AULA VAR ALEA CONT E DISTR DE PROB

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Variáveis Aleatórias 
Contínuas e Distribuições 
de Probabilidades
FTL124 – Eng da Qualidade
Introdução
› James Maxwell usou algumas suposições básicas para 
determiner a distibuição de velocidade molecular em um 
gás em equilíbrio. 
› A partir desse conceito, ele considerou probabilidades 
iguais em todas as direções x, y e z e também 
independência dessas componentes de velocidade. 
› Logo a distribuição de probabilidades da velocidade em 
uma direção particular é a distribuição continua conhecida 
como distribuição normal.
Objetivos de aprendizagem
› Determinar probabilidades a partir de funções densidades de 
probabilidade
› Determinar probabilidades a partir de funções de distribuição 
cumulativa e funções de distribuição cumulativa a partir de 
funções de densidade de probabilidade, e ao contrário.
› Calcular médias e variâncias para variáveis aleatórias 
contínuas
› Entender as suposições para algumas distribuições contínuas 
de probabilidades comuns 
› Selecionar uma distribuição contínua apropriada de 
probabilidades para calcular probabilidades em aplicações 
específicas
Introdução
› Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. 
Quando a variável é contínua – assume valores em 
intervalos de reta ou números reais – a distribuição de 
frequência pode ser representada por um histograma. 
› Os Gráficos a seguir mostram as distribuições de 
frequências dos preços de uma amostra hipotética de 100 
ações. 
Gráficos
Introdução
› Vamos agora dirigir nossa atenção para a população de 
onde a amostra analisada foi extraída. Qual será a 
probabilidade de que o preço de uma ação seja superior a 
R$ 12,00?
– Se a amostra foi aleatoriamente retirada da população, 
poderemos afirmar que a estimativa de preço P é 30%
– Para o cálculo exato, necessitamos de um modelo para a 
distribuição de frequência relativa da população.
Variáveis aleatórias contínuas
› Suponha que um comprimento seja medido em uma peça 
manufaturada e selecionada a partir de um dia de 
produção. 
› Na prática, pode haver pequenas variações nas medidas 
em razão de muitas causas:
– Vibrações 
– Flutuações na temperatura
– Desgaste da ferramenta de corte
– Desgaste do mancal
Variáveis aleatórias contínuas
› Em um experimento, a medida é naturalmente 
representada como uma variável aleatória X e é razoável 
modelar a faixa de valores possíveis de X com um 
intervalo de números reais.
› O modelo é adequado para qualquer precisão em medidas 
de comprimento. 
DEFINIÇÂO:
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA é uma variável com um intervalo (finito ou infinito) de 
Números reais para sua faixa
Variáveis aleatórias contínuas
› Pelo fato de o número de valores possíveis de X ser 
infinito e incontável, X tem uma distribuição distintamente 
diferente das variáveis aleatórias discretas previamente 
estudadas. 
› Essas variáveis aleatórias são descritas à seguir: 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES E 
FUNÇÕES 
DENSIDADES DE 
PROBABILIDADE
Funções densidade são 
comumente usadas em 
engenharia para descrever 
sistemas físicos. 
Por exemplo: Considere a 
função densidade de uma 
carga em uma longa e 
delgada viga.
Para qualquer ponto x ao 
longo da viga, o 
dilatamento pode ser 
descrita por uma função.
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES E 
FUNÇÕES 
DENSIDADES DE 
PROBABILIDADE
A carga total entre os 
pontos a e b é determinada 
como uma integral da 
função densidade, de a e 
b. Essa integral é a área 
sob a função densidade ao 
longo desse intervalo, 
podendo ser 
aproximadamente 
interpretada como a soma 
de todas as cargas ao 
longo desse intervalo
Distribuições de Probabilidades e Funções 
Densidades de Probabilidade
› Logo, uma função densidade de 
probabilidade f(x) pode ser usada 
para descrever a distribuição de 
probabilidades de uma variável 
aleatória contínua X. Se um 
intervalo for provável de conter um 
valor para X, então sua 
probabilidade é grande e ela 
corresponde a valores grandes 
para f(x). 
› A probabilidade de X estar entre a 
e b é determinada pela integral de 
f(x) de a e b. 
Distribuições de Probabilidades e Funções 
Densidades de Probabilidade
› Uma função densidade de probabilidade fornece uma 
descrição simples das probabilidades associadas a uma 
variável aleatória. 
› Uma função densidade de probabilidade é zero para 
valores de x que não possam ocorrer e é considerada igual 
a zero onde ela não for especificadamente definida. 
