resolução transformada z

Prévia do material em texto

a) 
( 3)( 5)
( )
( 0,4)( 0,6)( 0,8)
z z z
F z
z z z
+ +
=
− − − 
O primeiro passo é dividir F(z) por z 
( ) 1 1 ( 3)( 5)
( )
( 0,4)( 0,6)( 0,8)
F z z z z
F z
z z z z z z
+ +
=  = 
− − −
 
Agora aplica-se a expansão de frações: 
( ) ( 3)( 5)
( 0,4)( 0,6)( 0,8) ( 0,4) ( 0,6) ( 0,8)
F z z z A B C
z z z z z z z
+ +
= = + +
− − − − − −
 
 
2 2 2 2( ) 8 15 1,4 0,48 1.2 0,32 0,24
( 0,4)( 0,6)( 0,8) ( 0,4)( 0,6)( 0,8)
F z z z Az zA A Bz zB B Cz zC C
z z z z z z z
+ + − + + − + + − +
= =
− − − − − −
 
 
2 2 2 2( ) 8 15 1,4 1.2 0,48 0,32 0,24
( 0,4)( 0,6)( 0,8) ( 0,4)( 0,6)( 0,8)
F z z z Az Bz Cz zA zB zC A B C
z z z z z z z
+ + + + − − − + + +
= =
− − − − − −
 
 
2 28 15 ( ) ( 1,4 1.2 ) 0,48 0,32 0,24
( ) ( )
( 0,4)( 0,6)( 0,8) ( 0,4)( 0,6)( 0,8)
z z A B C z A B C z A B C
F z F z
z z z z z z
+ + + + + − − − + + +
= = =
− − − − − − 
1
1,4 1,2 8
0,48 0,32 0,24 15
A B C
A B C
A B C
+ + =

− − − =
 + + =
 
Resolvendo o sistema tem-se: 
459 551
; 509;
2 2
A B C= = − = 
Substituindo os coeficientes na equação tem-se: 
( ) ( 3)( 5)
( 0,4)( 0,6)( 0,8) ( 0,4) ( 0,6) ( 0,8)
( ) 459 1 1 551 1
509
( 0,4) ( 0,6) ( 0,8) 2 ( 0,4) ( 0,6) 2 ( 0,8)
F z z z A B C
z z z z z z z
F z A B C
z z z z z z z
+ +
= = + +
− − − − − −
= + + =  −  + 
− − − − − −
 
 
( ) 459 1 1 551 1
509
2 ( 0,4) ( 0,6) 2 ( 0,8)
459 551
( ) 509
2 ( 0,4) ( 0,6) 2 ( 0,8)
F z
z z z z
z z z
F z
z z z
=  −  + 
− − −
=  −  + 
− − −
 
 
Aplicando a transformada inversa temos: 
( ) 229,5 (0,4) ( ) 509 (0,6) ( ) 275,5 (0,8) ( )k k kf kT u k u k u k=   −   +  
 
 
b) 
( 0,2)( 0,4)
( )
( 0,1)( 0,5)( 0,9)
z z
F z
z z z
+ +
=
− − − 
( 0,2)( 0,4)
( )
( 0,1)( 0,5)( 0,9) ( 0,1) ( 0,5) ( 0,9)
z z A B C
F z
z z z z z z
+ +
= = + +
− − − − − −
 
 
2 2 2 2z 0.6 0.08 ( 1,4 0,45) ( 0,09) ( 0,6 0,05)
( )
(z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9) (z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9)
z A z z B z z C z z
F z
+ + − + + − + + − +
= = 
 
2 2 2 2z 0.6 0.08 1,4 0,045 0,09 0,6 0,05
( )
(z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9) (z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9)
z Az zA A Bz zB B Cz Cz c
F z
+ + − + + − + + − +
= = 
 
2 2 2 2z 0.6 0.08 1,4 0,6 0,045 0,09 0,05
( )
(z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9) (z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9)
z Az Bz Cz zA zB zC A B C
F z
+ + + + − − − + + +
= = 
 
2 2z 0.6 0.08 ( ) ( 1,4 0,6 ) 0,045 0,09 0,05
( )
(z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9) (z - 0,1)(z - 0,5)(z - 0,9)
z A B C z A B C z A B C
F z
+ + + + + − − − + + +
= = 
 
1
1,4 0,6 0,6
0,045 0,09 0,05 0,08
A B C
A B C
A B C
+ + =

− − − =
 + + =
 
Resolvendo o sistema temos: 
15 63 143
A=4.46875; B=-3.9375; C=0.46875 ou A = ; ;
32 16 32
B C= − = 
Assim a função em expandida em frações parciais é: 
1 1 1
4,468 3,937 0,468
0,1 0,5 0,9z z z
 −  + 
− − −
 
Neste caso aplicamos a seguinte transformada inversa; 
1 11 ( ) ( 1)kF f kt a u k
z a
− −  = = − 
− 
 
Logo temos: 
1 1 1( ) 4,468 (0,1) ( 1) 3,937 (0,5) ( 1) (0,9) ( 1)k k kf kT u k u k u k− − −=  − −  − + − 
 
c) 
( 1)( 0,3)( 0,4)
( )
( 0,2)( 0,5)( 0,7)
z z z
F z
z z z z
+ + +
=
− − −
 
Expandindo em frações parciais temos: 
(Obs: Aqui fomos direto as resultado das frações parciais pois já foram realizados os processos nas 
resoluções anteriores não sendo necessário realizar o processo novamente) 
22
1282 12 300 144
(49 ) (5 1) (2 1) (10 7)
( ) 18700
( 0, 2) ( 0,5) ( 0,7) (7 49)
F z A B C D D
z z z zz z z z zzz
= + + + + =
− −−
− − + − +
− −−
 
 
2
( ) 1282 1 12 1 300 1 144 1 18700
49 7 5 ( 0,2) 2 ( 0,5) 490 ( 0,7)
1F z
z z z z zz
= −  −  +  − + 
− − −
 
 
2
( ) 1 1 1 1
26,16 1,71 60 72 38,16
( 0,2) ( 0,5) ( 0,7)
1F z
z z z z zz
= −  −  +  −  +
− − −
 
 
1
( ) 26,16 1,71 60 72 38,16
( 0,2) ( 0,5) ( 0,7)
z z
F
z
z
z z z z
= − −  +  −  +
− − −
 
Aplicando a tabela de transformada z inversa temos: 
( ) 60 (0, 2) 72 (0,5) 38,16(0,7)k K kf kT =  −  +
 
Para k=2,3,4....... 
 
f(kT)=1 para k=1; 
 
f(kT)=0 para k=0;