teoria ancoragem

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2004 7-1 ufpr/tc405 
7 
7ADERÊNCIA ENTRE O CONCRETO E O AÇO 
7.1 Tipos de aderência 
A aderência entre o concreto e o aço pode ser obtida: 
− por adesão (Figura 7.1a); 
− por atrito (Figura 7.1b); e 
− mecanicamente (Figura 7.1c) 
 
Figura 7.1 - Tipos de aderência 
A aderência mecânica, conseguida através de mossas ou saliências, é a mais eficiente de 
todas. 
A caracterização da superfície de aderência das barras de aços destinados a armaduras 
para concreto armado é feita pelo coeficiente de conformação superficial η, através ensaio 
estabelecido na NBR 7477. Os valores mínimos para este coeficiente, apresentados na NBR 7480 
são estabelecidos em função da categoria do aço. Para a NBR 6118, a conformação superficial é 
medida pelo coeficiente η1. Os valores para este coeficiente são estabelecidos em função do tipo 
de superfície lateral das barras. As relações entre os coeficientes η e η1, apresentadas pela 
NBR 6118, item 8.3.2, são mostradas na Tabela 7.11. 
Superfície η1 η 
Lisa (CA-25) 1,00 ≥ 1,0 
Entalhada (CA-60) 1,40 ≥ 1,5 
Nervurada (CA-50) 2,25 ≥ 1,5 
Tabela 7.1 - Relação entre η e η1 
7.2 Ancoragem de barras tracionadas 
Seja a Figura 7.2 onde é mostrada a transferência da força normal Fs atuante na barra de 
aço para o bloco de concreto. Esta transferência de força é possível devido ao desenvolvimento 
de tensões tangenciais de aderência τb,x entre a armadura e o concreto. 
 
1 A NBR 6118, item 8.3.2, define o coeficiente de conformação superficial da NBR 7480 como sendo ηb. 
 As barras nervuradas são, também, referidas como de alta aderência. 
concreto 
aço 
a) b) c) 
2004 7-2 ufpr/tc405 
 
Figura 7.2 - Transferência de força normal 
Fazendo o equilíbrio de forças atuantes no seguimento de barra dx, tem-se: 
)d(AdxuA x,sx,ssx,bx,ss σ+σ=τ+σ 
x,ssx,b dAdxu σ=τ 
x,s
2
x,b d4
dx σπφ=τφπ 
dx
d
4
x,s
x,b
σ
⋅
φ
=τ 
x,b
x,s 4
dx
d
τ⋅
φ
=
σ
 Equação 7.1 
A solução da Equação 7.1 só é possível se for conhecida a variação de τb,x ao longo de x. A 
solução simplificada (usada em projeto com a introdução de coeficientes de segurança 
adequados) consiste em adotar para τb,x um valor constante, admitindo as tensões de aderência 
uniformemente distribuídas ao longo do trecho da barra situado dentro do bloco de concreto 
(Figura 7.3). Nestas condições tem-se: 
unif,b
x,s 4
dx
d
τ⋅
φ
=
σ
 
dx4d unif,bx,s 





τ⋅
φ
=σ 
∫∫ 




τ⋅
φ
=σ dx4d unif,bx,s 
x4 unif,bx,s 





τ⋅
φ
=σ Equação 7.2 
dx 
φ 
σs = Fs / As 
τb,x 
σs,x 
x 
Fs 
τb,x 
dx tensões tangenciais de aderência 
tensões normais na barra 
As = πφ2/4 
u = πφ 
φ 
σs,x + dσs,x 
2004 7-3 ufpr/tc405 
A Equação 7.2 corresponde a uma reta e a Figura 7.3 mostra o esquema simplificado de 
transferência de força atuante na barra para o bloco de concreto (τb,unif é constante e σs,x varia 
linearmente). Em se tratando de valores de projeto (valores de cálculo), o valor da tensão normal 
σs deve ficar limita a fyd. 
 
Figura 7.3 - Comprimento de ancoragem 
Do exposto na Figura 7.3, torna-se possível determinar o comprimento de ancoragem 
necessário lb,nec para tornar nula, no final da barra, a tensão normal nela atuante, ou seja, o 
comprimento de ancoragem necessário para que a força atuante na barra possa ser transferida 
para o concreto. Do diagrama de tensões normais mostrado na Figura 7.3 pode-se estabelecer: 
s
s
sx,snec,b
x,s
A
Fx
00x
=σ=σ⇒=
=σ⇒=
l
 
Introduzindo os valores de lb,nec e σs na Equação 7.2, tem-se: 
nec,bunif,bs
4
l





τ⋅
φ
=σ 
unif,b
s
nec,b 4 τ
σ
⋅
φ
=l Equação 7.3 
7.3 Influência da posição da barra 
A qualidade da aderência varia em função da posição da barra. Barras horizontais situadas 
na parte superior de uma viga ou de uma laje têm qualidade de aderência inferior àquelas 
colocadas na parte inferior. Devido à segregação do concreto fresco, ocorre um acúmulo de água 
sob as barras horizontais superiores, conforme mostrado na Figura 7.4. Posteriormente, sendo 
esta água absorvida pelo concreto, vazios serão formados na parte inferior das barras superiores 
diminuindo, conseqüentemente, a qualidade da aderência. A sedimentação do cimento que ocorre 
antes do início da pega e a exudação do excesso de água de amassamento também contribuem 
para a pior qualidade de aderência do concreto situado na parte superior de uma viga ou laje 
(Figura 7.4). 
φ 
σs = (Fs / As) ≤ fyd 
τb,unif 
x 
Fs 
τb,unif 
lb,nec 
tensões tangenciais de aderência 
tensões normais na barra 
σs,x = (4/φ) (τb,unif) x 
2004 7-4 ufpr/tc405 
 
Figura 7.4 - Qualidade da aderência - armadura horizontal superior 
A NBR 6118, item 9.3.1, considera os trechos de barras em boa situação de aderência 
quando estiverem em uma das posições seguintes: 
a. com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; 
b. horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que 
(Figura 7.5): 
− para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima 
da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; 
− para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo 
da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. 
Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem 
ser considerados em má situação quanto à aderência. 
 
Figura 7.5 - Situações de boa e má aderência para armaduras horizontais 
Em termos gerais pode-se dizer que as armaduras negativas (armaduras horizontais 
superiores) de vigas e lajes com altura superior a 30 cm então em situações de má aderência. As 
armaduras positivas de lajes e vigas (armaduras horizontais inferiores), bem como as armaduras 
de pilares (armaduras verticais), de modo geral, estão em situação de boa aderência. 
 
Figura 7.6 - Armaduras em situações de boa e má aderência 
água acumulada sob a barra 
água de exudação 
armadura superior 
concreto 
h < 60 cm 
boa aderência 30 cm 
30 cm 
h ≥ 60 cm 
má aderência 
boa aderência 
má aderência 
boa aderência 
má aderência 
bo
a 
ad
er
ên
ci
a 
pilares 
vigas ou lajes com h > 30 cm 
(h ≤ 30 cm ⇒ só boa aderência) 
h > 30 cm 
2004 7-5 ufpr/tc405 
7.4 Resistência de aderência de cálculo 
A NBR 6118, item 9.3.2.1, estabelece que a resistência de aderência de cálculo entre 
armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte 
expressão: 
ctd321bd ff ηηη= Equação 7.4 
sendo: 
c
inf,ctk
ctd
f
f
γ
= 





=η
aderência alta ou nervuradas barras25,2
entalhadas barras40,1
lisas barras00,1
1 




=η
aderência má de situações70,0
aderência boa de situações00,1
2 




=φ
≤φ
=η
mm 40 92,0
mm 32 00,1
3 
Na falta de ensaios para a determinação mais precisa do valor da resistência à tração do 
concreto característica, é permitido pela NBR 6118, item 8.2.5, o uso das seguintes expressões: 
mct,supctk,
mct,infctk,
3 2
ckmct,
f 3,1f
MPa em valoresf 0,7f
f 0,3f
=
=
=
 Equação 7.5 
Sendo fckj ≥ 7MPa, as expressões da Equação 7.5 podem também ser usadas para idades 
diferentes de 28 dias. 
Combinando a Equação 7.4 e a Equação 7.5, tem-se: 
3 2
ck
3 2
ckmct,infctk, f 0,21f 0,37,0f 0,7f =


×== 
c
3 2
ck
c
inf,ctk
ctd
f 0,21f
f
γ
=
γ
= 








γ
ηηη=ηηη=
c
3 2
ck
321ctd321bd
f 0,21
ff 
MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= Equação 7.6 
Os valores de γc estão mostrados na Tabela [3.7] e para o ELU valem: 





=γ
isexcepciona scombinaçõe20,1
construção de ou especiais scombinaçõe20,1
normais scombinaçõe40,1
c 
Exemplo 7.1: Determinar o valor de fbd para a região superior de uma viga de concreto armado 
que terá 70 cm da altura. 
 Considerar: 
 – concreto: C25; 
 – barra nervurada: φ 40 mm; e 
 – combinação normal de carregamento - ELU. 
Solução: O valor de fbd é determinado pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor2,25 que corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 
que corresponde a situação de má aderência, região superior de viga de 70 cm 
(ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 0,92 que corresponde a barra 
2004 7-6 ufpr/tc405 
de diâmetro 40 mm; e para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a 
combinação de normal de carregamento - ELU. 
a. Dados 
 C25MPa 25fck = 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência má de situação70,02 =η 
 mm 40 92,03 =φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 MPa ,86125
4,1
92,07,025,221,0f 3 2bd =




 ×××= 
 
Os valores de fbd para situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou menor 
que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.2. 
fbd 
 φ ≤ 32 mm (boa aderência) γc = 1,40 
barras concreto 
lisas entalhadas nervuradas 
C20 1,11 MPa 1,55 MPa 2,49 MPa 
C25 1,28 MPa 1,80 MPa 2,89 MPa 
C30 1,45 MPa 2,03 MPa 3,26 MPa 
C35 1,60 MPa 2,25 MPa 3,61 MPa 
C40 1,75 MPa 2,46 MPa 3,95 MPa 
C45 1,90 MPa 2,66 MPa 4,27 MPa 
C50 2,04 MPa 2,85 MPa 4,58 MPa 
Tabela 7.2 - Valores de fbd1 
7.5 Comprimento de ancoragem - valores de cálculo 
Os valores de cálculo para comprimento de ancoragem de barras, a serem usados em 
projetos de estruturas de concreto armado, são obtidos da Equação 7.3 substituindo τb,unif por fbd, 
de tal forma que: 
bd
s
nec,b f4
σ
⋅
φ
=l Equação 7.7 
No caso particular em que a tensão normal σs corresponde ao valor limite de cálculo fyd, 
tem-se: 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l Equação 7.8 
A NBR 6118, item 9.4.2.4, define o valor de lb da Equação 7.8 como sendo o comprimento 
de ancoragem básico, necessário para ancorar a força limite As fyd, atuante na barra, admitindo, ao 
longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd. 
Deve ser observado que o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec da 
Equação 7.7) será sempre menor ou igual ao comprimento de ancoragem básico (lb da 
Equação 7.8) pois σs ≤ fyd. 
 
