EQUILIBRIO,ELASTICIDADE E GRAVITAÇÃO

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Aluna: Maria Dolores Lobato do Nascimento 
EQUILIBRIO E ELASTICIDADE 
• O QUE SÃO? 
 
• Equilíbrio 
Equilíbrio é o nome dado ao estado de um corpo qualquer em que a força resultante 
sobre ele é nula. A força resultante é o resultado da soma de todas as forças que 
atuam sobre um determinado corpo. Quando essa soma é igual a zero, dizemos que o 
corpo se encontra em estado de equilíbrio, que pode ser classificado em: 
• Equilíbrio estático: quando o corpo em equilíbrio está em repouso; 
• Equilíbrio dinâmico: quando o corpo está em movimento uniforme, ou 
seja, com velocidade constante. 
 
Condições de Equilíbrio 
 
Quando um corpo possui momento linear (P) e angular (L) constantes, então dizemos que 
tais objetos encontram-se em equilíbrio. Se essa constante for igual a zero, o equilíbrio é 
dito estático. 
Portanto, é válido se o corpo está em equilíbrio de translação que: 
 
𝐹 ⃑⃑ ⃑res = 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 = 0 
 
E analogamente, se ele está em equilíbrio de rotação, que 
 
�⃑� res= 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 = 0 
 
Deste modo, existem duas exigências para que um corpo possa estar em equilíbrio: 
 
• A soma vetorial de todas as forças externas que atuam no sistema deve ser 
nula; 
• A soma vetorial de todos os torques externos, em relação a qualquer ponto 
possível, deve também ser nula. 
 
Como as equações acima são vetoriais podem ser reescritas como três equações lineares 
cada (para cada eixo cartesiano). Considerando apenas situações em que o movimento é 
bidimensional no plano xy, havendo torque apenas ao redor dos eixos paralelos ao eixo 
dos z , temos as seguintes relações (válidas para equilíbrios estáticos em sua maioria): 
 
• 𝐹 res, x = 0 (equilíbrio de forças); 
• 𝐹 res, y = 0 (equilíbrio de forças); 
• 𝐹 res, z = 0 (equilíbrio de torques); 
 
 
Centro de Gravidade 
 
A força gravitacional que age sobre um corpo atua efetivamente em um único ponto, 
denominado centro de gravidade (cg) do corpo. Na prática, o que ocorre é que a soma 
vetorial da força proveniente da atração gravitacional e que atua sobre as n partículas de 
massa m de um sistema seriam equivalentes à força gravitacional atuante em uma única 
partícula de massa n vezes m. 
 
Se a aceleração da gravidade é a mesma para todos os elementos do corpo, o centro de 
gravidade coincide com o centro de massa do mesmo. 
 
A posição do centro de massa é dada por: 
 
 
 
Em que r é o vetor de coordenadas (xcm, ycm, zcm). 
 
Estruturas Indeterminadas 
 
As ferramentas que possuímos nos permitem calcular problemas que possuam três 
incógnitas. Caso não seja suficiente utilizar-se de equações de equilíbrio para torque e 
força, situação em que possuímos uma estrutura indeterminada, devemos obter mais 
equações a partir das propriedades elásticas dos materiais que compõem o sistema. 
 
• Elasticidade 
 
Todos os corpos ditos rígidos são na verdade ligeiramente elásticos, ou seja, é possível 
deformá-los ao exercer alguma força sobre os mesmos para esticar, torcer, comprimir ou 
empurrar. Há essencialmente três possíveis formas pelas quais um sólido pode mudar sua 
forma. Nos três casos, há uma tensão (fora deformadora por unidade de área) que causa 
uma deformação no objeto. 
 
 
 
Nos três casos, as tensões e deformações assumem valores diferentes, mas para uma longa 
faixa são proporcionais, sendo a constante de proporcionalidade chamada de módulo de 
elasticidade. Com efeito temos que: 
Tensão = Módulo de Elasticidade x Deformação 
 
Para uma longa faixa de tensões, a deformação cresce linearmente. Se ultrapassar um 
valor máximo, dito limite elástico Sy, o objeto não possui mais a capacidade de voltar ao 
estado original. Se a tensão aumentar ainda mais após esse ponto, alguma hora o objeto 
irá se romper. Isso ocorre num valor externo dito limite de ruptura Su. 
 
