Geometria Analitica Plana

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GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 
 
PROF. FERNANDO HENRIQUE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Direitos Autorais Reservados 
É proibida a reprodução total ou parcial desta apostila sem autorização do autor
 
y 
B’(0,-b) 
M(x,y) 
x 
A’(-a,0)
 
A(a,0)
 
B(0,b)
F’(-c,0) F(c,0) 
a
 
b
 
c
 
a
y 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 2 
 
 
Ao Aluno, 
 
 
 
Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar o 
acompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria 
Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de 
um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades 
matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a 
lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras 
bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala 
de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação desta 
fantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica. 
 
 
 
 
 
 
“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para 
o estudo desta disciplina.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte, julho de 2009. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 3 
 
Introdução O que é Geometria Analítica....................................................................... 4 
Capítulo 1 Espaços dimensionais; Sistemas de referência; Sistema de 
coordenadas retangulares.......................................................................... 4 
1.1 Espaços dimensionais................................................................................... 4 
1.2 Sistemas de referência para R²..................................................................... 5 
1.3 O sistema de coordenadas retangulares....................................................... 6 
Capítulo 2 Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio................... 8 
2.1 Distância entre dois pontos............................................................................ 8 
2.2 Coordenadas do ponto médio........................................................................ 10 
2.3 Exercícios propostos...................................................................................... 13 
Capítulo 3 Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de 
retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; 
Distância entre ponto e reta........................................................................ 15 
3.1 Retas em R²................................................................................................... 15 
3.2 Coeficiente angular........................................................................................ 15 
3.2.1 Coeficiente angular através de dois pontos................................................... 18 
3.3 Equações da reta........................................................................................... 21 
3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.................................................. 21 
3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular....................................... 22 
3.3.3 Equação reduzida.......................................................................................... 23 
3.3.4 Equação segmentária.................................................................................... 23 
3.3.5 Equação geral................................................................................................ 24 
3.4 Interseção de retas......................................................................................... 26 
3.5 Paralelismo..................................................................................................... 27 
3.6 Perpendicularismo.......................................................................................... 27 
3.7 Ângulo entre duas retas................................................................................. 29 
3.8 Distância entre ponto e reta........................................................................... 30 
3.9 Exercícios propostos...................................................................................... 32 
Capítulo 4 Circunferência.............................................................................................. 35 
4.1 Definição........................................................................................................ 35 
4.2 Equação da circunferência............................................................................ 36 
4.3 Equação geral da circunferência................................................................... 37 
4.4 Identificando o centro e o raio na equação geral da circunferência............... 38 
4.5 Exercícios propostos...................................................................................... 40 
Capítulo 5 As Seções Cônicas...................................................................................... 42 
5.1 Elipse.............................................................................................................. 43 
5.1.1 Elementos da elipse....................................................................................... 43 
5.1.2 Equação reduzida da elipse........................................................................... 45 
5.1.3 Equações reduzidas genéricas da elipse....................................................... 46 
5.1.4 Excentricidade................................................................................................ 48 
5.1.5 Exercícios propostos...................................................................................... 50 
5.2 Hipérbole........................................................................................................ 52 
5.2.1 Elementos da hipérbole.................................................................................. 53 
5.2.2 Equações reduzidas genéricas da hipérbole................................................. 54 
5.2.3 Excentricidade................................................................................................ 56 
5.2.4 Exercícios propostos...................................................................................... 59 
5.3 Parábola......................................................................................................... 61 
5.3.1 Elementos da parábola.................................................................................. 62 
5.3.2 Equações reduzidas genéricas da parábola.................................................. 63 
5.3.3 Exercícios propostos...................................................................................... 66 
Capítulo 6 Translação de eixos coordenados............................................................. 68 
6.1 Objetivo.......................................................................................................... 68 
6.2 Relação entre os sistemas XoY e X’o’Y’........................................................ 71 
6.3 Exercícios propostos...................................................................................... 74 
Capítulo 7 Noções do sistema de coordenadas polares............................................ 76 
7.1 Introdução...................................................................................................... 76 
7.2 Elementos...................................................................................................... 77 
7.3 Relação entre os sistemas cartesiano e polar............................................... 78 
Apêndice
I Álgebra.......................................................................................................... 81 
Apêndice II Fórmulas Trigonométricas.......................................................................... 82 
Apêndice III Geometria...................................................................................................... 83 
Apêndice IV Seções Cônicas............................................................................................ 85 
Descartes ........................................................................................................................ 88 
Bibliografia ........................................................................................................................ 89 
 
Introdução 
O que é Geometria Analítica? 
 
O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a 
antiguidade. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada 
pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos, 
relacionados à geometria. Existem vários ramos de estudo da geometria como a 
geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analítica. A Geometria 
Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de estudo de 
geometria. 
A Álgebra é a ferramenta utilizada no estudo de geometria através da Geometria 
Analítica. Na essência, a Geometria Analítica consiste na transformação de 
problemas geométricos em problemas algébricos correspondentes. 
Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de números reais e uma 
curva é uma equação. 
 
 
Capítulo 1 
Espaços Dimensionais; Sistemas de Referência; Sistema de Coordenadas 
Retangulares. 
 
1.1 Espaços Dimensionais. 
 
Quando iniciamos um estudo em Geometria Analítica precisamos definir em qual 
espaço dimensional estão baseadas nossas informações para a correta 
interpretação e solução dos problemas. Podemos trabalhar em nReRRR 32 ,, 
O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). Uma reta 
onde representamos infinitos pontos que são associados aos números reais, de 
modo que cada ponto corresponde a apenas um número real. 
 
 
 1 2 3 
-1 0 -3 -2 
pi 3− 3
2 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 5 
O Sistema dimensional 2R é o plano, (duas dimensões) onde os pontos são 
representados por um par de números reais e as equações das curvas têm duas 
variáveis. 
Já 3R , é o que chamamos de espaço, (três dimensões) onde os pontos são 
definidos por um terno de números reais e as equações das curvas têm três 
variáveis. 
Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimensão qualquer, nR , mas neste 
texto nos concentraremos principalmente em 2R . 
 
1.2 Sistemas de Referência para 2R . 
 
Para utilizar o fantástico poder da geometria analítica no estudo de questões 
geométricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com precisão, os 
pontos em um plano. 
Podemos definir precisamente a posição de um ponto num plano por meio de um 
par de números reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um 
sistema de referência. Um sistema de referência é composto de um referencial e 
de uma regra que define como os pontos serão localizados em relação a este 
referencial. 
 
Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na 
Geometria Analítica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas 
retangulares (chamado também de Plano Cartesiano) e o sistema de 
coordenadas polares. 
Estes sistemas são os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos 
criar sistemas de referência de acordo com nossa necessidade, bastando para 
isso, definir um referencial e uma regra para a localização dos pontos no plano. 
 
Podemos estudar as curvas planas por meio de equações descritas em relação a 
um sistema de referência. Uma curva plana é um conjunto de pontos que 
obedecem a uma determinada regra e sua equação é uma expressão matemática 
que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 6 
considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do 
tipo 0=++ cbyax que é uma equação em relação ao sistema de coordenadas 
retangulares. Cada curva tem uma equação bem definida em relação a um 
sistema de referência. Ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a 
equação da curva. Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou 
mais apropriada, em relação a um determinado sistema de referência. Por isso 
existem vários, e são utilizados de maneira conveniente. 
 
 
1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares. 
 
O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas, 
chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si. 
Para cada eixo é definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja 
origem é a interseção. 
Os números reais são representados nestes eixos, sendo que a distância entre 
dois números inteiros, é uma unidade da escala definida. O número zero está na 
interseção dos eixos e é chamado de origem do sistema. 
O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são representadas pela letra x. O 
eixo vertical é o eixo das ordenadas, representadas pela letra y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de 
referência de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser 
1 2 3 -1 0 -3 -2 
1 
2 
3 
-1 
-3 
-2 
y 
x 
Figura 1.1 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 7 
perfeitamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância 
orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A 
distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x 
será sua ordenada. Isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais 
do tipo ),( yxP . 
Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema 
de coordenadas retangulares. É importante observar que, a distância do ponto em 
relação a um eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas, 
ou seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa terá 
sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se ele estiver 
localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano será então identificado por um, 
e apenas um, par ordenado de números reais e, cada par ordenado de números 
reais representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de 
característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares. 
 