Distribuições de Probabilidades e Funções 
Densidades de Probabilidade
› Um histograma é uma aproximação da função densidade 
de probabilidade. Para cada intervalo do histograma, a 
área da barra é igual à frequencia relativa (proporção) das 
medidas do intervalo. 
› A frequência relativa é uma estimativa da probabilidade de 
a medida cair no intervalo. 
› Similarmente, a área sob f(x) ao longo de qualquer 
intervalo é igual à probabilidade verdadeira de a medida 
cair no intervalo.
Exemplo
Corrente Elétrica
› Seja a variável aleatória contínua X a 
corrente em um fio delgado de cobre, 
medida em miliampères. Suponha que 
a faixa de X seja [4,9;5,1 mA] e 
considere que a função densidade de 
probabilidade de X seja f(x)=5 para 
esse intervalo. Qual é a probabilidade 
de uma medida da corrente ser menor 
que 5 miliàmperes?
– A função densidade de 
probabilidade é mostrada na figura. 
É suposto que f(x)=0, onde quer 
que ela não esteja definida 
especificamente. A probabilidade 
requerida é indicada pela área 
sombreada. 
Exemplo 
Corrente Elétrica
› A probabilidade que seja 
menor que 5: 
› Área entre 4,9 e 5,1
Exemplo 
Diâmetro do Orifício
› 
Exemplo diâmetro do Orifício
› Pergunta 01:
Exemplo
› Pergunta 2
Exemplo – Interpretação dos Resultados
› Pelo fato de ser a proporção de peças com diâmetros 
maiores do que 12,60 mm uma grande proporção de 
peças é descartada. Melhorias no processo são 
necessárias para aumentar a proporção de peças com 
dimensões próximas de 12,50 mm
Distribuição Contínua Uniforme
› A distribuição contínua mais simples é análoga à sua 
correspondente discreta.
Distribuição Contínua Uniforme
Exemplo 
Corrente Uniforme 
› Seja a variável aleatória 
contínua X a corrente medida 
em um fio delgado de cobre em 
miliampères. Considere que a 
faixa de X seja [4,9; 5,1] e 
suponha que a função 
densidade de probabilidade de 
X seja f(x)=5
› Qual é a probabilidade de a 
medida da corrente estar entre 
4,95 e 5 miliàmperes? A 
probabilidade requerida é 
mostrada como: 
Exemplo
› Logo
› As fórmulas da média e da variância podem ser usada 
com a=4,9 e b=5,1
› 
Distribuição Normal
› O modelo mais largamente utilizado para uma medida 
contínua é uma variável aleatória normal
› Toda vez que um experimento aleatório for replicado, a 
variável aleatória que for igual ao resultado médio (ou 
total) das réplicas tenderá a ter uma distribuição normal, à 
medida que o número se torne grande. 
Introdução
› O modelo mais largamente utilizado para a distribuição de 
uma variável aleatória
› A base teórica de uma distribuição normal é mencionada 
para justificar a forma um tanto complexa da função 
densidade de probabilidade. 
Exemplo – Peso de 
recém-nascidos
› Exemplo: O peso de recém-nascidos 
é uma variável aleatória contínua. As 
Figuras abaixo mostram a 
distribuição de frequências relativas 
de 100 e 5000 pesos de 
recém-nascidos com intervalos de 
classe de 500g e 125g, 
respectivamente.
Exemplo – Peso de 
recém-nascidos
› O segundo histograma é um 
refinamento do primeiro, obtido 
aumentando-se o tamanho da amostra. 
› Ele sugere a curva na figura acima, que 
é conhecida como curva normal ou 
Gaussiana.
› A variável aleatória considerada neste 
exemplo e muitas outras variáveis da 
área biológica podem ser descritas pelo 
modelo normal ou Gaussiano. 
Distribuição Normal
› A equação da curva Normal é especificada usando 2 
parâmetros: a média μ, e o desvio padrão σ. 
› Denotamos N(μ, σ) à curva Normal
› A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão aoespalhamento (ou achatamento) da curva. 
› A distribuição normal é simétrica em torno da média o que 
implica que a média, a mediana e a moda são todas 
coincidentes. 
Distribuição Normal
› A área sob a curva normal (na verdade 
abaixo de qualquer função de 
densidade de probabilidade) é 1. Então, 
para quaisquer dois valores específicos 
podemos determinar a proporção de 
área sob a curva entre esses dois 
valores. 
› Para a distribuição Normal, a proporção 
de valores caindo dentro de um, dois, 
ou três desvios padrão da média são: 
Exemplo: 
Bebês
› Suponhamos que no exemplo do peso do 
recém-nascidos: média=2800g e 
desvio-padrão=500g. Então: 
› Usando este modelo podemos dizer que cerca 
de 68% dos recém-nascidos pesam entre 2300g 
e 3300g. O peso de aproximadamente 95% dos 
recém-nascidos está entre 1800g e 3800g. 
