02_PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER EXCEL

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PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 1
A D M I N I S T R A Ç Ã O D A P R O D U Ç Ã O E O P E R A Ç Õ E S
para Vantagens Competitivas
1 1 a e d i ç ã o
R I C H A R D B . C H A S E
F. R O B E R T J A C O B S
N I C H O L A S J . A Q U I L A N O
Tradução
Claudia Freire 
Lucas M. F. Yassumura
Monica Rosemberg
Revisão Técnica
Diógenes de Souza Bido
Mestre e Doutor em Administração de Empresas pela FEA/USP
Docente do CCSA/Mackenzie e da FAC/FITO 
Bangcoc Beijing Bogotá Caracas Cidade do México Cingapura 
Londres Madri Milão Montreal Nova Delhi Nova York 
Santiago São Paulo Seul Sydney Taipé Toronto
2 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
nota técn ica do is
PROGRAMAÇÃO LINEAR 
USANDO O SOLVER
DO EXCEL
N
O
T
A
 T
É
C
N
I
C
A
 2
n
o
ta
 t
é
c
n
ic
a
A chave para operações rentáveis é fazer uso melhor dos recursos disponíveis de 
pessoal, materiais, planta, equipamentos e dinheiro. O gerente de hoje tem uma ferramenta 
de modelagem matemática poderosa à sua disposição, com a programação linear. Nesta nota, 
mostraremos como o uso do Solver do Microsoft Excel para resolver os problemas da PL abre 
um novo mundo aos gerentes inovadores e traz uma força inestimável ao conjunto de habili-
dades técnicas para quem quer fazer carreira na área de consultoria. Mostraremos o uso dessa 
ferramenta utilizando um problema de planejamento de produto. Encontraremos o melhor 
mix de produtos que tenham custos e necessidades de recursos diferentes. Esse problema é 
certamente relevante para o mercado competitivo na atualidade. As verdadeiras empresas de 
sucesso oferecem um mix de produtos, desde os modelos básicos até os de alto luxo. Todos 
eles competem pelo uso de pro dução limitada e outras capacidades. Com o tempo, manter o 
mix adequado desses produtos pode reforçar consideravelmente os ganhos e o retorno sobre 
os ativos de uma empresa.
Começamos com uma introdução rápida à programação linear e as condições sob as quais a 
técnica é aplicável. Em seguida, resolveremos um problema simples de mix de produtos. Outras 
aplicações de programação linear aparecerão ao longo do restante do livro. →
 3 Introdução
 Definição de programação linear
 
 4 O Modelo de Programação Linear
 5 Programação Linear Gráfica
Definição de programação linear gráfica
 
 7 Programação Linear Usando o Microsoft Excel
 11 Opção Genética do Solver
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 3
INTRODUÇÃO
A programação linear (ou simplesmente PL) refere-se às várias técnicas matemáticas 
usadas para alocar recursos limitados entre as demandas concorrentes, de maneira otimizada. A PL é a 
mais popular das abordagens que se enquadram no tópico geral das técnicas de otimização matemática 
e tem sido aplicada a muitos problemas de administração de operações. A seguir, apresentaremos suas 
aplicações típicas:
Planejamento agregado das operações e das vendas: Encontrar a programação de produção de custo 
mínimo. O problema está em desenvolver um plano de três a seis meses para atender à demanda 
esperada, considerando as restrições na capacidade produtiva e no dimensionamento da mão-de-
obra previstos. Os custos relevantes considerados no problema incluem as taxas de mão-de-obra 
normal e de hora extra, contratação e dispensa, terceirização e o custo de manutenção do estoque.
Análise da produtividade do serviço/manufatura: Avaliar a eficiência das saídas dos serviços e 
manufaturas diferentes no uso de seus recursos, comparada à unidade de melhor desempenho. 
Isso é feito usando-se uma abordagem chamada análise do envolvimento dos dados.
Planejamento do produto (Problema do Portfólio): Encontrar o melhor mix de produtos, no qual 
vários produtos têm custos e necessidades de recursos diferentes. Os exemplos incluem encontrar 
a melhor mistura de componentes químicos para a gasolina, tintas, dietas humanas e alimentação 
animal. Exemplos desse problema são abordados nesta nota técnica.
Rota do produto: Encontrar o melhor caminho para fabricar um produto que deve ser processado 
em seqüência através de muitos centros de usinagem, no qual cada máquina tem seu próprio custo 
e características de saída.
Programação do veículo/tripulação: Encontrar o melhor caminho para usar recursos como aviões, 
ônibus e caminhões, e seu pessoal operacional respectivo, que fornece serviços de transporte aos 
clientes e materiais que devem ser trasladados entre localidades diferentes.
Controle do processo: Minimizar a quantia de material de refugo gerado pelo corte de aço, couro, 
ou tecido, a partir de rolos ou chapas do estoque.
Controle do estoque: Encontrar a melhor combinação de produtos a serem estocados em uma rede 
de depósitos ou locações de armazenamento.
Programação de distribuição: Encontrar a melhor programação de embarque para distribuir os 
produtos entre as fábricas e depósitos ou entre os depósitos e os varejistas.
Estudos sobre a localização da planta: Encontrar a melhor localização de uma nova planta para 
avaliar os custos de embarque entre os locais alternativos e as fontes de fornecimento e demanda.
Manuseio do material: Encontrar em uma planta, as rotas de custo mínimo dos dispositivos de 
manuseio de material (como empilhadeiras) entre os departamentos ou o transporte de materiais 
de um local de armazenamento até à produção, por exemplo. Cada empilhadeira deve ter capaci-
dade e desempenho diferenciados.
A programação linear tem ganho aceitação ampla em muitas indústrias, em razão da disponibili-
dade das informações operacionais detalhadas e do interesse em otimizar os processos para reduzir os 
custos. Muitos distribuidores de software oferecem opções de otimização para uso em conjunto com 
os sistemas de planejamento de recursos empresariais (ERP). Algumas empresas se referem a eles 
como opções avançadas de planejamento, planejamento sincronizado e otimização do processo.
Há cinco condições essenciais em uma situação de problema que dizem respeito à programação 
linear. Primeira: deve haver recursos limitados (como número limitado de trabalhadores, equi pa mentos, 
finanças e materiais), de outro modo não haveria problemas. Segunda: deve haver um objetivo explí-
cito (como maximizar os lucros ou minimizar os custos). Terceira: deve haver linearidade (dois são 
duas vezes maior que um; se são necessárias três horas para fabricar uma peça, então duas peças 
devem levar seis horas e três gastariam nove horas). Quarta: deve haver homogeneidade (os produtos 
fabricados em uma máquina são idênticos, ou todas as horas disponíveis de um trabalhador são igual-
mente produtivas). Quinta: deve haver divisibilidade; a programação linear normal assume que os 
Programação linear (PL)
4 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
produtos e os recursos podem ser subdivididos em frações. Se essa subdivisão não for possível (como 
voar com a metade de um avião ou contratar um quarto de pessoa), pode-se usar uma modificação da 
programação linear, chamada programação inteira.
Quando um único objetivo deve ser maximizado (como o lucro) ou minimizado (como os custos), 
podemos usar a programação linear. Quando existem objetivos múltiplos, usamos a programação 
por metas. Se um problema deve ser resolvido em etapas ou intervalos de tempo, emprega-se a pro-
gramação dinâmica. Outras restrições na natureza do problema podem precisar de variações dessa 
técnica, como a programação não-linear ou a programação quadrática.
O MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Formalmente definido, o problema da programação linear implica um processo de oti-
mização no qual valores não-negativos para um conjunto de variáveis decisórias X1, X2,..., Xn são 
selecionados para maximizar (ou minimizar) uma função objetivo na forma
Maximizar (minimizar) Z � C1 X1 � C2 X2 � . . . � Cn Xn
sujeito às restrições de recursos na forma
A11 X1 � A12 X2 � . . . � A1n Xn � B1
A21 X1 � A22 X2 � . . . � A2n Xn � B2.