Em homenagem a René Descartes (1596 – 1650), cujo nome em Latim era 
Renatus Cartesius, filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria 
Analítica (vide texto página 85), o sistema de coordenadas retangulares 
desenvolvido por ele, é também denominado de Sistema Cartesiano ou Plano 
Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos 
).3,2()2,2();2,1();1,2( −−−− DeCBA 
)1,2(A 
)2,1(−B 
)2,2( −−C 
)3,2( −D 
x 1 2 3 -1 0 -3 -2 
1 
2 
3 
-1 
-3 
-2 
y 
Figura 1.2 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 8 
Capítulo 2 
Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio. 
 
 
2.1 Distância Entre Dois Pontos. 
 
Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como 
ferramenta. Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos 
do plano teremos que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto, 
desenvolver uma técnica, ou fórmula, para calcular a distância entre dois pontos 
quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo,
pontos de coordenadas 
genéricas, ou seja, pontos que estarão representando qualquer um dos infinitos 
pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvolvida para calcular a 
distância entre estes pontos genéricos, servirá para calcular a distância entre dois 
pontos específicos quaisquer do plano. 
 
Obviamente precisaremos também do nosso já conhecido Plano Cartesiano, pois 
já sabemos que, sem um sistema de referência não é possível localizar pontos 
num plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.1 
“A menor distância entre dois 
pontos é o comprimento do 
segmento de reta que os une” 
)x( 2'Q
)y,xR( 12
)y,x(P 11 
0 
y 
x 
)(y2 "Q )y,(x 22Q
)y(P 1 "
)x( 1'P 
r 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 9 
A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genéricas ),( 11 yxP e ),( 22 yxQ 
representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo é definir uma 
fórmula para calcular a distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a 
passo. 
 
 
• As projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos 
P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y; 
• Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto 
R; 
• O triângulo PQR é retângulo; 
 
Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
12
222
)()(
)()()(
,
)(''''
)(''
,)()()(
yyxxd
yyxxdPQ
então
yyQdPdRQ
xxQdPdPR
masdRQdPRdPQ
−+−=
−+−=
−==
−==
+=
 
 
 
 
 
Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula acima para calcular 
a distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos 
dpordPQ . 
 
 
 
Distância entre dois pontos 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 10 
Exercício resolvido: 
Prove que o triângulo ABC é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
R: Como dAC = dBC podemos concluir que o triângulo é isósceles. 
 
2.2 Coordenadas do Ponto Médio. 
 
Um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades. 
O Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em 
duas partes congruentes (de mesma medida). 
Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos então deduzir uma 
fórmula para este fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no 
Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.2 
A (-7,2) 
B (3,-4) C (1,4) 
68644)44()31(
68464)24()71(
13636100)24()73(
22
22
22
=+=++−=
=+=−++=
=+=−−++=
BC
AC
AB
d
d
d
 
)('' 2yQ 
)(" yM 
)('' 1yP 
);( yxM 
α 
),( 2 yxS 
),( 22 yxQ 
s 
r 
);( 1yxR 
x 
y 
β 
),( 11 yxP 
)(' 1xP )(' xM )(' 2xQ 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 11 
• O ponto ),( yxM é o ponto médio do segmento definido pelos pontos 
),( 11 yxP e ),( 22 yxQ ; 
• As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos dão os 
pontos P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y; 
• Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto 
),( 1yxR ; 
• Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos 
o ponto ),( 2 yxS ; 
• Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são 
congruentes, pois: 
 
 





≅
≅
≅
∆≅∆
)(ˆˆ
)(
)(
retosSR
médiopontoéMMQPM
entescorrespond
SQMMRP
βα
 
 
• Sendo congruentes os triângulos, podemos concluir que seus respectivos 
catetos PR e MS têm a mesma medida; 
• O cateto PR, tem a mesma medida do segmento P’M’ que por sua vez 
mede ).( 1xx − O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que 
por sua vez mede )( 2 xx − , então: 
 
 
2
2
21
21
21
21
xx
x
xxx
xxxx
xxxx
+
=
+=
+=+
−=−
 
 
2
21 yyy += analogamente: 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 12 
Concluindo: 
A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das 
abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto médio será a 
metade da soma das ordenadas das extremidades. 
 





 ++
2
,
2
2121 yyxxM 
 
Exercícios resolvidos: 
1) A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado 
oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vértices são: A(2,3) ; B(3,-3) e 
C(-1,-1) 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos pontos A’, B’, C’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto médio 
C (-1, -1) )2,1(' −A





 0,
2
5
'C 




 1,
2
1
'B 
A (2, 3) 
B (3, -3) 
AA’, BB’ e CC’ são as medianas do ∆ ABC. 
Cálculo do comprimento das medianas 





 1,
2
1
`B 
)2,1(` −A






=
−
=
=
+
=






=
−
=
=
−
=






−=
−−
=
=
−
=
0
2
33
2
5
2
32
1
2
13
2
1
2
12
2
2
13
1
2
13
`
`
`
`
`
`
yC
xC
yB
xB
yA
xA
 
53
2
1
4
531
4
49
1
2
7)10(1
2
5
89
2
1
4
8916
4
25
4
2
5)31(3
2
1
26251)32()21(
2
2
2
`
2
2
2
2
`
22`
==+=
+





=++





+=
==+=
+




 −
=++





−=
=+=−−+−=
mCC
mBB
mAA
 





 0,
2
5
'C 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 13 
2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Exercícios propostos: 
1) Calcular a distância entre os pontos ( )4,3 +− baA e ( )1,1 ++ baB . 
2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA 
respectivamente de um triângulo ABC, determinar A, B e C. 
3) Determinar os pontos que dividem o segmento −−AB em quatro partes 
congruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21). 
4) Num triângulo ABC são dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto médio de −−AB . obter o 
vértice C do triângulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10 2 
respectivamente. 
5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que estão a uma distância 
de 117 do ponto P(5,-2). 
6) Prove que o quadrilátero com vértices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e 
(7,10) é um retângulo. 
7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) são vértices de um triângulo 
retângulo e ache sua área. 
8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) são colineares, usando a fórmula da 
distância entre dois pontos. 
9) Os vértices opostos de um quadrado estão em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros 
dois vértices. 
)8,13(
813
62141
2
23
2
17
−
−==
−=+=+
+
=−
+
=
B
yx
yx
yx
 
A (1, 2) B (x, y) 
M (7,-3) 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 14 
10) Um triângulo ABC é retângulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas. 
Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A. 
11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos 
quadrantes ímpares. 
12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos 
quadrantes pares. 
 
 
Respostas: 
1) 5 
2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12) 
3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13) 
4) C1(-6,-6) e C2(10,6) 
5) 144 =−= xoux 
9) (6,-7) e (6,-1) 
10) A1(0,-1) e A2(0,5) 
11) (9,9) 
12) 





−
13
67
,
13
67
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 15 
Capítulo 3 
Retas em R²; Coeficiente angular;
Equações da reta; Interseção de retas; 
Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre 
ponto e reta. 
 
3.1 Retas em R². 
 
Começaremos agora o estudo das equações de algumas curvas planas. Neste 
capítulo vamos discutir as particularidades e estudar a equação de uma curva 
simples, porém de extrema importância. A reta. Sim, a reta também é chamada 
de curva, numa generalização deste termo. Uma curva plana é formada por um 
conjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que é 
sua equação. A reta, como sugere o próprio nome, é um conjunto de pontos 
alinhados. 
 
Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de 
seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta 
podemos determinar sua equação. 
 
Mas também podemos determinar a equação de uma reta conhecendo um de 
seus pontos e seu coeficiente angular. 
 
Então, o que é o coeficiente angular de uma reta? 
 
3.2 Coeficiente Angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
α
 
y 
r 
x 
αP 
Q 
y∆
 
x∆
 
“O coeficiente angular também é 
chamado de inclinação ou 
declividade” 
Figura 3.1 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 16 
Imagine uma partícula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao 
fazer este movimento a partícula se deslocou horizontalmente x∆ e verticalmente 
y∆ . O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definição é a razão 
entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal. 
 
