geometria-espacial-iii (1)

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1PROMILITARES
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A
1. CONE
O
V
r
α
1.1 CONCEITO
Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado 
num plano a, e um ponto V fora de a. Chama-se cone circular, 
ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade em 
V e a outra em um ponto do círculo.
1.2 ELEMENTOS
Considerando o cone representado a seguir, temos:
• O ponto V é o vértice do cone:
• O círculo de raio r é a base do cone;
O
base
geratriz
h
V
r
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GEOMETRIA ESPACIAL III
• Os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos 
pontos da circunferência da base são as geratrizes do 
cone;
• A distância do vértice ao plano da base é a altura do cone
• Secção transversal de um cone é qualquer interseção não 
vazia do cone com um plano paralelo à base (desde que 
este não passe pelo vértice); trata-se de um círculo.
seção
transversal
1.3 CLASSIFICAÇÃO
Um cone pode ser classificado conforme a inclinação da reta 
VO sendo O o centro da base, em relação ao plano da base:
h
V
O
cone oblíquo 
g
V
O
cone reto
h
• O cone circular é obliquo quando a reta VO é oblíqua à 
base;
• O cone circular é reto quando a reta VO é perpendicular à 
base
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A área lateral do cone é dada por:
lA rg= π
S
h
h
g
r
O
 
g
V
r
2πr
superfície lateral
base
1.4.3 ÁREA TOTAL: At
A superfície total de um cone é a reunião da superfície 
lateral com o círculo da base. A área dessa superfície é cha-
mada área total.
t l bA A A= +
⇓
2
tA rg r= π + π
⇓
( )tA r g r= π +
1.5 VOLUME
O volume de um cone vale um terço do produto da 
área da base pela altura:
21V r h
3
= π
OBSERVAÇÃO:
O cone circular reto é também chamado cone de 
revolução. Ele gerado pela rotação de um triângulo 
retângulo em torno de um de seus catetos.
No cone de revolução a reta VO é o eixo, e vale a 
relação.
2 2 2r h g+ =
 
1.4 ÁREAS 
g
V
h
e
O
 
e
1.4.1 ÁREA DA BASE 
A área da base de um cone é a área de um círculo de raio r.
V
h
h
g
r
O
 
g
2πr
superfície lateral
 
2
bA r= π
1.4.2 ÁREA LATERAL: Al
A planificação da superfície lateral (ou a reunião das 
geratrizes) de um cone nos dá um setor circular com as 
seguintes características:
• Raio: g (geratriz do cone)
• Comprimento do arco: 2 rπ (perímetro da base)
3PROMILITARES
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2.2 SUPERFÍCIE ESFÉRICA
Superfície esférica de centro O e raio é o conjunto dos 
pontos P do espaço que distam r do ponto O.
e e
A superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência 
em torno de um eixo que contém o diâmetro é uma superfície 
esférica.
P2
P1
P3
O
dOP = r
2.3 SEÇÃO DA ESFERA
Toda seção plana de uma esfera é um círculo.
Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao 
centro e s o raio da seção, vale a relação:
2 2 2s d r+ =
 Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos 
como seção um círculo máximo da esfera. 
r
1.6 SEÇÃO MERIDIANA E 
CONE EQUILÁTERO
Seção meridiana de um cone é a intersecção dele com 
um plano que contém o eixo.
A seção meridiana de um cone reto é um triângulo 
equilátero.
O
r
g
V
h 2r
cone equilátero seção meridiana
g = 2r
g
r
V
h
O
cone reto 
g g
V
h
r
seção meridiana
Cone equilátero é um cone cuja seção meridiana é um 
triângulo equilátero.
2. ESFERA
e e
2.1 CONCEITOS
A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação 
completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém 
um diâmetro.
4 PROMILITARES
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2.5 ÁREAS E VOLUME
2.5.1 ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
 A área de um superfície esférica de raio r é igual a:
2A 4 r= π
2.5.2) Volume da esfera
O volume de uma esfera de raio r é igual a :
34V r
3
= π
2.5.3 ÁREA DO FUSO
Para a em graus:
2
fuso
r
A
90
π α
=
Para a em radianos:
2
fusoA 2r= α
2.5.4 VOLUME DA CUNHA
Para a em graus:
3
cunha
r
V
270
π α
=
Para a em radianos:
3
cunha
2r
V
3
α
=
3. TRONCO DE PIRÂMIDE
Dada uma pirâmide e uma seção transversal qualquer 
paralela à base, chama-se tronco de pirâmide a região entre a 
base e essa seção transversal.
h
k
H
C
C’D’
A’
b
D
B
V
A B
A
�
O
rd
M
2.4 PARTES DA ESFERA
2.4.1 FUSO ESFÉRICO
r
fuso esférico
arco equatorial
�
Se uma semicircunferência com as extremidades num eixo, 
ela gira a graus (0° < a ≤ 360°) em torno do eixo, ela gira uma 
superfície que é chamada fuso esférico.
2.4.2 CUNHA ESFÉRICA 
r
r
r
r
r
cunha esférica
arco equatorial
�
Se um semicírculo com diâmetro num eixo gira a graus 
(0° < a ≤ 360°) em torno do eixo, ele gera um sólido que é 
chamado cunha esférica.
5PROMILITARES
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4.1 ELEMENTOS
• A base do cone é a base maior do tronco, e a seção 
transversal é a base menor.
• A distância entre os planos das bases é a altura do tronco.
4.2 ÁREAS 
O
O’
V
A
A’
B
B’
 