1 Para situação de má aderência, multiplicar os valores da tabela por 0,7. 
2004 7-7 ufpr/tc405 
NBR 6118: 
9.4.2.4 Comprimento de ancoragem básico 
"Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra 
de armadura passiva necessário para ancorar a força limite As fyd nessa barra, 
admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a 
fbd, conforme item 9.3.2.1.” 
O comprimento de ancoragem básico é dado por: 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
9.4.2.5 Comprimento de ancoragem necessário 
O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: 
min,b
ef,s
cal,s
bnec,b A
A
lll ≥α= 
sendo: 
α = 1,0 para barras sem gancho; 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal 
ao do gancho ≥ 3φ; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e 
gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; 
lb calculado conforme 9.4.2.4; 
lb,min o maior valor entre 0,3lb, 10φ e 100 mm 
Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento 
de ancoragem necessário. 
Deve ser observado que a apresentação do comprimento de ancoragem necessário 
apresentado pelo item 9.4.2.5 da NBR 6118, aparentemente, difere do estabelecido pela 
Equação 7.7. No entanto, os dois modos de apresentação são equivalentes, como demonstrado a 
seguir. 
A Equação 7.7 decorre da Figura 7.3 onde é mostrado que: 
ef,s
s
s
s
s A
F
A
F
==σ 
onde As representa a área da seção transversal efetiva (As,ef) da barra tracionada pela força Fs. 
Desta forma, a Equação 7.7 pode ser escrita 
ef,s
s
bdbd
s
nec,b A
F
f
1
4f4
⋅⋅
φ
=
σ
⋅
φ
=l 
Como uma força pode ser sempre representada pelo produto de uma área por uma tensão, 
para a força Fs vale: 
ydcal,ss fAF ×= 
onde As,cal representa a área a ser calculada (As,cal ≤ As,ef), para que a tensão σs atuante na barra 
tracionada pela força Fs resulte igual a fyd. Desta forma, tem-se: 
ef,s
ydcal,s
bdef,s
s
bd
nec,b A
fA
f
1
4A
F
f
1
4
×
⋅⋅
φ
=⋅⋅
φ
=l 
ou ainda: 
ef,s
cal,s
b
ef,s
cal,s
bd
yd
nec,b A
A
A
A
f
f
4
ll =⋅⋅
φ
= Equação 7.9 
A Equação 7.9 é, portanto, a mesma apresentada pela NBR 6118, item 9.4.2.5, a menos do 
fator α. 
Desta forma, o valor de lb,nec pode ser calculado por: 
2004 7-8 ufpr/tc405 





φ≥α=
cm10
10
3,0
A
A b
ef,s
cal,s
bnec,b
l
ll Equação 7.10 
A combinação da Equação 7.7 com a Equação 7.9, resulta em: 
ef,s
cal,s
bd
yd
bd
s
nec,b A
A
f
f
4f4
××
φ
=
σ
×
φ
=l 
de tal forma que, a tensão atuante na barra tracionada fica definida por: 
yd
ef,s
cal,s
s fA
A
×=σ Equação 7.11 
Exemplo 7.2: Determinar o valor do comprimento de ancoragem básico das barras de 
armadura positiva (armadura inferior) a ser usado em vigas de concreto armado 
a serem construídas com concreto classe C20 e aço CA-50. Considerar apenas 
barras nervuradas com diâmetros inferiores a 40 mm e combinações normais de 
carregamento - ELU. 
Solução: O valor de lb é determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela 
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra 
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de 
boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); para η3 deverá ser usado 
o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc 
deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações normal de 
carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que corresponde a 
combinações normal de carregamento - ELU. 
a. Dados 
 C20MPa 20fck = 
 CA50MPa 500fyk = 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência boa de situação00,12 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 MPa 435
1,15
500ff
s
yk
yd ==γ
= 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 MPa 2,4920
4,1
0,10,125,221,0f 3 2bd =




 ×××= 
c. lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 44
49,2
435
4b
l 
 
Os valores de lb para CA-50, situações de boa aderência e barras com diâmetro igual ou 
menor que 32 mm estão mostrados na Tabela 7.3. 
2004 7-9 ufpr/tc405 
lb 
 γc = 1,40 
 γs = 1,15 
φ ≤ 32 mm 
(boa aderência) CA-50- 
Barras concreto 
Lisas entalhadas nervuradas 
C20 98φ 70φ 44φ 
C25 85φ 61φ 38φ 
C30 75φ 54φ 33φ 
C35 68φ 48φ 30φ 
C40 62φ 44φ 28φ 
C45 57φ 41φ 25φ 
C50 53φ 38φ 24φ 
Tabela 7.3 - Comprimento de ancoragem básico - CA-501 
7.6 Redução do comprimento de ancoragem 
7.6.1 Ganchos das armaduras de tração 
Uma das maneiras permitida pela NBR 6118 para a redução de comprimentos de 
ancoragem é através do uso de ganchos em armaduras tracionadas. Estes ganchos podem ser 
(item 9.4.2.3): 
a. semi-circulares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2φ (Figura 7.7.a) ; 
b. em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4φ 
(Figura 7.7.b) ; e 
c. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ (Figura 7.7.c). 
 
Figura 7.7 – Tipos de ganchos 
Para as barras lisas, os ganchos devem ser semi-circulares. 
O diâmetro interno da curvatura (φpin) dos ganchos das armaduras longitudinais de tração 
deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 7.4. 
Tipo de Aço Bitola (mm) 
CA-25 CA-50 CA-60 
<20 4φ 5φ 6φ 
≥20 5φ 8φ - 
Tabela 7.4 – Diâmetro dos pinos de dobramento 
É importante observar que o uso de ganchos em barras tracionadas é bastante restrito. A 
necessária cobertura de concreto (3φ), no plano normal ao do gancho, praticamente, só ocorre 
nas extremidades de vigas que terminam em vigas, como mostrado na Figura 7.8. O gancho da 
armadura da viga V2, tem, dentro da viga V1, cobertura lateral de concreto maior que 3φ. Para 
outras barras da viga V1, posicionadas fora do encontro das vigas, torna-se mais difícil a obtençãodo cobrimento exigido pela NBR 6118. 
 
1 Para situação de má aderência, dividir os valores da tabela por 0,7. 
2φ 
φpin φ 
a) 
4φ 
φpin φ 
b) 
8φ 
φpin φ 
c) 
2004 7-10 ufpr/tc405 
 
Figura 7.8 – Ganchos em extremidade de viga 
7.6.2 Barras transversais soldadas 
Outra maneira permitida pela NBR 6118 para a redução de comprimentos de ancoragem é 
através do uso de barras transversais soldadas (Figura 7.9), desde que (item 9.4.2.2): 
a. o diâmetro da barra soldada seja maior ou igual a 60% do diâmetro da barra ancorada 
(φt ≥ 0,6 φ); 
b. a distância da barra transversal ao ponto de início da ancoragem seja maior ou igual 5 
vezes o diâmetro da barra ancorada (≥ 5 φ); e 
c. a resistência ao cisalhamento da solda seja maior ou igual a 30% da resistência da 
barra ancorada (0,3 As fyd). 
 
Figura 7.9 – Ancoragem com barras transversais soldadas 
7.7 Diagrama Rsd1 
Conforme mostrada na Figura 7.3, as armaduras necessitam, em sua parte final, de um 
determinado comprimento para se fixarem (ancorarem) dentro da massa de concreto. Desta forma 
o diagrama de tensões normais possível de ser desenvolvido em uma barra de aço destinada a 
armadura para concreto armado é o mostrado na Figura 7.10. 
 
1 R de resistência, s (minúsculo) de "steel" (aço) e d de "design" (projeto/cálculo). 
lb,nec 
≥ 5φ 
φ 
lb,nec 
≥ 5φ 
φ 
lb,nec 
≥ 5φ 
φ 
φt 
lb,nec 
≥ 5φ 
φ 
V2 
V1 
V2 
V1 
≥ 3φ 
2004 7-11 ufpr/tc405 
 
Figura 7.10 - Diagrama de tensões normais em barras de aço para 
concreto armado 
Deve ser observado na Figura 7.10 que a tensão normal na barra σs só pode atingir o valor 
máximo fyd se houver espaço suficiente para ancoragem com o desenvolvimento do comprimento 
de ancoragem básico lb (lado direito do diagrama). Quando o espaço necessário para a 
ancoragem da barra é restrito (lado esquerdo do diagrama), onde somente o comprimento de 
ancoragem necessário lb,nec pode ser desenvolvido, a tensão normal σs é menor que fyd. 
Se as ordenadas mostradas no diagrama de tensões da Figura 7.10 forem multiplicas por As 
(área da seção transversal da barra) chega-se ao diagrama de força resistente Rsd, como 
mostrado na Figura 7.11 (trocou-se tensão por força). 
 
Figura 7.11 - Diagrama Rsd (esforço resistente de cálculo) 
σs 
lb,nec lb 
fyd 
início da ancoragem 
As 
Rsd = As σs 
lb,nec lb 
Rsd = As fyd 
início da ancoragem 
As 
2004 7-12 ufpr/tc405 
Exemplo 7.3: Determinar o diagrama de força resistente de cálculo Rsd para as armaduras 
negativas (tracionadas) da viga abaixo indicada. 
 Considerar: 
 – concreto: C20; 
 – barra nervurada: CA-50; 
 – combinação normal de carregamento - ELU; e 
 – σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barra usando a Equação 7.8, com 
fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que 
corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que 
corresponde a situação de má aderência, região superior de vigas (ver Figura 7.6); 
para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor 
que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações 
normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que 
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. Os diagramas 
individuais Rsd (N1, N2 e N3) são obtidos de módulo análogo ao apresentado na 
Figura 7.11 usando somente valores lb na horizontal e As fyd na vertical. Por se 
tratar de armadura negativa, os valores das forças deverão ser posicionados "para 
cima", contrário ao apresentado na Figura 7.11 que corresponde a armaduras 
positivas ("para baixo"). O diagrama final Rsd corresponde à somatória dos 
diagramas individuais. 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 C20kN/cm 2MPa 20f 2ck == 
 CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência má de situação70,02 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 2
s
yk
yd kN/cm 5,43MPa 4351,15
500ff ===
γ
= 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm 0,174MPa 1,74204,1
0,17,025,221,0f ==




 ×××= 
N1 φ 12,5 – 280 cm 
2N2 φ 16 – 510 cm 
2N3 φ 16 – 620 cm - 2ª cam 
A 
A N3 
N2
N1 
Corte AA 
2004 7-13 ufpr/tc405 
c. lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 63
174,0
5,43
4b
l 
 
cm100mm10081663mm 16
cm80mm5,7875,1263mm 12,5
b
b
≈=×=⇒=φ
≈=×=⇒=φ
l
l
 
d. Diagramas individuais das forças resistentes de cálculo 
d.1. φ 12,5 mm, lb = 80 cm 
 2
22
s cm ,2314
1,25 
4
A =π=πφ= 
 kN 53,543,5,231fAR ydssd =×== 
d.2. φ 16 mm, lb = 100 cm 
 2
22
s cm ,0124
1,6 
4
A =π=πφ= 
 kN 87,443,52,01fAR ydssd =×== 
e. Diagrama Rsd 
 
80 cm 
53,5 kN 
87,4 kN 
100 cm 
100 cm 
2 x 87,4 = 174,8 kN 2N3 
80 cm 
1 x 53,5 = 53,5 kN N1 
403,1 kN 
349,6 kN 
174,8 kN 
0 kN 
Rsd 
100 cm 
2N2 2 x 87,4 = 174,8 kN 
2004 7-14 ufpr/tc405 
7.8 Diagrama MRd1 
Seja a Figura 7.12, onde são mostradas as solicitações e resistências atuantes em um 
trecho de viga de concreto armado de seção retangular. 
 