 .
 .
Am1 X1 � Am2 X2 � . . . � Amn Xn � Bm
em que Cn, Amn e Bm são constantes dadas.
Dependendo do problema, as restrições também são definidas com sinais de igualdade (�) ou 
maior ou igual a (≥).
EXEMPLO NT2.1: PUCK AND PAWN COMPANY
Descreveremos os passos envolvidos na resolução de um modelo simples de programação linear 
usando, como exemplo, a Puck and Pawn Company, que fabrica bastões de hóquei e jogos de xadrez. 
Cada bastão de hóquei gera um lucro incremental de US$ 2,00 e cada jogo de xadrez US$ 4,00. Um 
bastão de hóquei precisa de quatro horas de processamento no centro de máquinas A e duas horas no 
centro de máquinas B. Um jogo de xadrez precisa de seis horas no centro A, seis horas no centro B e 
uma hora no centro de máquinas C. O centro A tem uma capacidade máxima de 120 horas disponíveis 
por dia, enquanto o centro B tem 72 horas e o centro C tem dez horas.
Se a empresa deseja maximizar os lucros, quantos bastões de hóquei e jogos de xadrez devem ser 
produzidos por dia?
SOLUÇÃO
Modele o problema em termos matemáticos. Se H é o número de bastões de hóquei e C, o número de 
jogos de xadrez, para maximizar o lucro a função objetivo pode ser definida como
Maximizar Z � US$ 2H � US$ 4C
A maximização estará sujeita às seguintes restrições:
 4H � 6C � 120 (restrição do centro de máquinas A)
 2H � 6C � 72 (restrição do centro de máquinas B)
 1C � 10 (restrição do centro de máquinas C)
 H, C � 0 (restrição de não-negatividade das variáveis decisórias) 
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 5
Essa modelagem satisfaz os cinco requisitos para a PL-padrão definida na primeira seção desta nota:
1. Há recursos limitados (um número fi nito de horas disponíveis em cada centro de máquinas).
2. Há uma função objetivo explícita (sabemos quanto vale cada variável e qual é o objetivo na 
resolução do problema).
3. As equações são lineares (não há expoentes ou produtos cruzados).
4. Os recursos são homogêneos (tudo está em uma unidade de medida: horas-máquina).
5. As variáveis decisórias são divisíveis e não-negativas (podemos fazer frações de bastões de 
hóquei ou partes de jogos de xadrez; contudo, se isso fosse considerado indesejável, teríamos 
de usar programação inteira).
Embora limitada na aplicação de problemas que envolvam duas variáveis decisórias (ou três 
variáveis, para um gráfico tridimensional), a programação linear gráfica permite uma compreensão 
rápida da natureza da programação linear. Descrevemos os passos envolvidos no método gráfico no 
contexto da Puck and Pawn Company. Os passos seguintes ilustram a abordagem gráfica:
1. Modele o problema em termos matemáticos. As equações para o problema foram dadas 
anteriormente.
2. Desenhe as equações de restrição. As equações de restrição são facilmente traçadas atribuindo 
valor zero a uma variável e resolvendo-as para que um eixo intercepte o outro. (As desigualdades das 
restrições são ignoradas neste passo.) Para a equação de restrição do centro de máquinas A, quando 
H � 0, C � 20, e quando C � 0, H � 30. Para a equação de restrição do centro B, quando H � 0, 
C � 12, e quando C � 0, H � 36. Para a equação do centro C, C � 10 para todos os valores de H. 
Essas linhas estão traçadas na Figura NT2.1.
PROGRAMAÇÃO LINEAR GRÁFICA
30
20
16
12
10
8
4
(3)
(2)
(1)
10 16 20 30 32 3624
2H + 6C = 72 (2)
4H + 6C = 120 (1)
2H + 4C = US$ 64
2H + 4C = US$ 32
C = 10 (3)
a
Região inviável
Linhas de
funções
objetivos
Ótimo
Região
viável
Bastões de hóquei por dia
Jogos de
xadrez
por dia
Gráfi co do Problema dos Bastões de Hóquei e Jogos de Xadrez fi gura NT2.1 
Programação linear gráfica
6 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
3. Determine a área de viabilidade. A direção dos sinais de desigualdade em cada restrição 
defi ne a área onde uma solução viável é encontrada. Nesse caso, todas as desigualdades são do tipo 
menor ou igual a, o que signifi ca que seria impossível fazer qualquer combinação de produtos que 
fi casse à direita de qualquer linha de restrição no gráfi co. A região das soluções viáveis está som-
breada no gráfi co e forma um polígono convexo, que existe quando uma linha traçada entre dois pon-
tos no polígono fi ca dentro de seus limites. Se essa condição de convexidade não existir, o problema 
está confi gurado incorretamente, ou não deve ser tratado pela programação linear.
4. Trace a função objetivo. A função objetivo pode ser traçada assumindo-se alguns números de 
lucro total arbitrários, e então resolvendo-a pelas coordenadas dos eixos, como foi feito com as equações 
de restrição. Outros termos para a função objetivo, quando usada nesse contexto, são isolu cro ou linha de 
contribuição igual, porque ela mostra todas as combinações de produção possíveis para dado valor de 
lucro. Por exemplo, a partir da linha pontilhada mais próxima da origem no gráfi co podemos deter-
minar todas as combinações possíveis de bastões de hóquei e jogos de xadrez que resultem no valor 
de US$ 32, separando um ponto na linha e fazendo a leitura de cada produto que possa ser fabricado 
nesse ponto. A combinação que valha US$ 32 no ponto a seria de dez bastões e três jogos de xadrez. 
Isso pode ser verifi cado substituindo-se H � 10 e C � 3 na função objetivo:
US$ 2(10) � US$ 4(3) � US$ 20 � US$ 12 � US$ 32 
 H C EXPLICAÇÃO
 0 120/6 � 20 Interseção da Restrição (1) e eixo C
 120/4 � 30 0 Interseção da Restrição (1) e eixo H
 0 72/6 � 12 Interseção da Restrição (2) e eixo C
 72/6 � 36 0 Interseção da Restrição (2) e eixo H
 0 10 Interseção da Restrição (3) e eixo C
 0 32/4 � 8 Interseção da linha isolucro de US$ 32 (função objetivo) e eixo C
 32/2 � 16 0 Interseção da linha isolucro de US$ 32 e eixo H
 0 64/4 � 16 Interseção da linha isolucro de US$ 64 e eixo C
 64/2 � 32 0 Interseção da linha isolucro de US$ 64 e eixo H
5. Encontre o ponto ótimo. Pode-se mostrar matematicamente que a combinação ótima das 
variáveis decisórias é sempre encontrada em um ponto extremo (vértice) do polígono convexo. Na 
Figura NT2.1 há quatro vértices (excluindo a origem) e podemos defi nir qual deles é o ótimo usando 
qualquer uma das duas abordagens. A primeira abordagem é encontrar algebricamente os valores 
de várias soluções de vértice. Isso implica a resolução simultânea das equações de vários pares de 
linhas de interseção e a substituição de quantidades das variáveis resultantes na função objetivo. Por 
exemplo, os cálculos para a interseção de 2H � 6C � 72 e C � 10 são:
Substituindo C � 10 em 2H � 6C � 72, temos 2H � 6(10) � 72, 2H � 12, ou H � 6. 
