Matrizes 3 (Res)

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Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 1 
 
Resolução dos Exercícios Propostos I 
 
EP I.1. Inverta as seguintes matrizes: 
A = 





11
12
 e B = 









 
011
202
111
 
 
Resolução: 
Calculemos primeiro a inversa da matriz A = 





11
12
: 
 
 2A I  





1110
1201
 → 







1110
3021
 → 
 





 
013/13/1
103/23/1
 → 





 103/23/1
013/13/1
= 1A I   
 
 
logo a inversa de A é a matriz 1
1/ 3 1/ 3
1/ 3 2 / 3
A
 
  
 
. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Determinemos agora a inversa de B = 









 
011
202
111
: 
 
 3B I 









 
011100
202010
111001
→













100101
420012
111001
→ 
 












100101
020412
011100
→
1 1/ 2 1 1 0 0
1 1/ 2 2 0 1 0
1 0 1 0 0 1
 
 
 
 
  
1B I    
 
 
logo B 1 = 
1 1/ 2 1
1 1/ 2 2
1 0 1
 
 
 
 
  
. 
 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 2 
EP I.2. Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de 
risco menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. 
Cada um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r 
que pretende atingir. 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €50.000 e obter um rendimento de €7.500 (15%) . 
 
a) Escreva um sistema de 2 equações que lhe permita resolver este problema. 
b) Escreva sistema anterior na forma: AX B . Indique a matriz A e o vector B . 
c) Calcule a matriz inversa de A . 
d) Como aplicará o gestor esse dinheiro? 
 
Resolução: 
a) Vamos considerar as variáveis: 
Quantia aplicada a 10%
Quantia aplicada a 20%
x
y


 
 
O problema que se pretende analisar pode ser modelado pelo sistema: 
 
0,1 0,2
x y a
x y r
 

 
 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €50.000 e obter um rendimento de €7.500 (15%) , 
que conduz ao sistema: 
50000
0,1 0,2 7500
x y
x y
 

 
 
 
b) 
1 1
0,1 0,2
A
 
   
 
 e 
50000
7500
B
 
  
 
 
 
c) 
 
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 10
0,1 0,2 0 1 0 0,1 0,1 1 0 1 1 10 0 1 1 10
A I
       
          
         
 
 
Pelo que: 
1
2 10
1 10
A
 
  
 
 
 
d) 
2 10 50000 25000
1 10 7500 25000
Portanto, o gestor aplicará €25.000,00 em cada um dos produtos.
x
y
       
        
       
 
 
 
Nota: Releia o enunciado do ER 4. 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 3 
 
Resolução Teste de Auto-Avaliação (30 minutos) 
 
AA 1 Considere as matrizes seguintes: 
 
 
2 1 0 1
0 2 1 0
1 1 1 1
1 1 2 1
A
 
 
 
   
 
  
e 
1 1 0
2 2 1
1 1 1
B
 
 
 
 
    
. 
 
a) Calcule, usando eliminação, a característica de cada uma delas. 
b) Calcule a matriz inversa de cada uma delas. 
c) Mostre, usando a definição, que a matriz encontrada em cada caso é de facto a matriz 
inversa. 
 
Comentário inicial: A característica é o número de pivots, diferentes de zero, após 
finalizar a eliminação (i.e. obter uma matriz em escada). Representa-se por c(A) ou r(A). 
 
Sabemos que a característica de uma matriz não se altera se sobre as suas linhas e/ou 
colunas efectuarmos uma sequência de transformações elementares. 
 
Resolução: a) Temos para a matriz A: 
 














1211
1111
0120
1012
→
0 3 2 3
0 2 1 0
1 1 1 1
0 0 1 0
 
 
 
   
 
 
→
0 0 1/ 2 3
0 1 1/ 2 0
1 1 1 1
0 0 1 0
 
 
 
   
 
 
→
1 1 1 1
0 1 1/ 2 0
0 0 1/ 2 3
0 0 1 0
   
 
 
 
 
 
→
1 1 1 1
0 1 1/ 2 0
0 0 1/ 2 3
0 0 0 6
   
 
 
 
 
 
, logo r(A) = 4; 
Por outro lado, para a matriz B: 













111
122
011
→












120
100
011
→












100
120
011
, 
 
 
portanto r(B) = 3. 
 