 
 
x
y
horizontaliação
verticaliação
m
∆
∆
==
var
var
 
 
 
Observando a figura 3.1 podemos identificar um triângulo retângulo cuja 
hipotenusa é o segmento PQ e os catetos são y∆ e x∆ . O ângulo α é o ângulo 
entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que é correspondente ao ângulo 
agudo adjacente ao cateto x∆ do triângulo retângulo. 
 
A tangente do ângulo α é calculada por: 
x
y
tg
∆
∆
=α . 
 
Então o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado através da expressão: 
 
 
 
 αtgm = 
 
 
Através do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela é crescente, 
decrescente, constante ou vertical. 
 
Ora, se retas são crescentes, o ângulo entre elas e o sentido positivo do eixo x 
pode variar no intervalo 
2
0 piα << . Os ângulos neste intervalo possuem 
tangentes positivas e consequentemente as retas terão coeficientes angulares 
positivos )0( >m . Lembre-se: αtgm = . 
“ O coeficiente angular de uma reta 
é a tangente do ângulo entre a reta 
e o sentido positivo do eixo x.” 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 17 
Se retas são decrescentes, o ângulo α estará no intervalo piαpi <<
2
. Os 
ângulos neste intervalo possuem tangentes negativas, logo, essas retas terão 
coeficientes angulares negativos )0( <m . 
 
As retas constantes são aquelas paralelas ao eixo x, cujo ângulo α é igual a 
zero. Estas retas têm coeficiente angular igual a zero )0( =m , pois 00 =tg . 
 
As retas verticais, por sua vez, são perpendiculares ao eixo x. Então 
2
pi
α = . 
Essas retas não possuem coeficiente angular, pois não existe 
2
pi
tg . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.2 
 
A figura 3.2 mostra um exemplo de cada tipo de reta, em relação à inclinação. 
α 
y 
r 
x 
0=α 
y 
t 
x 
0=m 
0>m 
2
pi
α = 
y u 
x 
m não é definido 
α 
y 
s 
x 
0<m 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 18 
3.2.1 Coeficiente Angular através de dois pontos. 
 
Podemos também, determinar o coeficiente angular de uma reta, através das 
coordenadas de dois pontos pertencentes à reta. 
 
Observe a figura 3.3 onde estão representados, uma reta e dois de seus pontos 
com coordenadas genéricas. 
 
 
 
 Figura 3.3 
 
 
• As projeções dos pontos A e B nos eixos coordenados nos dão os 
pontos A’ e B’ no eixo x, e A’’ e B’’ no eixo y; 
• Pelo ponto A, traçamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o 
ponto R; 
• O triângulo ARB é retângulo, então: 
 
 
AR
RB
tg =α ou 
12
12
xx
yy
tg
−
−
=α 
 
)('' 1yA 
)('' 2yB 
α
 
y 
s 
),( 22 yxB 
)(' 2xB )(' 1xA 
),( 11 yxA R 
x 
r 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 19 
Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a 
fórmula: 
 
 
12
12
xx
yy
m
−
−
= 
 
 
Exercício resolvido: 
 
1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboçar os gráficos: 
 
 
 
3
2
3
2
25
13
)
12
12
1
=
=
−
−
=
−
−
=
m
m
xx
yy
m
r
 
 
 
 
1
02
02
)
12
12
2
=
−
−
=
−
−
=
m
xx
yy
m
r
 
)4;2(
)3;2(
)4;2(
)4;3(
)2;2(
)1;1(
)2;2(
)0;0(
)3;5(
)1;2(
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
B
A
r
B
A
r
B
A
r
B
A
r
B
A
r
−−
−
−
α 
B1 
A1 
x 
y 
B2 
A2 α 
y 
x 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 20 
1
3
3
12
12
)
12
12
3
−=
−
=
−−
+
=
−
−
=
m
xx
yy
m
r
 
 
 
0
32
44
)
12
12
4
=
+
−
=
−
−
=
m
xx
yy
m
r
 
 
 
 
 
 
∃/=+=
−
−
=
0
7
0
34
)
12
12
5
m
xx
yy
m
r
 
 
 
 
 
 
Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomando-
se quaisquer pares de pontos pertencentes à mesma. 
 
y 
x 
α 
B3 
A3 
x 
B4 A4 
y 
A5 
x 
B5 
y 
0=m , para todas as 
retas paralelas ao eixo x. 
Retas constantes. 
m , não é definido para todas 
as retas perpendiculares ao 
eixo x. Retas verticais. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 21 
3.3 Equações da Reta. 
 
Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de 
seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A 
partir desses elementos podemos definir uma equação matemática, ou seja, uma 
regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que 
pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como já sabemos, de um sistema 
de referência que irá nos possibilitar identificar os pontos por meio de 
coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equações 
do 1º grau com duas variáveis. 
 
 
3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.4 
 
 
Os pontos A e B são pontos conhecidos da reta e estão representados no plano 
cartesiano, com coordenadas genéricas, pois a equação obtida servirá como um 
modelo para se obter a equação de uma reta específica qualquer. O ponto M é 
um ponto qualquer da reta, ou um ponto genérico, e suas coordenadas serão as 
variáveis da equação. 
y 
),( yxM 
),( 22 yxB 
),( 11 yxA 
r 
x 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 22 
Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e 
M ou os pontos A e B. Então: 
 
 
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
mm ABAM
−
−
=
−
−
=
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular. 
 
Uma simples alteração na fórmula nos possibilita determinar facilmente
a equação 
de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu 
coeficiente angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( 1
12
12
1 xx
xx
yyyy −
−
−
=− 
A equação de qualquer reta no plano, pode ser obtida 
substituindo as coordenadas de dois de seus pontos na 
fórmula, ou modelo, acima. 
)(
:
:
)(
:
11
12
12
1
12
12
1
xxmyy
então
m
xx
yy
mas
xx
xx
yy
yy
temos
−=−
=
−
−
−
−
−
=−
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 23 
3.3.3 Equação Reduzida. 
É interessante trabalhar com a equação reduzida de uma reta, pois deste modo 
podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear 
(intercepto do eixo y). A equação reduzida tem um formato característico como 
veremos a seguir: 
 
)(
:
11 xxmyy
temos
−=−
 
 
Se o ponto conhecido for ),,0( bB então: 
)0( −=− xmby 
 
 
 
 
 
 
3.3.4 Equação Segmentária. 
 
A equação de uma reta na forma segmentária é muito interessante, pois temos a 
informação imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 
 
Coeficiente linear (onde corta o eixo-y) 
Coeficiente 
angular 
bmxy += 
A (a,0) 
B (0,b) 
y 
x 
),0( bB 
y 
x 
 
Figura 3.5 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 24 
Substituindo os pontos A e B na fórmula da equação da reta, temos: 
 
⇒=+
=+
→=+
+−=
−−=
−
−
−
=−
−
−
−
=−
1
)(
)(
0
00
)( 1
12
12
1
a
x
b
y
b
b
ab
bx
b
y
bportudoividindobx
a
by
bx
a
by
ax
a
b
y
ax
a
by
xx
xx
yyyy
d
 
 
 
onde 
 
 
 
3.3.5 Equação Geral. 
 
É a equação da reta na forma: 
 
 
 
onde a e b não são nulos simultaneamente. 
 
 
a é o intercepto eixo-x 
b é o intercepto eixo-y 
1=+
b
y
a
x
 
0=++ cbyax 
0≠bea 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 25 
Para relembrar: 
 
verticalretam
teconsretam
edecrescentretam
crescenteretam
bmxySeja
⇒∃
⇒=
⇒<
⇒>
+=
tan0
0
0
 
 
 
Exercício resolvido: 
 
1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida, 
geral e segmentária: 
 
Sol: 
Cálculo de m 
 
 ⇒=
−
+−
=
−
−
=
4
8
812
816
2
12 m
xx
yy
m 
 
 
82
1628
)8(28
)( 11
+−=
+−=+
−−=+
−=−
xy
xy
xy
xxmyy
 
 
082 =−+ yx 
 
 
2−=m 
Eq. reduzida 
Eq. geral 
Eq. segmentária 
 
 
8
8
88
2
82
=+
=+
yx
yx
 
 
 
1
84
=+
yx
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 26 
3.4 Interseção de retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3.7 
 
O ponto de interseção de duas retas deve satisfazer à equação de ambas, 
portanto, para determiná-lo, basta resolver um sistema formado por tais 
equações. 
Em geral a solução de um sistema de equações, é, ou são, os pontos de 
interseção de seus gráficos. 
 