Substituindo H � 6 e C � 10 na função objetivo, teremos
Lucro � US$ 2H � US$ 4C � US$ 2 (6) � US$ 4(10)
 � US$ 12 � US$ 40 � US$ 52
Uma variação dessa abordagem é fazer a leitura das quantidades H e C diretamente do gráfico 
e substituí-las na função objetivo, conforme mostrado nos cálculos anteriores. A desvantagem dessa 
abordagem é que, em problemas com um número grande de equações de restrição, haverá muitos 
pontos possíveis a avaliar e o procedimento para testar cada um deles é matematicamente ineficiente.
A segunda abordagem, e geralmente a preferida, inclui o uso da função objetivo, ou linha isolucro, 
diretamente para encontrar o ponto ótimo. O procedimento está em simplesmente traçar uma linha reta 
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 7
paralela a qualquer linha do isolucro inicial selecionada arbitrariamente, para que a linha do isolucro 
fique o mais distante possível da origem do gráfico. (Nos problemas de minimização de custos, o 
objetivo seria traçar a linha pelo ponto mais próximo da origem.) Na Figura NT2.1, a linha tracejada 
rotulada como US$ 2H � US$ 4C � US$ 64 atravessa o ponto mais extremo. Observe que a linha 
de isolucro inicial selecionada arbitrariamente é necessária para demonstrar a inclinação da função 
objetivo para o problema específico.1 Isso é importante, pois uma função objetivo diferente (tente 
lucro � 3H � 3C) pode indicar que algumoutro ponto está mais distante da origem. Considerando 
que US$ 2H � US$ 4C � US$ 64 é ótimo, a quantidade a ser produzida de cada variável pode ser 
lida a partir do gráfico: 24 bastões de hóquei e quatro jogos de xadrez. Nenhuma outra combinação 
do produto resultará em um lucro maior.
PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O MICROSOFT EXCEL
Podemos usar planilhas para resolver os problemas de programação linear. O Microsoft 
Excel possui uma ferramenta de otimização chamada Solver cuja utilidade demonstraremos na reso-
lução do problema dos bastões de hóquei e jogos de xadrez. Acessa-se o Solver no menu Ferramentas; 
uma caixa de diálogo pede as informações exigidas pelo programa. O exemplo seguinte descreve 
como o nosso problema-exemplo pode ser resolvido com o uso do Excel.
Se o Solver não aparecer no seu menu Ferramentas, clique em Suplementos, selecione a caixa 
Solver e clique em OK. Ele ficará disponível para usos futuros diretamente pelo menu Ferramentas 
a partir de então.
No exemplo seguinte, trabalharemos passo a passo, configurando uma planilha para resolver o 
problema da Puck and Pawn Company. Nossa estratégia básica será definir, primeiramente, o pro-
blema dentro da planilha. A partir disso, acessaremos o Solver e o alimentamos com as informações 
necessárias. Finalmente, executaremos o Solver e interpretaremos os resultados impressos nos rela-
tórios emitidos pelo programa.
P a s s o 1 : D e f i n a a s C é l u l a s Va r i á v e i s Um ponto de início conveniente é identi-
ficar as células que serão usadas para as variáveis decisórias no problema. Estas são H e C, o número 
de bastões de hóquei e de jogos de xadrez a produzir. O Excel se refere a elas como células variáveis 
no Solver. Observando a tela do Excel na Figura NT2.2, vemos que B4 está designada como o local 
para o número de bastões de hóquei que serão produzidos e C4 para o número de jogos de xadrez. 
Veja que deixamos o valor inicial de 2 para essas duas células. Poderíamos dar qualquer outro valor 
a elas, mas é melhor usarmos um valor diferente de zero, para facilitar a verificação de que nossos 
cálculos estão corretos.
P a s s o 2 : C a l c u l e o L u c r o ( o u C u s t o ) To t a l Esta é a nossa função objetivo 
e ela é calculada multiplicando-se o lucro associado com cada produto pelo número de unidades 
produzidas. Inserimos os lucros nas células B5 e C5 (US$ 2 e US$ 4) para que o lucro seja calculado 
pela seguinte equação: B4*B5 � C4*C5, dentro da célula D5. O Solver a chama Target Cell (Célula 
de Destino) e ela corresponde à função objetivo para um problema.
P a s s o 3 : C o n f i g u r e o U s o d o R e c u r s o Nossos recursos são os centros de 
máquinas A, B e C, como já definidos no problema original. Configuramos três linhas (9, 10 e 11) em 
nossa planilha, uma para cada restrição de recurso. Para o centro A, quatro horas de processamento 
são usadas para cada bastão de hóquei produzido (célula B9) e seis horas para cada jogo de xadrez 
(célula C9). Para uma solução em especial, a quantidade total de uso de recursos do centro A é calcu-
lada em D9 (B9*B4 � C9*C4). Indicamos na célula E9 que queremos que esse valor seja menor 
que a capacidade de 120 horas do centro de máquinas A, inserida em F9. O uso dos recursos para os 
centros B e C estão configurados da mesma maneira das linhas 10 e 11.
8 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
P a s s o 4 : C o n f i g u r e o S o l v e r Vá ao menu Ferramentas e selecione a opção Solver.
1. Defi nir Célula de Destino: é confi gurada para o local onde é calculado o valor que desejamos 
otimizar. Esse é o lucro calculado em D5 na nossa planilha.
2. Igual a: é confi gurada em Máx, uma vez que o objetivo é maximizar o lucro.
3. Células Variáveis: são as células que o Solver pode alterar para maximizar o lucro. As células 
B4 a C4 são as células variáveis no nosso problema.
4. Submeter às Restrições: corresponde à nossa capacidade do centro de máquinas. Aqui cli-
caremos em Adicionar e indicaremos que o total usado para um recurso é menor que ou igual à 
capacidade disponível. A seguir, há um exemplo do centro de máquinas A. Clique em OK após cada 
restrição especifi cada.
fi gura NT2.2 Tela do Microsoft Excel para a Puck and Pawn Company
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 9
5. Ao clicar em Opções, poderemos informar ao Solver qual é o tipo de problema que desejamos 
resolver e como queremos que seja resolvido. O Solver tem muitas opções, mas queremos usar apenas 
algumas. A tela é mostrada a seguir.
A maioria das opções se refere a como o Solver tenta resolver problemas não-lineares cujas 
resoluções podem ser muito difíceis e cujas soluções ótimas são difíceis de achar. Felizmente, nosso 
problema é linear. Sabemos disso, pois nossas restrições e nossa função objetivo são todas calculadas 
com o uso de equações lineares. Clique em Presumir Modelo Linear para informar ao Solver que 
queremos usar a opção de programação linear para resolver o problema. Além disso, sabemos que 
nossas células variáveis (variáveis decisórias) devem conter números maiores ou igual a zero, porque 
não tem sentido produzir um número negativo de bastões ou jogos. Indicamos isso selecionando a 
opção Presumir Não Negativos. Agora, estamos prontos para resolver o problema. Clique em OK 
para voltar à caixa de parâmetros do Solver.
P a s s o 5 : R e s o l v a o P r o b l e m a Clique em Resolver; imediatamente aparece uma tela 
chamada Resultados do Solver, como a mostrada a seguir.
O Solver avisa que foi encontrada uma solução aparentemente ótima. No lado direito dessa caixa 
estão as opções para três relatórios: um Relatório de Resposta, um Relatório de Sensibilidade e um 
Relatório de Limites. Clique em cada um deles. Após destacá-los, clique em OK para voltar à plani-
lha. Foram criadas três novas guias, que correspondem a cada um desses relatórios.
10 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
Os relatórios mais interessantes para o nosso problema são o Relatório de Resposta e o Relatório 
de Sensibilidade, ambos indicados na Figura NT2.3. O Relatório de Resposta mostra as respostas 
finais para o lucro total (US$ 64) e as quantidades produzidas (24 bastões de hóquei e quatro jogos 
de xadrez). Na seção restrições do Relatório de Resposta é dado o status de cada recurso. Tudo das 
máquinas A e B é usado e há seis unidades de folga para a máquina C.
