ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
Fabrício Alves Pereira 
03079240 
Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrar a equação da corrente elétrica do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1, expandindo 
o resultado para um intervalo de 0 a 4, objetivando uma visualização gráfica do 
comportamento da corrente para a tensão aplicada de forma binária. Para a 
obtenção dos resultados, é necessário produzir um texto com as seguintes 
informações: 
 
1. A definição de função degrau; 
2. Cálculos desenvolvidos para a determinação da Transformada de Laplace e 
da solução geral para i(t); 
3. Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4. 
 
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO DEGRAU 
 
Existem algumas funções que são de considerável interesse nas mais diversas 
áreas da ciência. Algumas delas, principalmente, são importantes nas soluções 
de equações diferenciais atreladas a modelagens de fenômenos descontínuos, 
como a função Degrau unitário ou função de Heaviside. 
 
FUNÇÃO DEGRAU: A função de Heaviside ou função degrau unitário, 
desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver Heaviside (1850 - 
1925) é uma função singular e descontínua, sendo nula para argumento negativo 
e valendo 1 para argumento positivo. A função degrau unitário é denotada por 
u(t-a) e dada por: 
 
 
 
Para resolução da proposta da atividade também precisamos do conceito da 
transformada de Laplace. Mas iremos proceder com como se faz sua 
determinação. 
 
 
Tabela de transformação de Laplace. 
 
 
A função definida degrau para nosso circuito em questão, será; 
 
 
 
Definimos 𝑎 como sendo maior ou igual a zero, com isso teremos uma função 
nos domínios dos reais positivos. A partir da definição da função degrau, que é 
continua por partes, obtém-se a transformada de Laplace da função diretamente. 
 
CÁLCULOS DESENVOLVIDOS PARA A DETERMINAÇÃO DA 
TRANSFORMADA DE LAPLACE E DA SOLUÇÃO GERAL PARA i(t); 
 
Primeiramente considerando para 𝑎 ≥ 0, ou seja, trataremos 𝑢(𝑡 − 𝑎)= 1, assim, 
para obter a transformada de Laplace, segue da seguinte forma: 
 
 
 
E teremos então a transformada de Laplace da função degrau, que é uma função 
exponencial, tal qual visto na tabela das transformadas, e a usaremos mais tarde. 
Então, indo ponto da questão, o circuito RL mencionado do enunciado pode ser 
ilustrado como semelhante ao circuito mostrado abaixo: 
 
 
Para encontrar a solução geral para (i)t devemos aplicar a fórmula da segunda 
lei de kirchhoff ao laço único do circuito (que é uma lei que trata sobre as 
correntes nos laços de um circuito, mas não decorreremos sobre ela neste 
trabalho), obtém-se a derivada da corrente, que é a seguinte equação diferencial 
de primeira ordem. 
 
Atribuiremos aqui valores unitários para R e L, assim tem-se: 
 
Para a solução desta equação devemos aplicar a transformada de Laplace, 
multiplicando os termos por 𝑒−𝑠𝑠, e integrando de 𝑡 = 0 à 𝑡 = ∞, e assim resolver 
a equação resultante. 
 
Onde para R e L adotamos valores unitários e que multiplica a segunda integral 
e aplicando a transformada de Laplace, teremos então: 
 
A transformada de Laplace aplicada a segunda integral nos dá I(s), que é uma 
função de frequência complexa, por isso sua notação I(s). Agora voltando a 
primeira integral, onde temos a fórmula da lei de Kirchhoff, uma função derivada 
da corrente, aqui deve se calcular a transformada de Laplace da derivada de 
uma função, conforme equação abaixo: 
 
Então: 
 
Reescrevendo, teremos a seguinte equação diferencial transformada: 
 
Com isso, podemos agora obter i(t), da seguinte forma: 
 
 
Concluímos que: 
 
Solução geral para i(t): 
 
Aplicando a solução geral, teremos o circuito para 0 ≤ t ≤ 4: 
 
Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4 
 
Referências 
 https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-
tl/apdtedtda_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html 
 https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/ 
 https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtd-
a_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html 
 https://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=8387 
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtda_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtda_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html
https://matematicasimplificada.com/funcao-de-heaviside-ou-degrau-unitario/
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtd-a_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtd-a_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html
https://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=8387