 
• PARA QUE SERVE/APLICAÇÃO? 
 
O Equilíbrio serve para determinar a situação de repouso ou movimento uniforme e 
invariável de um corpo. 
A Elasticidade é utilizada em física para determinar o comportamento de corpos materiais 
ao sofrerem deformações resultantes da ação de forças externas (forças devidas ao contato 
com outros corpos, ação gravitacional agindo sobre sua massa, etc.) que retomam sua 
forma original quando a ação externa é removida. 
 
• COMO FUNCIONA? 
 
Para falarmos de elasticidade vale relembrar cálculo de força e torque. 
 
Revisão de Força e Torque 
 
Força: É uma grandeza vetorial definida matematicamente pelo produto entre massa de 
um corpo e aceleração, como enunciado na segunda Lei de Newton para Translações, 
ou seja, 𝐹 res = m.𝑎 . Em termos de momento linear, a força é sua derivada temporal de 
modo que: 
 
𝐹 res = m. 
𝑑�⃑� 
𝑑𝑡
 = 
𝑑�⃑� 
𝑑𝑡
 , com �⃑� = m.𝑣 
 
Rotação e Torque 
 
Temos que o torque é igual ao produto vetorial entre o vetor posição de uma partícula 
em relação ao eixo de rotação e a força aplicada na mesma, ou seja: 
�⃑� = 𝑟 . 𝐹 
Decorre da definição de produto vetorial que �⃑� = ||𝑟 || . ||𝐹 || . sen θ, em que sen θ é o seno 
do ângulo formado entre os dois vetores. 
 
Se considerarmos ||𝑟 || = r e ||𝐹 || = F, podemos reescrever a equação para torque de duas 
formas: 
T = rp . F ou T = r. Fp 
 
Em que rp é o braço da alavanca de F (distância perpendicular do eixo de rotação até a 
linha de ação da força), sendo rp = r. sen θ, e Fp é a componente perpendicular (à 𝑟 ) da 
força, sendo Fp = F. sen θ. 
 
Também podemos expressar o torque pela Segunda Lei de Newton para Rotações. 
 
Equilíbrio 
 
Condições para o equilíbrio: 
 Σ F⃑ = 0 
 Σ �⃑� = 0 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A3#:~:text=A%20letra%20%CE%A3%20%C3%A9%20usada,sigma%20%CF%83%20representa%20Desvio%20Padr%C3%A3o.
https://pt.wikipedia.org/wiki/%CE%A3#:~:text=A%20letra%20%CE%A3%20%C3%A9%20usada,sigma%20%CF%83%20representa%20Desvio%20Padr%C3%A3o.
 
 
I- L 
 N1 1m N2 
 50kg 
 
 
 25kg Pb 25kg 
 
Σ �⃑⃑� = 0 : N1+N2 = �⃑� → 𝑁1⃑⃑⃑⃑ ⃑ = 𝑃 – P/2 = P/2 
Σ �⃑� = 0 : 0.N1 – L/2 𝑃𝑏⃑⃑⃑⃑ ⃑ + �⃑� x N2 = 0 
 N2=Pb/2 
 
 
II- 3/4L 
 N1 N2 
 
 
 Pm 
 Pb 
 
Σ �⃑⃑� = 0 : N1+N2 = �⃑� 𝑏 + = �⃑� 𝑚 
Σ �⃑� = 0 : L.N2 = L/2 Pb + ¾ L Pm N1+N2 = �⃑� 𝑏 + = �⃑� 𝑚 
 N2 = Pb/2 + ¾ Pm N1 = Pb + Pm -Pb/2 – ¾ Pm 
 N1 = Pb/2 + Pm/4 
 
Exercícios do Halliday 9° edição 
 
 
 L |L 
m 
Resolução: 
 
 
Σ �⃑⃑� = 0: 
î: 𝑁ℎ⃑⃑⃑⃑ ⃑ = Tx 
j: 𝑁𝑣 ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ = PM + Pm + Ty 
 
Σ �⃑� = 0: 
- �⃑� PM - �⃑� Pm + �⃑� T = 0 
L/2 . PM . sen 45° + L Pm . sen 45° = L.T sem 15° 
450/2 . sen 45° +2250 sen 45° = T. 0,26 
 
Elasticidade 
Tração/Compressão: Força aplicada na direção perpendicular sobre a área A. 
 