Figura 7.12 - Esforços e solicitações em vigas de concreto armado 
Se neste trecho de viga a solicitação de cálculo corresponder somente ao momento fletor 
MSd, são válidas as seguintes expressões: 
sdcd RR = 
cdwcd fyb85,0R = 
sssd AR σ= 
zRzRM sdcdRd == 
Portanto: 
sscdw Afyb85,0 σ= 
cd
s
w
s
fb
A
85,0
1y
σ
⋅⋅= 
2
ydz −= 





 σ
⋅⋅−=
cd
s
w
s
fb
A
7,1
1dz 













 σ
⋅⋅−=
cd
s
w
s
fdb
A
7,1
11dz 





 σ
⋅⋅−==β
cd
s
w
s
z fdb
A
7,1
11
d
z Equação 7.12 
Introduzindo o valor de βz na equação de MRd, tem-se: 
( ) ( )( )dAdRzRM zsszsdsdRd βσ=β== 
dAM zssRd βσ= Equação 7.13 
Admitindo que εyd ≤ εs ≤ 10‰2, do diagrama tensão-deformação do aço (Figura [4.5]) 
pode-se estabelecer: 
yds f=σ 
 
1 M de momento, R (maiúsculo) de resistência e d de "design" (projeto/cálculo). 
2 Esta condição para εs corresponde aos domínios 2 e 3 da Figura [5.3]. Corresponde, também, às vigas 
subarmadas (dúteis, se βx observar os limites estabelecidos pela Equação [5.2]). 
y 
h z = d - 0,5y 
σc 
∆l 
Rsd εs 
εc 
MSd 
bw 
d 
As 
Rcd 
MRd 
esforço resistente 
de cálculo 
solicitação de 
cálculo 
2004 7-15 ufpr/tc405 






⋅⋅−==β
cd
yd
w
s
z f
f
db
A
7,1
11
d
z Equação 7.14 
dfAM zydsRd β= Equação 7.15 
A Equação 7.13 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para barras ancoradas 
com lb,nec (σs < fyd) e a Equação 7.15 corresponde ao momento fletor resistente de cálculo para 
barras ancoradas com lb (σs = fyd). 
O diagrama de momento fletor resistente MRd de uma barra, definido pela Equação 7.13 e 
pela Equação 7.15, é análogo ao diagrama da Figura 7.11, com ordenada As σs βz d para 
ancoragem lb,nec (σs < fyd) e ordenada As fyd βz d para ancoragem lb (σs = fyd), como mostrado na 
Figura 7.13. De modo simplificado pode-se dizer que o digrama de momento fletor resistente MRd 
é obtido do diagrama Rsd multiplicando suas ordenadas pelo braço de alavanca z (βz d). 
 
Figura 7.13 - Diagrama MRd (momento resistente de cálculo) 
Exemplo 7.4: Determinar o diagrama de momento resistente de cálculo MRd para as armaduras 
positivas (tracionadas) da viga abaixo indicada. A viga tem 20 cm de base e 
50 cm de altura útil. 
 Considerar: 
 – concreto: C25; 
 – barra nervurada: CA-50; 
 – combinação normal de carregamento - ELU; e 
 – σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
 
210 
A 
A B 
B 
N1 φ 16 – 350 cm 
2N2 φ 16 – 750 cm 
2N3 φ 16 – 880 cm 
N3 
BB AA 
N3 
N2 
d 
MRd = Rsd z = 
As σs βz d 
lb,nec lb 
MRd = Rsd z = 
As fyd βz d 
início da ancoragem 
As 
2004 7-16 ufpr/tc405 
Solução: O valor de lb deverá ser determinado para cada barrausando a Equação 7.8, com 
fbd definido pela Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que 
corresponde a barra nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que 
corresponde a situação de boa aderência, região inferior de vigas (ver Figura 7.6); 
para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de diâmetro menor 
que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde a combinações 
normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 1,15 que 
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. O diagrama MRd é 
obtido de módulo análogo ao diagrama Rsd do Exemplo 7.3, com o uso da 
Equação 7.15 para determinação dos valores dos momentos resistentes de 
cálculo. Por se tratar de armadura positiva, os valores dos momentos deverão ser 
posicionados "para baixo", como apresentado na Figura 7.13. 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 C20kN/cm 2,5MPa 25f 2ck == 
 CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência boa de situação00,12 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 viga da larguracm 20bw = 
 viga da útil alturacm 50d = 
 barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ 
 2
c
ck
cd kN/cm 79,1MPa 17,91,4
25ff ===
γ
= 
 2
s
yk
yd kN/cm 5,43MPa 4351,15
500ff ===
γ
= 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm 0,289MPa 2,89254,1
0,10,125,221,0f ==




 ×××= 
c. lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 38
289,0
5,43
4b
l 
 cm 60mm 608163838b ≈=×=φ=l 
d. βz 
d.1. 2 φ 16 mm (seção BB) 
 2
22
s cm 02,44
1,6 2
4
2A =π=πφ= 
 





⋅⋅−=β
cd
yd
w
s
z f
f
db
A
7,1
11 
2004 7-17 ufpr/tc405 
 943,0
79,1
5,43
5020
02,4
7,1
11z =




 ⋅
×
⋅−=β 
d.2. 4 φ 16 mm (seção AA) 
 2
22
s cm 04,84
1,6 4
4
4A =π=πφ= 
 885,0
79,1
5,43
5020
04,8
7,1
11z =




 ⋅
×
⋅−=β 
d.3. 5 φ 16 mm (seção situada entre 2,1 m e 5,6 m da face interna do pilar esquerdo) 
 2
22
s cm 05,104
1,6 5
4
5A =π=πφ= 
 856,0
79,1
5,43
5020
05,10
7,1
11z =




 ⋅
×
⋅−=β 
d.4. Adoção de um único valor para βz 
 Deve ser observado, neste exemplo, que para uma variação de armadura de 
150% (de 2 barras para 5 barras) a variação de βz foi de -9% (de 0,943 para 0,856). 
 Com o objetivo de não perder a linearidade entre os valores de MRd para as 
diversas combinações de barras, é prática comum no detalhamento de vigas de 
concreto armado adotar, independentemente do número de barras atuantes na seção 
transversal de qualquer trecho de viga, um único valor para o braço de alavanca z, ou 
seja adotar um único βz (z = βz d). Para que as condições de segurança não sejam 
violadas, adota-se o menor βz (menor braço de alavanca, menor fletor resistente MRd) 
que justamente correspondente à seção transversal com maior número de barras, ou 
seja adota-se o βz correspondente à seção transversal mais solicitada (onde atua o 
máximo momento fletor solicitante de cálculo MSd). Desta forma, o modo simplificado 
de determinar o valor de βz é através do uso da equação: 
 





⋅⋅−=β
cd
yd
w
max,s
z f
f
db
A
7,1
11 
 165cm05,10A 2max,s φ= 
 856,0
79,1
5,43
5020
05,10
7,1
11z =




 ⋅
×
⋅−=β 
 856,0z =β 
e. Diagrama MRd para uma barra de 16 mm 
 2
22
s cm 01,24
1,6 
4
A =π=πφ= 
 500,85643,501,2dfAM zydsRd ×××=β= 
 kNm 73kNcm 3742MRd == 
 Existindo barras com bitolas diferentes, para cada uma delas deverá ser 
desenvolvido o diagrama MRd. 
37 kNm 
60 cm 
2004 7-18 ufpr/tc405 
f. Diagrama MRd 
g. Condição de segurança 
 A viga será segura se, em qualquer seção transversal, for verificada a condição
 ( )dddesl,SdRd SRMM ≥≥ 
 Além do exposto neste exemplo, outras condições para detalhamento de armadura 
longitudinal de vigas são estabelecidas no item 18.3.2.3 da NBR 6118. 
 
1 x 37 = 37 kNm 
0 kNm 
MRd 
60 cm 
60 cm 
60 cm 
2 x 37 = 74 kNm 
2 x 37 = 74 kNm 
N1 
2N2 
2N3 
74 kNm 
185 kNm 
148 kNm 
MRd 
MSd,desl 
2004 7-19 ufpr/tc405 
7.9 Posição relativa entre os diagramas MSd, desl e MRd 
7.9.1 Vãos e apoios intermediários de vigas 
Segundo a NBR 6118, item 18.3.2.3.1, o diagrama MRd, nos pontos onde a tensão normal 
atuante nas barras é nula (pontas das barras), deve ficar afastado de 10 φ (diâmetro da barra que 
esta sendo ancorada) do diagrama MSd,desl, (diagrama de momentos fletores solicitantes, 
deslocado) como mostrado na Figura 7.14. 
 
Figura 7.14 – Posição relativa entre os diagramas MSd,desl e MRd 
Exemplo 7.5: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de 
base e 50 cm de altura. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – barra nervurada: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais; 
 – viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente 
tttttttapoiada nos pilares; 
 - pilares com 20 cm de largura; 
 – estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, 
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); 
 - al = d; 
 – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
al 
lb 
barra m + 1 
barra m + 2 
barra m 
lb 
barra m – diâmetro φ 
barra m + 1 – diâmetro φ 
≥ 10 φ 
lb lb barra n 
barra n + 1 
início da ancoragem 
final da ancoragem 
MSd,desl 
MSd 
MRd 
barra n 
barra n – diâmetro φ 
≥ 10 φ ≥ 10 φ 
≥ 10 φ ≥ 10 φ 
2004 7-20 ufpr/tc405 
 – cobrimento nominal: 3 cm; e 
 – dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. 
 Obs.: 
 – peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. 
 A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor 
positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. 
 O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na 
Figura 7.14. 
a. Diagrama MSd 
 
b. Dados 
 C20MPa 20fck = 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 2
c
ck
cd kN/cm43,1MPa3,141,4
20ff ===
γ
= 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência boa de situação00,12 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm0,249MPa 2,49204,1
0,10,125,221,0f ==




 ×××= 
 CA50MPa 500fyk = 
47,25 kNm 
84,00 kNm 
+ 
- - 
Esc. hor.: 1:0,667 
Esc. vert.: 1:20 
1,5 m 1,5 m 5,0 m 
gk = 30 kN/m 
Esc.: 1:0,667 
2004 7-21 ufpr/tc405 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 2
s
yk
yd kN/cm43,5MPa4351,15
500ff ===
γ
= 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 44
249,0
5,43
4b
l 
 cm 15bw = 
 cm 50h = 
 cm446-50d == (assumido) 
 cm 3cnom = 
 cm0,63mm 3,6t ==φ 
 cm1,25mm 5,12dmax == 
 2c cm 0575015A =×= 
 




⇐⇐⇐=×
=××
≥
2
2
min,s
cm13,17500015,0
cm86,0750
5,43
43,1035,0A 
 2maxs, cm,030501504,0A =××= 
 kNcm8400kNm84MSd == 
 kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 { compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm29511
lim,1Rd
kNcm4008
Sd ⇒< 321
 
 kNcm4008MMM 1RdRdSd === 
c. Armadura longitudinal 
 OK272,0202,0
43,14415
4008
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
862,0
202,0
s
z
tabela
c 321
 
