 3, para o Hélio; Tabela 4, para o Mercúrio; e, Tabela 5, para o Deutério. O comprimento de
onda calculado é visto nas tabelas citadas como o valor de λexp. Enfatizamos que foram utilizados
a Equação 11 e os valores das médias dos ângulos, disponíveis na Tabela 1, para calcular os com-
primentos de ondas. Os cálculos para as incertezas associadas aos comprimentos de onda estão
disponíveis no Apêndice, na secção Propagação de incertezas.
Ademais à determinação do comprimento de onda, os valores obtidos foram comparados com va-
lores obtidos da literatura e de experimentos realizados em equipamentos mais precisos. Todas as
referências, de onde os valores comparativos foram obtidos, estão referenciados em cada uma das
subsecções adiante.
Essa abordagem foi utilizada pois o único elemento que possuí um espectro determinável empirica-
mente é o Hidrogênio (vide a secção 1). Para os outros elementos, comparamos os comprimentos
de ondas obtidos para cada uma das linhas espectrais, λexp, com os valores, λref , obtidos de outras
referências que analisaram o mesmo espectro estudado. Como não é possível saber com exatidão
se o valor escolhido para λref pertence a mesma linha espectral a qual pertence λexp, pois os espec-
tros analisados pelas referências escolhidas são mais completos e mais precisos e, principalmente,
5
realizados com equipamentos diferentes, limitamos a escolha de valores de λref primeiramente para
as linhas espectrais de maior intensidade luminosa e, posteriormente, escolhemos mostrar somente
o valor de λref com menor erro relativo quando comparado à λexp. Os valores de λref e do erro
relativo estão disponíveis nas mesmas tabelas onde se encontra os valores de λexp para cada linha
espectral de cada elemento analisado (Tabela 2, Tabela 3, Tabela 4 e Tabela 5).
3.2.1 Análise do espectro observado do Hidrogênio
A seguir, a Tabela 2 mostra os valores de comprimento de onda, λexp, calculados para as médias
dos ângulos de cada uma das linhas espectrais observadas e também os valores de λref , obtidos de
[8], para as linhas correspondentes, assim como o erro relativo entre os valores de λexp e λref . A
Figura 6 mostra o espectro visível completo do Hidrogênio.
Tabela 2: Comprimentos de onda, λexp, calculados para as faixas
observadas do espectro do hidrogênio e seu erro relativo em relação
aos comprimentos de onda, λref , encontrados em [8]
Ordem de difração Ângulo Médio, em graus λexp [nm] λref [nm] Erro relativo
1
7,8 ± 0,2 452 ± 12 434,0 ± 0,1 4,1 %
8,3 ± 0,2 481 ± 12 485,8 ± 0,1 1,0 %
11,3 ± 0,2 653 ± 11 656,3 ± 0,1 0,5 %
2
14,8 ± 0,2 426 ± 6 410,1 ± 0,1 3,9 %
16,8 ± 0,2 482 ± 6 485,8 ± 0,1 0,8 %
22,8 ± 0,2 646 ± 5 656,3 ± 0,1 1,6 %
3 26,3 ± 0,2 492 ± 3 485,8 ± 0,1 1,3 %35,7 ± 0,2 648 ± 3 656,3 ± 0,1 1,3 %
Figura 6: Espectro visível do Hidrogênio. Obtido de [9]
3.2.2 Análise do espectro observado do Hélio
A seguir, a Tabela 3 mostra os valores de comprimento de onda, λexp, calculados para as médias
dos ângulos de cada uma das linhas espectrais observadas e também os valores de λref , obtidos
de [10] e [11], para as linhas correspondentes, assim como o erro relativo entre os valores de λexp
e λref . A Figura 7 mostra o espectro visível completo do Hélio.
