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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à saúde Aula 2: Números decimais e regras de três Apresentação Nesta aula, você verá situações-problema que despertam a possibilidade de utilizar proporcionalidade direta por meio de regra de três de maneira prática. O cálculo com a regra de três é utilizado para explorar situações do cotidiano, principalmente aquelas ligadas aos procedimentos de investigação e de análise, que são importantes para o conhecimento matemático. Você também será apresentado ao vocabulário que expressa proporcionalidade entre grandezas. Objetivos Definir as propriedades dos números decimais; Identificar problemas envolvendo regras de três; Praticar as proporções entre as grandezas em uma regra de três. Frações decimais As frações decimais são todas aquelas que apresentam potências de 10 no denominador. Veja exemplos a seguir: 3 100 7 10 27 100 Números decimais Números decimais são aqueles que possuem uma vírgula indicando que o algarismo após a vírgula pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. Todos os números decimais finitos, infinitos e periódicos podem ser escritos na forma de fração. Fonte: Por Victeah / Shutterstock. Exemplo Veja exemplos de números decimais a seguir: • 0,3; • 0,09; • 0,19; • 0,567; • 0,4598; • 0,6786; • 12,1981; • 22,2012. Assista ao vídeo sobre número decimais <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith- decimals/modal/v/introduction-to-decimals> . Aplicações práticas dos números decimais Os números decimais podem ser muito usados no cotidiano. Veja, a seguir, possíveis exemplos de utilização. https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-decimals/modal/v/introduction-to-decimals Medição da altura de uma pessoa Medição da temperatura de um paciente Os números decimais também são comuns nos esportes. Imagine que, ao correr em um campeonato, o atleta conseguiu bater o recorde mundial em 14,596 milésimos de segundo na prova dos 100 metros rasos. Observe a identificação das casas desse número decimal. Fonte: Autoria própria. Transformações de frações decimais em números decimais Para transformar uma fração decimal em um número decimal, o numerador deve apresentar a mesma quantidade de casas decimais que a quantidade de algarismos zero do denominador. Entenda como isso ocorre com os exemplos a seguir. 7/10 = 0,7 Um zero/ uma casa decimal 37/1000 = 0,037 Três zeros/ três casas decimais 3/100 = 0,03 Dois zeros/ duas casas decimais Transformação de números decimais em fração decimal Como você já viu como transformar frações decimais em números decimais, veja, agora, como deve ser feito o caminho inverso, ou seja, como transformar os números decimais em frações decimais. Numerador Denominador Escreve-se o número como se não houvesse a vírgula. Escreve-se a unidade seguida de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal. Veja os exemplos a seguir: 0,27 = 27/100 Duas casas decimais/ dois zeros 0,345 = 345/1000 Três casas decimais/ três zeros 3,7 = 37/10 Uma casa decimal/ um zero Leitura de números decimais A leitura dos decimais deve obedecer a seguinte ordem: 1 A parte inteira do numeral. 2 A parte decimal: • Décimos se existir uma casa decimal; • Centésimos se existir duas casas decimais; • Milésimos se existir três casas decimais; • Décimos de milésimos se existir quatro casas decimais; • Centésimos de milésimos se existir cinco casas decimais; • Milionésimos etc. Exemplo 2,7 = 27/10 = 27 décimos. 5,37 = 537/100 = quinhentos e trinta e sete centésimos. 7,0012 = 70012/10000 = setenta mil e doze décimos de milésimos. Fonte: Por mizar_21984 / Shutterstock. Operações com números decimais: adição e subtração Para começar, veja como são feitas a adição e a subtração com decimais. Adição 3,6 + 15,21 + 8,093 = 26,903 3, 6 + 15, 21+ 8, 093 3 soma os milésimos 03 soma centésimos ,903 soma décimos 6,903 soma unidades 26,903 soma dezenas Subtração 37,46 – 2,18 = 35,28 37,46 -2,18 8 subtração centésimo ,28 subtração décimo 5,28 subtração unidade 35,28 subtração dezena Atividade 2. Em uma corrida entre atletas, foi medido o tempo gasto de cada um para realizar uma prova de 200 metros, como mostra a tabela: a) Qual é a diferença de tempo entre os participantes que chegaram em primeiro e último lugar? A diferença passa de 3 segundos? b) Entre quais participantes houve menos diferença de tempo? Justifique. c) Entre quais participantes houve a maior diferença entre o tempo? Justifique. Atleta Tempo(s) A 16,498 B 15,321 C 16,984 D 16,008 E 17,002 F 14,234 G 15,458 3. O gráfico mostra a venda de veículos de uma indústria fictícia, em determinado período de tempo. Venda de veículos (em mil unidades) a) Em qual mês desse período a venda de veículos foi maior? b) Em março de 2007, foram vendidos mais veículos do que em agosto de 2007. Quantos veículos a mais? c) Qual foi o total de veículos vendidos nos cinco últimos meses de 2006? d) Calcule o total de veículos vendidos por essa indústria nos cinco primeiros meses de 2007. 