 OK
cm0,30
cm13,1cm09,5
5,43000,144862,0
4008A 2
2
2
S



<
>
=
×××
= 
 
2
2
2
2
2
cm25,51025,123
cm57,1
4
0,12102
cm68,3
4
25,135,123
=φ+φ
=
×π
×=φ
=
×π
×=φ
 
 2cal,S cm09,5A = 
 2ef,S cm25,5A = 
d. Verificação de ah e av 
 cm00,2av = 
 ( ) cm00,2
13
25,1363,020,3215ah =−
×+×+×−
= 
 OK
cm63,025,15,0d5,0
cm25,1
cm2
a
max
v





=×=
=φ
⇐
≥ l OK
cm50,125,12,1d2,1
cm25,1
cm2
a
max
h





=×=
=φ
⇐
≥ l 
15 cm 
6,3 mm 
3 cm 
10 mm 
2 cm 12,5 mm 
ah 
2004 7-22 ufpr/tc405 
e. Verificação de d 
 













 ×π
×+













 ×π
×













 ++×




 ×π
×+













×




 ×π
×
=
4
0,12
4
25,13
2
0,10,225,1
4
0,12
2
25,1
4
25,13
y
22
22
cg 
 ( ) ( ) cm56,10,1225,13
2
0,10,225,10,12
2
25,125,13
y 22
22
cg =×+×










 ++××+




 ××
= 
 ( )nomtcg cyhd +φ+−= 
 ( ) OKcm44cm81,440,363,056,150d >=++−= 
 cm81,44d = 
 cm45da ≈=l 
f. Determinação de MRd 
 x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
 xs 5,4325,5
43,181,441568,0
β×





×
×××
=β 
 xs 862,2 β=β 
 sx 349,0 β=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒=β
OK000,1
860,0
204,0
349,0
s
z
c
tabela
x 321
 
 cd
2
wc1Rd fdbM β= 
 
4434421
SdM
2
1RdRd kNcm4008kNcm786843,181,4415204,0MM >=×××== 
 kNm62kNcm1586
4
0,12
4
25,13
4
25,13
7868M 22
2
5,12,Rd ==×π
×+
×π
×
×π
×
×=φ 
 kNm26kNcm6282
4
0,12
4
25,13
4
0,12
7868M 22
2
10,Rd ==×π
×+
×π
×
×π
×
×=φ 
 Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 





⋅⋅−==β
cd
yd
w
s
z f
f
db
A
7,1
11
d
z 
 OK860,0
43,1
5,43
81,4415
25,5
7,1
11z =




 ×
×
×−=β 
 dfAM zydsRd β= 
 OKkNcm7868kNcm801881,44860,05,4325,5MRd ≈=×××= 
 Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 cm44mm4401044mm10,b ==×=φl 
 cm55mm5505,1244mm5,12,b ==×=φl 
cg 
d 
φt 
cnom 
φl 
ycg 
(ycg + φt + cnom) 
h 
av 
2004 7-23 ufpr/tc405 
g. Diagrama MSd,desl 
 
h. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl 
 
i. Leque de ancoragem 
 
47,25 kNm 
84,00 kNm 
al = 45 cm 
MSd,desl 
MSd 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 
φ 12,5 mm 
φ 12,5 mm 
φ 12,5 mm 
φ 10 mm 
φ 10 mm 
62 kNm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 
88 kNm 
φ 10 mm 
φ 12,5 mm 
lb 
55 cm 
lb 
44 cm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 55 cm 
44 cm 
2004 7-24 ufpr/tc405 
j. Paralelismo de ancoragem 
 
k. Diagramas MRd dos conjuntos de barras 
 
 Obs.: 
 Todas as pontas das barras estão afastadas de uma distância maior ou igual a 10 φ 
do diagrama MSd, desl. 
 O paralelismo de ancoragem existente do lado direito é simétrico em relação ao lado 
esquerdo. 
2 φ 12,5 mm – 510 cm 
1 φ 12,5 mm – 400 cm 
2 φ 10 mm – 310 cm 
0 
0 
1 
2 
3 
1 
2 
0 
1 
2 
3 
0 
1 
2 
lb 
lb lb 
lb 
φ 10 mm 
φ 12,5 mm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 
paralelas 
paralelas 
paralelas 
2 φ 10 mm - 310 cm 
0 
0 
1 
2 
3 
1 
2 
0 
1 
2 
3 
0 
1 
2 
lb 
lb lb 
lb 
φ 10 mm 
φ 12,5 mm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 
paralelas 
≥ 10 φ 
paralelas 
≥ 10 φ 
2004 7-25 ufpr/tc405 
l. Detalhamento da armadura longitudinal positiva 
 
 Para detalhamento da armadura longitudinal negativa ver Exemplo 7.6. 
m. Verificações 
 De acordo com o item 18.3.2.4 -c da NBR 6118, pelo menos 25% da armadura 
positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como duas barras (N3) chegam ao 
apoio, tem-se: 
 OK%25%47
4
0,12
4
25,13
4
25,12
A% 22
2
apoio,s >=×π
×+
×π
×
×π
×
= 
 De acordo com item 18.3.2.4.1 da NBR 6118, as armaduras positivas provenientes 
do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a 
armadura N3 está posicionada 15 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está 
verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm). 
n. Diagramas MSd,desl e MRd 
 
 
7.9.2 Balanços 
Para os trechos de vigas em balanços, o detalhamento da ancoragem reta requer alguns 
cuidados especiais. Pela Figura 7.15 pode ser observado que, pelo detalhamento apresentado em 
7.9.1, parte da armadura reta ancorada ficaria situada fora da viga. 
MSd,desl 
MRd 
2 N3 - φ 12,5 mm - 510 cm 
1 N2 - φ 12,5 mm - 400 cm 
2 N1 - φ 10 mm - 310 cm - 2ª cam. 
Esc.: 1:66,7 
40 cm 
15 cm 
85 cm 
armadura superior 
(negativa) não 
detalhada 
armadura inferior 
(porta-estribo) não 
detalhada 
cnom = 3 cm 
2004 7-26 ufpr/tc405 
 
Figura 7.15 – Vigas em balanço 
Embora dispositivos especiais de ancoragem possam ser usados para resolver a situação 
da armadura mostrada na Figura 7.15, é prática comum a dobra desta armadura para dentro da 
viga. Para se evitar que trechos expressivos de ancoragem se situem na vertical é conveniente 
adotar para ∆lb valores não superiores a 25% de lb, como mostrado na Figura 7.16 (∆lb contado a 
partir da face final do balanço). Como as pontas de barras devem estar afastadas de 10 φ do 
diagrama MSd,desl e a parte dobrada não pode ser maior que d, tem-se para ∆lb: 





φ≥
<
≤
∆
10
d
25,0 b
b
l
l Equação 7.16 
Se as desigualdades apresentadas na Equação 7.16 não puderem ser verificadas 
simultaneamente, prevalece os 10 φ, desde que inferiores a d. 
 
Figura 7.16 – Detalhe de armadura de viga em balanço 
O comprimento do trecho reto dobrado (trecho vertical), também, não deverá ser inferior a 
10 φ (Figura 7.16). 
Para a definição do diâmetro do pino de dobramento das barras longitudinais que chegam a 
ponta do balanço deve ser usada a Tabela 7.6, apresentada em 7.13. 
∆lb 
lb 
MSd,desl 
MRd 
d ≥10 φ 
∆lb ≤ 0,25 lb 
φ 
2004 7-27 ufpr/tc405 
Exemplo 7.6: Detalhar a armadura negativa da viga abaixo representada. A viga tem 15 cm de 
base e 50 cm de altura. 
 Dados: 
 – concreto: C20; e 
 – barra nervurada: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais; 
 – viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente 
tttttttapoiada nos pilares; 
 - pilares com 20 cm de largura; 
 – estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, 
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); 
 - al = d; 
 – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
 – cobrimento nominal: 3 cm; e 
 – dimensão máxima do agregado: 12,5 mm. 
 Obs.: 
 – peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. 
 A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor 
ponegativo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.2]. 
 O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado na 
Figura 7.14. 
a. Diagrama MSd 
 
47,25 kNm 
84,00 kNm 
+ 
- - 
Esc. hor.: 1:0,667 
Esc. vert.: 1:20 
1,5 m 1,5 m 5,0 m 
gk = 30 kN/m 
Esc.: 1:0,667 
2004 7-28 ufpr/tc405 
b. Dados 
 C20MPa 20fck = 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 2
c
ck
cd kN/cm43,1MPa3,141,4
20ff ===
γ
= 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência má de situação70,02 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm0,174MPa 74,1204,1
0,17,025,221,0f ==




 ×××= 
 CA50MPa 500fyk = 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 2
s
yk
yd kN/cm43,5MPa4351,15
500ff ===
γ
= 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=×φ= 63
174,0
5,43
4b
l 
 cm 15bw = 
 cm 50h = 
 cm446-50d == (assumido) 
 cm 3cnom = 
 cm0,63mm 3,6t ==φ 
 cm1,25mm 5,12dmax == 
 2c cm 0575015A =×= 
 




⇐⇐⇐=×
=××
≥
2
2
min,s
cm13,17500015,0
cm86,0750
5,43
43,1035,0A 
 2maxs, cm,030501504,0A =××= 
 kNcm7254kNm25,47MSd == 
 kNcm2951143,14415272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 
{
compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm29511
lim,1Rd
kNcm7254
Sd ⇒< 321
 
 kNcm7254MMM 1RdRdSd === 
c. Armadura longitudinal 
 OK272,0114,0
43,14415
7254
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
928,0
114,0
s
z
tabela
c 321
 
 OK
cm0,30
cm13,1cm66,2
5,43000,144928,0
7254A 2
2
2
S



<
>
=
×××
= 
2004 7-29 ufpr/tc405 
 2
2
cm14,3
4
0,1410 4 =×π×=φ (2 camadas) 
 2cal,S cm66,2A = 
 2ef,S cm14,3A = 
d. Verificação de ah e av 
 cm00,2av = 
 ( ) cm74,5
12
0,1263,020,3215ah =−
×+×+×−
= 
 OK
cm63,025,15,0d5,0
cm25,1
cm2
a
max
v





=×=
=φ
⇐
≥ l 
 OK
cm50,125,12,1d2,1
cm25,1
cm2
a
max
h





=×=
=φ
⇐
≥ l 
e. Verificação de d 
 cm00,2
4
0,14
2
0,10,20,1
4
0,12
2
0,1
4
0,12
y
2
22
cg =













 ×π
×













 ++×




 ×π
×+













×




 ×π
×
= 
 ( )nomtcg cyhd +φ+−= 
 ( ) OKcm44cm37,440,363,000,250d >=++−= 
 cm37,44d = 
 cm45da ≈=l 
f. Determinação de MRd 
 x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
 xs 5,4314,3
43,137,441568,0
β×





×
×××
=β 
 xs 738,4 β=β 
 sx 211,0 β=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒=β
OK000,1
916,0
131,0211,0
s
z
c
tabela
x 321
 
 cd
2
wc1Rd fdbM β= 
 
4434421
SdM
2
1RdRd kNcm7254kNcm532543,137,4415131,0MM >=×××== 
 Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 





⋅⋅−==β
cd
yd
w
s
z f
f
db
A
7,1
11
d
z 
 OK916,0
43,1
5,43
37,4415
14,3
7,1
11z =




