Prova 3 Mecânica - Prof. Samir UFRGS

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AVALIAÇÃO 3
Enunciado e Resolução
Exercício 1
0=tUma partícula inicia seu movimento circular em no ponto A com velocidade angular inicial .
Ao longo de sua trajetória circular de raio , a velocidade angular é definida a cada instante por:
0ω
( )tω t
0( ) 2 rad/st tω ω= −
1- Determinar as expressões do ângulo e da aceleração angular no instante .( )tα( )tθ t
2- A velocidade angular a partícula se anula no instante . Determinar o número total de 
revoluções efetuadas pela partícula entre o instante inicial e .
0 ( ) 0
2f f
t t
ω ω= → =
3- Determinar as componentes normal e tangencial da aceleração neste instante .( )n fa t ( )t fa t
DB
× A
0 , 0θ= =t
P( )t
Posição em t
( )θ t
O
R
0
2f
t
ω=
R
Os dados deste exercício, indicados para cada aluno no 
arquivo Dados3_1.pdf , é: 
(O valor de é fixo para cada grupo)
0
2f
t
ω=
R
0ω
0=t
Exercício 1 – Resolução
1- As expressões do ângulo e da aceleração angular no instante são:( )tα( )tθ t
2Aceleração angular: ( ) 2 rad/s
d
t
dt
ωα = = −
2
00
Coordenada angular: ( ) ( )
td
t t dt t t
dt
θω θ ω ω= → = = − +∫
2- O número total de revoluções efetuadas pela partícula entre o instante inicial e é:0=t 0
2f
t
ω=
2 2
0 0
( )
Número total de revoluções: n
2 2 8
f f ft t tθ ω ω
π π π
− +
= = =
3- As componentes normal e tangencial da aceleração neste instante são:0
2f
t
ω=
2
aceleração tangencial 2 
 ( ) 0
aceleração normal ( ) 0 
t
f
n f
a R R
t
a R t
α
ω
ω
→ = = −= ⇒  → = =
Exercício 2
2 m/s
B
v i=
��
x
z
y
O
Os dados deste exercício, indicados para cada aluno no arquivo Dados3_1.pdf , são:
Considera-se a estrutura formada pelas barras OA e AB (O é um ponto fixo). As duas barras têm o mesmo cumprimento 
. No instante considerado, a estrutura está na configuração mostrada na figura e a velocidade do ponto B 
vale . Determine as velocidades angulares e das barra AO e AB, assim como a velocidade 
do ponto A neste instante.
A
⊙
v
B
2 m/s
B
v =
OA
ω�
AB
ω�
α
,L,L,L,Lαααα
A
v
�
OA AB L= =
OA AB L= =
Exercício 2 – Resolução
• Estudo do movimento da barra OA
rotação em torno do eixo Oz com velocidade angular OA OA
A OA
k
v OA
ω ω
ω
→ = −
⇒ = ×
��
������
( )L senOA 0 0 L cos sen
L cos
L sen L cos 0
A AB OA
i j k
 v i j
α
ω ω α α
α
α α
⇒ = − = −
�� �
���� � ��
• Estudo do movimento da barra AB
movimento plano geral (translação + rotação) com velocidade angular 
 é algébrico pode ser 0 ou 0
AB AB
AB AB AB
B A AB
k
v v AB
ω ω
ω ω ω
ω
→ =
→ > <
⇒ = + ×
��
������ �
( ) ( )L 0 0 2 L cos sen L 2 L cos L L sen
0
L 0 0
B A AB OA AB OA AB OA
i j k
AB v v i i j j i i jω ω α α ω ω α ω ω α⇒ = + ⇒ = − + ⇒ = + −
�� �
���� � � � � � � �� �
2
2 L cos L cos
rad/s
0 L L sen 2
tan
L
OA
OA
AB OA
AB
ωω α α
ω ω α
ω α
 == 
⇒ ⇒ = −  =

( )2 tan m/sAv i jα→ = −
� ��
Determine a força TA que deve ser aplicada ao cabo em A para conferir ao bloco B de massa mB uma aceleração 
para cima de .
Assume-se que o cabo não desliza sobre a superfície do disco de massa mD . O disco de massa mD e raio , 
é sustentado por meio de um pino em seu centro G e é livre para girar. 
Indicações: (i) O momento de inércia de massa de um disco, de massa m e raio R, em relação a um eixo 
perpendicular que passe pelo seu baricentro é .
(ii) Considere uma aceleração da gravidade de g = 10 m/s2.
Exercício 3
20,5 m/s
B
a j=
��
Os dados deste exercício, indicados para cada aluno no arquivo Dados3_1.pdf , são: mB , mD
0,2 mR =
21
2G
I m R=
TA
B
A
R=0,2 m
x
⊙
z
y
O
G
R
20,5 m/s
B
a =
Exercício 3 – Resolução
• Equações da dinâmica para o bloco B
x
⊙z
y
BG ×
TB
B
G ×
diagrama de corpo livre
 diagrama cinético
 (Translação vertical)
B Bm a
≡≡≡≡
B
0,5ext B G B
G G
F m a m j
M I kα
 = =

=
∑
∑
� ��
��
0
0,5
0
x
y B
G
F
F m
M
 =

⇒ =
 =
∑
∑
∑
Equações da dinâmica 
(Lei fundamental)
0 0
0,5
0 0
B B BT P m
=

⇒ − =
 =
PB = mB g
( )0,5 0,5 10,5B B B B BT P m m g m⇒ = + = + =
20,5 m/s
G B
a a j= =
�� �
• Equações da dinâmica para o disco
DB
0,2 mR =
HP ×
D
G
Rx
Ry
PD = mD g
TA DB
0,2 mR =
D
G
GIα
α
≡≡≡≡ x
⊙z
y
 diagrama cinético
(Rotação em torno do eixo Gz)diagrama de corpo livre
0Ga =
�
20,5 com 2,5 rad/s
0,2
Bak
R
α α α= = = =
��
×
TB
2 2 21 1 0,2 0,02 kgm
2 2G D D D
I m R m m= = × =
ext D G
G G
F m a
M I kα
 =

=
∑
∑
� �
��
0
0
x
y
G G
F
F
M Iα
 =

⇒ =
 =
∑
∑
∑
Equações da dinâmica 
(Lei fundamental)
B
0x
y D A
A B G
R
R m g T T
T R T R Iα
 =

⇒ = + +
 × − × =
B
0
/ 2,5 0,02 / 0,2 0,25
x
y D A
A B G D D
R
R m g T T
T T I R m mα
 =

⇒ = + +
 − = = × =
( )0,25 0,25 0,5A D B D BT m T m m g⇒ = + = + +
0,25 10,5A D BT m m⇒ = +