O
O’
R
r
h
base menor
base maior
g
Áreas das bases: B, bA A
A área da Base maior é a área de um círculo de raio R. 
Logo:
2
BA R= π
A área da base menor é a área de outro círculo, de raio r. 
Logo:
2
bA r= π
Área lateral: A superfície lateral de um tronco de cone 
reto de raios r e R e geratrizes g é equivalente a um trapézio 
de bases 2 rπ e 2 Rπ e altura g. Logo:
O
R
r
g
 
2�
r
2�
R
( )tA R r g= π +
Área total: tA
Nesse caso, podemos dizer que as pirâmides VABCD e 
VA’B’C’D’ são semelhantes. Portanto ocorrem, entre seus 
elementos, relações muito importantes, que podem ser 
demonstradas utilizando semelhança de triângulos.
Logo, nas duas pirâmides, temos:
• A razão entre dois segmentos correspondentes (alturas, 
arestas das bases, arestas laterais) é igual a uma constante 
k.
H VA AB
k
h VA' A'B'
= = =
• A razão entre duas áreas correspondentes (áreas das 
bases, áreas laterais, áreas totais) é igual a k2.
2 ABCD
A'B'C'D'
A
k
A
∆
∆
=
• A razão entre seus volumes é igual a k3
3 ABCD
A'B'C'D'
V
k
V
∆
∆
=
- Volume do tronco de pirâmide
( )HV B B.b b
3
= + +
Onde H é a altura do tronco e B e b são as áreas da base 
maior e da base menor, respectivamente.
4. TRONCO DE CONE
Tronco de cone de bases paralelas é a reunião da base 
de um cone com uma seção transversal e com o conjunto dos 
pontos do cone compreendidos entre os planos da base e da 
seção transversal. 
O
paralelo à base
O’
V
�
�
6 PROMILITARES
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EXEMPLO RESOLVIDO 1
Um artesão resolveu fabricar uma ampulheta de volume 
total V constituída de uma semiesfera de raio 4 cm e de 
um cone reto, com raio e altura 4 cm, comunicando-se 
pelo vértice do cone, de acordo com a figura abaixo.
Para seu funcionamento, o artesão depositará na 
ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto 
o volume de areia, em cm3, é 
a) 16 .π 
b) 
64
.
3
π
 
c) 32 .π 
d) 
128
.
3
π
 
e) 64 .π 
Solução: A
O resultado pedido é dado por
3 2 31 4 1 10,25 4 4 4 64 16 cm .
2 3 3 4
π ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅ π = π 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Um torneiro mecânico construiu uma peça retirando, de 
um cilindro metálico maciço, uma forma cônica, de acor-
do com a figura 01 a seguir: 
Considere 3π ≅
3 cm
10 cm
6 cm
Figura 1
A área de um tronco de cone é a soma da área lateral com 
a área da base maior e com a área da base menor:
R
r
g
 