Ex: Obter o ponto I de interseção das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x – 4y + 7 = 0 
 
sol: 






⇒=
−=
=−+×
=
=−



=+−
=−+
4
9
,1
4
9
3124
012413
:,
1
055
:
0742
01243
Iy
y
y
temosequaçãoprimeiranaxdevalorolevando
x
x
temosequaçõesassomando
yx
yx
 
 
y 
x 
I 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 27 
3.5 Condição de Paralelismo. 
 
Duas retas são consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular 
e coeficientes lineares distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8 
 
3.6 Condição de Perpendicularismo. 
Os coeficientes angulares de duas retas distintas também podem nos dizer se 
elas são perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 
y 
x 
rα sα 
s 
r 
( )
msmr
stgrtg
correspsr
=
⇓
=
=
αα
αα .
 
rα 
sα 
sα 
rα 
y 
x 
s r 
t 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 28 
Pelo ponto de interseção das retas, traçamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com 
isso podemos identificar os ângulos correspondentes de res αα entre as retas r e 
s e a reta t. 
Podemos relacionar os ângulos res αα da seguinte maneira: 
0.1:
2
:
2.1
:
2
)(
,
2
,
2
=+∃
=
+
−
=−
=−
+=
stgrtgentãotg
mastg
stgrtg
stgrtg
identidadeausandotgsrgt
seguesr
ousr
αα
pi
pi
αα
αα
pi
αα
pi
αα
pi
αα
 
ms
mrmsmr
msmr
stgrtg
11.
0.1
0.1
−=⇒−=
=+
=+ αα
 
 
Concluindo: 
Duas retas r e s distintas são perpendiculares, se e somente se, 
ms
mr
1
−= , 
o que equivale a dizer que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente 
angular de uma é igual ao da outra invertido e com o sinal oposto. 
 
Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta é igual a 3, então o coeficiente 
angular de qualquer reta perpendicular a ela é 
3
1
− . 
 
tgbtga
tgbtgabatg
⋅+
−
=−
1
)( 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 29 
3.7 Ângulo entre Duas Retas. 
Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma fórmula para o cálculo do 
ângulo entre duas retas quaisquer, também utilizando seus coeficientes 
angulares. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.10 
 
⇒
×+
−
=
−=
−=
stgrtg
stgrtg
tg
srtgtg
sr
αα
ααθ
ααθ
ααθ
1
)( 
 
Exercício resolvido: 
 
1) Obter o ponto P, simétrico de Q(-1,8) em relação à reta r de equação 03 =−− yx 
 
 
 
 
 
 
msmr
msmr
tg
⋅+
−
=
1
θ 
M é o ponto médio de PQ. 
M 
r: x – y – 3 = 0 
Q(-1, 8) 
P(x, y) 
rα 
y 
x 
rα 
sα 
r s 
sα
 
θ 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 30 
Cálculo da inclinação da reta r 
 
13
03
=⇒−=
=−−
rmxy
yx
 
 
então : 1−=PQm 
Equação da reta PQ 
07
18
)1(18
)( 11
=−+
−−=−
+−=−
−=−
yx
xy
xy
xxmyy
 
Determinação do ponto M ⇒ PQr ∩ 
5
102
0102
07
03
=
=
=−



=−+
=−−
x
x
x
yx
yx
 
 
)2,5(2
35
035
My
y
y
⇒=
−=
=−−
 
 
 
 
3.8 Distância Entre Ponto e Reta. 
 
A menor distância de um ponto ),( 00 yxP a uma reta 0: =++ cbyaxr é o 
comprimento do segmento que vai do ponto à reta e é perpendicular à mesma, 
como vemos na figura 3.11. 
 
Concluindo: 
11
101
2
15
2
21
=
=+−
+−
=
+
=
x
x
x
xx
x
 
4
48
2
82
2
21
−=
=+
+
=
+
=
y
y
y
yyy
 
)4,11( −
⇓
P
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 31 
 
 
 
 
 Figura: 3.11 
 
Podemos calcular a menor distância do ponto P à reta r utilizando a fórmula: 
 
22
00Pr
ba
cbyax
d
+
++
=
 
 
Exercício resolvido: 
 
1) Calcular a medida da altura AH do triângulo cujos vértices são: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7). 
 
 
 
 
 
 
utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos: 
4
5
20
25
20
916
131.31.4
01334:
)1,1(
===
+
++
=
=++
dpr
dpr
yxBCreta
A
 
Então a altura AH mede 4 unidades. 
H B(-1,-3) 
A(1, 1) 
C(2,-7) 
0: =++ cbyaxr 
),( 00 yxP 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 32 
2) Calcular a distância entre as retas paralelas r: 7x + 24y – 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0
3.9 Exercícios propostos: 
1) Em cada caso determine a equação geral da reta: 
a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinação 3; 
b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5); 
c) bissetriz do 1º e 3º quadrantes; 
d) que passa pela origem e tem coeficiente angular 
3
2
−=m . 
2) Verifique se a afirmação está correta: 
a) a reta 01042: =+− yxr é perpendicular à reta 062: =++ yxs ; 
b) a reta 023: =+− yxt é paralela à reta 0526: =−− yxu . 
3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e é paralela à reta 
0132: =+− yxr . 
4) Determinar a equação da reta que passa por Q(2,-3) e é perpendicular à reta 
072: =+− yxs . 
5) Determinar os vértices A, B e C do triângulo cujos lados têm as equações 
01: =+− yxAB , 0177: =++ yxBC e 01135: =−+ yxCA . 
6) Achar o ponto B simétrico de A(3,-1) em relação à reta 01032: =−+ yxr . 
Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a 
x e calculando y 
rPentão
yy
y
yx
∈−
−=⇒−=
−=
=−+⇒=
)2,7(,
2
24
48
49124
01247.77
 
logo: 
2
25
50
57649
49)2.(247.7
==
+
+−+
== dPsdrs , ou seja: a distância entre r e s é de 2 unidades 
s 
r 
P(7,-2) 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 33 
7) Provar que são perpendiculares as diagonais do quadrilátero de vértices 
consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1). 
8) Determinar o valor de k de modo que a reta 073: =++ kyxr passe pelo ponto 
A(3,-2). 
9) Calcular a distância do ponto A(3,4) à reta 01043: =−+ yxs . 
10) Determinar a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano onde P é a 
interseção das retas 02: =−xr e 03: =−ys . 
11) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os 
eixos coordenados, no 1º quadrante, um triângulo de área igual a 12. 
12) Calcular a interseção da reta 012: =+− yxr com a reta que passa pelos 
pontos A(0,3) e B(1,1). 
13) Determinar o ponto da reta 043: =++ yxr que é eqüidistante dos pontos 
P(-5,6) e Q(3,2). 
14) Ache a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo de 
vértices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1). 
15) Obter o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD, 
sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6). 
16) Obter a equação da mediatriz do segmento AB, dados A(1,-7) e B(6,-12). 
17) Dadas as retas 0343: =+− yxr e 22: += xys , determine o ponto P da reta s, 
que dista 6 unidades da reta r. 
18) O baricentro de um triângulo ABC é G(4,-2). Obter C, sabendo que A(5,-7) e 
B(8,-3). 
Obs.: baricentro: 




 ++++
3
,
3
yCyByAxCxBxAG 
19) Obter os vértices B e C do triângulo ABC sendo dados o vértice A(0,0), o 
ponto M(1,2) médio do lado AB e o baricentro G(0,5). 
20) Verificar se os pontos )2,1()3,2(),1,(` ++++− bCebaBbaA são colineares. 
21) Existe alguma reta passando por )4,3()2,1(),1,(` +++++ aaCeaaBaaA ? 
22) Determinar x de modo que )12,1()3,2(),2,(` −−− CeBxA sejam colineares. 
23) Obter o baricentro do triângulo MNP, dados ),(),,(` fecbNedbaM −−−− e 
),( dfacP −− . 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 34 
24) Calcular a altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices 
).2,5()1,2(),3,0( −− CeBA 
 
Respostas: 
1) 
a) 093 =+− yx 
b) 053 =−+ yx 
c) 0=− yx 
d) 032 =+ yx 
2) 
a) sim 
b) sim 
3) 0832 =+− yx 
4) 012 =−+ yx 
5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3) 
6) 





13
29
,
13
67B 
8) k=8 
9) 3 
10) 13 
11) 01232 =−+ yx 
12) 




 2,
2
1
 
 
 
 
 
13) (-2,2) 
14) 079 =−+ yx 
15) 





2
5
,
2
5
 
16) 013 =−− yx 
17) )12,5()12,7( 21 PeP −− 
18) C(-1,4) 
19) B(2,4) e C(-2,11) 
20) sim 
21) sim 
22) 1=x 
23) G(0,0) 
24) 23 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 35 
Capítulo 4 
Circunferência. 
 