T = δ/ε 
F/A = δ .
𝛥𝐿
𝐿
 
δ é o estresse uniaxial, ou força uniaxial por superfície 
unitária 
ε é a deformação, ou deformação proporcional (mudança no 
comprimento dividido pelo comprimento original); é 
adimensional 
 
 Cisalhamento: força de cisalhamento aplicada no plano de área. 
 
 
Tensão Hidrostática: Pressão exercida pelo fluído sobre o objeto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Halliday: 
 
 
F/A = G 
𝛥𝑋
𝓵0
 
P = F/𝛥 = B 
𝛥𝑉
𝑉0
 
Resolução: 
a) Sejam FA e FB as forças exercidas pelos fios sobre o tronco e seja m a massa do 
tronco. Como o tronco está em equilíbrio FA+ FB – mg = 0. As informações a 
respeito do alongamento dos fios permitem determinar uma relação entre FA e FB. 
Se o fio A originalmente tinha um comprimento LA e sofreuum alongamento 𝛥LA, 
𝛥LA = FALA/AE, em que A é a área da seção reta do fio e E é o módulo de Young 
do aço (200 x 109 N/m2). Analogamente, 𝛥LB = FBLB/AE. Se ℓ é a diferença entre 
inicial entre o comprimento do fio B e o comprimento do fio A, como os dois fios 
têm o mesmo comprimento depois que o tronco é pendurado 𝛥LA = 𝛥LB + ℓ. Isso 
significa que 
 
 
Substituindo FB por seu valor na equação FA+ FB – mg = 0, obtemos 
FA = mgLB + AE ℓ 
 LA +LB 
A área da seção reta do fio é 
A = π r2 = π (1,20 x 10 -3 m) = 4,52 x 10-6 m2. 
 
Podemos tomar LA e LB, como aproximadamente iguais a 2,50 m o que nos dá 
 
FA = (103 kg) (9,8 m/s
2) (2,50 m) +(4,52 x 10-6 m2) (200 x 109 N/m2) (2,0 x 10-3 m) 
2,50 m + 2,50 m 
= 866 N. 
b) Como FA+ FB – mg = 0, temos: 
FB = mg - FA = (103 kg) (9,8 m/s
2) – 866 N = 134 N. 
 
c) O torque também é nulo. Vamos calcular os torques em relação à superfície do 
tronco, em um ponto verticalmente acima do centro de massa, pois, nesse caso, o 
torque associado ao peso do tronco é nulo. Nesse caso, a equação dos torques se 
torna FAdA – FBdB = 0, o que nos dá 
dA = FB = 143N = 0,165. 
 dB FA 866N 
 
• APLICAÇÃO NA ÁREA 
A elasticidade é muito estudada em química pois a mesma faz parte de uma das 8 
propriedades gerais da matéria. Sendo a matéria o principal componente de estudo da 
química, a elasticidade serve para determinar o quão “maleável” é determinada 
substância, o que é de extrema importância quando vai se realizar estudos que levem em 
consideração estes aspectos. 
 
GRAVITAÇÃO 
• O QUE É? 
Gravidade é a força de atração que comanda a movimentação dos corpos. A 
gravidade da Terra é a força que faz com que os objetos sejam atraídos para o centro 
do planeta. De acordo com a Teoria da Relatividade de Einstein, esse fenômeno acontece 
em consequência da curvatura formada no espaço-tempo do objeto. 
 