Tabela 3: Comprimentos de onda, λexp, calculados para as faixas
observadas do espectro do hélio e seu erro relativo em relação aos
comprimentos de onda, λref , encontrados em [10] e [11]
Ordem de difração Ângulo Médio, em graus λexp [nm] λref [nm] Erro relativo
1
16,2 ± 0,2 465 ± 6 447,1 ± 0,1 4,0 %
16,6 ± 0,2 476 ± 6 471,3 ± 0,1 1,0 %
17,1 ± 0,2 490 ± 6 492,2 ± 0,1 0,4 %
17,4 ± 0,2 498 ± 6 501,6 ± 0,1 0,7 %
21,3 ± 0,2 605 ± 5 587,6 ± 0,1 3,0 %
23,4 ± 0,2 662 ± 5 667,8 ± 0,1 0,9 %
2 44,5 ± 0,2 584 ± 2 587,6 ± 0,1 0,6 %
6
Figura 7: Espectro visível do Hélio. Obtido de [9]
3.2.3 Análise do espectro observado do Mercúrio
A seguir, a Tabela 4 mostra os valores de comprimento de onda, λexp, calculados para as médias
dos ângulos de cada uma das linhas espectrais observadas e também os valores de λref , obtidos
de [10] e [12], para as linhas correspondentes, assim como o erro relativo entre os valores de λexp
e λref . A Figura 8 mostra o espectro visível completo do Mercúrio.
Tabela 4: Comprimentos de onda, λexp, calculados para as faixas
observadas do espectro do mercúrio e seu erro relativo em relação
aos comprimentos de onda, λref , encontrados em [10] e [12]
Ordem de difração Ângulo Médio, em graus λexp [nm] λref [nm] Erro relativo1
14,4 ± 0,2 414 ± 6 435,8 ± 0,1 5,0 %
18,8 ± 0,2 537 ± 6 546,1 ± 0,1 1,7 %
19,9 ± 0,2 567 ± 5 578,0 ± 0,1 1,9 %
2 30,8 ± 0,2 427 ± 2 435,8 ± 0,1 2,0 %40,1 ± 0,2 537 ± 2 546,1 ± 0,1 1,7 %
Figura 8: Espectro visível do Mercúrio. Obtido de [9]
3.2.4 Análise do espectro observado do Deutério
A seguir, a Tabela 5 mostra os valores de comprimento de onda, λexp, calculados para as médias
dos ângulos de cada uma das linhas espectrais observadas e também os valores de λref , obtidos
de [13] e [14], para as linhas correspondentes, assim como o erro relativo entre os valores de λexp
e λref .
Tabela 5: Comprimentos de onda, λexp, calculados para as faixas
observadas do espectro do deutério e seu erro relativo em relação
aos comprimentos de onda, λref , encontrados em [13] e [14]
Ordem de difração Ângulo Médio, em graus λexp [nm] λref [nm] Erro relativo
1
15,2 ± 0,2 437 ± 6 435,8 ± 0,1 0,7 %
17,2 ± 0,2 493 ± 6 546,1 ± 0,1 1,4 %
23,3 ± 0,2 659 ± 5 578,0 ± 0,1 0,5 %
2 31,5 ± 0,2 435 ± 2 435,8 ± 0,1 0,2 %36,3 ± 0,2 493 ± 2 546,1 ± 0,1 1,4 %
7
3.3 Determinação da Constante de Rydberg para o átomo de Hidrogênio
O poderio da equação 1 nos faz necessário o conhecimento do valor do comprimento de onda
de cada um dos específicos espectros de energia. Tal fato é possível de ser determinado com o
conhecimento da relação de incidência de luz sobre uma rede de difração colocada de forma normal
ao feixe incidente, cada onda é difratada de forma tal que siga a relação abaixo, a qual detalhes de
sua dedução podem ser verificados em [7].
Figura 9: Gráfico para a determinação da constate de Rydberg para a primeira ordem de difração
do átomo de Hidrogênio
Para o gráfico apresentado acima, a relação linear alcançada é regida pela seguinte equação.