b) Calculemos a inversa de A: 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 4 
1 3
1 0 0 0 2 1 0 1
0 1 0 0 0 2 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 2 1
L L
 
 
  
   
 
 
3 1
4 1
2
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
1 0 0 0 2 1 0 1
0 0 0 1 1 1 2 1
L L
L L


   
 
  
 
 
 
 
3 23/ 2
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
1 0 2 0 0 3 2 3
0 0 1 1 0 0 1 0
L L
   
 
  
 
 
 
3 4
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
1 3/ 2 2 0 0 0 1/ 2 3
0 0 1 1 0 0 1 0
L L
   
 
  
  
 
 
 
 
4 31/ 2
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1 3/ 2 2 0 0 0 1/ 2 3
L L
   
 
  
 
 
  
 
 
41/3
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1 3/ 2 5 / 2 1/ 2 0 0 0 3
L
   
 
  
 
 
   
 
 
1 4
0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6 0 0 0 1
L L
   
 
  
 
 
   
 
 
1 3
2 3
1/ 3 1/ 2 1/ 6 1/ 6 1 1 1 0
0 1 0 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6 0 0 0 1
L L
L L


    
 
  
 
 
   
 
 
21/ 2
1/ 3 1/ 2 7 / 6 5 / 6 1 1 0 0
0 1 1 1 0 2 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6 0 0 0 1
L
  
 
 
  
 
 
   
 
 
1 2
1/ 3 1/ 2 7 / 6 5 / 6 1 1 0 0
0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6 0 0 0 1
L L
  
 
 
  
 
 
    
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 5 
1/ 3 0 2 / 3 1/ 3 1 0 0 0
0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6 0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
   
 
 
assim, A 1 =
1/ 3 0 2 / 3 1/ 3
0 1/ 2 1/ 2 1/ 2
0 0 1 1
1/ 3 1/ 2 5 / 6 1/ 6
 
 
 
 
 
 
   
 
 
b.2) Para a inversa da matriz B veja o ER 3. 
 
c) Deve usar: 
 
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n . A matriz A diz-se invertível se 
existe uma matriz A , quadrada de ordem n , tal que:
1 1
4. .A A A A I
   . 
 
Pelo que deve fazer os produtos matriciais e mostrar que dão sempre a matriz identidade: 
 
Matriz A: 1
4.A A I
  e 1 4.A A I
  
 
Matriz B: 1
3.B B I
  e 1 3.B B I
  
 
AA 2 Um gestor financeiro tem dois produtos de risco diferente: uma aplicação de risco 
menor que retorna 10% ao ano, e outra de risco superior que retorna 20% ao ano. Cada 
um dos seus clientes tem um montante a que quer aplicar, e um retorno anual r que 
pretende atingir. 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €10.000 e obter um rendimento de €1.300 (13%) . 
a) Escreva um sistema de 2 equações que lhe permita resolver este problema. 
b) Escreva sistema anterior na forma: AX B . Indique a matriz A e o vector B . 
c) Calcule a matriz inversa de A . 
d) Como aplicará o gestor esse dinheiro? 
 
 
Resolução: 
 
 
a) Vamos considerar as variáveis: 
Quantia aplicada a 10%
Quantia aplicada a 20%
x
y


 
 
O problema que se pretende analisar pode ser modelado pelo sistema: 
 
Ficha de Trabalho 3 – Matrizes 3: Matriz Inversa (RES) 
 
 6 
0,1 0,2
x y a
x y r
 

 
 
 
Admita que o cliente pretende aplicar €10.000 e obter um rendimento de €1.300 (13%) , 
que conduz ao sistema: 
10000
0,1 0,2 1300
x y
x y
 

 
 
 
b) Podemos associar a matriz A e o vector B seguintes: 
 
1 1
0,1 0,2
A
 
   
 
 e 
10000
1300
B
 
  
 
 
 
c) 
 
 
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 10
0,1 0,2 0 1 0 0,1 0,1 1 0 1 1 10 0 1 1 10
A I
       
          
         
 
 
Pelo que: 1
2 10
1 10
A
 
  
 
 
 
d) Sabemos que 1AX B X A B   pelo que neste caso podemos escrever: 
 
2 10 10000 7000
110 1300 3000
Portanto, o gestor aplicará €7.000,00 no produto de baixo risco e €3.000,00 no de alto risco
x
y
       
        
       
 
 
 
Nota: Releia a resolução do EPI.2