O Relatório de Sensibilidade é dividido em duas partes. A primeira, intitulada “Células 
Ajustáveis”, corresponde aos coeficientes da função objetivo. O lucro por unidade para os bastões 
pode ser acima de, ou abaixo de, US$ 0,67 (entre US$ 2,67 e US$ 1,33) sem que tenha um impacto 
na solução. Paralelamente, o lucro dos jogos poderia estar entre US$ 6 e US$ 3 sem alterar a solução. 
No caso da máquina A, o lado direito poderia aumentar até 144 (120 � 24), ou diminuir para 84, com 
uma diminuição ou aumento por unidade resultando em US$ 0,33 por unidade na função objetivo. O 
lado direito da máquina B pode aumentar até 90 unidades, ou diminuir até 60, com a mesma mudança 
de US$ 0,33 para cada unidade na função objetivo. Para a máquina C, o lado direito aumentaria ao 
infinito (1E � 30 é a notação científica para um número muito grande), ou diminuiria até quatro 
unidades, sem alterações na função objetivo.
Relatório de Resposta
CÉLULA DE DESTINO (MÁX) 
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL 
US$ D US$ 5 Lucro Total US$ 12 US$ 64 
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL 
US$ B US$ 4 Células Variáveis Bastões de Hóquei 2 24 
US$ C US$ 4 Células Variáveis Jogos de Xadrez 2 4 
RESTRIÇÕES 
CÉLULA NOME VALOR DA CÉLULA FÓRMULA STATUS TRANSIGÊNCIA
US$ D US$ 11 Máquina C Recursos Usados 4 US$ D US$ 11< � US$ F US$ 11 Sem Agrupar 6 
US$ D US$ 10 Máquina B Recursos Usados 72 US$ D US$ 10< � US$ F US$ 10 Agrupar 0 
US$ D US$ 9 Máquina A Recursos Usados 120 US$ D US$ 9< � US$ F $ 9 Agrupar0 
Relatório de Sensibilidade
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
 VALOR CUSTO COEFICIENTE ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
CÉLULA NOME FINAL REDUZIDO OBJETIVO PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL 
US$ B US$ 4 Células Variáveis Bastões de Hóquei 24 0 2 0,666666667 0,666666667
US$ C US$ 4 Células Variáveis Jogos de Xadrez 4 0 4 2 1
RESTRIÇÕES 
 VALOR PREÇO ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
CÉLULA NOME FINAL SOMBRA LATERAL R.H. PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL 
US$ D US$ 11 Máquina C Recursos Usados 4 0 10 1E�30 6
US$ D US$ 10 Máquina B Recursos Usados 72 0,333333333 72 18 12
US$ D US$ 9 Máquina A Recursos Usados 120 0,333333333 120 24 36
fi gura NT2.3 Relatórios de Resposta e Sensibilidade do Solver do Excel
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 11
OPÇÃO GENÉTICA DO SOLVER
No DVD-ROM disponível na Editora para acompanhar este livro, incluímos um ótimo 
produto da Frontline Systems chamado Premium Solver. O programa se instala sobre o Solver e adi-
ciona muitos recursos novos ao produto da Microsoft. Todas as características antigas do Solver são 
mantidas, mas, no modo Premium Solver, os novos recursos incluem:
• Um novo solucionador evolucionário para fazer pesquisas com algoritmos genéticos. Ele pode 
ser muito útil para resolver problemas não-lineares.
• Um relatório de linearidade, que encontra as violações dos cálculos de uma planilha nas con-
dições de linearidade necessárias no uso de um algoritmo-padrão de programação linear.
• Um relatório de viabilidade, para ajudar a identifi car por que não é possível encontrar uma 
solução viável para o seu problema.
• Um relatório populacional, que ajuda a explicar as soluções geradas com o novo recurso de 
busca com algoritmo genético.
Se estiver interessado nas últimas novidades na resolução de problemas com planilhas, instale o 
Premium Solver.
P A L A V R A S - C H A V E
Programação linear (PL) Refere-se às várias técnicas matemáticas 
usadas para alocar recursos limitados entre as demandas concorrentes de 
maneira otimizada.
Programação linear gráfi ca Permite uma compreensão rápida da natu-
reza da programação linear.
P R O B L E M A S R E S O L V I D O S
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Uma fábrica de móveis produz três itens: mesas de canto, sofás e cadeiras. Esses produtos são processados 
em cinco departamentos: serraria, corte de tecido, lixadeira, pigmentação e montagem. As mesas de canto e as 
cadeiras são fabricadas somente com madeira, enquanto os sofás precisam de madeira e tecido. Colas e costuras 
são muito usadas e representam um custo relativamente insignifi cante, que é incluído nas despesas operacionais. 
As necessidades específi cas para cada produto são:
RECURSO OU ATIVIDADE
(QUANTIDADE DISPONÍVEL NECESSÁRIO POR MESA 
POR MÊS) DE CANTO NECESSÁRIO POR SOFÁ NECESSÁRIO POR CADEIRA
Madeira (4.300 tábuas) 10 tábuas a US$ 10/tábua 7,5 tábuas a US$ 10/tábua 4 tábuas a US$ 10/tábua
 � US$ 100/mesa � US$ 75 � US$ 40
Tecido (2.500 m) Nada 10 m a US$17,50/m � US$ 175 Nada
Serraria (280 horas) 30 minutos 24 minutos 30 minutos
Corte de tecido
 (140 horas) Nada 24 minutos Nada
Lixadeira (280 horas) 30 minutos 6 minutos 30 minutos
Pigmentação (140 horas) 24 minutos 12 minutos 24 minutos
Montagem (700 horas) 60 minutos 90 minutos 30 minutos
* NRT: O valor correto é 4.350. No original, a unidade utilizada para volume de madeira era board foot, que equivale a uma tábua 
de 1 pé quadrado por 1 polegada de espessura. A tradução por “tábua” teve o objetivo de manter a simplicidade do enunciado.
As despesas diretas de mão-de-obra são de US$ 75.000 por mês para 1.540 horas de trabalho, a US$ 48,70 por 
hora. Baseada na demanda atual, a empresa pode vender 300 mesas de canto, 180 sofás e 400 cadeiras por mês. 
Os preços de vendas são de US$ 400 para a mesa de canto, US$ 750 para o sofá e US$ 240 para a cadeira. 
Presumindo que o custo de mão-de-obra seja fi xo e que a empresa não planeje contratar ou demitir nenhum 
empregado no próximo mês:
a. Qual é maior recurso limitador para a fábrica de móveis?
b. Determine o mix de produtos necessário para maximizar o lucro na empresa. Qual é o número ótimo de 
mesas de canto, sofás e cadeiras que devem ser produzidos todos os meses?
12 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
Solução
Defi na X1 como o número de mesas de canto, X2 o número de sofás e X3 o número de cadeiras que devem ser 
produzidas todos os meses. O lucro é calculado como a receita de cada item menos o custo dos materiais (madeira 
e tecido), menos o custo da mão-de-obra. Considerando que a mão-de-obra é fi xa, subtraímos esse valor da soma 
total. Matematicamente, teremos (400 � 100) � (750 � 75 � 175) � (240 � 40) � 75.000. O lucro é calculado 
da seguinte forma:
Lucro � 400X1 � 750X2 � 240X3 � 75.000
As restrições são:
Madeira: 10X1 � 7,5X2 � 4X3 � 4.350
Tecido: 10X2 � 2.500
Serraria: 0,5X1 � 0,4X2 � 0,5X3 � 280
Corte: 0,4X2 � 140
Lixadeira: 0,5X1 � 0,1X2 � 0,5X3 � 280
Pigmentação: 0,4X1 � 0,2X2 � 0,4X3 � 140
Montagem: 1X1 � 1,5X2 � 0,5X3 �700
Demanda:
Mesa: X1 � 300
Sofá: X2 � 180
Cadeira: X3 � 400
Passo 1: Defi na as células variáveis São B3, C3 e D3. Observe que elas foram preenchidas inicialmente 
com zero.