1
λ
= [(0, 00936± 0, 00089)x+ (0, 00069± 0, 00017)]× [109Hz] (12)
8
Figura 10: Gráfico para a determinação da constate de Rydberg para a segunda ordem de difração
do átomo de Hidrogênio
Agora, para o segunda ordem de difração gráfico característico é refido pela equação abaixo.
1
λ
= [(0, 01007± 0, 00030)x+ 0, 000155± 0, 000052)]× [109Hz] (13)
9
Figura 11: Gráfico para a determinação da constate de Rydberg para a terceira ordem de difração
do átomo de Hidrogênio
Para a terceira ordem de difração, segue-se a o equação da reta abaixo;
1
λ
= [(0, 00929± 0, 00039)x+ 0, 000287± 0, 000083)]× [109Hz] (14)
Os três coeficientes angulares das três retas referentes ao hidrogênio são a constante de Rydberg
para o hidrogênio. A média da constante é obtido, e vale.
RHm = (9, 57± 0, 53)× [106Hz] (15)
O valor teórico para o Átomo de Hidrogênio tem valor RH = 10, 967× 106Hz
O desvio obtido do valor teórico foi de ≈ 12%
3.4 Determinação da Constante de Rydberg para o átomo de Deutério
Com os dados coletados, o gráfico abaixo foi plotado, de forma que obtivemos uma reta de regressão
linear;
10
Figura 12: Gráfico para a determinação da constate de Rydberg para a primeira ordem de difração
do átomo de Deutério
O gráfico obtido para o Deutério segue a seguinte equação;
1
λ
= [(0, 01089± 0, 00024)x+ (−0, 0000015± 0, 000047)]× [109Hz] (16)
Dessa forma, a constante de Rydberg para o Deutério é determinada, valendo;
R2H = (1, 089± 0, 024)× [107Hz] (17)
O valor teórico da Constante de Rydberg para o Deutério vale 10, 9707 × 106Hz. O desvio
obtido para o deutério foi de ≈ 0, 75%
4 Discussão final e conclusões
Para a primeira etapa da análise, onde foi verificado o espectro dos elementos, foi possível ver que
o espectro obtido para os elementos analisados condiz com o espectro esperado para cada um deles,
ao menos de acordo com as referências consultadas, pois os erros relativos são pequenos, principal-
mente levando em consideração a ordem de grandeza dos valores analisados. Especialmente para
o Hidrogênio, foi possível verificar completamente o espectro de emissão visível e compará-lo com
os valores disponíveis na literatura, i.e. os valores da Série de Balmer. Foi possível portante se
afirmar que o espectro de emissão obtido é o mesmo espectro da Série.
Já para a determinação da constante de Rydberg, para o átomo de hidrogênio houve um consi-
derável desvio em relação ao seu valor teórico, em torno na ordem de 10%, tal desvio pode ter
vindo de alinhamento errado da grade de difração com o colimador, porém para o deutério o valor
foi expressivamente mais preciso, com um desvio em relação a literatura de menos de 1%, valores
muito satisfatórios.
11
Referências
[1] Ralph Llewellyn Paul Tipler. Modern Physics, 6th Edition. 2013.
[2] Michel Le Bellac. Quantum physics. Cambridge University Press, 2006.
[3] Laloe F. Cohen-Tannoudji C., Diu B. Quantum mechanics, volume 1. 1996.
[4] Laloe F. Cohen-Tannoudji C., Diu B. Quantum Mechanics, volume 2. 1996.
[5] PASCO. Student spectrometer. https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_
Manuals/Student-Spectrometer-Manual-SP-9268A.pdf.
[6] Prof. Frank Ferrone. Overhead view of spectrometer. http://www.pages.drexel.edu/
~ferronfa/LABWavelengthOfLight.pdf.
[7] Hecht E. Optics. AW, 4 edition, 2002.
[8] Jearl Walker Robert Resnick, David Halliday. Fundamentos de Física 4. LTC, 5 edition, 2004.
[9] Dr. Alan J. Jircitano. Periodic table of elements. http://chemistry.bd.psu.edu/
jircitano/periodic4.html.