4.1 Definição. 
 
A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um 
conjunto de infinitos pontos de 2R . 
Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos 
devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a 
seguinte: 
 
Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são eqüidistantes de um 
ponto fixo deste plano. 
 
Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é 
seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência. 
 
 
 Figura 4.1 
 
Na figura 4.1, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um 
plano pi . 
Os pontos nMMMM ,,, 321 pertencem à circunferência, se e somente se, a 
distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio. 
 
rdcMndcMdcMdcM ==== 321 
 
 
 
r 
P 
Q 
c 
M1 
M2 
M3 
pi 
Mn 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 36 
A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio e portanto ele não pertence à 
circunferência, (Q é um ponto exterior), assim como o ponto P também não 
pertence à circunferência pois sua distância ao centro é menor que o raio, (P é 
um ponto interior). 
 
rdcPerdcQ <> 
 
4.2 Equação da Circunferência. 
 
Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu 
centro e seu raio. 
 
Na figura 4.2 abaixo, está representada no plano cartesiano uma circunferência 
de centro ),( khc e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a 
distância de um ponto qualquer ),( yxM ao centro ),( khc é igual ao raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 
 
 
M(x,y) 
c(h,k) 
r 
y 
x 
( )
222
2
2
22
22
)()(
)()(
)()(
:
:
rkyhx
rkyhx
rkyhx
então
rdcMmatemáticaDefinição
=−+−
=−+−
=−+−
=
Eq. da circunferência na forma centro-raio 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 37 
Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é 
relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio. 
Por exemplo, a equação 17
5
2)3(
2
2
=





++− yx representa uma circunferência 
de centro 





−
5
2
,3 e raio 17 . 
 
Exercício resolvido: 
 
Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(-3,4) e o raio r=6. 
 
sol: 
 
222 )()( rkyhx
raiocentroequação
=−+−
−
 
 
36)4()3( 22 =−++ yx 
 
 
 
 
 
4.3 Equação Geral da Circunferência. 
 
A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral, 
como o desenvolvimento da equação centro-raio. Vejamos: 
 
( )
022
:
22
:sen
)()(
,
22222
22222
222
=−++−−+
=+−++−
=−+−
rkhkyhxyx
ordememcolocando
rkkyyhhxx
temosvolvendode
rkyhx
rraioekhCcentrodeequaçãoaSeja
 
É a equação pedida, através da qual podemos 
identificar facilmente o centro e o raio. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 38 
0
:,
2
2
:
22
222
=++++





=−+
=−
=−
FEyDxyx
temosFrkh
Ek
Dh
fazendo
 
 
 
É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois 
termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais. 
 
Vamos desenvolver a equação do exercício anterior 
01186
03616896
36)4()3(:
22
22
22
=−−++
=−+−+++
=−++
yxyx
yyxx
yxtemos
 
 
4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência. 
 
Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de 
calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Faremos o seguinte: 
 
Seja a equação geral: 022 =++++ FEyDxyx 
 
Para identificar o centro e o raio na equação acima utilizaremos os coeficientes D, 
E e F. 
 






−−∴−=⇒−=
−=⇒−=
2
,
22
2
2
2
),(:
EDCEkkE
DhhD
khccentro
 
 
Esta equação está na forma Geral. 
 
Não podemos identificar facilmente o centro e 
o raio ao olhar. 
 
Esta é a Equação Geral da circunferência 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 39 
2
4
4
4
44
22
:
2222
2
22
2
22
2
222
FED
r
FED
r
FEDr
FEDr
rkhF
rraio
−+
=∴
−+
=
−+=
−





−+





−=
−+=
 
 
 
 
 
realénciacircunferêaFEDse
pontoumapenasénciacircunferêaFEDse
vazioconjuntonciacircunferêFEDse
Obs
⇒>−+
⇒=−+
∃⇒<−+
0)4(
0)4(
)(0)4(
:
22
22
22
 
 
 
 
Exercício resolvido: 
1) Dada a equação da circunferência, 076322 =−+−+ yxyx , identificar o centro e o raio. 
 
 






−






−
−
−






−−
3,
2
3
2
6
,
2
3
2
,
2
C
C
EDC
 
 
 
 
 
 
2
73
2
28369
2
)7(4369
2
422
=
++
=
−×−+
=
−+
=
r
r
r
FED
r
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 40 
4.5 Exercícios propostos: 
1) Determine o centro e o raio, caso a circunferência exista: 
a) 014222 =+−−+ yxyx 
b) 0918333 22 =+−−+ yxyx 
c) 03110722 =+−++ yxyx 
d) 03222 =−−+ yyx 
e) 034223 22 =+−+− yxyx 
f) 0922 =+−− yx 
g) 0422 =++ yx 
h) 08222 =+−++ yxyx 
2) Determine a equação geral da circunferência cujo centro é o ponto C(3,-5) e é 
tangente à reta 0143: =+− yxr . 
3) Determinar a equação da reta tangente à circunf. 0392222 =−−++ yxyx no 
ponto A(4,5). 
4) Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(0,1) e 
tangencia a reta 034 =+− yx no ponto B(0,3). 
5) Achar a equação cartesiana da circunferência que passa pelo ponto A(4;8) e 
tangencia as retas .010 == yey 
6) Determinar os pontos de interseção da reta 05 =−+ yx com a circunferência 
014222 =+−−+ yxyx e fazer um esboço do gráfico das duas curvas. 
7) Determinar as equações das circunferências de raio r = 2 e tangentes à reta 
01 =−+ yx e centro sobre o eixo x. 
8) A reta 01 =+y é tangente à circunferência de centro (-1,m) e raio 2. Ache 
uma equação de cada circunferência que tem essa propriedade. 
9) Dada a circunferência 03222 =−−+ yyx e os pontos ( )31,1 −−M e ( )1,2N que 
pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP, sabendo que N e 
P são os extremos de um diâmetro. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 41 
10) Obter as equações das circunferências de raio 3, tangentes à reta 07 =−y e 
tangentes exteriormente à circunferência .422 =+ yx 
11) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos 
).4,1()0,5(),3,2( −−− PeNM 
 
Respostas: 
1) 
a) r=2, c(1,2) 
b) r=
2
5
, c 




 3,
2
1
 
c) r=
2
5
, c 





− 5,
2
7
 
d) r= 2 , c ( )1,0 
e) não é circunferência 
f) r=3 , c ( )0,0 
g) conjunto vazio 
h) conjunto vazio 
2) 0210622 =−+−+ yxyx 
3) 04045 =−+ yx 
4) ( ) ( ) 1724 22 =−+− yx 
5) ( ) 255 22 =−+ yx e ( ) ( ) 2558 22 =−+− yx 
6) )4,1()2,3( e 
7) ( ) 21 22 =++ yx e ( ) 23 22 =+− yx 
8) ( ) ( ) 411 22 =−++ yx e ( ) ( ) 431 22 =+++ yx 
9) 2=MPd 
10) ( ) ( ) 943 22 =−++ yx e ( ) ( ) 943 22 =−+− yx 
11) 0458422 =−−++ yxyx 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 42 
Capítulo 5 
O Estudo das Cônicas. 
 
Seções Cônicas. 
 
Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas: todas essas curvas são 
encontradas a partir de seções de um plano em uma superfície cônica. (ver 
apêndice IV). 
Muitas descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estão 
relacionadas às seções cônicas. Os gregos clássicos - Arquimedes, Apolônio e 
outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio, 
sem qualquer pensamento em possíveis aplicações. As primeiras aplicações 
apareceram quase 2.000 anos depois, no início do século XVII. Em 1604, Galileu 
descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, 
supondo que a única força atuante fosse a gravidade - isto é, a resistência do ar e 
outros fatores complicadores são desconsiderados -, sua trajetória será uma 
parábola. Um dos grandes eventos da história da Astronomia ocorreu alguns anos 
mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que a 
órbita de Marte era uma elipse, lançando a hipótese de que todos os planetas se 
moveriam em órbitas elípticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou 
matematicamente que a órbita planetária elíptica é causa e conseqüência de uma 
lei de atração gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distância. Isso 
levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitação 
Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada 
como sendo a maior contribuição feita a ciência por um só homem. Esses 
desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrás, mas o estudo das seções 
cônicas não é, ainda hoje, nem um pouco anacrônico. De fato, essas curvas são 
instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e também 
nas pesquisas do comportamento de partículas atômicas: os satélites artificiais 
movem-se em torno da terra em órbitas elípticas e a trajetória de uma partícula 
alfa movendo-se no campo elétrico de um núcleo atômico é uma hipérbole. Esses 
exemplos e muitos outros mostram que a importância das seções cônicas, tanto 
antigamente como atualmente, não pode ser desprezada. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 43 
5.1 A Elipse. 
 
A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2R . 
Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos 
devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse é a seguinte: 
 
Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a 
dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k). 
 
Cada elipse tem a sua constante k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
kFdMFdMelipseMn nn =+⇒∈
'
 
 
5.1.1 Elementos da Elipse. 
 
A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F’ 
M1 
pi 
M2 
Mn 
F 
y 
x 
2a 
B’(0,-b) 
A’(-a,0) A(a,0) 
B(0; 
b) 2c 
F’(-c,0) F(c,0) 
B(0,b) 
Figura 5.2 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 44 
Seus principais elementos são: 
 
• Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a; 
• Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b; 
• Vértices: são os pontos )0,()0,(' aAeaA − ; 
• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cFecF − , a distância focal (entre focos) 
mede 2c; 
• Os pontos ),0(),0(' bBebB − são as extremidades do eixo menor. 
 
 
 
Importante: 
 
1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu 
eixo maior 2a. 
 
Então: ak 2= 
Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(' aA − que pertence à elipse e por 
isso deve satisfazer à condição: 
 
kFdAFdA =+ ''' 
 
 
de fato: 
 
aK
kcaca
então
caFdA
caFdA
2
,
'
''
=
=++−
+=
−=
 
 
2. Relação entre a, b e c. 
 
222 cba += 
 
Definição matemática 
y 
B’(0,-b) 
M(x,y) 
x 
A’(-a,0) A(a,0) 
B(0,b) 
F’(-c,0) F(c,0) 
a 
b 
c 
a 
y 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 45 
5.1.2 Equação Reduzida da Elipse. 
 
Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência um sistema de 
eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão posicionadas tal que seus 
vértices e focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem 
como na figura 5.2. No caso das parábolas, seu foco deverá estar sobre um
dos 
eixos e seu vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações 
reduzidas destas curvas. 
 
Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos focos são 
)0,3()0,3(' FeF − e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que ka =2 . 
Esta elipse está representada na figura 5.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 
 
 
Seja o ponto genérico elipseyxM ∈),( 
 
 
adMFdMFmatemáticaDefinição 2: ' =+ 
então: 
M(x, y) 
x 
2a = 10 
A’(-5,0) A(5,0) 
F’(-3,0) F(3,0) 
y 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 46 
10)3()3( 2222 =+−+++ yxyx 
 
5.1.3 Equações Reduzidas Genéricas da Elipse. 
 
Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com 
focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à 
origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas 
genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação 
aplicando a definição matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.4 
( ) ( )
( )
1
16251625
1
400
25
400
16
400
400
)400(2516400
2516225625
25225150256251509
96(256251509
)3(5)253(
)4()3(2010012
6)3(201006
96)3(2010096
)3(10)3(
2222
22
22
22
222
222
2
222
22
22
222222
2
22
2
22
=++=
+=
÷+=
+=−
++−=+−
++−=+−
+−−=−
÷+−−=−
−+−−=
++−++−−=+++
+−−=++
yxyx
yx
yx
yx
yxxxx
yxxxx
yxx
yxx
xyxx
yxxyxyxx
yxyx
ou Equação reduzida da elipse na sua 
forma característica após simplificação. 
Para lembrar: 
222 cba +=
 
y 
M(x,y) 
x 
A’(-a,0) A(a,0) 
F’(-c,0) F(c,0) 
y 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 47 
( ) ( )
( )
22
22
22
22
22
22
22222222
222
22222222
222222224
22222224222
22224222
2
2222
222
222
222222222
2
22
2
22
2222
'
)(
)()(
22
)2(2
)()(
)4()(444
2)(442
2)(442
)(2)(
2)()(
2
ba
ya
ba
xb
ba
ba
bayaxbba
bcaazendo
yacaxcaa
yaxcxacaa
yacacxaxaacxaxc
yccxxaacxaxc
ycxaacx
ycxaacx
cxycxaacx
yccxxycxaayccxx
ycxaycx
aycxycx
adMFdMF
+=
÷+=
=−
+−=−
+−=−
++−=+−
++−=+−
+−−=−
÷+−−=−
−+−−=
/+/+−/++−−=/+/++/
+−−=++
=+−+++
=+
f
 
 
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
Analogamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. genérica reduzida de uma elipse com 
focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos 
em relação à origem. 
y 
x 
A’(0, -a) 
A(0,a) 
B’(-b,0) B(b,0) 
F(0,c) 
F’(0,-c) 
Eq. genérica reduzida de uma elipse com 
focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos 
em relação à origem 
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
 
 Figura 5.5 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 48 
Importante: 
Notemos que no caso da elipse, 22 baentãoba >> sendo 0, >ba , ou seja: 
o 2a que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maior 
denominador na equação reduzida. 
 
 
5.1.4 Excentricidade. 
 
Excentricidade é a razão 
a
c
e = que nos informa o quão achatada é uma elipse. 
Como 10 <<⇒> eca 
 
Outra fórmula para o cálculo da excentricidade: 
 
2
2
2
22
22
22
222
222
1
a
b
e
a
ba
e
a
ba
e
bac
bac
bca
−=∴
−
=
−
=
−=
−=
=−
 
 
Observações: 
Note que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido no intervalo 
aberto (0,1). 
Uma elipse com uma excentricidade próxima de zero, é uma elipse menos 
achatada, ou mais arredondada, quanto menor a excentricidade mais 
arredondada será a elipse. No caso limite onde 0=c e, portanto 0=e teremos 
uma circunferência de raio a. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 49 
Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante 
achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique 
próximo de a. 
 
Exercício resolvido: 
 
1) Determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos: 
I. 



=
=
82
122
c
a
 
sol: 
1
2036
20
1636
3616
46
22
2
2
2
222
=+∴=
−=
−=
−=
==
yxb
b
b
bac
cea
 
 
II. 