Passo 2: Calcule o lucro total Está na célula E4 (que é igual a B3 vezes a receita de US$ 300 associada a 
cada mesa, mais C3 vezes a receita de US$ 500 para cada sofá, mais D3 vezes a receita de US$ 200 para cada 
cadeira). Observe que os custos fi xos de US$ 75.000 foram subtraídos da receita para o cálculo do lucro.
Passo 3: Confi gure o uso do recurso Nas células E6 a E15, o uso de cada recurso é calculado multi-
plicando-se B3, C3 e D3 pela quantia necessária para cada item e somando-se o produto (por exemplo,
E6 � B3*B6 � C3*C6 � D3*D6). Os limites para essas restrições são inseridos nas células F6 a F15.
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 13
Passo 4: Confi gure o Solver Vá para Ferramentas e escolha a opção Solver.
a. Defi nir Célula de Destino: é confi gurada para o local onde é calculado o valor que desejamos 
otimizar. Esse é o lucro calculado em E4 nessa planilha.
b. Igual A: é confi gurada em Máx, uma vez que o objetivo é maximizar o lucro.
c. Células Variáveis: são as células que o Solver pode alterar para maximizar o lucro (células B3 
a D3 neste problema).
d. Submeter às Restrições: é o local onde se adiciona um conjunto de restrições; indicaremos que 
a faixa E6 a E15 deve ser menor ou igual a F6 a F15.
Passo 5: Confi gure as Opções Há muitas opções nesta tela, mas, para o nosso propósito, precisaremos 
confi gurar apenas Presumir Modelo Linear e Presumir Não-Negativos. Presumir Modelo Linear signifi ca 
que todas as nossas fórmulas são equações lineares simples. Presumir Não-Negativos indica que as células 
variáveis devem ser maior ou igual a zero. Clique em OK e estaremos prontos para resolver o problema.
Passo 6: Resolva o Problema Clique em Resolver. Veremos a solução e dois relatórios especiais ao 
selecionar os itens na tela de aviso dos Resultados do Solver, que é mostrada após uma solução ser encontrada. 
14 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
Observe que no relatório a seguir o Solver indica que achou uma solução e que todas as restrições e condições de 
otimização foram satisfeitas. Na caixa de Relatórios à direita, as opções Resposta, Sensibilidade e Limites foram 
destacadas, indicando que desejamos examiná-las. Após selecioná-las, clique em OK para voltar à planilha.
Observe que foram criadas três novas guias: um Relatório de Respostas, um Relatório de Sensibilidade e um 
Relatório de Limites. O Relatório de Respostas mostra, na seção Célula de Destino, que o lucro associado 
a essa solução será de US$ 93.000 (começamos com �US$ 75.000). A partir da seção Célula de Destino, 
conseguiríamos produzir 260 mesas de canto, 180 sofás e nenhuma cadeira. Na seção Restrições, veja que 
as únicas restrições que limitam o lucro são a capacidade de pigmentação e a demanda de sofás. Isso é 
verifi cado na coluna quemostra se o status de uma restrição é Agrupar ou Sem Agrupar. As restrições Sem 
Agrupar têm transigência (folga), conforme indicado na última coluna.
CÉLULA DE DESTINO (MÁX) 
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL 
US$ E US$ 4 Lucro Total �US$ 75.000 US$ 93.000 
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL 
US$ B US$ 3 Células variáveis Mesas de canto 0 260 
US$ C US$ 3 Células variáveis Sofás 0 180 
US$ D US$ 3 Células variáveis Cadeiras 0 0 
 
RESTRIÇÕES 
CÉLULA NOME VALOR DA CÉLULA FÓRMULA STATUS TRANSIGÊNCIA
US$ E US$ 6 Madeira Total 3.950 US$ E US$ 6��US$ F US$ 6 Sem Agrupar 400
US$ E US$ 7 Tecido Total 1.800 US$ E US$ 7��US$ F US$ 7 Sem Agrupar 700
US$ E US$ 8 Serraria Total 202 US$ E US$ 8��US$ F US$ 8 Sem Agrupar 78
US$ E US$ 9 Corte de tecido Total 72 US$ E US$ 9��US$ F US$ 9 Sem Agrupar 68
US$ E US$ 10 Lixadeira Total 148 US$ E US$ 10��US$ F US$ 10 Sem Agrupar 132
US$ E US$ 11 Pigmentação Total 140 US$ E US$ 11��US$ F US$ 11 Agrupar 0
US$ E US$ 12 Montagem Total 530 US$ E US$ 12��US$ F US $ 12 Sem Agrupar 170
US$ E US$ 13 Demanda de Mesas Total 260 US$ E US$ 13��US$ F US$ 13 Sem Agrupar 40
US$ E US$ 14 Demanda de Sofás Total 180 US$ E US$ 14��US$ F US$ 14 Agrupar 0
US$ E US$ 15 Demanda de Cadeiras Total 0 US$ E US$ 15��US$ F US$ 15 Sem Agrupar 400
É claro que não estamos muito contentes com essa solução, pois não atendemos toda a demanda das mesas, 
e pode não ser sensato descontinuar totalmente a fabricação de cadeiras.
O Relatório de Sensibilidade (mostrado a seguir) dá uma visão adicional à solução. A seção Células Ajustáveis 
mostra o valor fi nal para cada célula e o custo reduzido, que indica quanto mudaria o valor da célula de destino 
se uma célula que estivesse confi gurada para zero fosse trazida para a solução. Como as mesas de canto (B3) e 
sofás (C3) estão na solução atual, seus custos reduzidos são zero. Para cada cadeira (D3) que produzimos, nossa 
célula de destino seria reduzida em US$ 100 (arredondaremos esses números para um entendimento mais fácil). 
As três colunas fi nais na seção Células Ajustáveis do relatório são o Coefi ciente Objetivo da planilha original e 
as colunas chamadas Acréscimo Permissível e Decréscimo Permissível. 
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 15
O Acréscimo e Decréscimo Permissíveis mostram em quanto o valor do coefi ciente correspondente poderia 
mudar para que não houvesse alteração nos valores das células variáveis (é claro que o valor da célula de destino 
mudaria). Por exemplo, a receita para cada mesa poderia ser tão alta quanto US$ 1.000 (US$ 300 � US$ 700) 
ou tão baixa quanto US$ 200 (US$ 300 � US$ 100), e ainda assim desejaríamos produzir 260 mesas. Tenha 
em mente que esses valores presumem que nada mais está se alterando no problema. Para o valor do acréscimo 
permissível dos sofás, observe que há o valor de 1E�30. É um número muito grande, essencialmente infi nito, 
representado na notação científi ca.