Praticamente todos os bebês desta população 
nascem com peso no intervalo (1300,4300).
› Na prática desejamos calcular probabilidades 
para diferentes médias e desvios-padrão. 
Distribuição Normal
› 
Exemplo: Concentração de poluentes
› A concentração de um poluente em água liberada por uma 
fábrica tem distribuição N(8,1.5). Qual a chance, de que 
num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite 
regulatório de 10 ppm? de um poluente em água liberada 
› A solução do problema resume-se em determinar a 
proporção da distribuição que está acima de 10 ppm, ie 
P(X>10). Usando a estatística Z temos: 
Exemplo – Corrente distribuída normalmente
› Suponha que as medidas da corrente em um pedaço de fio 
sigam a distribuição normal, com uma média de 10 
miliampères e uma variância de 4 (miliampères)? Qual é a 
probabilidade de a medida excer 13 miliampères?
– Seja X a corrente em miliampères. A probabilidade requeria pode 
ser representada por P(X>13). Seja Z=(X-10)/2.
Exemplo – Corrente distribuída normalmente
› Em vez de usar a equação acima, a 
probabilidade pode ser encontrada a partir da 
desigualdade X>13. Isto é:
› Interpretação prática:
› Probabilidades para qualquer variável 
aleatória normal podem ser calculadas com 
uma simples transformação para uma 
variável aleatória normal padrão.
Exemplo – Corrente distribuída Normalmente
› Continuando o exemplo: Qual é a probabilidade de a 
média da corrente estar entre 9 e 11 miliampères?
Distribuição Exponencial
› A distribuição de Poisson definiu uma variável aleatória 
como o número de falhas ao longo do comprimento de um 
fio de cobre. 
› A distância entre as falhas é outra variável aleatória que é 
frequentemente de interesse.
› Seja a variável aleatória X o comprimento de qualquer 
ponto inicial no fio até o ponto em que uma falha seja 
detectada. 
Distribuição Exponencial
› A derivação da distribuição de X 
depende somente da suposição de as 
falhas no fio seguirem o processo de 
Poisson. 
› Também, o ponto inicial para medir X 
não importa, porque a probabilidade 
do número de falhas em um intervalo 
de um processo de Poisson depende 
somente do comprimento do intervalo 
e não da localização.
› Para qualquer processo de Poisson, o 
seguinte resultado geral se aplica: 
Média e variância para uma função 
exponencial
Exemplo 
Uso do Computador
› Em uma grande rede corporativa de computadores, as 
conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas 
como um processo de Poisson, com uma média de 25 
conexões por hora. Qual é a probabilidade de não haver 
conexões em um intervalo de seis minutos?
– Seja X o tempo, em horas, do início do intervalo até a primeira 
conexão. Então X tem uma distribuição exponencial, com λ=25 
conexões por hora. Estamos interessados na probabilidade de X exceder 
seis minutos. Uma vez que λ é dado em conexões por hora, 
expressamos todas as unidades de tempo em horas. Ou seja 6 min = 0,1 
h
Exemplo
Uso do Computador
› A probabilidade requerida é 
mostrada como a área 
sombreada sob a função 
densidade de 
probabilidade. Logo: 
Exemplo Uso do Computador
› Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima 
conexão esteja entre 2 e três minutos? 
– Primeiro converta tudo para horas e depois coloque na integral
Exemplo
Uso do Computador
› Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de 
nenhuma conexão ocorrer no intervalo seja 0,90. A 
questão pergunta o comprimento de tempo x tal que 
P(X>x)=0,90
› O tempo médio e a variância:
 
Exemplo
› Probabilidades para variáveis aleatórias exponenciais são 
largamente usadas por organização para avaliar níveis de 
recursos e de pessoal de modo a encontrar as 
necessidades dos consumidores.
› Na engenharia de produção ela também é largamente 
utilizada para representar tempos de chegadas de clientes 
dentro da teoria das filas
Distribuição de Weibull
› A distribuição de Weibull é frequentemente usada para 
modelar o tempo até a falha de muitos sistemas físicos 
diferentes. Os parâmetros na distribuição fornecem uma 
grande flexibilidade para modelar sistemas em que o 
número de falhas aumenta com o tempo (desgaste do 
rolamento), diminui com o tempo (alguns semicondutores) 
ou permanecem constantes com o tempo (falhas causadas 
pelos choques externos ao sistema).
Distribuição de Weibull