1430130_S02 - Lathi C02

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15/08/2018 Teoria das Comunicações 1 
INTRODUÇÃO A SINAIS 
Sinais: conjunto de informações ou dados 
Função da variável tempo 
 
Sistemas: 
Elétricos 
Mecânicos 
Softwares 
Etc 
Sistema é uma entidade que processa um conjunto de 
sinais de entrada para fornecer outro conjunto de sinais de 
saída 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 2 
Tópicos de discussão 
 Tamanho de um Sinal 
 Classificação de Sinais 
 Algumas Operações com Sinais 
 Função Impulso Unitário 
 Sinais e Vetores 
 Correlação 
 Representação Ortogonal 
 Fourier 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 3 
Tamanho de um Sinal 
Largura 
Altura 
Intensidade 
Tamanho 
h 
r 

H
dhhrV
0
2 )(
15/08/2018 Teoria das Comunicações 4 
 Para um sinal variante no tempo, deve-se 
considerar não apenas a sua amplitude, 
mas também a sua duração. 
Tamanho de um Sinal 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 5 
A área sob o sinal g(t) pode ser uma possível 
medida do seu tamanho pois leva em 
consideração não apenas sua amplitude, 
mas também a sua duração. 
Tamanho de um Sinal 
A1 
A2 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 6 
Contudo essa medida poderá ser falha, pois sinais 
com áreas positivas e negativas podem sofrer um 
cancelamento de área. 
Tamanho de um Sinal 



 dttgEg )(
2
A1 
A2 - 
+ 
Esse problema pode ser corrigido se considerarmos a 
área sob g2(t). 
 
Essa área é chamada de Energia do Sinal. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 7 
A energia deve ser finita para que a medida 
do tamanho do sinal tenha significado. 
Energia do Sinal 
Energia Finita 
   t A , 0 
ConvergedttgEg  


)(2
15/08/2018 Teoria das Comunicações 8 
Se a amplitude do sinal não tende a zero quando |t| 
tende ao infinito, 
Potência do Sinal 
ConvergeNãodttgEg  


)(2
Energia Infinita 
 tA ,0
15/08/2018 Teoria das Comunicações 9 
Uma medida mais adequada para o tamanho do sinal neste 
caso é a média no tempo da Energia do sinal, se existir. Esta 
medida é a potência média do sinal – Pg 
Potência do Sinal 




2
2
2 )(
1lim
T
T
g dttg
Tt
P

2/
2/
2
)(
1
lim
T
Tt
g dttg
T
PPara sinais complexos: 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 10 
 A raiz quadrada de Pg é o familiar 
valor rms (root mean square) de g(t). 
Potência do Sinal 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 11 
Tamanho de um Sinal 
A média de um sinal tomada sobre um longo 
intervalo de tempo (tendendo ao infinito) existe se o 
sinal é periódico ou tem uma regularidade 
estatística. 
Se tal condição não é satisfeita, a média pode não 
existir. 
O sinal g(t)=t, rampa, por exemplo, cresce 
indefinidamente quanto ao infinito e, desta 
forma nem energia nem potência existe para este 
sinal. 
  t 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 12 
A energia conforme definida anteriormente não 
indica a energia real do sinal, pois a energia do 
sinal não depende apenas do sinal, mas também 
da carga. 
Tamanho de um Sinal 
 


 W
R
E
dt
R
tg
dissipadaEnergia
g)(
2
15/08/2018 Teoria das Comunicações 13 
Exemplo - Tamanho de um Sinal 
Determine a medida adequada para o sinal abaixo. 
uau e
a
ude
1



tdtgEg 


 )(2
uud 


15/08/2018 Teoria das Comunicações 14 
Exemplo - Tamanho de um Sinal 
Determine a medida adequada para o sinal abaixo. 
  