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
 VALOR CUSTO COEFICIENTE ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
CÉLULA NOME FINAL REDUZIDO OBJETIVO PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL
US$ B US$ 3 Células variáveis Mesas de Canto 260 0 299,9999997 700,0000012 100,0000004
US$ C US$ 3 Células variáveis Sofás 180 0 500,0000005 1E�30 350,0000006
US$ D US$ 3 Células variáveis Cadeiras 0 �100,0000004 199,9999993 100,0000004 1E�30
RESTRIÇÕES 
 FINAL SOMBRA RESTRIÇÃO PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL
CÉLULA NOME VALOR PREÇO LATERAL R.H. ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
US$ E US$ 6 Madeira Total 3.950 0 4.350 1E�30 400
US$ E US$ 7 Tecido Total 1.800 0 2.500 1E�30 700
US$ E US$ 8 Serraria Total 202 0 280 1E�30 78
US$ E US$ 9 Corte de tecido Total 72 0 140 1E�30 68
US$ E US$ 10 Lixadeira Total 148 0 280 1E�30 132
US$ E US$ 11 Pigmentação Total 140 749,9999992 140 16 104
US$ E US$ 12 Montagem Total 530 0 700 1E�30 170
US$ E US$ 13 Demanda de Mesas Total 260 0 300 1E�30 40
US$ E US$ 14 Demanda de Sofás Total 180 350,0000006 180 70 80
US$ E US$ 15 Demanda de Cadeiras Total 0 0 400 1E�30 400
Para a seção Restrições do relatório, o uso fi nal real de cada recurso é dado na coluna Valor Final. O Preço 
Sombra é o valor de nossa célula de destino para cada aumento de unidade no recurso. Se pudéssemos aumentar 
a capacidade de pigmentação, ele valeria US$ 750 por hora. A Restrição Lateral R.H.* é o limite atual do recurso. 
O Acréscimo Permissível é a quantia de recurso que poderia ser aumentada enquanto o preço sombra for válido. 
Outro trabalho de 16 horas da capacidade de pigmentação poderia ser adicionado, ao valor de US$ 750 por hora. 
De igual maneira, a coluna do Decréscimo Permissível mostra a quantidade de recursos que poderiam ser redu-
zidos sem alterar o preço sombra. Há várias informações valiosas disponíveis neste relatório.
O Relatório de Limites dá informações adicionais sobre a nossa solução.
CÉLULA NOME DE DESTINO VALOR
US$ E $ 4 Lucro Total US$ 93.000
 LIMITE RESULTADO RESULTADO 
CÉLULA NOME AJUSTÁVEL VALOR INFERIOR DESTINO LIMITE SUPERIOR DESTINO 
US$ B US$ 3 Células variáveis Mesas de canto 260 0 15.000 260,0000002 93.000
US$ C US$ 3 Células variáveis Sofás 180 0 3.000 180 93.000
US$ D US$ 3 Células variáveis Cadeiras 0 0 93.000 0 93.000
* NRT: “R.H.” literalmente quer dizer “Mão direita”, mas podemos entender essa expressão como “Lado direito da equação” e, nesse caso, lado 
direito da equação de restrição.
O lucro total para a solução atual é de US$ 93.000. O valor atual para B3 (mesas de canto) é de 260 unidades. 
Se o valor fosse reduzido para 0 unidade, o lucro seria reduzido para US$ 15.000. A um limite superior de 260, o 
lucro fi ca em US$ 93.000 (a solução atual). Paralelamente, para C3 (sofás), se reduzido a 0 o lucro cairia para US$ 
3.000. A um limite superior de 180, o lucro fi ca em $ 93.000. Para D3 (cadeiras), se reduzido a 0, o lucro fi caria em 
US$ 93.000 (a solução atual) e, nesse caso, o limite superior nas cadeiras também seria de 0 unidade.
16 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
 Respostas aceitáveis às questões são:
a. Qual é maior recurso limitador para a fábrica de móveis?
 Com relação aos recursos de nossa produção, a capacidade de pigmentação é realmente um lucro que 
dói neste momento. Poderíamos usar outras 16 horas da capacidade.
b. Determine o mix de produtos necessário para maximizar o lucro na empresa.
 O mix de produtos a produzir consistiria em 260 mesas de canto, 180 sofás e nenhuma cadeira.
 É óbvio que apenas arranhamos a superfície com essa solução. Poderíamos fazer um teste, na 
verdade, com a capacidade de aumento da pigmentação. Isso nos daria uma visão do próximo recurso 
limitador. Também poderíamos elaborar cenários em que precisamos produzir um número mínimo de 
cada produto, o que é, provavelmente, uma opção mais realista. Isso nos ajudaria a determinar como 
poderíamos realocar o uso da mão-de-obra em nossa ofi cina.
P R O B L E M A R E S O L V I D O 2
São 14 horas de uma sexta-feira e Joe Bob, o chefe de cozinha (assados e grelhados) da Bruce’s Diner, está 
tentando decidir a melhor maneira para alocar a matéria-prima disponível nos quatro pratos especiais das 
sextas à noite. A decisão tem de ser feita no início da tarde, porque três dos itens precisam começar agora 
(Sloppy Joes, Tacos e Chili). A tabela a seguir contém as informações sobre a comida no estoque e as quan-
tidades necessárias para cada item.
COMIDA CHEESEBURGUER SLOPPY JOES TACO CHILI DISPONÍVEL
Carne moída (libras) 0,3 0,25 0,25 0,4 100 libras
Queijo (libras) 0,1 0 0,3 0,2 50 libras
Feijões (libras) 0 0 0,2 0,3 50 libras
Alface (libras) 0,1 0 0,2 0,2 15 libras
Tomate (libras) 0,1 0,3 0,2 0,2 50 libras
Pão 1 1 0 0 80 pães
Massa de Taco 0 0 1 0 80 massas
NRT: 1 libra � 453,5 gramas, mas a conversão de unidades não é necessária para a resolução do problema.
Há outro fato relevante na decisão de Joe Bob: a demanda estimada do mercado e o preço de venda.
 
 CHEESEBURGUER SLOPPY JOES TACO CHILI
Demanda75 60 100 55
Preço de venda US$ 2,25 US$ 2,00 US$ 1,75 US$ 2,50
Joe Bob quer maximizar as receitas, uma vez que ele já comprou todos os ingredientes, que estão no refrigerador.
Pede-se:
 1. Qual é o melhor mix de pratos especiais das sextas-feiras para maximizar a receita de Joe Bob?
 2. Se um fornecedor se oferecesse para fornecer um pedido urgente de pães a $ 1,00 por pão, valeria o custo?
Solução
Defi na X1 como o número de Cheeseburguers, X2 como o número de Sloppy Joes, X3 o número de Tacos e X4 o 
número de travessas de Chili preparados como os pratos especiais das sextas-feiras.
Receita � US$ 2,25 X1 � US$ 2,00 X2 � US$ 1,75 X3 � US$ 2,50 X4
As restrições são:
Carne moída: 0,30 X1 � 0,25 X2 � 0,25 X3 � 0,40 X4 � 100
Queijo: 0,10 X1 � 0,30 X3 � 0,20 X4 � 50
Feijões: 0,20 X3 � 0,30 X4 � 50
Alface: 0,10 X1 � 0,20 X3 � 15
Tomate: 0,10 X1 � 0,30 X2 � 0,20 X3 � 0,20 X4 � 50
Pães: X1 � X2 � 80
Massas de Taco: X3 � 80
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 17
Passo 2: Calcule receita total — Isso está na célula F7 (que é igual a B3 vezes US$ 2,25 de cada Cheeseburguer, 
mais C3 vezes US$ 2,00 de um Sloppy Joe, mais D3 vezes US$ 1,75 de cada Taco, mais E3 vezes US$ 2,50 
de cada travessa de Chili, a função SOMARPRODUTO do Excel foi usada para tornar esse cálculo mais 
rápido). Observe que o valor atual é US$ 85, que é o resultado das vendas de dez pratos de cada item.
Passo 3: Confi gure a utilização dos ingredientes — Nas células de F11 a F17, o uso de cada ingrediente é 
calculado multiplicando-se a coluna das células variáveis pelo uso de cada item na tabela e então somando-se 
o resultado. Os limites de cada tipo de ingrediente estão nas células de H11 a H17.
Passo 4: Confi gure o Solver e selecione as opções.
