TRABALHO

Prévia do material em texto

Resumo do capítulo 3 – Livro de Métodos dos Elementos Finitos
 
 
 
 
 Engenharia Civil
 Universidade Estácio de Sá, Nova Iguaçu
 Número da matrícula: 
OBJETIVO
Apresentar alguns conceitos de métodos de deslocamento aplicado em treliças e pórticos tridimensionais. 
SIMBOLOGIA
Símbolos usados para calcular deslocamentos em treliças e pórticos
REFERENCIAIS
· A formulaçao da matriz de rigidez de uma barra de eixo rectilíneo e de secção constante são considerados dois referenciais directos e ortonormados: (g1,g2,g3 ) e ( l1,l2,l3) . O referencial local é definido pelos eixos da barra l1,l2 e l3.
	
Considera-se sem perda de generalidade, a barra definida pelos nós I e J tem a origem no nó I e o nó J começa sobre o semi-eixo positivo l1. Consideramos que o nó I é inferior ao numero de nó J.
Os eixos l2 e l3 podem ser trocados entre si, com atenção que o referancial local deve ser se valores do momento da inercia em relaçao a l2 e l3. A transformação entre os referenciais g e l usa a seguinte expressão em T:
GRAUS DE LIBERDADE
· Em um ponto do espaço pertencente a um sujeito a deslocamentos e deformações. São considerados seis graus de liberdade (três de deslocamento e três de rotação)
· Em um só vetor com seis componentes com três deslocamentos e três rotações 
· No estudo de um pórtico 3D são considerados os seis deslocamentos generalizados em cada ponto nodal (da barra ou da estrutura). Na treliça 3D são considerados três deslocamentos em cada ponto nodal (a1, a2 e a3). Para usar treliça 2D basta suprimir um dos três graus de liberdade.
· Desenvolvimento da fórmula apenas de barra de pórtico 3D com os seis deslocamentos generalizados (3 forças e 3 momentos).
· Uma barra com dois nós (i e J), cada nó tem seis graus de liberdade e seis deslocamentos generalizados. Assim, o número de graus de liberdade na barra é doze.
MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO
· Uma matriz de transformação T: 3x3
· Transformação dos doze deslocamento pode ser feito com a relação à matriz de transformação T vire uma matriz 12x12 pela repetição de (3) quatro vezes;
MATRIZ DE RIGIDEZ E VECTOR SOLICITAÇÃO
· Uma barra com eixo rectilíneo e secção constante, com referencial local (K1) e vector de forças nodais em várias ações (F1), Assim usando matriz K1 e do vector F1 na equação. Com a1, sendo o vector de dos deslocamentos da barra referencial local.
· Equação da matriz de transformação para deslocamento generalizados e forças generalizadas. 
· Matriz de transformação é ortogonal, multiplicam-se os membros de 
(7) por .
· Após substituindo com a equaçao de deslocamento da barra referancial local resulta
· depois de serem conhecidos os deslocamentos é possível calcular as ações nas extremidades das barras no referencial local com a expressão:
ASSEMBLAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL E DO VECTOR SOLICITAÇAO
· Após calcular toda as matrizes de rigidez das barras no referencial geral, é necessário proceder ao cálculo da matriz de rigidez global da estrutura.
· Essa estrutura tem quatro nós (1 e 4) e quatro barras ( A e D) cada nó tem um grau de liberdade e nele tem quatro deslocamento nodais e quatro forças nodais equivalentes a ação exterior. Cada barra é conhecida a matriz de rigidez ( 2 x 2 ) no referencial geral. Atendendo a numeração global.
INTRODUÇAO DAS CONDIÇÕES DE APOIO
· O sistema de equações relaciona forças e deslocamentos que fica no referencial geral, englobando todos os graus de liberdade da estrutura, os graus de liberdade da estrutura são divididos em dois grupos: L (graus de liberdade não prescritos -livres) e P (graus de liberdades prescritos. Assim a equação fica organizada por blocos.
· é o vector que engloba os deslocamentos segundo os graus de liberdade não prescritos e engloba os prescritos. O mesmo tipo de subdivisão é efectuado com o vector das forças nodais equivalentes à ação exterior
 
· É uma matriz quadrada, que em geral não é singular, é o vector das incógnitas e os valores dos vetores e matrizes que estão no segundo membro são conhecidos. Com isso construímos um sistema de equações lineares, que depois de resolvido encontramos os valores dos deslocamentos .
· Ao encontra o deslocamento , fornece os valores das reações em graus de liberdades prescritos ()
O modo de introdução das condições de apoio tem as seguintes vantagens
· No processo necessita de um maior volume de cálculos e uma grande quantidade de memória de armazenamento.
· Em comparação com o método em que usa diagonal principal de K um número elevado, o método proposto apresenta menos problemas numéricos.
· A principal desvantagem é de agrupas os elementos de K em diversas submatrizes. Nova arrumação causa algumas dificuldades.
FASEAMENTO DE ANÁLISE DE UM PÓRTICO 3D
A análise de uma estrutura do tipo pórtico 3D pelo método dos deslocamentos, sugere-se o seguinte algoritmo.
Para cada barra: Calcular a matriz de transformação e depois de rigidez da barra no referencial local após assemblear, calcular o vetor das forças nodais equivalentes a ação exterior da barra no referencial local, introduzir as condições de apoio, resolver o sistema de equações lineares (determinando assim os deslocamento), calcular as reações nos apoios. Para cada barra: passar os deslocamentos relativos da barra corrente do vetor a para o vetor a e calcular.
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UMA BARRA DE TRELIÇA 3D NO REFERENCIAL LOCAL
Uma barra de pórtico espacial, de eixo retilíneo e seção constante.
• E - módulo de Young, constante em todos os pontos da barra
• A - área da secção transversal da barra, considerada constante
 • L - comprimento da barra; 
• G - módulo de distorção
• I2 - momento de inércia da secção transversal da barra em relação ao eixo l2
• I3 - momento de inércia da secção transversal da barra em relação ao eixo l3
 • It - momento de inércia de torção da secção transversal da barra.
•l2 e l3 são eixos principais centrais de inércia da secção transversal da barra.
Considerações finais
Nesse capítulo não consideramos a possibilidade de a barra apresentar eixo não retilíneo e nem o fato da seção transversal ser variável ao longo do eixo da barra. Também não foi possível considerar a contribuição das tensões tangenciais para a deformação habitualmente designada deformação por esforço transverso.