 

 
0
1 0
22 8444)2()( dtedtdttgE tg
15/08/2018 Teoria das Comunicações 15 
Exemplo - Tamanho de um Sinal 
Determine a medida adequada para o sinal abaixo. 
 2
2
2 )(
1
T
Tg dttg
T
P ttg )(
1
1




 n
u
udu
n
n
15/08/2018 Teoria das Comunicações 16 
Exemplo - Tamanho de um Sinal 
Determine a medida adequada para o sinal abaixo. 
   
1
1
1
1
22
3
1
2
1
)(
2
1
dttdttgPg
O valor rms deste sinal é: 
3
1
15/08/2018 Teoria das Comunicações 17 
Classificação de Sinais 
 Sinais contínuos no tempo 
 Sinais discretos no tempo 
 Sinais analógicos e sinais digitais 
 Sinais periódicos e sinais aperiódicos 
 Sinais de energia e sinais de potência 
 Sinais determinísticos e sinais probabilísticos 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 18 
Classificação de Sinais 
 Sinal contínuo no tempo 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 19 
Classificação de Sinais 
 Sinal discreto no tempo 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 20 
Classificação de Sinais 
 Detalhes sobre este tópico 
 Exemplos e informações de suporte 
 Como isso se relaciona com o 
público 
Analógico, continuo no tempo Digital, continuo no tempo 
Analógico, discreto no tempo Digital, discreto no tempo 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 21 
Classificação de Sinais 
Sinal periódico de período T0 
Um sinal é dito periódico se para alguma constante positiva T0, g(t) = g(t+T0) 
para todo t. 
Por definição, um sinal periódico se estende de – a +  
O menor valor de T0 que satisfaz esta condição de periodicidade é o período 
da função g(t). 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 22 
Classificação de Sinais 
 Analógicos 
Não é sinônimo de sinal contínuo no tempo. 
São sinais cuja amplitude pode assumir qualquer 
valor numa gama contínua de valores (infinitos 
valores). 
 Digitais 
Não é sinônimo de sinal discreto no tempo. 
São sinais cuja amplitude pode assumir um número 
finito de valores. 
 Os termos Tempo Contínuo e Tempo Discreto 
qualificam o sinal ao longo do eixo tempo. 
 Os termos Analógico e Digital qualificam a natureza 
da amplitude do sinal. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 23 
Classificação de Sinais 
Sinais de Energia e de Potência. 
Sinal de Energia: energia finita 
Sinal de Potência: potência finita 
 
Sinais de Determinísticos e Randômicos 
Determinísticos: descrição física completamente 
conhecida, tanto na forma matemática quanto na forma 
gráfica. 
Randômicos: conhecidos apenas em termos 
probabilísticos. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 24 
Classificação de Sinais 
Geração de um sinal periódico pela extensão 
periódica de seus segmentos de um período de 
duração. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 25 
Algumas Operações Úteis 
Sendo a variável independente na 
descrição do nosso sinal o tempo, 
Deslocamento no Tempo 
Escalamento no Tempo 
 Inversão no Tempo 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 26 
Deslocamento no Tempo 
F(t) é o sinal g(t) atrasado no tempo. Qualquer coisa 
que aconteça com g(t) em um instante de tempo t, 
também acontecerá com F(t) T segundos após, no 
instante t+T. 
 
)()(
)()(
)()(
)()(
Ttgt
TtgTTt
tgTt
Tttg








(atrasado) 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 27 
Deslocamento no Tempo 
F(t) é o sinal g(t) atrasado 
no tempo. Qualquer coisa 
que aconteça com g(t) em 
um instante de tempo t, 
também acontecerá com 
F(t) T segundos após, no 
instante t+T. 
(atrasado) 
(adiantado) 
)()(
)()(
Ttgt
tgTt