 ×
×
×−=β 
 dfAM zydsRd β= 
 OKkNcm5325kNcm551537,44916,05,4314,3MRd ≈=×××= 
cg 
d φt 
cnom 
φl 
ycg 
h 
av 
15 cm 
ah 3 cm 
10 mm 
2 cm 
6,3 mm 
2004 7-30 ufpr/tc405 
 Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 cm63mm6301063mm10,b ==×=φl 
g. Diagrama MSd,desl 
 
h. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl (apoio esquerdo) 
 
i. Leque de ancoragem e definição de ∆lb (apoio esquerdo) 
 
47,25 kNm 
84,00 kNm 
al = 45 cm 
MSd,desl 
MSd 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. vert.: 1:20 
φ 10 mm 
55,3 kNm 
47,25 kNm 
Esc. hor.: 1:33,3 
Esc. vert.: 1:10 
K 
lb = 63 cm 
φ 10 mm 55,3 kNm 
47,25 kNm 
Esc. hor.: 1:33,3 
Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm 
∆lb = 15 cm 
2004 7-31 ufpr/tc405 
 O ponto K corresponde ao ponto final de ancoragem (ponta de barra) das barras que 
irão cobrir o momento negativo que aparece na ponta do balanço devido ao deslocamento 
do diagrama MSd. 
 O valor de ∆lb satisfaz a todas as desigualdades da Equação 7.16, ou seja, menor 
que 0,25 lb (15,75 cm), menor que d (44,37 cm) e maior que 10 φ (10 cm). 
j. Diagramas MRd dos conjuntos de barras (apoio esquerdo) 
 
 A dobra da barra N1 foi ajustada de 18 para 20 cm (15 cm correspondente a ∆lb mais 
3 cm de cnom). 
k. Detalhamento da armadura longitudinal negativa 
 
 Para detalhamento da armadura longitudinal positiva ver Exemplo 7.5. 
 
20 255 
60 cm 
2ª cam 
2 N1 - φ 10 mm - 275 cm 
2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 2 N2 - φ 10 mm - 195 cm 
2ª cam 
255 
60 cm 
Esc.: 1:66,7 
armadura inferior 
(positiva) não 
detalhada 
armadura superior 
(porta-estribo) não 
detalhada 
20 
2 N1 - φ 10 mm - 275 cm 
cnom = 3 cm 
20 cm 
2 φ 10 mm – 195 cm 
2 φ 10 mm – 275 cm (rt.: 255 cm; db.: 20 cm) 
0 0 
4 
3 
1 
2 
4 
3 
1 
2 
K 
lb = 63 cm 
Esc. hor.: 1:33,3 
Esc. vert.: 1:10 lb = 63 cm 
∆lb = 15 cm 
(<25% de lb) 
paralelas 
paralelas 
paralelas 
≥ 10 φ 
(10 cm) 
≥ 10 φ 
≥ 10 φ 
< d 
3 cm (cnom) da 
face final do 
balanço 
2004 7-32 ufpr/tc405 
7.9.3 Apoios extremos de vigas 
Conforme visto em [6.2], a analogia da treliça de Morsh apresenta um conjunto de forças 
como mostrado na Figura 7.17. 
 
Figura 7.17 – Forças atuantes na treliça de 
Morsh 
Na Figura 7.17 tem-se: 
MSd momento fletor solicitante de cálculo; 
Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido; 
Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada; 
VSd força cortante solicitante de cálculo. 
Ainda, na Figura 7.17, deve ser observado que: 
− na região do apoio, a resultante Rsd é função direta da reação de apoio VSd; e 
− em região afastada do apoio, a resultante Rsd é função direta do momento fletor MSd. 
Segundo o item 18.3.2.4-b da NBR 6118, a força cortante solicitante de cálculo VSd 
(“externa”) pode ser equilibrada (“internamente”) pelas forças Rcwd (força resistente atuante no 
diagonal comprimida de concreto) e Rsd (força resistente atuante na armadura tracionada), como 
mostrado na Figura 7.18. 
 
Figura 7.18 – Equilíbrio de forças no apoio 
Da Figura 7.18, tem-se: 
Sdsd Vd
a
R l= Equação 7.17 
NBR 6118: 
18.3.2.4 Armadura de tração nas seções de apoio 
"Os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser 
resistidos por armadura longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes 
condições: 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do 
dimensionamento da seção; 
MSd 
Rsd 
Rsd 
VSd 
Rcwd θ 
Rsd 
VSd 
la
dtan =θ 
2004 7-33 ufpr/tc405 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, 
armaduras capazes de resistir a uma força de tração RSd = (al / d) Vd + Nd, onde 
Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente; 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da 
armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo 
do tramo (Mvão), de modo que: 
- As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto 
Mapoio ≤ 0,5 Mvão; 
- As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio > 0,5 
Mvão.” 
18.3.2.4.1 Ancoragem da armadura de tração nos apoios 
"Quando se tratar do caso de 18.3.2.4-a), as ancoragens devem obedecer aos 
critérios da figura 18.3. 
Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras 
devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou 
superiores ao maior dos seguintes valores: 
- lb,nec, conforme 9.4.2.5; 
- (r + 5,5 φ); 
- 60 mm. 
Quando houver cobrimento da barra no trecho, medido normalmente ao plano do 
gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande 
freqüência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser 
desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes. 
Para os casos de 18.3.2.4-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de 
ancoragem pode ser igual a 10 φ, desde que não haja qualquer possibilidade da 
ocorrência de momentos positivos nessa região, provocados por situações 
imprevistas, particularmente por efeito de vento e eventuais recalques. Quando essa 
possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.” 
As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 18.3.2.4 e 18.3.2.4.1 da 
NBR 6118: 
a. A expressão que aparece em 18.3.2.4-b, ficaria melhor representada se aparecesse 
como: 
SdSdSd NVd
a
R += l 
onde: 
RSd representaria a força (horizontal) de tração solicitante de cálculo (“externa”) 
atuante na direção da armadura que chega ao apoio; 
VSd representaria a força (vertical) cortante solicitante de cálculo (“externa”) atuante 
no apoio; 
NSd representaria a força (horizontal) normal de tração solicitante de cálculo 
(“externa”) que poderia atuar na viga; 
al corresponderia ao deslocamento horizontal do diagrama MSd (momento fletor 
solicitante de cálculo); e 
d corresponderia a altura útil da viga. 
Desta forma todos os componentes da equação seriam referidos a valores solicitantes 
de cálculo (“externos”). 
Observar que a Equação 7.17 corresponde ao equilíbrio de uma força vertical 
solicitante (“externa”) por forças resistentes (“internas”). Daí aparecer Rsd1 (s 
minúsculo) no lugar de RSd2 (s maiúsculo). Ambas representam forças atuantes na 
 
1 R de resultante (força resistente), s (minúsculo) de aço e d de "design" (projeto/cálculo). 
2 R (maiúsculo) de força, S (maiúsculo) de solicitação e d de "design" (projeto/cálculo). 
2004 7-34 ufpr/tc405 
armadura horizontal, sendo Rsd a correspondente resistência (“interna”) da força 
solicitante RSd (“externa”). Pela condição de segurança, Rsd ≥ RSd (a resistente tem que 
ser maior ou igual a solicitante). 
A NBR 6118, ao usar RSd (s maiúsculo), procura representar a solicitação que estará 
submetida a armadura na região de ancoragem. 
b. O r que aparece na expressão r + 5,5 φ, do item 18.3.2.4.1, corresponde ao raio 
interno mínimo de curvatura, definidos na Tabela 7.4. 
7.9.3.1 Ancoragem reta sem gancho ou barra transversal soldada 
A ancoragem reta, sem gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de 
concreto armado pode ser representada pela Figura 7.19. 
 
Figura 7.19 – Ancoragem reta sem 
gancho 
O valor de lb,nec é dado pela Equação 7.7 e vale: 
bd
s
nec,b f4
σ
×
φ
=l 
Por outro lado, RSd da Figura 7.19 pode ser obtido da Equação 7.17 e vale: 
SdSd Vd
a
R l= 
A tesão σs que aparece na equação de lb pode ser representada por: 
yd
ef,s
Sd
s fA
V
d
a
≤=σ
l
 
Introduzindo o valor de σs na expressão de lb,nec, tem-se: 
ef,s
Sd
bd
nec,b A
V
d
a
f
14
l
l ××
φ
= 
ou ainda, 
yd
Sd
ef,s
Sd
bdef,s
nec,b
f
V
d
aA
V
d
a
f4
1
A
×≥
××
φ
=
l
ll
 Equação 7.18 
O item 9.4.2.5 da NBR 6118, estabelece, para lb,nec: 





φ≥
mm100
10
3,0 b
nec,b
l
l Equação 7.19 
RSd 
hpil 
lb,nec 
hpil ≥ lb,nec + cnom 
2004 7-35 ufpr/tc405 
Por outro lado, o item 18.3.2.4.1 da NBR 6118 define que os comprimentos de ancoragem, 
em apoios extremos, devem ser iguais ou superiores a r + 5,5 φ ou 60 mm. Como o limite de 
60 cm é inferior a 100 mm e o maior diâmetro apresentado na Tabela 7.4 corresponde a 8 φ (raio 
4 φ, r + 5,5 φ = 9,5 φ), a verificação da Equação 7.19 atende, por inteiro, ao estabelecido em 
18.3.2.4.1 da NBR 6118. 
Lembrando que: 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
tem-se: 











φ






×
φ
≥
mm100
10
f
f
4
3,0
b
bd
yd
nec,b
43421
l
l
 Equação 7.20 
Valores mínimos para lb,nec podem, então, serem tabelados, como mostrado a seguir. 
lb,nec 
 γc = 1,40 CA-50 (boa aderência) γs = 1,15 
barras nervuradas concreto 
10 mm 12,5 mm 16 mm 20 mm 22 mm 25 mm 32 mm 
C20 13 cm 16 cm 21 cm 26 cm 29 cm 33 cm 42 cm 
C25 11 cm 14 cm 18 cm 23 cm 25 cm 28 cm 36 cm 
C30 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C35 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C40 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C45 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
C50 10 cm 13 cm 16 cm 20 cm 22 cm 25 cm 32 cm 
Tabela 7.5 – Valores mínimos de lb,nec para ancoragem de apoio extremo 
Somando-se aos valores apresentados na Tabela 7.5, o cobrimento nominal (cnom), têm-se 
os valores mínimos para a dimensão do pilar (hpil). 
A junção da Equação 7.18 com a Equação 7.20, permite: 
yd
Sd
ef,s
bd
yd
Sd
bdef,s
nec,b
f
V
d
aA
mm100
10
f
f
4
3,0
V
d
a
f4
1
A
b
×≥











φ






×
φ
≥××
φ
=
l
l
l
43421
l
 Equação 7.21 
2004 7-36 ufpr/tc405 
Exemplo 7.7: Detalhar a armadura positiva da viga abaixo representada. A viga tem 20 cm de 
base e 60 cm de altura. 
 Dados: 
 – concreto: C25; e 
 – barra nervurada: CA-50. 
 Considerar: 
 – somente solicitações normais; 
 – viga de seção retangular, sem armadura de compressão e simplesmente 
tttttttapoiada nos pilares; 
 - pilares com 20 cm de largura; 
 – estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, 
tttttttγq = 1,4, γc = 1,4 e γs = 1,15); 
 – armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
 – cobrimento nominal: 3 cm; e 
 – dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
 Obs.: 
 – peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
Solução: O valor de lb é determinado de modo análogo ao do Exemplo 7.2. 
 A determinação da armadura necessária para resistir ao máximo momento fletor 
positivo é feita de modo análogo ao do Exemplo [5.1]. 
 A determinação de al é feita de modo análogo ao do Exemplo [6.7]. 
 Para a verificação da ancoragem de apoio extremo usar a Equação 7.21. 
 O posicionamento das barras é determinado de modo análogo ao mostrado no 
Exemplo 7.5. 
a. Diagramas MSd e VSd 
 