Demanda
Cheeseburguer X1 � 75
Sloppy Joes X2 � 603
Taco X3 � 100
Chili X4 � 55
Passo 1: Defi na as células variáveis — B3, C3, D3 e E3. Observe que os valores na célula variável estão 
confi gurados inicialmente como 10, para que as fórmulas possam ser conferidas.
 a. Defi nir a Célula de Destino: é o local onde o valor que queremos calcular será calculado. A receita é 
calculada em F7 nesta planilha.
 b. Igual a: é ajustado para Máx, porque o objetivo é maximizar as receitas.
 c. Células Variáveis: são as células que informam a quantidade de cada prato especial a ser preparado.
 d. Submeter às Restrições: aqui adicionamos duas restrições separadas, uma para a demanda e outra para a 
utilização dos ingredientes.
Passo 5: Confi gure as Opções — Ao clicar em “Opções”, deixaremos todas as pré-confi gurações inalteradas, 
mas faremos duas mudanças: 1. marcaremos a opção Presumir Modelo Linear e 2. marcaremos a opção 
Presumir Não-Negativos. Essas duas opções assegurarão que o Solver entenda que este é um problema de 
programação linear e que todas as células variáveis deverão ser não-negativas. Clique em OK para voltar à 
tela dos parâmetros do Solver.
18 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
Passo 6: Resolva o Problema — Clique em “Resolver”. Aparecerá uma caixa com os resultados do Solver. 
Certifi que-se de que nela apareça a frase “O Solver encontrou uma solução. Todas as restrições e condições 
otimizadas foram atendidas”.
No lado direito da caixa, há três opções de relatórios: Resposta, Sensibilidade e Limites. Clique sobre os três 
itens e depois em OK; você voltará à planilha, mas agora terá três novas guias em sua área de trabalho.
O relatório de resposta indica que a célula de destino tem uma solução fi nal de US$ 416,50 e que começou 
com US$ 85. Na área das células ajustáveis, podemos ver que teríamos de preparar 20 Cheeseburguers, 60 
Sloppy Joes, 65 Tacos e 55 travessas de Chili. Essas respostas constituem o primeiro pedido da questão sobre 
qual deveria ser o mix de pratos especiais das sextas-feiras.
CÉLULA DE DESTINO (MÁX)
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL
US$ F US$ 7 Receita Total US$ 85,00 US$ 416,25
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
CÉLULA NOME VALOR ORIGINAL VALOR FINAL 
US$ B US$ 3 Células Variáveis Cheeseburguer 10 20 
US$ C US$ 3 Células Variáveis Sloppy Joe 10 60 
US$ D US$ 3 Células Variáveis Taco 10 65 
US$ E US$ 3 Células Variáveis Chili 10 55 
RESTRIÇÕES 
CÉLULA NOME VALOR DA CÉLULA FÓRMULA STATUS TRANSIGÊNCIA
US$ F US$ 11 Carne Moída (libra) Total 59,25 US$ F US$ 11<� US$ H US$ 11 Sem Agrupar 40,75
US$ F US$ 12 Queijo (libra) Total 32,50 US$ F US$ 12<� US$ H US$ 12 Sem Agrupar 17,5
US$ F US$ 13 Feijões (libra) Total 29,50 US$ F US$ 13<� US$ H US$ 13 Sem Agrupar 20,5
US$ F US$ 14 Alface (libra) Total 15,00 US$ F US$ 14<� US$ H US$ 14 Agrupar 0
US$ F US$ 15 Tomate (libra) Total 44,00 US$ F US$ 15<� US$ H US$ 15 Sem Agrupar 6
US$ F US$ 16 Pão Total 80,00 US$ F US$ 16<� US$ H US$ 16 Agrupar 0
US$ F US$ 17 Massa de Taco Total 65,00 US$ F US$ 17<� US$ H US$ 17 Sem Agrupar 15
US$ B US$ 3 Células Variáveis Cheese-Burguer 20 US$ B US$ 3<� US$ B US$ 5 Sem Agrupar 55
US$ C US$ 3 Células Variáveis Sloppy Joe 60 US$ C US$ 3<� US$ C US$ 5 Agrupar 0
US$ D US$ 3 Células Variáveis Taco 65 US$ D US$ 3<� US$ D US$ 5 Sem Agrupar 35
US$ E US$ 3 Células Variáveis Chili 55 US$ E US$ 3<� US$ E US$ 5 Agrupar 0
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 19
A segunda resposta pedida era se valeria pagar por um fornecimento urgente de pão a US$ 1 a unidade. O rela-
tório de respostas nos mostra que o status da restrição do pão consta como “agrupar”. Isso signifi ca que, se tivés-
semos mais pães, poderíamos fazer mais dinheiro. Contudo, esse relatório não nos diz se um pedido de urgência a 
US$ 1 por pão é compensador. Para responder a essa questão, devemos analisar o relatório de sensibilidade.
CÉLULAS AJUSTÁVEIS 
 VALOR CUSTO COEFICIENTE ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
CÉLULA NOME FINAL REDUZIDO OBJETIVO PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL
US$ B US$ 3 Células Variáveis Cheeseburguer 20 0 2,25 0,625 1,375
US$ C US$ 3 Células Variáveis Sloppy Joe 60 0,625 2 1E �30 0,625
US$ D US$ 3 Células Variáveis Taco 65 0 1,75 2,75 1,25
US$ E US$ 3 Células Variáveis Chili 55 2,5 2,5 1E �30 2,5
 
RESTRIÇÕES 
 VALOR PREÇO RESTRIÇÃO ACRÉSCIMO DECRÉSCIMO
CÉLULA NOME FINAL SOMBRA LATERAL R.H. PERMISSÍVEL PERMISSÍVEL
US$ F US$ 11 Carne Moída (libra) Total 59,25 0,00 100 1E�30 40,75
US$ F US$ 12 Queijo (libra) Total 32,50 0,00 50 1E�30 17,5
US$ F US$ 13 Feijões (libra) Total 29,50 0,00 50 1 1E�30 20,5
US$ F US$ 14 Alface (libra) Total 15,00 8,75 15 3 13
US$ F US$ 15 Tomate (libra) Total 44,00 0,00 50 1E�30 6
US$ F US$ 16 Pão Total 80,00 1,38 80 55 20
US$ F US$ 17 Massa de Taco Total 65,00 0,00 80 1E�30 15
Destacamos a linha do pão para responder à pergunta. Podemos ver que os pães têm um preço sombra de US$ 
1,38. Isso signifi ca que cada pão adicional gerará um lucro de $ 1,38. Podemos ver que outros ingredientes, como 
a carne moída, têm um preço sombra de $ 0. Os itens com preço sombra não agregam nada ao lucro, uma vez que 
não estamos usando atualmente tudo o que temos. Outra importante informação que temos a respeito dos pães 
é que eles só retornarão US$ 1,38 no lucro até os próximos 55 pães, e é por isso que o Acréscimo Permissível é 
de 55. Também podemos ver que 1 kg de alface retornará US$ 8,75 no lucro. Talvez possamos considerar uma 
entrega urgente de alfaces, e assim conseguiremos aumentar os nossos lucros nas noites de sexta-feira.
As respostas aceitáveis para as perguntas são:
 1. Qual é o melhor mix de pratos especiais das sextas-feiras para maximizar a receita de Joe Bob?
 20 Cheeseburguers, 60 Sloppy Joes, 65 Tacos e 55 travessas de Chili.
 2. Se um fornecedor se oferecesse para fornecer um pedido urgente de pães a US$ 1,00 por pão, valeria o 
custo?
 Sim, cada pão adicional traria US$ 1,38 de lucro, portanto, se eles custam US$ 1 a unidade, então teremos 
US$ 0,38 líquidos por pão. Contudo, isso só é verdadeiro para uma quantidade de até 55 pães.
P R O B L E M A S
 1. Resolva o seguinte problema com o Solver do Excel:
Maximizar Z � 3X � Y.
 12X� 14Y � 85
 3X � 2Y � 18
 Y � 4
 2. Resolva o seguinte problema com o Solver do Excel:
Maximizar Z � 2A � 4B.