r
g
2�
R2�
r
Rsu
pe
rfí
cie
 la
te
ra
l
t l B bA A A A= + +
5.7.3 VOLUME
O volume de um tronco de cone de bases paralelas é 
obtido pela diferença dos volumes de dois cones. Logo:
( )2 2hV R Rr r
3
π
= + +
• SÓLIDO DE REVOLUÇÃO
É gerado pela rotação de uma área plana em torno 
de um eixo coplanar com a área.
g
e
V
7PROMILITARES
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EXEMPLO RESOLVIDO 4
Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus 
clientes com a forma exata da garrafa de um de seus 
produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das 
originais. Se em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de 
bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa 
original é de: 
a) 875 ml 
b) 938 ml 
c) 742 ml 
d) 693 ml 
e) 567 ml 
Solução:A
Seja C a capacidade da garrafa original, em mililitros. 
Como os sólidos são semelhantes, tem-se que
3
c 1
c 875mL.
7 0,2
 = ⇔ = 
 
EXEMPLO RESOLVIDO 5
Uma esfera metálica de 3 cm de raio é colocada em um 
congelador e, após algum tempo, acumula uma camada 
de gelo de 3 cm de espessura, mantendo a forma esférica. 
Então, o volume do gelo acumulado é 
a) 3198 cmπ 
b) 3215 cmπ 
c) 3252 cmπ 
d) 3207 cmπ 
e) 3225 cmπ 
Solução: C
r = 3 (raio da esfera menor)
R = 6 (raio da esfera maior)
Volume da esfera maior: 3 3
4
V 6 288 cm
3
= π ⋅ = π
Volume da esfera menor: 3 3
4
v 3 36 cm
3
= π ⋅ = π
Volume da camada de gelo: 3V v 252 cm− = π
peça
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros 
cúbicos?
a) 2,16 x 105 
b) 7,2 x 104 
c) 2,8 x 105 
d) 8,32 x 104 
e) 3,14 x 105 
Solução: A
O volume do cone retirado é dado por 2 3
1
3 6 54cm ,
3
⋅ π ⋅ ⋅ ≅ 
enquanto que o volume do cilindro é 2 33 10 270cm .π ⋅ ⋅ ≅ 
Portanto, o volume da aproximado da peça é igual a
3 5 3270 54 216cm 2,16 10 mm .− = = ⋅ 
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, 
é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando 
dois sólidos de volumes iguais. Um destes sólidos é um 
cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A 
relação existente entre R e e é 
a) 3 3R 3r .= 
b) 2 2R 2r .= 
c) 3 3R 2r .= 
d) 2 2R 3r .= 
Solução: C
Sejam v e 2v, respectivamente, o volume do cone de raio 
r e o volume do cone de raio R. 
Portanto, como os cones são semelhantes, temos:
3
3 3v r R 2r .
2v R
 = ⇔ = 
 
 
8 PROMILITARES
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04. Um depósito cheio de combustível tem a forma de um 
cone circular reto. O combustível deve ser transportado por 
um único caminhão no qual o tanque transportador tem a 
forma de um cilindro circular reto, cujo raio da base mede 
metade do raio da base do depósito e altura 
1
3
 da altura 
do depósito. Quantas viagens o caminhão deverá fazer para 
esvaziar completamente o depósito, se para cada viagem a 
capacidade do tanque é preenchida?
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
05. Parte do líquido de um cilindro circular reto que está cheio 
é transferido para dois cones circulares retos idênticos de 
mesmo raio e mesma altura do cilindro. Sabendo-se que os 
cones ficaram totalmente cheios e que o nível da água que 
ficou no cilindro é de 3m, a altura do cilindro é de: 
a) 5m 
b) 6m 
c) 8m 
d) 9m 
e) 12m 
06. Um cone de revolução tem altura 8 cm e está circunscrito 
a uma esfera de raio igual a 2 cm. A razão entre o volume da 
esfera e o volume do cone igual a 
a) 1/4. 
b) 1/8. 
c) 1/2. 
d) 2. 
07. Ao se planificar um cone reto, sua superfície lateral é 
igual a um quarto de um círculo com área igual a 12π. Nessas 
condições, a área de sua base é igual a 
a) π 
b) 2π 
c) 3π 
d) 4π 
e) 5π 
08. A areia contida em um cone fechado, de altura 18 cm, 
ocupa 
7
8 
da capacidade do cone.
h
1,8
EXERCÍCIOS DE 
TREINAMENTO
01. Um recipiente cilíndrico possui raio da base medindo 4 cm 
e altura medindo 20 cm. Um segundo recipiente tem a forma 
de um cone, e as medidas do raio de sua base e de sua altura 
são iguais às respectivas medidas do recipiente cilíndrico. Qual 
é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e o volume 
do recipiente cônico?
a) 
1
2
 