4. João tem R$84,30 e Pedro tem R$31,50 a mais que João. José tem R$54,25 a mais que Pedro. Quanto têm os três juntos? Operações com números decimais: multiplicação e divisão Veja como realizar a multiplicação de números decimais em diferentes situações. Clique nos botões para ver as informações. A vírgula desloca-se para a direita tantas casas quantos forem o número de zeros. Exemplo: 2,5 x 10 = 25 0,3 x 1000 = 300 2,5 x 100 = 250 12,56 x 10 = 125,6 0,0042 x 100 = 0,42 Por 10, 100, 1000, ... Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O número de casas decimais do produto é igual à soma do número de casas decimais dos fatores. Exemplo: 2,46 x 3,2 246 x 32 492 738฿, 7872 (฿= espaço em branco) Ao somar as duas casas decimais de 2,46 com uma casa decimal de 3,2, o resultado do produto terá três casas decimais, ou seja, 7,872. De decimais por decimais Agora, veja como realizar a divisão. Clique nos botões para ver as informações. A vírgula desloca-se para a esquerda de acordo com o número de casas o número possuir. Exemplo: 2,5 ÷ 10 = 0,25 412,3 ÷ 100 = 4,123 5,6 ÷ 1000 = 0,0056 0,35 ÷ 10 = 0,035 Por 10, 100, 1000, ... Para realizar a divisão entre números decimais, é necessário que ambos tenham a mesma quantidade de números após a vírgula. Para isso, acrescentamos zeros ao fim do número até que consigamos igualar a quantidade de casas decimais. Feito isso, desconsideramos as vírgulas e realizamos a divisão. Exemplo: a) 2,5 ÷ 0,05 b) 2,1÷ 0,7 De decimais por decimais Atividade 5. Determine as somas e as subtrações. a) 6,52 + 4,58 = digite a resposta b) 7,318 + 3,002 = digite a resposta c) 10,94 – 6,328 = digite a resposta d) 12,345 – 9,12 = digite a resposta e) 13,8 +22,234 + 0,567 = digite a resposta f) 7 + 3,45 + 0,432 = digite a resposta g) 0,856 – 0,046 = digite a resposta h) 0,09 + 4,97 + 5,1 + 0,5 = digite a resposta 6. Efetue os produtos. a) 4,5 x 0,4 = digite a resposta b) 3,4 x 1,2 = digite a resposta c) 0,45 x 0,5 = digite a resposta d) 3,25 x 0,15 = digite a resposta e) 0,48 x 0,005 = digite a resposta f) 1,047 x 0,02 = digite a resposta g) 25 x 0,04 = digite a resposta h) 0,425 x 100 = digite a resposta 7. Calcule os quocientes. a) 1,5 ÷ 0,5 = digite a resposta b) 0,08 ÷ 0,04 = digite a resposta c) 3,4 ÷ 0,17 = digite a resposta d) 10 ÷ 0,25 = digite a resposta e) 34,5 ÷ 10 = digite a resposta f) 21,8 ÷ 4,36 = digite a resposta g) 77 ÷ 0,7 = digite a resposta h) 0,88 ÷ 8 = digite a resposta Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Diretamente proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma implica no aumento da outra. Ao dobrarmos uma grandeza, a outra também será dobrada. Ao triplicarmos uma, a outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. Inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamenteproporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma delas, a outra se reduz à metade. Quando triplicamos uma delas, a outra fica reduzida à terça parte. a e c são os extremos e b e c são os meios. a:b = c:d ou = → a × d = b × c a b c d Dessa forma, a está para b, assim como c está para d. Exemplo Os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x respectivamente. Nessas condições, o valor de x que torna essa afirmação verdadeira é o seguinte: = → 6x = 120 → x = 206 10 12 x Observe agora essa situação: Um ciclista faz um treino para a prova de 1000 metros contra o relógio, mantendo, em cada volta, uma velocidade constante, obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo. Velocidade (m/s) Tempo (s) 5 200 8 125 10 100 16 62,5 20 50 Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s → 200s 10 m/s → 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s → 200s 20 m/s → 50s Observamos que essas duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais, pois, quando uma aumenta, a outra diminui. Nesse caso, a razão inversa de proporcionalidade é ½. Regra de três simples Quando conhecemos três valores de um problema e desconhecemos apenas um em uma relação entre duas grandezas, poderemos chegar à solução utilizando os princípios da regra de três simples. Para isso, basta multiplicar os meios e os extremos entre si. Passos utilizados numa regra de três simples 1 Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezasde espécies diferentes em correspondência. 