=
=
2
1
62
e
b
 
sol: 
4
119
91
4
1
91
2
1
1
3
2
2
2
2
2
2
2
−=
−=








−=





−=
=
a
a
a
a
b
e
b
 
1
912
12
363
4
39
22
2
2
2
=+∴=
=
=
yx
a
a
a
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 50 
5.1.5 Exercícios propostos: 
1) Determinar a equação reduzida da elipse nos seguintes casos: 
a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x 
b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y 
c) 2b = 12; e = 
4
5
 , com focos no eixo x 
2) Determinar os elementos da elipse: 
a) 1
41
22
=+
yx
 
b) 05102 22 =−+ yx 
3) Determinar na elipse 1
425
22
=+
yx
 os pontos cujas abscissas são iguais a -3. 
4) Determinar os pontos da elipse 1
36100
22
=+
yx
 cujas distâncias ao foco direito 
medem 14. 
5) Determinar os pontos de interseção da reta 072 =−+ yx com a elipse 
0254 22 =−+ yx . 
6) Determinar a equação reduzida da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo y, 
sabendo que passa pelos pontos )22,2()14,1( −QeP . 
7) Determinar a equação reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x, 
excentricidade 
2
1
 e que passa pelo ponto P(2,3). 
8) Determinar as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse 
01616 22 =−+ yx . 
9) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 
3
1
 viaja ao redor de um planeta 
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do 
satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância. 
10) O teto de um saguão com 10m de largura na base, tem a forma de uma semi-
elipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a 
altura do teto a 2m de cada parede. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 51 
Respostas: 
1) 
a) 1
925
22
=+
yx
 
b) 1
169144
22
=+
yx
 
c) 1
36
11
576
22
=+
yx
 
2) 
a) 
( )








=
−
−
−
2
3
)3,0()3,0('
0,1)0,1('
)2,0()2,0('
e
FeF
BeB
AeA
 
b) 












=
−












−
















−
5
2
)0,2()0,2('
2
1
,0
2
1
,0'
0,
2
50,
2
5
'
e
FeF
BeB
AeA
 
3) 





−





−−
5
8
,3
5
8
,3 e 
4) ( ) ( )27,527,5 −−− e 
5) ( )2,3
2
3
,4 e





 
6) 1
168
22
=+
yx
 
7) 1
1216
22
=+
yx
 
8) 116 2222 =+=+ yxeyx 
 
 
9) kmd 600= 
10) mh 4,8= 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 52 
5.2 A Hipérbole. 
 
Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um 
conjunto de infinitos pontos de 2R . 
Sua definição matemática é a seguinte: 
 
 
Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das 
distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma 
constante (k). 
 
 
Cada hipérbole tem a sua constante k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 
 
 
kFdMFdMhipérboleMn nn =−⇒∈ ' 
 
 
 
 
y 
x F’ F 
Mn 
M2 
M1 
pi 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 53 
 
5.2.1 Elementos da Hipérbole. 
 
A figura 5.7 mostra
uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.7 
 
 
Seus principais elementos são: 
 
 
• Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a; 
• Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b; 
• Vértices: são os pontos )0,()0,(' aAeaA − ; 
• Focos: são os pontos fixos )0,()0,(' cFecF − , a distância focal (entre focos) 
mede 2c; 
• Assíntotas: são as retas x
a
byx
a
by =−= e . 
 
 
by −=
 
ax −=
 
ax = 
by =
 
F’(-c,0) F(c,0) 
y 
x 
x
a
by =
 
x
a
by −=
 
B’(0,-b) 
A’(-a,0) 
B(0,b) 
A(a,0) 
Obs: 
Os focos estão sobre o 
eixo x e simétricos em 
relação à origem 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 54 
Importante: 
 
A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu 
eixo transverso 2a. 
 
Então: ak 2= 
Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto )0,(aA que pertence à 
hipérbole e por isso deve satisfazer à condição: 
 
kdAFdAF =−' 
 
 
 
de fato: 
 
02
2
,
)()(
'
>=
=
=+−+
=−−+
=−
apoisak
ak
kacca
então
kacca
kdAFdAF
 
 
 
 
5.2.2 Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole. 
 
Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com 
focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à 
origem. A figura 5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com 
coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua 
equação aplicando a definição matemática. 
 
Definição matemática 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.8 
 
 
Seja o ponto genérico hipérboleyxM ∈),( 
:
2: '
então
adMFdMFmatemáticaDefinição =−
 
aycxycx 2)()( 2222 =+−−++ 
 
Eliminando os radicais, simplificando e fazendo: 
222 bac =− 
 
encontramos: 
 
 
 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
 Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices 
sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem. 
Relação importante: 
222 bac +=
 
 
A(-a,0) F’(-c,0) F(c,0) A(a,0) 
M(x,y) 
x 
y 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 56 
Analogamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Importante: 
Na equação reduzida da hipérbole o 2a também nos indicará a posição dos focos 
e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva. 
nota: se ba = temos o que chamamos de hipérbole eqüilátera. 
 
5.2.3 Excentricidade. 
Também é calculada pela razão 
a
c
e = que nos dá a abertura dos ramos da 
hipérbole. 
Como ac > a excentricidade da hipérbole sempre será 1> . 
 
Outra fórmula para o cálculo da excentricidade: 
2
2
2
22
22
22
222
222
1
a
b
e
a
ba
e
a
ba
e
bac
bac
bac
+=∴
+
=
+
=
+=
+=
=−
 
 
F’ 
A’ 
A 
F 
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
 Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices 
sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 57 
Exercícios resolvidos: 
1) Determinar as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles: 
a) 3694 22 =− yx 
b) 822 =− xy 
c) 22 22 =− yx 
sol: 
a) 
36
36
36
9
36
4 22
=−
yx
 
1
49
22
=−
yx
 
 
49 22 == bea 
 
1313
49
2
2
222
=⇒=
+=
+=
cc
c
bac
 ∴ 
 
 
b) 
8
8
88
22
=−
xy
 
1
88
22
=−
xy
 
 
88 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo y. 
)8,0()8,0('
)4,0()4,0('4
162
222
AeA
FeFc
c
bac
−
−∴=
=
+=
 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )0,30,3'
0,130,13'
AeA
FeF
−
−
 
Focos e vértices estão sobre o eixo x. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 58 
c) 
2
2
22
2 22
=−
yx
 
1
21
22
=−
yx
 
 
 21 22 == bea Focos e vértices estão sobre o eixo x. 
)0,1()0,1('
)0,3()0,3('3
212
222
AeA
FeFc
c
bac
−
−∴=
+=
+=
 
 
2) Obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos: 
a) 2a = 8 e um dos focos é (5,0) 
 
2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25 
c2 = a2 + b2 
b2 = c2 – a2 
b2 = 25 – 16 
b2 = 9 
b) 2b = 2 e um dos focos é (-2,0) 
 
2b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ b2 = 1 
2c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ c2 = 4 
 
c2 = a2 + b2 
a2 = c2 – b2 
a2 = 4 – 1 
a2 = 3 
 
 
O eixo transverso está contido no eixo x. 
⇒=− 12
2
2
2
b
y
a
x 1
916
22
=−
yx
 
O eixo transverso está contido no eixo x. 
⇒=− 12
2
2
2
b
y
a
x
 1
13
22
=−
yx
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 59 
c) 2a = 6 e um dos focos é (0,-5) 
 
2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a2 = 9 
2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25 
c2 = a2 + b2 
b2 = c2 – a2 
b2 = 25 – 9 
b2 = 16 
 
5.2.4 Exercícios propostos: 
1) Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo das ordenadas e 
simétricos em relação à origem. 
a) a = 6; b = 18 
b) 2c = 10; 
3
5
=e 
2) Verificar se o ponto 





−
4
9
,5M pertence à hipérbole 0144169 22 =−− yx . 
3) Determinar a equação da hipérbole cujos focos são simétricos em relação à 
origem e estão no eixo x, sabendo: 
a) P(6,-1) e Q (-8, 22 ) ∈ hipérbole; 
b) 





−1,
2
9P ∈ hipérbole e xy
3
2±= são as equações das assíntotas. 
4) Achar os pontos de interseção da reta 0102 =−− yx com a hipérbole 
1
520
22
=−
yx
. 
5) Esboçar o gráfico da hipérbole eqüilátera 922 =− yx . 
 
 
 
 
 
O eixo transverso está contido no eixo y. 
⇒=− 12
2
2
2
b
x
a
y
 
1
169
22
=−
xy
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 60 
Respostas: 
1) 
a) 1
32436
22
=−
xy
 
b) 1
169
22
=−
xy
 
2) Pertence 
3) 
a) 1
832
22
=−
yx
 
b) 1
818
22
=−
yx
 
4) ( )2,6
3
2
,
3
14
e





−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 61 
5.3 A Parábola. 
 
Uma das curvas planas mais conhecidas e com várias aplicações na matemática 
e na engenharia é a parábola cuja definição matemática é: 
 
 
Um conjunto de infinitos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta 
diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano. 
 
 
O foco não pertence à diretriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.9 
 
 
)(ddMFdMparábolaMn nn =⇒∈ 
 
 
 
 
 
 
y pi 
F 
(d) diretriz 
nM 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 62 
5.3.1 Elementos da Parábola. 
 