 4A � 6B � 120
 2A � 6B � 72
 B � 10
20 seção 1 ESTRATÉGIA DE OPERAÇÕES E ADMINISTRAÇÃO DE MUDANÇAS
 3. Uma empresa descontinuou a produção de certa linha de produto não-lucrativo. Uma capacidade de 
produção consideravelmente excessiva surgiu como resultado. A administração considera redirecionar 
essa capacidade para um ou mais entre três produtos: X1, X2 e X3.
 As horas-máquina necessárias são:
 PRODUTO 
TIPO DE MÁQUINA X1 X2 X3
Fresadora 8 2 3
Torno 4 3 0
Esmeril 2 0 1
O tempo disponível em horas-máquina por semana é
 HORAS-MÁQUINA POR SEMANA
Fresadoras 800
Tornos 480
Esmeris 320
O pessoal de vendas estima que pode vender todas as unidades de X1 e X2 que possam ser produzidas, mas 
a venda potencial para X3 é de, no máximo, 80 unidades por semana.
Os lucros para os três produtos são
 LUCROS POR UNIDADE
X1 US$ 20
X2 6
X3 8 
 a. Confi gure as equações que podem ser resolvidas para maximizar o lucro por semana.
 b. Resolva essas equações usando o Solver do Excel.
 c. Qual é a solução ótima? Quanto de cada produto deve ser fabricado e qual seria o lucro resultante?
 d. Qual é a situação com relação aos grupos de máquinas? Eles trabalhariam dentro da capacidade ou 
sobraria tempo disponível? X3 estaria na capacidade máxima de vendas?
 e. Suponha que se possa obter um adicional de 200 horas por semana nas fresadoras, trabalhando em 
horas extras. O custo incremental seria de US$ 1,50 por hora. Você recomendaria isso? Explique 
como chegou à sua conclusão.
 4. Uma dieta está sendo preparada para os alojamentos da Universidade do Arizona. O objetivo é alimentar 
os estudantes com o menor custo, mas a dieta deve ter entre 1.800 e 3.600 calorias. Não pode haver 
amido em mais de 1.400 calorias nem proteína em menos de 400. A dieta variada deve ser feita de dois 
pratos: A e B. O prato A custa US$ 0,75 por libra* e contém 600 calorias, sendo 400 de amido e 200 de 
proteína. Não mais de duas libras do prato A pode ser usado por estudante. O prato B custa US$ 0,15 
por libra e contém 900 calorias, das quais 700 são amido; 100, proteínas; e 100, gorduras.
 a. Escreva as equações que representam essas informações.
 b. Resolva o problema grafi camente para as quantidades de cada prato que deve ser feito.
 5. Resolva o Problema 4 com a restrição adicional de que não mais de 150 calorias devem ser gordura e 
que o preço do prato aumente para US$ 1,75 por libra para o prato A e para US$ 2,50 para o prato B.
 6. A Fabricante Logan quer misturar dois combustíveis, A e B, para seus caminhões, com o fi m de minimi-
zar o custo. Ela precisa de, no mínimo, 3.000 galões para fazer seus caminhões funcionarem durante o 
próximo mês. Sua capacidade máxima de armazenamento de combustível é de 4.000 galões. Há dispo-
níveu 2.000 galões do combustível A e 4.000 galões do combustível B. O combustível misturado deve 
ter uma taxa de octanagem de 80, no mínimo.
* NRT: 1 libra � 453,5 gramas, mas a conversão de unidades não é necessária para a resolução do problema.
 PROGRAMAÇÃO LINEAR USANDO O SOLVER DO EXCEL nota técnica 21
Quando os combustíveis estão misturados, a quantidade fi nal obtida é igual à soma das quantidades usadas 
na mistura. A taxa de octanagem é a média ponderada das octanagens individuais, em proporção aos seus res-
pectivos volumes.
Sabe-se o seguinte: o combustível A tem uma octanagem de 90 e custa US$ 1,20 por galão. O combustível 
B tem uma octanagem de 75 e custa US$ 0,90 por galão.
 a. Escreva as equações que expressem essas informações.
 b. Resolva o problema usando o Solver do Excel, considerando a quantidade de cada combustível a ser 
usado. Defi na cada premissa necessária para resolvê-lo.
 7. Você está tentando montar um orçamento para otimizar o uso de uma parte de suas receitas disponíveis. 
Dispõe de um máximo de US$ 1.500 por mês para dividir entre alimentação, moradia e lazer. A quantia 
gasta em alimentação e moradia juntas não deve exceder US$ 1.000. O valor destinado à moradia não 
pode exceder a US$ 700. O lazer não pode consumir mais de US$ 300 por mês. Cada real gasto em 
alimentação tem um valor de satisfação de 2; cada real gasto em moradia tem um valor de 3; e cada real 
gasto em lazer traz um valor de satisfação de 5.
 Presumindo uma relação linear, use o Solver do Excel para determinar a alocação ótima de seus fundos.
 8. A cervejaria C-town produz dois tipos de cerveja: o Chope Avançado e o Rio Flamejante. O Chope 
Avançado é vendido a US$ 20 por barril, enquanto o preço do Rio Flamejante é de US$ 8 por barril. 
Para produzir um barril do Chope Avançado é preciso de 8 libras de milho e 4 de lúpulo. Para fazer o 
Rio Flamejante se usam 2 libras de milho, 6 de arroz e 3 de lúpulo. A cervejaria tem 500 libras de milho, 
300 de arroz e 400 de lúpulo. Presuma uma relação linear, use o Solver do Excel para determinar o mix 
ótimo de Chope Avançado e Rio Flamejante que maximize as receitas da C-town.
 9. A BC Petrol fabrica três produtos químicos em sua planta, no Estado de Kentucky: BCP1, BCP2 e 
BCP3. Esses produtos são feitos em dois processos produtivos conhecidos como zona e homem. O 
pro cesso zona custa US$ 48 por hora e rende três unidades de BCP1, uma de BCP2 e uma de BCP3. O 
processo homem custa US$ 24 por hora e rende uma unidade de BCP1 e uma de BCP2. Para atender à 
demanda dos clientes, pelo menos 20 unidades de BCP1, dez de BCP2 e seis de BCP3 devem ser produ-
zidas diariamente. Presumindo uma relação linear, use o Solver do Excel para determinar o mix ótimo dos 
processos zona e homem, para minimizar os custos e atender às demandas diárias da BC Petrol.
 10. Uma fazenda no município de Wood possui 900 acres de terra. Ela pretende plantar em cada acre milho, soja 
ou trigo. Cada acre plantado com milho rende um lucro de US$ 2.000, cada um com soja rende US$ 2.500, 
e cada acre com trigo rende um lucro de $ 3.000. Ela tem 100 trabalhadores e 150 toneladas de fertilizante. A 
tabela a seguir mostra as necessidades de cada acre para cada tipo de cultivo. Presumindo uma relação linear, 
use o Solver do Excel para determinar o mix de plantio ótimo de milho, soja e trigo com o fi m de maximizar 
seus lucros.
 MILHO SOJA TRIGO
Mão-de-obra (trabalhadores) 0,1 0,3 0,2
Fertilizante (toneladas) 0,2 0,1 0,4
B I B L I O G R A F I A S E L E C I O N A D A
ANDERSON, D. R. et al. An Introduction to Management Science. 10. ed. 
Cincinatti: South-Western, 2002.
WINSTON, W. L.; ALBRIGHT, S. C. Practical Management Science.
3. ed. Belmont, CA: Duxbury Press, 2002.
N O T A S 
1 A inclinação da função objetivo é �2. Se P � lucro, P � US$ 2H � US$ 4C; US$ 2H � P � US$ 4C; H � P/2 � 2C. Com isso, temos que a inclinação é �2.
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