6,0 m 
gk = 20 kN/m 
Esc.: 1:0,667 
126 kNm 
+ 
Esc. hor.: 1:0,667 
Esc. ver.: 1:20 
2004 7-37 ufpr/tc405 
 
b. Dados 
 C25MPa 25fck = 
 MPaemf
250
f
1 ck
ck
v2 −=α 
 9,0
250
251v2 =−=α 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 2
c
ck
cd kN/cm79,1MPa9,171,4
25ff ===
γ
= 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência boa de situação00,12 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm0,289MPa 2,89254,1
0,10,125,221,0f ==




 ×××= 
 MPaemf
f21,0
f ck
c
3 2
ck
ctd γ
= 
 2
3 2
ctd cm/kN128,0MPa28,14,1
2521,0f === 
 CA50MPa 500fyk = 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 2
s
yk
yd kN/cm43,5MPa4351,15
500ff ===
γ
= 
 cm 20bw = 
 cm 06h = 
 cm456-60d == (assumido) 
 cm 3cnom = 
 cm0,63mm 3,6t ==φ 
 cm1,9mm 19dmax == 
c. Verificação de VRd2 
 dbf27,0V wcd2v2Rd α= 
 kN470542079,19,027,0V 2Rd =××××= 
 2RdSd VV ≤ 
84 kN 
Esc. hor.: 1:0,667 
Esc. ver.: 1:40 
2004 7-38 ufpr/tc405 
 kN84V max,Sd = (o correto seria o VSd,face que é menor que VSd,eixo) 
 { OKVV
kN470
2Rd
kN84
max,Sd <321
 (verificado para VSd,eixo, fica verificado VSd,face) 
d. Valor de al 
 Será admitido Modelo I, estribos verticais 
 dbf6,0V wctdc = 
 kN835420128,06,0Vc =×××= 
 ( ) 

≤
≥








−
=
d
d5,0
VV
V
2
da
cmax,Sd
max,Sd
l (o correto seria VSd,face) 
 kN84V max,Sd = 
 ( ) cm26828384
84
2
54a =





−
=l 
 



⇐=≤
=×=≥
cm54d
cm27545,0d5,0
al 
 cm54da ==l 
e. Determinação de lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 38
289,0
5,43
4b
l 
f. Armadura longitudinal 
 2c cm 20010620A =×= 
 




⇐⇐⇐=×
=××
≥
2
2
min,s
cm80,120010015,0
cm73,12001
5,43
79,1035,0A 
 2maxs, cm,048602004,0A =××= 
 kNcm60012kNm126MSd == 
 kNcm3952879,15420272,0M 2lim,1Rd =×××= 
 
{
compressão de armadura de enecessidad há nãoMM
kNcm39528
lim,1Rd
kNcm60012
Sd ⇒< 321
 
 kNcm60012MMM 1RdRdSd === 
 OK272,0121,0
79,15420
60012
2c <=××
=β 
 



=β
=β
⇒⇒=β
000,1
923,0
121,0
s
z
tabela
c 321
 
 OK
cm0,38
cm80,1cm81,5
5,43000,154923,0
60012A 2
2
2
S



<
>
=
×××
= 
 2
2
cm14,6
4
25,155,12 5 =×π×=φ (2 camadas) 
 2cal,S cm81,5A = 
 2ef,S cm14,6A = 
2004 7-39 ufpr/tc405 
g. Verificação de ah e av 
 cm00,2av = 
 ( ) cm5,4
13
25,1363,020,3220ah =−
×+×+×−
= 
 OK
cm95,09,15,0d5,0
cm25,1
cm2
a
max
v





=×=
=φ
⇐
≥ l 
 OK
cm3,29,12,1d2,1
cm25,1
cm2
a
max
h





⇐=×=
=φ≥ l 
h. Verificação de d 
 













 ×π
×+













 ×π
×













 ++×




 ×π
×+













×




 ×π
×
=
4
25,12
4
25,13
2
25,10,225,1
4
25,12
2
25,1
4
25,13
y
22
22
cg 
 ( ) cm93,123
2
25,10,225,12
2
25,13
ycg =+











 ++×+




 ×
= 
 ( )nomtcg cyhd +φ+−= 
 ( ) OKcm54cm44,540,363,093,160d >=++−= 
 cm44,54d = 
i. Determinação de MRd 
 x
yds
cdw
s fA
fdb68,0
β







=β 
 xs 5,4314,6
79,144,542068,0
β×





×
×××
=β 
 xs 962,4 β=β 
 sx 202,0 β=β 
 





=β
=β
=β
⇒⇒=β
OK000,1
919,0
126,0
202,0
s
z
c
tabela
x 321
 
 cd
2
wc1Rd fdbM β= 
 
44 344 21
SdM
2
1RdRd kNcm60012kNcm3691379,144,5420126,0MM >=×××== 
 kNm134MRd = 
 Verificação do valor de βz e MRd (Equação 7.14 e Equação 7.15) 
 





⋅⋅−==β
cd
yd
w
s
z f
f
db
A
7,1
11
d
z 
 OK919,0
79,1
5,43
44,5420
14,6
7,1
11z =




 ×
×
×−=β 
 dfAM zydsRd β= 
 OKkNcm36913kNcm3631344,54919,05,4314,6MRd ≈=×××= 
 Determinação dos comprimentos de ancoragem 
 cm48mm4755,1238mm5,12,b ==×=φl 
15 cm 
6,3 mm 
3 cm 
2 cm 
12,5 mm 
ah 
cg 
d 
φt 
cnom 
φl 
ycg 
h 
av 
2004 7-40 ufpr/tc405 
j. Ancoragem de apoio extremo 
 cm20hpil = 
 cm3cnom = 
 cm17320nec,b =−≤l 
 
yd
Sd
ef,s
bd
yd
Sd
bdef,s
nec,b
f
V
d
aA
mm100
10
f
f
4
3,0
V
d
a
f4
1
A
b
×≥











φ






×
φ
≥××
φ
=
l
l
l
43421
l
 
 A Tabela 7.5 mostra que somente barras de 10 mm e 12,5 mm podem ser usadas 
 como ancoragem de apoio extremo (lb,nec ≤ 17 cm). A escolha de barras de 12,5 mm para o 
 máximo momento fletor positivo se mostrou correta. 
 2ef,s cm93,15,43
84
d
dA =×≥ (mínimo de 2 barras de 12,5 chegando ao apoio ⇒ 2,45 cm2) 
 2ef,s
ef,s
cm34,5A84
d
d
289,04
1
A
25,117 ≥⇒××
×
×≥ (5 barras de 12,5 mm igual a 6,14 cm2) 
 Pelos cálculos referentes à ancoragem de apoio extremo, são necessárias 5 barras 
 de 12,5 mm além da face do apoio da viga. Isto significa que todas as barras (5) definidas 
 para o máximo momento fletor positivo deverão ser estendidas até os apoios. 
 
 Verificações: 
 OKcm17cm8,1484
d
d
289,04
1
14,6
25,1
nec,b <=×××
×=l 
 









=
=×=φ
=×
×
=×
φ
≥ OK
cm10mm100
cm5,1225,11010
cm1,14
289,0
5,43
4
25,13,0
f
f
4
3,0
bd
yd
nec,bl 
k. Diagrama MSd,desl 
 
126 kNm 
Esc. hor.:1:66,7 
Esc. ver.: 1:20 
face interna 
do pilar 
al = 54 cm 
MSd,desl 
MSd 
2004 7-41 ufpr/tc405 
l. Posicionamento vertical das barras em relação ao diagrama MSd,desl 
 
m. Leque de ancoragem 
 
134 kNm 
φ 12,5 mm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. ver.: 1:20 
1 
2 
3 
4 
5 
0 
lb = 48 cm 
0 
φ 12,5 mm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. ver.: 1:20 
lb = 48 cm 
1 
2 
3 
4 
5 
2004 7-42 ufpr/tc405 
n. Diagrama MRd do conjunto de barras 
 
o. Detalhamento da armadura longitudinal positiva 
 
p. Verificações 
 De acordo com o item 18.3.2.4-c da NBR 6118, pelo menos 33% da armadura 
positiva deve ser estendida aos apoios intermediários. Como todas as barras chegam ao 
apoio, o item da Norma está verificado. 
 De acordo com item 18.3.2.4.1 da NBR 6118, as armaduras positivas provenientes 
do meio do vão deverão estender-se, no mínimo, 10 φ além da face do apoio. Como a 
armadura N1 está posicionada 17 cm além da face interna do apoio, o item da Norma está 
verificado (10 φ corresponde a 12,5 cm). 
5 φ 12,5 mm – 614 cm 
paralelas paralelas 
17 cm 17 cm 
1 
2 
3 
4 
5 
0 
lb = 48 cm 
0 
φ 12,5 mm 
Esc. hor.: 1:66,7 
Esc. ver.: 1:20 
lb = 48 cm 
1 
2 
3 
4 
5 
face interna 
do pilar
face interna 
do pilar
5 N1 - φ 12,5 mm - 614 cm 
armadura superior 
(porta-estribo) não 
detalhada 
cnom = 3 cm 
Esc.: 1:66,7 
2004 7-43 ufpr/tc405 
q. Diagramas MSd,desl e MRd 
 
 
7.9.3.2 Ancoragem reta com gancho ou barra transversal soldada 
A ancoragem reta, com gancho ou barra transversal soldada, de apoio extremo de vigas de 
concreto armado pode ser representada pela Figura 7.20. 
 
Figura 7.20 – Ancoragem reta com 
gancho 
De acordo com o item 9.4.2.5 da NBR 6118, o uso do gancho ou da barra transversal 
soldada, permite uma redução de 30% no comprimento de ancoragem. Se o gancho e a barra 
transversal soldada forem usados simultaneamente, a redução passa a ser de 50%. Desta forma 
a Equação 7.21 pode ser escrita como: 
yd
Sd
ef,s
bd
yd
Sd
bdef,s
nec,b
f
V
d
aA
mm100
10
f
f
4
3,0
V
d
a
f4
1
A
×≥









φ
×
φ
≥







××
φ
α=
l
ll
 Equação 7.22 
sendo: 
α = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do 
gancho ≥ 3φ; 
α = 0,7 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2; 
MSd 
MSd,desl 
MRd 
RSd 
hpil 
lb,nec 
hpil ≥ lb,nec + cnom 
2004 7-44 ufpr/tc405 
α = 0,5 quando houver barras transversais soldadas conforme 9.4.2.2 e gancho, com 
cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3φ; 
Os valores mínimos para lb,nec permanecem os mesmos da Equação 7.21, ou seja, os 
valores da Tabela 7.5 independem da existência de ganchos ou barras transversais soldadas. 
7.10 Armadura transversal na ancoragem 
Embora as equações de ancoragem tenham sido estabelecidas em função da simplificação 
apresentada na Figura 7.3, onde é admitido que as tensões (forças) tangenciais são paralelas ao 
eixo da barra, a verdadeira distribuição de forças (tensões) na interface concreto-aço tem um 
aspecto mais próximo do apresentado na Figura 7.21. Nesta interface, as forças (tensões) 
diagonais de compressão (Fb,diag) atuantes no concreto são acompanhadas por forças (tensões) 
transversais de tração (Fb,traç) para o estabelecimento do equilíbrio do elemento ∆x. 
 