b) 
1
5
 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
02. A figura representa um sorvete de casquinha, no qual 
todo o volume interno está preenchido por sorvete e a parte 
externa apresenta um volume de meia bola de sorvete. 
Considerando que o cone tem 12 cm de 
altura e raio 6 cm, então o volume total 
de sorvete é 
a) 3216 cm .π 
b) 3360 cm .π 
c) 3288 cm .π 
d) 3264 cm .π 
03. Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso 
de Matemática tem as peças no formato de um cone. A figura 
abaixo representa a planificação de uma das peças construídas.
4 cm
6 
cm
120º
A área dessa peça é de ______ cm².
a) 10π 
b) 16π 
c) 20π 
d) 28π 
e) 40π 
9PROMILITARES
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11. Uma empresa que produz embalagens plásticas está 
elaborando um recipiente de formato cônico com uma 
determinada capacidade, conforme o modelo a seguir.
36 cm
36 cm
48 cm
raio
Sabendo que o raio desse recipiente mede 36 cm e que sua 
altura é de 48 cm, a distância do vértice que deve ser feita uma 
marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade 
de sua capacidade é
a) 315 4 cm 
b) 330 4 cm 
c) 330 2cm 
d) 315 2cm 
e) 30 cm
12. Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua super-
fície aumentará: 
a) 21 %. 
b) 11 %. 
c) 31 %. 
d) 24 %. 
e) 30 %. 
13. Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo cilíndrico 
de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a água 
do copo recubra exatamente a esfera.
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era 
a) 
27
cm
8
 d) 
10
cm
3
 
b) 
19
cm
6
 e) 
7
cm
2
 
c) 
18
cm
5
 
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a 
figura, a altura h do tronco de cone ocupado pela areia, em 
centímetros, é 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 11. 
09. A embalagem mostrada na figura contém iogurte na parte 
de baixo e cereais na parte de cima.
H
h
A parte de baixo é um cilindro circular reto de raio R e altura 
H, e a de cima é um tronco de cone circular reto de raio 
maior R, raio menor 
R
2
 e altura h. Sabendo que o volume 
da parte reservada ao iogurte é o quádruplo do volume do 
compartimento dos cereais, a razão 
H
h
 é
a) 5/4
b) 6/5
c) 7/2
d) 7/3
e) 7/4
10. Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco 
de pirâmide quadrangular regular fechado. Para embrulhá-
la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta lateral 5cm e 
arestas das bases 8cm e 2cm. A quantidade total de papel 
para embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício 
e nem sobreposição de material, foi: 
a) 88cm2 
b) 168cm2 
c) 80cm2 
d) 68cm2 
e) 148cm2 
10 PROMILITARES
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A
O cone a que se refere tal planificação é
a) 
6
10
d) 
8
10
b) 
7
10
e) 
7
10
c) 
8
10
18. A figura abaixo representa um recipiente cônico com 
solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse 
líquido tem 12 cm de altura.
H
12 cm
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial 
com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução 
aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a 
a) 16 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
14. A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita 
a um mesmo cubo é: 
a) 3 
b) 2 3
c) 3 3
d) 4 (3)
3
e) 3 (3)
2
15. A altura de um cone reto é igual ao raio da esfera a ele 
circunscrita. Então o volume da esfera é:
a) o dobro do volume do cone.
b) o triplo do volume do cone.
c) o quádruplo do volume do cone.
d) 4/3 do volume do cone.
e) 8/3 do volume do cone.
16. Nesta figura, está representada a região T, do plano 
cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x:
y
x
Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do 
eixo y. Então, é correto afirmar que o volume de S é:
a) .
24
π
 