15/08/2018 Teoria das Comunicações 28 
Deslocamento no Tempo 
Para deslocar um sinal no tempo por T, nós substituímos (t) por (t-
T). Assim, g(t -T) representa g(t) deslocado por T segundos. 
(atrasado) 
(adiantado) 
)()( tgTt 
)()( Ttgt 
Se T é positivo atraso 
Se T é negativo avanço 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 29 
Escalamento no Tempo 
Escalamento: compressão ou expansão no tempo. 
Exemplo: 
Sinal comprimido no tempo por um fator 2: 
O que acontece em g(t) em algum instante de tempo t, 
também acontecerá com (t) em um instante t/2. 
)2()(
2
)()2/(
tgt
ttfazendo
tgt





15/08/2018 Teoria das Comunicações 30 
Escalamento no Tempo 
Compressão e expansão no tempo. 
Sinal comprimido no tempo 
por um fator 2: 
Sinal expandido no tempo por 
um fator 2: 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 31 
Escalamento no Tempo 
Se g(t) é comprimida por um fator 
“a”, (a > 1), o sinal resultante é 
dado por F(t)=g(a.t). 
Da mesma forma, expandindo g(t) 
por um fator
“a”, o sinal resultante 
é F(t)=g(t/a). 
ansãoa
compressãoa
exp1
1


15/08/2018 Teoria das Comunicações 32 
Inversão no Tempo 
Caso especial do escalamento no tempo com a = -1. 
 O que acontece com g(t) em algum instante de tempo t, também 
acontecerá com F(t) em um instante -t. 
)()(
)()(
tgt
tgt




15/08/2018 Teoria das Comunicações 33 
Exemplo 
A figura abaixo mostra os sinais g(t) e z(t), 
respectivamente. Desenhe g(3t) e z(t/2). 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 34 
Exemplo 
A figura abaixo mostra os sinais g(t) e z(t), 
respectivamente. Desenhe g(3t) e z(t/2). 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 35 
Exemplo 
Para o sinal g(t) da figura abaixo, desenhe g(-t). 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 36 
Exemplo 
Para o sinal g(t) da figura abaixo, desenhe g(-t). 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 37 
Função Impulso Unitário 
0,0)(  tt
Definida por Dirac como: 


1)( dtt
A função impulso unitário existe apenas em t = 0 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 38 
Função Impulso Unitário: 



1)( dtt
0,0)(  tt
t 0 
)(t
0
2


1
2


t
A função impulso unitário é representada por uma seta 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 39 
Função Impulso Unitário: 
Multiplicação de uma função por um Impulso: 
)()()()( TtTTtt  
)()0()()( ttt  
)()( tt 
 O impulso existe apenas em t = 0 
 F(t) é contínua em t = 0 
Similarmente, se F(t) é multiplicada por um impulso (t-T) 
 (um impulso localizado em t=T:  existe apenas para t=T) 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 40 
Propriedade de Amostragem da 
Função Impulso Unitário 
)0(
)()0()()(



 




dttdttt
)()()( TdtTtt 



)()0()()( ttt  
15/08/2018 Teoria das Comunicações 41 
Função Degrau Unitário: 
ate






0,0
0,1
)(
t
t
tu
)(tu
)(tu
representa uma exponencial que começa em t = -∞ 
Se desejamos tornar esta função causal 
)(tue at
)(tue at
)(tu
15/08/2018 Teoria das Comunicações 42 
ANALOGIA ENTRE 
 
SINAIS E VETORES 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 43 
SINAIS E VETORES 
exg  c
g 
cx x 
e 
Erroxge c
15/08/2018 Teoria das Comunicações 44 
SINAIS E VETORES 
2211 cc exexg 
g 
c1x 
e1 
g 
c2x 
e2 
Erro111 cxge  Erro222 cxge 
O erro “e” (primeira situação) é o menor erro. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 45 
SINAIS E VETORES 
Podemos definir, matematicamente, a componente 
de um vetor g sobre o vetor x como sendo cx, 
onde “c” é escolhido para minimizar o 
comprimento do vetor erro e=g-cx. 
cosg
g 
cx x 
e 
Do ponto de vista geométrico, a amplitude da 
componente de g ao longo de x é: 
g 
x 