[10] Prof. Carl Rod Nave. Atomic spectra. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/
quantum/atspect.html.
[11] Gonzaga University. Hydrogen and helium spectra. http://www.phy.gonzaga.edu/
downloads/phys102L/H&HeSpectra.pdf.
[12] National Institute of Standards and Technology. Basic atomic spectroscopic data. https:
//physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/mercurytable2.htm.
[13] Desconhecido. Calculated values of wavelengths for hydrogen and deuterium in vacuum and
air. https://lexieslogofphysics.files.wordpress.com/2013/05/3calculatedd.jpg.
[14] Dr. Jeffrey R. Miller. The visible spectrum of hydrogen vs. deuterium. http://myslu.stlawu.
edu/~jmil/physics/legacy/student_projects/2001/fiacco.shtml.
[15] J B Barcelos. Matemática para Físicos com Aplicações, volume 2. Livraria da Física, first
edition, 2011.
[16] J. H. VUOLO. Fundamentos da teoria dos erros. Blucher, 2◦ edition, 1996.
12
https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_Manuals/Student-Spectrometer-Manual-SP-9268A.pdf
https://www.pasco.com/file_downloads/Downloads_Manuals/Student-Spectrometer-Manual-SP-9268A.pdf
http://www.pages.drexel.edu/~ferronfa/LABWavelengthOfLight.pdf
http://www.pages.drexel.edu/~ferronfa/LABWavelengthOfLight.pdf
http://chemistry.bd.psu.edu/jircitano/periodic4.html
http://chemistry.bd.psu.edu/jircitano/periodic4.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/atspect.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/atspect.html
http://www.phy.gonzaga.edu/downloads/phys102L/H&HeSpectra.pdf
http://www.phy.gonzaga.edu/downloads/phys102L/H&HeSpectra.pdf
https://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/mercurytable2.htm
https://physics.nist.gov/PhysRefData/Handbook/Tables/mercurytable2.htm
https://lexieslogofphysics.files.wordpress.com/2013/05/3calculatedd.jpg
http://myslu.stlawu.edu/~jmil/physics/legacy/student_projects/2001/fiacco.shtml
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Apêndice
Átomo de hidrogênio
A equação de Schrödinger é definida como se segue [2]
Ĥ |Ψ〉 = E |Ψ〉
Para o átomo de hidrogênio, o operador Hamiltoniado tem dependência do próton e do elétron,
onda a relação obtida é [2];
Ĥ = Ĥp ⊗ Ĥe
Sendo a intereção entre o próton e o elétron uma interação de Coulomb.
Ĥ =
1
2mp
P̂2p +
1
2me
P̂2e −
1
4π�0
e2
|rp − re|︸ ︷︷ ︸
≡|r|
Uma boa forma de se continuar os cálculos é mudando as coordenadas de coordenadas do elétron e
próton, para coordenadas do centro de massa e coordenadas relativas do elétron em relação a esse
centro de massa. Nessa relação, obtemos:
Ĥ =
1
2mt
P̂2cm +
1
2µe
P̂2rel −
1
4π�0
e2
|r|
Como o interesse está dentro da interação do elétron com o núcleo o operador Hamiltoniano
referente a centro de massa do sistema torna-senão importante. Definindo P̂2rel ≡ P̂2
Ĥ =
1
2µe
P̂2 − 1
4π�0
e2
|r|
E sendo P̂ = −ih̄∇, o Hamiltoniano pode ser Reescrito.
Ĥ = − h̄
2
2µe
∇2 − 1
4π�0
e2
r
E chegamos a seguinte expressão.