• PRA QUE SERVE/APLICAÇÕES? 
Os conceitos de Gravidade e Gravitação Universal são fundamentais para astronomia. Por 
meio deles, é possível calcular massas de planetas e estrelas desconhecidas, saber como 
classificar corpos astronômicos através de sua massa e área aparentemente ocupada, como 
por exemplo, buracos-negros, estrelas-anãs, planetas, asteroides, etc. 
• COMO FUNCIONA? 
Força Gravitacional: Foi Isaac Newton quem mostrou os fundamentos de uma teoria da 
gravitação, que comprovava as predições de Kepler e as observações de Tycho Brahe. 
Mas ia ainda muito mais além ao analisar a interação entre duas massas quaisquer. 
Quando um corpo de massa m1 está a uma distância r de um outro corpo de massa m2 , 
a força de atração entre eles está dirigida ao longo da reta que une os corpos e tem a 
forma: 
F = G 
𝑴𝟏𝑴𝟐
𝑹𝟐
 
Princípio da Superposição: Vamos supor que uma carga de prova positiva (qo) tenha 
sido colocada na presença de várias outras cargas. Qual será, então, a força eletrostática 
resultante sobre qo? Somos tentados a resolver este problema da mesma maneira como 
é feito com a força gravitacional na mecânica, isto é, adicionar vetorialmente as forças 
que atuam separadamente entre dois corpos, para obter a força resultante. Este método é 
conhecido como princípio da superposição. Na Fig.1, mostramos a representação 
esquemática das forças atuando em qo, devido a todas as outras forças. Embora este 
resultado possa parecer óbvio, ele não pode ser derivado de algo mais fundamental. A 
única forma de verificá-lo é testando-o experimentalmente. 
 
Fig. 1- Forças elétricas sobre uma carga de prova qo devido a uma distribuição de cargas infinitesimais 
(qi) 
 No caso de N partículas carregadas, temos que a força resultante sobre qo será, então a 
soma vetorial de todas , como a seguir: 
 
 
 
onde ri é a distância entre a carga de prova qo e uma outra carga qi. Neste caso, dizemos 
que a força resultante sobre qo deve-se à uma distribuição de cargas discreta. Nas 
próximas seções discutiremos o princípio da superposição devido a diferentes 
distribuições de cargas contínuas. 
Gravitação na superfície da Terra: Existe devido a três condições, sendo elas, terra não ser 
plana, movimento de giro e formato oval da terra. 
 
 
 
 
 F= 
𝑮𝒎𝒕𝑴
𝑹𝟐
 
 
Logo: g= 
𝑮𝒎𝒕
𝑹𝟐
 - W2.R 
 
Gravitação no interior da Terra: 
 
 Ri 
 𝑹𝒕⃑⃑ ⃑⃑ 
 
 
 
 
 
Ac= V2/R = W2.R 
Fgi = 
𝑮 𝑴𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒎
𝒓𝒊 𝟐
 = 
𝟒𝑮𝑷𝒙 𝝅𝒙 𝒎𝒙 𝒓𝒊𝟐
𝟑𝒓𝒊𝟐
 
Fg = 4/3 π P G m ri 
Exemplo do Halliday 
Capítulo 14 - Halliday, Resnick e Walker - 6a . edição 
07 - A que distância da Terra, medida ao longo da linha que une os centros da Terra 
e do Sol, deve estar uma sonda espacial para que a atração gravitacional deste anule 
a da Terra? 
 
R = 1,5x1011m 
MS = 1,99x1030kg 
MT = 5,98x1024kg 
Vamos considerar m a massa da sonda. A uma certa altura h da Terra as duas forças 
sobre a sonda serão iguais. 
As forças que o Sol e a Terra exercem sobre a sonda têm a forma: 
 
Igualando as duas forças encontramos que: 
 
 
A física do problema está equacionada e resta agora resolver esta equação do segundo 
grau. Definindo 
 
Desse modo: 
h = 2,6 x 108m 
 
APLICAÇÃO NA ÁREA 
Os campos magnéticos que explicam a gravitação são utilizados em alguns estudos onde 
é aplicado em reator tubular com recirculação de biomassa para remoção biológica de 
cromo (VI).O Cromo é um mineral essencial ao homem, é considerado um elemento 
traço, mas, conforme sua oxidação, pode ser tóxico, a forma mais perigosa é o cromo VI, 
que é um carcinógeno. Portanto, este estudo é de extrema importância e muito inovador.