= c. 
cx 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 46 
Produto Escalar 
 cosxgxxc
xxx 
2
(produto escalar de dois vetores) 
g 
cx x 

Ou seja, o comprimento do vetor g sobre o vetor x pode ser dado tanto por 
|g|cos como por cx. Assim, 
 cosgxc
xgxgx  cos
2
c
Multiplicando ambos os lados por x 
Como 
 onde x é o comprimento do vetor x 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 47 
Produto Escalar 
De podemos escrever: xgxgx  cos
2
c


 cos
2
x
xg
c
xx
xg
x
xg





2
c
xg
x

2
1
c
0xgSe g e x são ortogonais, , resultando em c = 0. 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 48 
Componente de um Sinal 
Problema: 
Aproximar um sinal real g(t) em termos de outro sinal real 
x(t) no intervalo [t1 a t2]. 
21)()g( ttttcxt 


 

cc
ttttcxtg
te
0
)()(
)(
21
O erro nesta aproximação é: 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 49 
Componente de um Sinal 
Critério de melhor aproximação: 
diminuir o erro 
diminuir seu tamanho 
minimizar sua energia 

1
2
)(2
t
t
e dtteE
  
1
2
2
)()(
t
t
dttcxtg
0
dc
dEe
Ee é uma função de c e não de t. 
 
 Então: 
g 
cx x 
e 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 50 
Componente de um Sinal 
  0)()(2
1
2




  
t
t
e dttcxtg
dc
d
dc
dE
Então, 
g 
cx x 
e 
Expandindo, 
 0)()()(2)( 2
1
2
1
2
1
222 








 dttxcdc
d
dttxtgc
dc
d
dttg
dc
d t
t
t
t
t
t
15/08/2018 Teoria das Comunicações 51 
Componente de um Sinal 
De 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0)()()(2)( 2
1
2
1
2
1
222 








 dttxcdc
d
dttxtgc
dc
d
dttg
dc
d t
t
t
t
t
t
0)(2)()(2
2
1
2
1
2   dttxcdttxtg
t
t
t
t
Obtemos 




2
1
2
1
2
1 )()(
1
)(
)()(
2
t
t
x
t
t
t
t
dttxtg
Edttx
dttxtg
c
e, 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 52 
Componente de um Sinal 
Resumindo, 
 
 
Se então: 
 
g 
cx x 
e 
 
2
1
)()(
1 t
t
x
dttxtg
E
c)()g( tcxt 
0)()(
2
1

t
t
dttxtgSe g(t) e x(t) são ortogonais 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 53 
COMPARAÇÃO DE SINAIS: 
CORRELAÇÃO 
g 
x 

15/08/2018 Teoria das Comunicações 54 
CORRELAÇÃO 
O que vimos até agora são os fundamentos 
para a comparação de sinais. 
A medida da similaridade entre g e x expressa 
em termos de “c” pode ser falha, pois não é 
independente das amplitudes de g e x. 
Quanto maior for a projeção de g sobre x, 
maior a similaridade entre os dois vetores. 
A similaridade entre dois vetores deve ser 
indicada pelo ângulo entre esses dois vetores. 
Quanto menor for o ângulo , maior a 
similaridade. 
 
g 
x 

15/08/2018 Teoria das Comunicações 55 
Novamente vamos nos beneficiar do conceito de 
comparação de vetores. 
CORRELAÇÃO 
 cosxgxgIsto é, se 
 cosncUma medida adequada deve ser: 
xg
xg 
 cosncou 
15/08/2018 Teoria das Comunicações 56 
CORRELAÇÃO 
11  nc



 dttxtg
EE
c
xg
n )()(
1
ou 
xg EE .xg
dttxtg


 )().(xg
xg
n
EE
txtg
c
.
)().(
cos





xg
xg
15/08/2018 Teoria das Comunicações 57 
CORRELAÇÃO 
)(
0
1
1
ortogonais
estranhosntecompletamec
inimigospioresc
amigosmelhoresc
n
n
n