Figura 7.21 - Região de ancoragem - equilíbrio de forças 
As forças (tensões) de tração (Fb,traç) são responsáveis pela criação de uma região 
microfissurada no entorno das barras de aço, conforme mostrado na Figura 7.22. 
 
Figura 7.22 - Microfissuras na região de ancoragem 
Nas regiões de ancoragem, microfissuradas como mostrado na Figura 7.22, podem ocorrer 
rupturas, como mostrado na Figura 7.23. Estas rupturas se configuram: 
− pela separação ("split") do concreto no plano horizontal que contem as barras 
(Figura 7.23a); 
− pela separação do concreto no plano horizontal que contem as barras, acompanhada 
de fendilhamentos em planos perpendiculares ao de ruptura (Figura 7.23b); e 
− pela separação do concreto, em forma de cunhas ("notch") individuais (Figura 7.23c). 
Fb,diag 
∆x 
Fb,traç 
Fb,tang = ∆ Fs Fs +∆ Fs Fs 
30 cm
forças aplicadas no concreto 
forças aplicadas na barra 
σb,traç 
lb 
2004 7-45 ufpr/tc405 
 
Figura 7.23 - Tipos de ruptura em regiões de ancoragem 
Mostra, ainda, a Figura 7.23, que as rupturas em regiões de ancoragem são devidas, 
principalmente: 
− a posição relativas entre as armaduras; e 
− a posição das barras dentro da massa de concreto. 
As providências a serem tomadas para evitar rupturas nas regiões de ancoragem consistem 
na adoção de: 
− cobrimento adequado (≥ 3φ) das armaduras de tal forma que a região microfissurada 
fique interna ao concreto e afastada das bordas (Figura 7.24a); 
− espaçamento adequado (≥ 3φ) entre as armaduras evitando ao máximo a 
sobreposição de regiões microfissuras (Figura 7.24b); e 
− armaduras (estribos) que costurem os planos de ruptura ou fendilhamento 
(Figura 7.24c). 
 
Figura 7.24 - Providências para evitar rupturas em regiões de 
ancoragem 
NBR 6118, item 9.4.1.1: 
"À exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência 
devem ser confinadas por armaduras transversais (ver 9.4.2.6) ou pelo próprio 
concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for 
maior ou igual a 3φ e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3φ.” 
7.10.1 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro menor 
que 32 mm 
NBR 6118, item 9.4.2.6.1: 
"Ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal 
capaz de resistir a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a 
ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a de maior 
diâmetro.” 
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, normalmente é 
colocada sob a forma de estribos fechados (Asw,b), como mostrado na Figura 7.25. 
a) b) c) 
≥3φ 
≥3φ 
a) 
φ 
b) 
≥3φ 
φ 
c) 
2004 7-46 ufpr/tc405 
 
Figura 7.25 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong < 32 mm 
Segundo o item 9.4.2.6.1 da NBR 6118, a equivalência de forças resulta: 
sbsw, F4
1F = 
ou ainda 
( ) ( )ydsbywd,bsw, fA4
1fA n ×=× 
com: 
b
b
s
n l= 
Desta forma, tem-se: 
b,yws
yd
b
s
b
bsw,
f
f
4
A
s
A
×=
l
 Equação 7.23 
No caso em que as barras longitudinais e transversais forem constituídas de mesmo 
material (fyd = fywd,b), tem-se: 
b
s
b
bsw,
4
A
s
A
l
= Equação 7.24 
O espaçamento entre as armaduras transversais (estribos) deve seguir as mesmas 
limitações estabelecidas para armadura de cisalhamento (NBR 6118, item 18.3.3.2). 
Exemplo 7.8: Determinar a armadura transversal necessária para a ancoragem de barras de 
16 mm. 
 Considerar: 
 – concreto: C20; 
 – barra nervurada: CA-50; 
 – situação de má aderência; 
 – cobrimento e espaçamento entre barras menor que 3φ; 
 – altura útil da viga igual a 50 cm; 
 – combinação normal de carregamento - ELU; e 
 – σs = fyd (máximo aproveitamento das barras). 
Solução: O valor de lb deverá ser determinado pela Equação 7.8, com fbd definido pela 
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra 
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 0,7 que corresponde a situação de 
má aderência; para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a barras de 
lb 
Asw,b 
As 
Fs = As x fyd 
sb 
2004 7-47 ufpr/tc405 
diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que corresponde 
a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser usado o valor 
1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - ELU. A armadura 
transversal necessária para ancoragem deverá ser definida pela Equação 7.24. 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 C20kN/cm 2,0MPa 20f 2ck == 
 CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência má de situação7,02 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 normal combinação - ELU15,1s=γ 
 barra da diâmetrocm 1,6 mm 16 ==φ 
 viga da útil alturacm 50d = 
 ancorada barra uma de ltransversa seção da área2,01cm
4
1,6
4
A 2
22
s =
×π
=
πφ
= 
 2
s
yk
yd kN/cm 5,43MPa 4351,15
500ff ===
γ
= 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm 0,174MPa 74,1204,1
0,17,025,221,0f ==




 ×××= 
c. lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 63
174,0
5,43
4b
l 
 cm 100mm 0810166363b ≈=×=φ=l 
d. Asw,b/sb 
 
b
s
b
bsw,
4
A
s
A
l
= 
 /mcm 0,5/cmcm 0,005
1004
01,2
s
A 22
b
bsw, ==
×
= 
 considerando armadura transversal constituída por barras de 5 mm, tem-se: 
 2
22
bsw, cm 0,24
0,5
4
A =×π=πφ= 
 cm 40s005,0
s
20,0
b
b
=⇒= 
 como o valor de sb deve ficar limitado a 60% da altura útil da viga ou a 30 cm, tem-se: 
 




 ⇐=×
≤
cm 30
cm 30506,0
sb 
2004 7-48 ufpr/tc405 
e. Solução 
 armadura transversal: 1 φ de 5 mm a cada 30 cm. 
 
7.10.2 Armadura transversal para ancoragem de barras de diâmetro maior ou 
igual a 32 mm 
NBR 6118, item 9.4.2.6.2: 
“Deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras 
ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de 
fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5φ 
(onde φ o diâmetro da barra ancorada). 
Quando se tratar de barras compromidas, pelo menos uma das barras constituintes da 
armadura transversal deve estar situada a uma distância igual a quatro diâmetros (da 
barra ancorada) além da excentricidade da barra.” 
A colocação da armadura transversal, necessária em regiões de ancoragem, pode ser feita, 
como mostrado na Figura 7.26. 
 
Figura 7.26 - Armadura transversal de barras ancoradas - φlong ≥ 32 mm 
Para as barras verticais (Axwy,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: 
( ) ( )ydsbywd,bswy, fA4
1fA ×∑=×∑ Equação 7.25 
onde: 
− Aswy,b corresponde a área da seção transversal de uma barra vertical e sua somatória 
abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem lb (na 
Figura 7.26 são mostradas apenas quatro destas barras); e 
− As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua 
somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento X (barras 
1, 2, 3 e 4 da Figura 7.26). 
Para as barras verticais (Axwx,b), a equivalência de forças longitudinais e transversais resulta: 
( ) ( )ydsbywd,bswx, fA4
1fA ×∑=×∑ Equação 7.26 
6 
5 
4 3 2 1 
Plano de 
fendilhamento X 
(barras 1, 2 ,3 e 4) 
Plano de 
fendilhamento Y 
(barras 5 e 6) 
∑Aswx,b – Armadura de 
costura do plano Y e 
paralelos 
∑Aswy,b – Armadura de 
costura do plano X e 
paralelos 
barra passante 
barra ancorada 
2004 7-49 ufpr/tc405 
onde: 
− Aswx,b corresponde a área da seção transversal de uma barra horizontal e sua 
somatória abrange todas as barras colocadas ao longo do comprimento de ancoragem 
lb (na Figura 7.26 são mostradas apenas duas destas barras); e 
− As corresponde a área da seção transversal de uma das barras ancoradas e sua 
somatória abrange todas as barras que compõem o plano de fendilhamento Y (barras 
5 e 6 da Figura 7.26). 
7.11 Ancoragem de barras comprimidas 
Não deve haver distinção entre comprimentos de ancoragem de barras tracionadas ou 
comprimidas. A única exigência feita pela NBR 6118, item 9.4.2.1 é que as barras comprimidas 
devem ser ancoradas sem gancho em suas extremidades. 
No caso específico de sapatas e blocos sobre estacas (Figura 7.27), onde nascem pilares, a 
aplicação direta da Equação 7.10, para ancoragem de barras dentro destas estruturas, não deve 
ser feita. É recomendado que o limite mínimo 0,3 lb seja aumentado para 0,8 lb, de tal forma que: 











φ






×
φ
≥××
φ
=
mm100
10
f
f
4
8,0
A
A
f
f
4
b
bd
yd
ef,s
cal,s
bd
yd
nec,b
43421
l
l
 Equação 7.27 
 
Figura 7.27 – Sapatas e blocos sobre estacas 
d ≥ lb,nec 
h0 
h 
h d ≥ lb,nec 
2004 7-50 ufpr/tc405 
Exemplo 7.9: Um pilar de seção transversal 25 cm x 50 cm nasce de um bloco de fundação 
que tem 70 cm de altura útil e será construído com concreto classe C15. 
Sabendo-se que o pilar necessita 18,05 cm2 de área de armadura de aço CA-50 
(barras nervuradas) para resistir às solicitações normais de compressão (ELU), 
determinar o número de barras de 32 mm necessárias para compor a armadura 
longitudinal deste pilar. Ao final dos cálculos, apresentar o diagrama Rsd da barra. 
 