2 Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3 Montar a proporção e resolver a equação. Exemplo Exemplo 1 Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m , uma lancha com motor movido à energia solar consegue produzir 400 watts por hora. Aumentando essa área para 1,5m , qual seria a energia produzida? Observe que, aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Dessa forma, podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação, temos: Exemplo 2 Uma equipe de operários, trabalhando oito horas por dia, realizou determinada obra em vinte dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para cinco horas por dia, em que prazo a equipe faria o mesmo trabalho? Observe que, diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Assim, podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Após montar a proporção e resolver a equação, temos: Logo, diminuindo o número de horas, aumentará o número de dias para o término do trabalho. 2 2 Área (m ) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x 2 = 1,2 1,5 400 x 1,2x = 600 x = 500Wh Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x =5 20 8 x 5x = 160 x = 32 dias Regra de três composta Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente proporcionais, num determinado problema, existem seis valores, cinco conhecidos e um desconhecido, pode-se encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta. Exemplo Usando um ferro elétrico 40 minutos por dia, durante quinze dias, o consumo de energia será de 8 kWh. Qual será o consumo do mesmo ferro elétrico se ele for usado 50 minutos por dia, durante 20 dias? Logo: O consumo será de, aproximadamente, 13,3 kWh. Min/dia dias kW/h 40 15 8 50 20 x = =8 x 40 50 15 20 =8 x 600 1000 =600x x 8000 13,33 Atividade 8. Uma obra foi concluída em 60 dias, com cinco pedreiros e dez aprendizes. Sabendo que o trabalho de dois aprendizes equivale ao de um pedreiro, quantos dias seriam necessários para concluir a mesma obra se dispuséssemos de seis pedreiros e doze aprendizes? 9. Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que são aproveitados 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas 90% de produtos do tipo B. O comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o melhor custo/benefício em cada um deles. A tabela a seguir mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado. Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente: PRODUTO TIPO A TIPO B Arroz 2,00 1,70 Feijão 4,50 4,10 Soja 3,80 3,50 Milho 6,00 5,30 a) A, A, A, A. b) A, B, A, B. c) A, B, B, A. d) B, A, A, B. e) B, B, B, B. Notas Referências MATEMÁTICA BÁSICA. Regra de Três. Disponível em: //www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTres.aspx <//www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTres.aspx> . Acesso em: 21 nov. 2018. Próxima aula Porcentagem; Notação Científica. Explore mais Assista ao vídeo sobre Constante de proporcionalidade a partir de uma tabela (com equações). <https://pt.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-ratio-proportion/modal/v/proportionality-constant-from- table > ; Assista ao vídeo sobre números decimais < https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith- decimals/modal/v/introduction-to-decimals > . Assista ao vídeo sobre como identificar décimos em uma reta numérica <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith- decimals/arith-review-decimals-number-line/v/identifying-tenths-on-a-number-line-math-4th-grade-khan-academy > ; Assista ao vídeo sobre a divisão de números decimais com centésimos <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith- decimals/arith-review-dividing-decimals/v/dividing-decimals-with-hundredths > ; Assista ao vídeo e analise a proporção direta <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre- algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3 > ; Assista ao vídeo sobre a razão inversamente proporcional <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios- rates/pre-algebra-proportional-rel/v/banana-proportionality > . http://www.matematicadidatica.com.br/RegraDeTres.aspx https://pt.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-ratio-proportion/modal/v/proportionality-constant-from-table https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-decimals/modal/v/introduction-to-decimals https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-decimals/arith-review-decimals-number-line/v/identifying-tenths-on-a-number-line-math-4th-grade-khan-academy https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/arith-decimals/arith-review-dividing-decimals/v/dividing-decimals-with-hundredths https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/analyzing-and-identifying-proportional-relationships-ex3 https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/banana-proportionality
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