b) .
12
π
 
c) .
8
π
 
d) .
4
π
 
17. A figura indica a planificação da lateral de um cone circular 
reto:
252º
10
10
11PROMILITARES
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Acesse o código para assistir ao vídeo.02
Duas esferas de aço de raio 4 cm e 3 61 cm fundem-se para 
formar uma esfera maior. Considerando que não houve perda 
de material das esferas durante o processo de fundição, a 
medida do raio da nova esfera é de:
a) 5 cm 
b) 5,5 cm 
c) 4,5 cm 
d) 6 cm 
e) 7 cm
Acesse o código para assistir ao vídeo.03
O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas 
áreas das bases são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale
a) 330 m²
b) 330 cm²
c) 360 dm³ 
d) 720 dm³ 
e) 336 dm³
Acesse o código para assistir ao vídeo.04
Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido. 
Esse tanque está completamentecheio com 8dm³ de água e 
56dm³ de petróleo. Petróleo e água não se misturam, ficando 
o petróleo na parte superior do tanque e a água na parte 
inferior. Sabendo que o tanque tem 12m de profundidade, a 
altura da camada de petróleo é
a) 10m.
b) 9m.
c) 8m.
d) 7m.
e) 6m.
Acesse o código para assistir ao vídeo.05
A base de um cone circular reto está inscrita num triângulo 
equilátero de área 29 3cm . Se as alturas do cone e do triângulo 
são congruentes, então o volume do cone, em cm³, é
a) 3 6π 
b) 3 3π
c) 6 3π
d) 6 6π
19. Seja S uma seção de uma esfera determinada pela 
interseção com um plano, conforme figura.
S
Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16πcm², 
então o volume desta esfera é: 
a) 36πcm³
b) 3
256
cm
3
π
c) 100π cm3 
d) 16πcm³ 
e) 3
500
cm
3
π
 
20. Uma peça de ornamentação confeccionada com vidro possui 
a forma de um prisma regular reto, cuja base é um triângulo 
equilátero. Em seu interior, há uma esfera representando o 
globo terrestre, que tangencia cada face do prisma. Sabendo 
que o raio da esfera é r, qual é o volume do prisma? 
a) 33r . 
b) 32 3r . 
c) 33 3r . 
d) 36 3r . 
e) 38 3r . 
EXERCÍCIOS DE COMBATE
Acesse o código para assistir ao vídeo.01
Dobrando o raio da base de um cone e reduzindo sua altura à 
metade, seu volume
a) dobra. 
b) quadruplica. 
c) não se altera.
d) reduz-se à metade do volume original. 
e) reduz-se a um quarto do volume original.
12 PROMILITARES
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Um cone tem 3 cm de altura 8πcm³ de volume. O raio da base 
desse cone, em cm, é
a) 4
b) 6
c) 3 2
d) 2 2
GABARITO
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. C
02. C
03. B
04. C
05. D
06. C
07. C
08. C
09. D
10. E
11. B
12. A
13. D
14. C
15. C
16. B
17. B
18. B
19. E
20. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. A
02. A
03. E
04. E
05. B
06. D
07. D
08. C
09. A
10. D
Acesse o código para assistir ao vídeo.06
Uma esfera tem 36π m³ de volume. A medida de sua superfície, 
em m², é
a) 72π
b) 56π
c) 48π
d) 36π
Acesse o código para assistir ao vídeo.07
Um reservatório, com volume igual a 144πm³, tem a forma de 
uma semiesfera. Para aumentar seu volume em 342 π m³, é 
preciso aumentar o raio do reservatório em
a) 12m
b) 9m
c) 6m
d) 3m 
Acesse o código para assistir ao vídeo.08
Um chapéu de festa, feito de cartolina, tem a forma de um 
cone de 1 dm de raio e 5 dm de geratriz. Para fazer 20 chapéus, 
são necessários, no mínimo, ________ dm² de cartolina.
Considere π = 3,14.
a) 157
b) 225
c) 314
d) 426
Acesse o código para assistir ao vídeo.09
Um cone e um cilindro, ambos equiláteros, têm bases de raios 
congruentes. A razão entre as áreas das seções meridianas do 
cone e do cilindro é
a) 
4 3
2
b) 
3
2
c) 
1
3
d) 
1
2