A figura 5.10 mostra uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano, 
concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5.10 
 
Os elementos desta curva são: 
 
• Foco: é o ponto fixo F ; 
• Diretriz: é a reta fixa (d); 
• Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz; 
• Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo; 
• Parâmetro*: chamaremos de parâmetro (P) a distância do foco ao vértice, 
sendo então 2p a distância do foco à diretriz; 
• Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é 
perpendicular ao eixo e passa pelo foco. 
 
* alguns autores consideram o parâmetro p como sendo a distância entre o foco e a diretriz. 
Neste caso a distância
entre o foco e o vértice é 
2
p
. 
y 
x 
F(p,0) 
-p 
v 
L 
R 
(d) 
x=-p 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 63 
Como já foi dito, estudaremos primeiramente as equações reduzidas das 
parábolas. Neste caso o plano cartesiano terá a sua origem coincidindo com o 
vértice da parábola cujo eixo, e conseqüentemente seu foco, estará sobre um dos 
eixos coordenados. 
 
 
5.3.2 Equações Reduzidas da Parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja o ponto genérico parábolayxM ∈),( 
)(: ddMdMFmatemáticaDefinição = 
 
 
(d) 
 
00 =++
−=
pyx
oupx
 
22
00
2
12
2
12 )()(
:
ba
cbyax
dpr
yyxxd
lembrarpara
+
++
=
−+−=
 
y 
x 
F(p,0) 
-p 
v 
M(x,y) 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 64 







+=
+
++
=
+−=
px
pyx
ddM
ypxdMF
01
.0.1)(
)(
2
22
 
( )
pxyppxxyPpxx
pxypx
pxypx
então
422
)(
)(
222222
2222
22
=∴++=++−
+=+−
+=+−
 
 
podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equações reduzidas 
para as parábolas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. genérica reduzida de uma parábola com 
a concavidade voltada para a direita. 
 
x=-p 
y 
x 
F(p,0) 
-p 
pxy 42 = 
 
x=p 
y 
x 
F(-p,0) p 
pxy 42 −= 
F(0,p) 
y 
x 
-p 
 
y=-p 
pyx 42 = 
y 
x 
p 
F(0,-p) 
 
y=p 
pyx 42 −= 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 65 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola 
042 =− xy 
sol: 
xy 42 = 
vamos comparar a equação dada com a equação genérica pxy 42 = 
1
444
4
2
2
=



=⇒=
=
p
ppxy
xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine a equação da parábola cujo foco é 





− 0,
2
1F e a diretriz é a reta 012 =−x 
sol: 
a equação da diretriz pode ser escrita como 
2
1
=x 
pela posição do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parábola com vértice na 
origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equação genérica é pxy 42 −= 
seu parâmetro p vale 
2
1
. 
então: 
xy
xy
2
.
2
1
.4
2
2
−=
∴
−=
 
 
x=-1 
y 
x 
F(1,0) 
-1 
xy 42 = 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 66 
5.3.3 Exercícios propostos: 
1) Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e a 
equação da diretriz: 
a) yx 42 −= 
b) xy 62 = 
c) xy 82 −= 
d) 02 =+ yx 
e) 02 =− xy 
f) 032 =+ xy 
g) 0102 =− yx 
h) 092 2 =− xy 
i) 
16
2xy = 
j) 
12
2y
x −= 
2) Determinar a equação da parábola com vértice na origem, eixo sobre o eixo y 
e que passa pelo ponto M(6,3). 
3) Um arco parabólico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base. 
Se o vértice da parábola está no topo do arco, a que altura sobre a base o 
arco tem uma largura de 1,8m? 
4) Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do 
vértice ao foco é 30cm. Se o diâmetro do espelho é 10cm, qual a sua 
profundidade? 
5) Admita que a água que escoa do final de um tubo horizontal que está a 2,5m 
do chão descreva uma curva parabólica. O vértice da parábola está no final do 
tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo d’água curvou-
se 1,0m além da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distância 
desta reta a água tocará o chão? 
6) A diretriz da parábola pxy 42 = é tangente à circunferência que tem o foco da 
parábola como centro. Ache a equação da circunferência e os pontos de 
interseção das duas curvas. 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 67 
7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parábola é 4p. 
 
Respostas: 
1) 
a) 1;)1,0( =− yF 
b) 
2
3
;0,
2
3
−=





xF 
c) ( ) 2;0,2 =− xF 
d) 
4
1
;
4
1
,0 =





− yF 
e) 
4
1
;0,
4
1
−=





xF 
f) 
4
3
;0,
4
3
=





− xF 
g) 
2
5
;
2
5
,0 −=




 yF 
h) 
8
9
;0,
8
9
−=





xF 
i) ( ) 4;4,0 −=yF 
j) ( ) 3;0,3 =− xF 
2) yx 122 = 
3) m5,1 
4) cm208,0 
5) m77,1 
6) )2,()2,(;032 222 ppeppppxyx −=−−+ 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 68 
Capítulo 6 
Translação de Eixos Coordenados. 
 
 
6.1 Objetivo. 
 
Como vimos nos capítulos anteriores, podemos determinar equações para 
algumas curvas planas em relação a um determinado referencial. Se o referencial 
mudar de posição no plano em relação à curva, esta terá sua equação 
modificada. 
 
A figura 6.1 mostra uma curva plana qualquer e três sistemas de referência num 
mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 
 
 
Como temos três sistemas de referência diferentes podemos determinar três 
equações diferentes para a mesma curva em questão. Na verdade podemos 
determinar infinitas equações para uma mesma curva plana, pois podemos 
posicionar um sistema de referência em qualquer lugar do plano. 
O 
Y’ 
X’ O’ 
Y 
X 
Y’’ 
X’’ O’’ 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 69 
Em relação aos três sistemas da figura 6.1, nenhum deles nos dará uma equação 
reduzida para a curva, que é uma elipse, pois obviamente os focos e vértices da 
mesma não estão sobre nenhum eixo. 
 
Para obtermos uma equação reduzida para a elipse acima temos que posicionar 
um novo sistema de referência num local que atenda às exigências que vimos no 
capítulo 5. 
 
Este procedimento é o que chamamos de Translação de Eixos Coordenados. 
 
Então, o objetivo de uma translação de eixos coordenados é reduzir as equações 
de algumas curvas a uma forma mais simples. 
 
Numa translação de eixos não alteramos as características originais do sistema 
de referência, apenas mudamos de lugar, ou seja: 
 
dois sistemas cartesianos ''' YoXeXoY são transladados quando os eixos 
'''' YoeXo são respectivamente paralelos aos eixos .oYeoX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 
 
O 
Y’ 
X’ O’ 
Y 
X 
oYYoeoXXotranslaçãoexiste //// ''''⇔ 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 70 
Para ilustrar o que acabamos de ver, vamos resolver o seguinte exercício: 
 
Determinar a equação geral da circunferência cujo centro é )4,3(c e o raio .2=r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Em relação ao plano .XoY 
 
02186
0416896
2)4()3(
)()(
22
22
222
222
=+−−+
=−+−++−
=−+−
=−+−
yxyx
yyxx
yx
rkyhx
 
 
2. Agora vamos determinar a equação da mesma circunferência em relação 
ao sistema ''' YoX com eixos paralelos aos do sistema XoY e com sua 
origem no centro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
Y 
X 
C(3,4) 
2 
X 
X’ 
Y’ 
O’ 
O 
Y 
C(3,4) 
2 
sol: 
 
4)()( 2'2' =+ yx 
 
 
pois o centro da circunferência é o ponto (0,0) 
do sistema ''' YoX 
GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
 71 
Conclusão: 
Podemos observar que a equação da circunferência ficou bem mais simples em 
relação ao novo sistema transladado, inclusive os termos do 1º grau sumiram. 
Para uma translação bem feita, temos que saber onde posicionar a origem do 
novo sistema. No caso de uma circunferência, teremos uma equação reduzida se 
a origem do sistema coincidir com seu centro. 
Veremos a seguir como identificar a melhor localização do sistema de referência 
para as outras curvas cônicas. 
 
 
6.2 Relação Entre os Sistemas