− h̄
2
2µe
∇2Ψ− 1
4π�0
e2
r
Ψ = EΨ
Dada a simetria esférica do problema;
− h̄
2
2µe
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂Ψ
∂r
)
− h̄
2
2µe
1
r2
[
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2
∂φ2
]
︸ ︷︷ ︸
≡L̂2
Ψ = EΨ
Sendo Ψ = Ψ(r) = Ψ(r, θ, φ) e tomando a separação de variáveis de forma a obtermosR(r)Ylm(θ, φ),
com o conhecimento de que L̂2Ylm = l(l + 1)Ylm e reorganizando os termos [2];
1
r2
d
dr
(
r2
dRnl
dr
)
+
2µe
h̄2
[
Enl −
(
h̄2l(l + 1)
2µer2
− 1
4π�0
e2
r
)]
Rnl
A EDP se resume na resolução da seguinte EDO.
d2Rnl
dr2
+
2
r
dR
dr
+
2µe
h2
(
Enl −
h̄2l(l + 1)
2µer2
+
1
4π�0
e2
r
)
Rnl = 0
Tomando a coordenada ρ, que se relaciona com r pela relação:
ρ = αr =
√
8µe|E|
h̄2
r
13
A relação acima só é válida para estados ligados do átomo de hidrogênio, onde E = −|E|. Com
isso, a EDO pode ser escrita então como;
d2Rnl
dρ2
+
2
ρ
dRnl
dρ
− l(l + 1)Rnl
ρ2
+
(
n
ρ
− 1
4
)
Rnl
Sendo n = e
2
4π�0h̄
√
me
2|E| . Essa equação diferencial ordinária pode ser resolvida usando-se o método
de frobenius [15]. A análise das condições de recorrência obtemos com isso que n deve ser um
inteiro, com a condição que se segue abaixo sendo válida então.
n2 =
(
e2
4π�0h̄
)2
µe
2|E|
⇒ En = −
(
k2µee
4
2h̄2
)
1
n2
= −
(
µee
4
8�20h
2
)
1
n2
São essas as energias do átomo de Bohr. Conhecendo-se a fórmula de Planck;
En =
hc
λn
= −
(
µee
4
8�20h
2
)
1
n2
Chegamos as relações do espectro do átomo de hidrogênio.
1
λn
= −
(
µee
4
8�20ch
3
)
︸ ︷︷ ︸
≡RH
1
n2
Sendo RH a constante de Rydberg para o hidrogênio.
Propagação de incertezas
Para uma função de forma f = f(x, y, z, ...), com variáveis independentes, a propagação de incer-
tezas é dada pela seguinte expressão geral [16]
σ =
√(
∂f
∂x
)2
σ2x +
(
∂f
∂y
)2
σ2y +
(
∂f
∂z
)2
σ2z + ... (18)
Incerteza do valor da média de dois ângulos
σθ =
√(
∂θ
∂θ1
)2
σ2θ +
(
∂θ
∂θ2
)2
σ2θ =
σθ√
2
Incerteza do valor do comprimento de onda
σλ =
√(
∂(a/m)× sin θ
∂θ
)2
σ2
θ
=
a
m
× cos θσθ =
a
m
σsin θ
Ângulos de dispersão
Nesta secção está disponível os valores de ângulos obtidos experimentalmente para cada linha
espectral, para cada direção, de cada lâmpada utilizada - vide tabelas: Tabela 7, Tabela 8, Tabela
9 e Tabela 10. A Tabela 6 mostra a variação angular referente a "espessura"da faixa central de
cada lâmpada utilizada. Estes valores, da Tabela 6, foram utilizados como incerteza dos ângulos
de cada linha espectral obtida, de forma que a incerteza da linha espectral, i, da lâmpada, X,
seja: σXi ≡ ±(θesq + θdir)/2, sendo θesq a variação angular para o lado esquerdo e θdir a variação
angular para o lado direito. A incerteza dos valores de θesq e θdir é tomada como a metade do
menor valor mensurável pela escala de medição do espectroscópio.
