Reta de Regressão e MMQ

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Reta de regressão e o MMQ
Prof. M.Sc. Lucas Gabriel Winter
Soma das diferenças sempre vai dar 0
Conceito de grau de liberdade
Como então lidar com as diferenças?
QUADRADOS OU MÓDULOS?
Reta?
Equação da reta: y=a+bx
a = onde a reta corda o eixo das ordenadas (eixo vertical)
b = tangente do ângulo formado entre a reta e a eixo horizontal
Se é uma reta. As somas das distâncias até ela tem que dar zero
Erros ou resíduos
Yi = O valor observado no mercado
Yi chapéu = o valor calculado pela reta de regressão
A somatória dos erros deve sempre resultar em zero!
QUAL ESCOLHER?
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Lei dos mínimos
Derivada do somatório dos erros ao quadrado em relação a “a” = 0
Derivada do somatório dos erros ao quadrado em relação a “b” = 0
Exemplo
ei = yi – ŷi
ŷi = a + bxi
ei = yi – (a + bxi)
E² = (y1-(a+bx1))² + (y2-(a+bx2))² + (y3-(a+bx3))² 
Produto notável
O quadrado do primeiro +- 2 * o primeiro * segundo + o quadrado do segundo
E² = 
COMO ERA
(y1 - (a+bx1))²
COMO FICOU
[y1² - 2y1(a+bx1) + (a+bx1)²] 
+
…
E² = 
[y1² - 2y1(a+bx1) + (a+bx1)²] 
+
[y2² - 2y2(a+bx2) + (a+bx2)²]
+
[y3² - 2y3(a+bx3) + (a+bx3)²]
E² = 
COMO ERA
[y1² - 2y1(a+bx1) + (a+bx1)²] 
COMO FICOU
[y1² - 2y1a-2y1bx1 + a² + 2abx1 + (bx1)²]
+
…
E² = 
[y1² - 2y1a-2y1bx1 + a² + 2abx1 + (bx1)²]
+
[y2² - 2y2a-2y2bx2 + a² + 2abx2 + (bx2)²]
+
[y3² - 2y3a-2y3bx3 + a² + 2abx3 + (bx3)²]
UNINDO OS SEMELHANTES
E² = 
[y1² -2y1a -2y1bx1 +a² +2abx1+(bx1)²]
+
[y2² -2y2a -2y2bx2 +a² +2abx2 +(bx2)²]
+
[y3² -2y3a -2y3bx3 +a² +2abx3 +(bx3)²]
COLOCANDO EM EVIDÊNCIA
E² = 
(y1²+y2²+y3²) –2a(y1 + y2 + y3) –2b(y1x1+y2x2+ y3x3) +2ab(x1+x2+x3) +n*a² +b²(x1²+x2²+x3²) 
MÉDI
LEMBRANDO QUE
MÉDIA = SOMATÓRIA/Nº TOTAL DE ELEMENTOS
E² = 
ymédio*n –2a*ymédio*n –2b*yxmédio*n +2ab*xmédio*n +n*a² +b²*x²médio*n 
Derivando em relação a “a”
E² =
[–2*ymédio*n +2*b*xmédio*n +2*n*a] = 0
Sugestão para simplificação: /2n
E²= [–ymédio +b*xmédio +a] = 0
Derivando em relação a “b’
E² = 
[–2*yxmédio*n +2a*xmédio*n +2*b*x²médio*n] =0
Sugestão para simplificação: /2n
E² = [–yxmédio +a*xmédio +b*x²médio] =0
Resultados:
Derivando em relação a “a”
E² = [–ymédio +b*xmédio +a] = 0
Derivando em relação a “b’
E² = [–yxmédio +a*xmédio +b*x²médio] =0
MÉDI
LEMBRANDO QUE
MÉDIA = SOMATÓRIA/Nº TOTAL DE ELEMENTOS
Resultados:
Derivando em relação a “a”
E² = [-(y1+y2+y3)+b*(x1+x2+x3) +a*n] = 0
Derivando em relação a “b’
E² = [–(yx1+yx2+yx3+a*(x1+x2+x3)+b*(x²1+x²2+x²3)] =0
Resultados:
Derivando em relação a “a”
- Σy + bΣx + an = 0
Derivando em relação a “b’
- Σyx + aΣx + bΣx² = 0
EXERCÍCIO: Determinar os coeficientes “a” e “b” da reta de regressão.
Montar o gráfico relacionando os valores de x e y calculados