Solução: A solução deste problema consiste em se determinar, para as barras do pilar, um 
comprimento de ancoragem igual ou inferior a 70 cm (altura útil do bloco de 
fundação). Os cálculos mostrarão que é impossível ancorar barras de 32 mm 
neste bloco. 
 O valor de lb,nec deverá ser determinado pela Equação 7.27, com fbd definido pela 
Equação 7.6. Para η1 deverá ser usado o valor 2,25 que corresponde a barra 
nervurada; para η2 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde a situação de 
boa aderência (Figura 7.6); para η3 deverá ser usado o valor 1,0 que corresponde 
a barras de diâmetro menor que 40 mm; para γc deverá ser usado o valor 1,4 que 
corresponde a combinações normal de carregamento - ELU; e para γs deverá ser 
usado o valor 1,15 que corresponde a combinações normal de carregamento - 
ELU. 
 O diagramas Rsd será estabelecido em função da tensão atuante nas barras 
(Equação 7.11). 
 Deve ser lembrado que o concreto C15, aqui usado, é permitido pela NBR 6118 
apenas em obras de fundações. 
a. Dados - uniformização de unidades (kN e cm) 
 C15kN/cm 1,5MPa 15f 2ck == 
 CA50kN/cm 0,50MPa 500f 2yk == 
 nervurada barra25,21 =η 
 aderência boa de situação0,12 =η 
 mm 40 00,13 <φ=η 
 normal combinação - ELU40,1c =γ 
 normal combinação - ELU15,1s =γ 
 fundação de bloco do útil alturacm 45d = 
 barra da diâmetrocm 3,2 mm 32 ==φ 
 mm 32 de barra da ltransversa seção da áreacm04,8
4
2,3
4
A 2
22
s =
×π
=
πφ
= 
 pilar do ltransversa seção da áreacm12505025A 2c =×= 
70 cm 
2004 7-51 ufpr/tc405 
 aço do cálulo de aresistêncikN/cm 43,5MPa 435
1,15
500
γ
f
f 2
s
yk
yd ==== 
 cálculada armadura de áreacm05,18A 2cals, = 
 gancho em terminar pode não comprimida armadura0,1=α 
 bloco do útil altura à limitado ancoragem de ocomprimentcm70nec,b ≤l 
b. fbd 
 MPa em ff
21,0
f ck3
2
ck
c
321
bd 





γ
ηηη
= 
 23 2bd kN/cm 0,205MPa 05,2154,1
0,10,125,221,0f ==




 ×××= 
c. lb 
 
bd
yd
b f
f
4
⋅
φ
=l 
 φ=⋅φ= 53
205,0
5,43
4b
l 
 cm 170mm 1696233553b ≈=×=φ=l 
d. Valor mínimo de comprimento de ancoragem (Equação 7.27) 
 





=×=φ
⇐>=×=
≥
cm10
cm322,31010
cm70cm1361708,08,0 b
nec,b
l
l 
 Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de 
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 32 mm neste bloco. 
e. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 25 mm 
 cm 133mm 1325253553b ≈=×=φ=l 
 





=×=φ
>=×=
≥
cm10
cm255,21010
OKcm70cm1061338,08,0 b
nec,b
l
l 
 Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de 
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 25 mm neste bloco. 
f. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 20 mm 
 cm 106mm 1060203553b ≈=×=φ=l 
 





=×=φ
>=×=
≥
cm10
cm200,21010
OKcm70cm851068,08,0 b
nec,b
l
l 
 Como o valor mínimo para lb,nec resultou maior que 70 cm (altura útil do bloco de 
fundação), torna-se impossível a ancoragem de barras de 20 mm neste bloco. 
g. Verificação da possibilidade de ancorar barras de 16 mm 
 cm 85mm 848163553b ≈=×=φ=l 
 





=×=φ
<=×=
≥
cm10
cm166,11010
OKcm70cm68858,08,0 b
nec,b
l
l 
 Como o valor mínimo para lb,nec resultou menor que 70 cm (altura útil do bloco de 
fundação), torna-se possível a ancoragem de barras de 16 mm neste bloco. 
h. Determinação do número de barras de 16 mm 
 cm 6,1mm 16 ==φ 
2004 7-52 ufpr/tc405 
 2
22
s cm01,24
6,1
4
A =×π=πφ= 
 mm 16 debarras de par número ncm01,2nAnA 2sefs, =×== 
 mc70
01,2n
18,0585
A
A
ef,s
cal,s
bnec,b ≤×
×=×= ll 
 barras 12n10,90n =⇒≥ 
 Com o valor de n definido, chega-se: 
 2efs, cm 12,2401,212A =×= 
 pilar do armadura de acréscimo%34
05,18
05,1812,24
s =
−
=∆ 
 pilar do armadura de taxa%93,1
1250
12,24
A
A
c
ef,s ===ρ 
 Os valores de lb,nec e σs, para esta solução, resultam: 
 









=
=×=φ
=××
≥=××=
cm10mm100
cm106,11010
cm68
205,0
5,43
4
6,18,0
cm56
12,24
05,18
205,0
5,43
4
6,1
nec,bl 
 )sapatadaútilaltura(cm70cm68nec,b ≈=l 
 2yd
ef,s
cal,s
s cm/kN6,325,4312,24
05,18f
A
A
=×=×=σ 
i. Diagrama Rsd 
 kN 5,656,3201,2AR sssd =×=σ×= (ver Figura 7.11) 
 
 
7.12 Barras lisas e barras com alternância de solicitação 
Segundo o item 9.4.2.1 da NBR 6118, é obrigatório o uso de ganchos nas ancoragens de 
barras lisas tracionadas. Por outro lado, as barras que tenham alternância de solicitação, tração e 
compressão, não devem ser ancoradas com ganchos em suas extremidades. 
7.13 Ancoragem de estribos 
Segundo o item 9.4.6 da NBR 6118, a ancoragem dos estribos deve necessariamente ser 
garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos podem 
ser (Figura 7.28); 
65,5 kN 
70 cm 
56 cm 
2004 7-53 ufpr/tc405 
a. semicirculares ou em ângulo de 45° (interno), com ponta reta de comprimento igual a 
5 φt, porém não inferior a 5 cm; e 
b. em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 φt, porém não 
inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos) 
 
Figura 7.28 – Ancoragem de estribos 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos (Figura 7.28) deve ser, no mínimo, igual ao 
indicado na Tabela 7.6. 
Tipo de Aço Bitola (mm) 
CA-25 CA-50 CA-60 
φt ≤ 10 3φt 3φt 3φt 
10 < φt <20 4φt 5φt - 
φt ≥20 5φt 8φt - 
Tabela 7.6 – Diâmetro dos pinos de dobramento 
para estribos 
7.14 Simbologia específica 
bw largura da viga 
c comprimento 
d altura útil 
 distância da fibra de concreto mais comprimida até o centro de gravidade da 
armadura tracionada 
fbd resistência de aderência de cálculo 
fcd resistência à compressão do concreto de cálculo 
fck resistência à compressão do concreto característica 
fckj resistência à compressão do concreto característica aos j dias 
fctd resistência à tração do concreto de cálculo 
fctk resistência à tração do concreto característica 
fct,m resistência à tração do concreto média 
fyd resistência ao escoamento do aço da armadura transversal que atua na região de 
ancoragem de barras 
fyk resistência ao escoamento do aço característica 
h altura da viga 
lb comprimento de ancoragem básico 
a 
a 
b 




 φ
≥
cm5
5
a
t
 




 φ
≥
cm7
10
b
t
 
φt φt φt 
2004 7-54 ufpr/tc405 
lb,nec comprimento de ancoragem necessário 
n número de barras 
sb espaçamento da armadura transversal que atua na região de ancoragem de barras 
u perímetro 
x abscissa 
y altura do retângulo de tensões σc 
z braço de alavanca 
As área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada 
As,cal área da seção transversal da armadura longitudinal calculada 
As,ef área da seção transversal da armadura longitudinal efetiva 
Asw,b área da seção transversal da armadura transversal que atua na região de 
ancoragem de barras 
ELU estado limite último 
Fb força normal de tração devida à ancoragem 
Fs força normal atuante na barra 
Fsw,b força normal atuante na armadura transversal que atua na região de ancoragem de 
barras 
MRd momento fletor resistente de cálculo 
MSd momento fletor solicitante de cálculo 
N1 caracterização de barra 
Rcd força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido 
Rsd força resistente de cálculo atuante na armadura tracionada 
α coeficiente de minoração para barras ancoradas com gancho na extremidade ou 
com armadura transversal soldada 
βz valor adimensional que define o braço de alavanca 
εc deformação específica do concreto 
εs deformação específica do aço à tração 
εyd deformação específica de escoamento do aço 
φ diâmetro das barras da armadura 
φt diâmetro das barras da armadura transversal 
γc coeficiente de ponderação da resistência do concreto 
γs coeficiente de ponderação da resistência do aço 
η coeficiente de conformação superficial 
η1 coeficiente para cálculo da tensão de aderência da armadura 
 coeficiente correspondente à conformação superficial das barras na determinação 
de fbd 
η2 coeficiente que representa as condições de boa e má aderência na determinação 
de fbd 
η3 coeficiente que representa a bitola das barras na determinação de fbd 
γs coeficiente de ponderação da resistência do aço 
ρ taxa de armadura longitudinal 
σb tensão normal de tração devida à ancoragem 
σc tensão à compressão no concreto 
σs tensão à tração na armadura 
τb,x tensão tangencial de aderência 
2004 7-55 ufpr/tc405 
7.15 Exercícios 
Ex. 7.1: Complete o quadro abaixo considerando ELU. Forneça os valores de lb na forma 
nφ, sendo n um número inteiro e φ o diâmetro da barra a ser ancorada. 
Aço Concreto fbd (MPa) lb(boa ader.) lb(má ader.) 
CA-25 C15 
CA-25 C20 
CA-50 C25 
CA-50 C30 
CA-60 C35 
CA-60 C40 
Ex. 7.2: Determinar os comprimentos das barras necessárias para resistir o momento fletor 
solicitante de cálculo (negativo) do apoio B da viga abaixo representada. Detalhar a armadura 
usando barras de 16 mm. 
Dados: 
− concreto: C20; e 
− barras nervuradas: CA-50. 
Considerar: 
− somente solicitações normais; 
− viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; 
− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 
e γs = 1,15); 
− d = 60 cm; 
− bw = 18 cm; e 
− al = d. 
 
Ex. 7.3: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: 
− concreto: C20; e 
− barra nervurada: CA-50. 
1,8 m 2,1 m 
diagrama de 
momentos MSd 
- 
110 kNm 
16 mm 
B 
2004 7-56 ufpr/tc405 
Considerar: 
− somente solicitações normais; 
− viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; 
− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 
e γs = 1,15); 
− bw = 20 cm; 
− armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
− cobrimento nominal: 3 cm; e 
− dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
Obs.: 
− peso próprio da viga desprezível. 
 
Ex. 7.4: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: 
− concreto: C25; e 
− barra nervurada: CA-50. 
Considerar: 
− somente solicitações normais; 
− viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; 
− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 
e γs = 1,15); 
− bw = 20 cm; 
− armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
− cobrimento nominal: 3 cm; e 
− dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
Obs.: 
− peso próprio da viga desprezível. 
 
 
50 cm 
90 cm 
20 cm 
290 cm 290 cm 
Gk = 60 kN 
20 cm 
A 
G2k = 30 kN 
160 cm 90 cm 
G1k = 60 kN 
50 cm 
90 cm 
20 cm 
170 cm 160 cm 
20 cm 
B 
2004 7-57 ufpr/tc405 
Ex. 7.5: Detalhar a armadura longitudinal da viga abaixo indicada. 
Dados: 
− concreto: C25; e 
− barra nervurada: CA-50. 
Considerar: 
− somente solicitações normais; 
− viga de seção retangular, simplesmente apoiada nos pilares; 
− pilares com 30 cm de largura; 
− estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (γg = 1,4, γq = 1,4, γc = 1,4 
e γs = 1,15); 
− bw = 20 cm; 
− h = 65 cm; 
− armadura transversal (estribos): 6,3 mm; 
− cobrimento nominal: 3 cm; e 
− dimensão máxima do agregado: 19 mm. 
Obs.: 
− peso próprio da viga incluído na carga gk. 
 
Ex. 7.6: Determinar a altura mínima h do bloco de fundação abaixo indicado. A armadura de 
compressão necessária para a segurança do pilar (armadura calculada) resultou em 6,0 cm2, 
porém serão usadas 6 barras de 16 mm. 
Considerar: 
− concreto: C15; 
− barra nervurada: CA-50; e 
− combinação normal de carregamento – ELU. 
 
10 cm 
h 
4 m 
gk = 30 kN/m 
2 m 
Gk = 90 kN 
2004