14
Tabela 6: Variação angular da faixa central obtida para cada lâm-
pada
θesq, em Graus Lâmpada e Grade θdir, em Graus |σXi |
0,217 ± 0,008 Hidrogênio (300 linhas/mm) 0,150 ± 0,008 0,2
0,200 ± 0,008 Hélio (600 linhas/mm) 0,150 ± 0,008 0,2
0,183 ± 0,008 Mercúrio (600 linhas/mm) 0,167 ± 0,008 0,2
0,150 ± 0,008 Deutério (600 linhas/mm) 0,167 ± 0,008 0,2
Tabela 7: Dados experimentais obtidos para a lâmpada de Hidro-
gênio utilizando a grade de difração de 300 linhas/mm
Lâmpada de Hidrogênio - Grade de 300 linhas/mm
Ângulo para o lado esquerdo, em Graus Cor observada Ângulo para o lado direito, em Graus
7,7 ± 0,2 Azul 8,0 ± 0,2
8,2 ± 0,2 Ciano 8,3 ± 0,2
11,4 ± 0,2 Vermelho 11,2 ± 0,2
14,5 ± 0,2 Violeta 15,0 ± 0,2
16,8 ± 0,2 Ciano 16,7 ± 0,2
22,7 ± 0,2 Vermelho 22,8 ± 0,2
26,5 ± 0,2 Ciano 26,1 ± 0,2
35,7 ± 0,2 Vermelho 35,6 ± 0,2
Tabela 8: Dados experimentais obtidos para a lâmpada de Hélio
utilizando a grade de difração de 600 linhas/mm
Lâmpada de Hélio - Grade de 600 linhas/mm
Ângulo para o lado esquerdo, em Graus Cor observada Ângulo para o lado direito, em Graus
16,1 ± 0,2 Azul-Violeta 16,3 ± 0,2
16,2 ± 0,2 Azul 16,9 ± 0,2
17,1 ± 0,2 Ciano 17,1 ± 0,2
17,4 ± 0,2 Ciano 17,3 ± 0,2
21,3 ± 0,2 Amarelo 21,4 ± 0,2
23,5 ± 0,2 Vermelho 23,3 ± 0,2
44,8 ± 0,2 Amarelo 44,2 ± 0,2
Tabela 9: Dados experimentais obtidos para a lâmpada de Mercúrio
utilizando a grade de difração de 600 linhas/mm
Lâmpada de Mercúrio - Grade de 600 linhas/mm
Ângulo para o lado esquerdo, em Graus Cor observada Ângulo para o lado direito, em Graus
14,4 ± 0,2 Violeta 14,5 ± 0,2
18,7 ± 0,2 Verde 18,9 ± 0,2
19,8 ± 0,2 Amarelo 19,9 ± 0,2
30,8 ± 0,2 Violeta 30,9 ± 0,2
40,1 ± 0,2 Verde 40,1 ± 0,2
15
Tabela 10: Dados experimentais obtidos para a lâmpada de Deu-
tério utilizando a grade de difração de 600 linhas/mm
Lâmpada de Deutério - Grade de 600 linhas/mm
Ângulo para o lado esquerdo, em Graus Cor observada Ângulo para o lado direito, em Graus
15,2 ± 0,2 Violeta 15,2 ± 0,2
17,1 ± 0,2 Ciano 17,3 ± 0,2
23,5 ± 0,2 Vermelho 23,2 ± 0,2
31,7 ± 0,2 Violeta 31,3 ± 0,2
36,3 ± 0,2 Ciano 36,4 ± 0,2
16
	Introdução
	Descrição Experimental
	Introdução ao kit experimental
	Calibragem do espectrômetro
	Procedimento Experimental
	Resultados de medições, cálculos e análise de dados
	Resultados de medições
	Determinação dos comprimentos de onda das faixas espectrais observadas e comparação com os valores obtidos de várias referências
	Análise do espectro observado do Hidrogênio
	Análise do espectro observado do Hélio
	Análise do espectro observado do Mercúrio
	Análise do espectro observado do Deutério
	Determinação da Constante de Rydberg para o átomo de Hidrogênio
	Determinação da Constante de Rydberg para o átomo de Deutério
	Discussão final e conclusões