Aula 1 - Matemática financeira

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Aula 1 – Matemática financeira
Exercícios
1. Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros nessa operação?
R$ 20,00
R$ 15,00
R$ 25,00
R$ 10,00
Sabemos que a taxa de juros é obtida fazendo:
i=JC→ J=C×i
Como, no nosso exemplo, C = R$ 1.000,00 e i =1,5% a.m., temos:
J=1.000×1,5%=1.000×0,015=R$ 15,00
Lembrem-se bem dessa última expressão (J=C.i), que nos permite calcular os juros de uma operação. Basta aplicar a Taxa de Juros ao Capital.
2. Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20% sobre seu preço à vista. Se o comprador o tivesse adquirido com pagamento após um mês, pagaria 5% de juros sobre o preço à vista. Quanto teria pago se comprasse a prazo?
R$ 189,00
R$ 180,00
R$ 190,00
R$ 179,00
Seja P o preço do produto. Com um desconto de 20%, o comprador pagou R$ 144,00, ou seja:
P×(1−20%)=144
P×0,80=144→P=1440,80=R$ 180,00
Se comprasse a prazo, pagaria esse preço, acrescido de juros de 5%. Vamos calcular os juros:
J=C×i
J=180×5%=180×5100=R$ 9,00
m, o comprador teria pago:
3. Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m. por n meses. Após esse período, ele reaplica o montante obtido à taxa de juros simples de 20% a.m., por 4 meses, obtendo um montante final de R$ 234.000,00. Qual é o prazo da segunda aplicação?
5 meses.
3 meses.
2 meses.
4 meses.
Após n meses da primeira aplicação, o investidor terá um montante de:
M_1=100.000×(1+0,15×𝑛)
Esse será o capital aplicado na segunda operação, gerando um montante igual a:
M2=M1×(1+0,20×4)
M2=100.000×(1+0,15×n)×(1+0,20×4)
234.000=100.000×(1+0,15×n)×1,80
1+0,15×n=234.000100.000×1,80
1+0,15×n=1,30
0,15×n=0,30
n=0,300,15=2 meses 
A resposta encontrada está em meses, pois utilizamos uma taxa de juros expressa ao mês.
4. Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
5 meses.
3 meses.
2 meses.
4 meses.
Para juros simples, temos:
J=C×i×n
C = 6.000 
i = 60% a.a. = 0,60
J = 900
Logo, substituindo na expressão, temos:
900=6.000×0,60×n
n=9006.000×0,60=0,25 anos 
O resultado é expresso em anos, pois a taxa de juros utilizada á anual (ao ano). Para calcular o período em meses, basta multiplicarmos o valor obtido por 12.
5. Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simples de 2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
R$ 3.000,00
R$ 5.000,00
R$ 2.000,00
R$ 1.000,00
Para juros simples, temos:
M=C×i×n
M = 1.080 
i = 2% a.m. = 0,02
n = 4 meses
Logo, substituindo na expressão, temos:
1.080=C×(1+0,02×4)=C×1,08
6. Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5% a.m.
I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5% a.m.
I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V - 1,5% a.m.
Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Assim, para determinarmos as taxas de juros simples mensais em cada um dos itens do enunciado, fazemos:
ia=24%12=2% a.m.       ib=6%6=1%a.m.      ic=16%4=4%a.m.
1. Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa de juros simples de 2% a.m., depois de cinco meses e meio:
R$ 220,00
R$ 22.000,00
R$ 2.105,00
R$ 2.220,00
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Para juros simples, temos:
M=C×(1+i×n)
C = 2.000
i = 2% a.m. = 0,02
n = 5,5 meses
Como i e n estão expressos em meses, podemos substituir seus valores na expressão para calcularmos o Montante.
2. Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2 meses, resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da aplicação foi de:.
3,15%
37,8%
13,0%
9,6%
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Os juros do período foram de:
J=2.657,50−2.500=157,50
Em juros simples, temos que:
J=C×i×n
157,50=2.500×i×2
i=157,502.500×2=0,0315=3,15% a.m.
A questão pede a taxa anual. Como em juros simples as taxas equivalentes são proporcionais, a taxa anual é obtida multiplicando-se a taxa mensal por 12. Assim:
1. Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros dessa operação, obteremos:
R$ 20,00
R$ 20,05
R$ 20,10
R$ 20,01
Para juros compostos, temos:
J=C×[(1+i)n−1]
C = 1.000i = 1% a.m. = 0,01  n = 2 meses
Lembre-se sempre que a taxa de juros e o número de períodos devem sempre estar expressos na mesma unidade de tempo (neste caso, meses). Logo:
J=1.000×[(1+0,01)2−1]
2. Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
460 meses
450 meses
412 meses
462 meses
Para resolver esse exercício, precisaremos recordar uma propriedade dos logaritmos, pois queremos calcular o número de períodos n, que está no expoente da fórmula.
A propriedade dos logaritmos que nos será muito útil é a seguinte:
log ab=b×log a
Ou seja, quando aplicamos o logaritmo a uma potência qualquer, nesse caso ab, o expoente passa para a frente do logaritmo, multiplicando-o.
Vamos ao cálculo. Para juros compostos, temos que:
M=C×(1+i)n
C = 1.000  M = 10.000  i = 0,5% a.m. = 0,005
Logo:
10.000=1.000×(1+0,005)n
1,005n=10.0001.000=1.000
log 1,005n=log 1.000
Usando a propriedade do logaritmo:
n×log 1,005=log 1.000
n=log 1.000log 1,005≅ 462 meses 
Como a taxa de juros estava expressa ao mês, encontramos n igualmente expresso em meses.
3. Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a. por um ano, com capitalização mensal composta?
R$ 78.416,85
R$ 87.416,85
R$ 78.410,58
R$ 87.614,85
O enunciado fala em 36% ao ano, com capitalização mensal, ou seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa efetiva mensal correspondente será dada por:
im=36%)12=3% a.m.
Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos:
M=C×(1+i)n
São dados:
C = 55.000  i = 3% a.m. = 0,03  n = 1 ano = 12 meses
Note que a taxa efetiva que calculamos é mensal, o que implica em usar n expresso em meses. Logo:
4. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com capitalização semestral?
10,15% a.a.
10,25% a.a.
10,55% a.a.
10,45% a.a.
O enunciado fala em 10% ao ano, com capitalização semestral, ou seja, trata-se de uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa efetiva semestral correspondente será dada por:
is=10%2=5%a.s.
No entanto, o enunciado nos pede a taxa efetiva anual. Temos, então, que calcular a taxa anual equivalente a 5% a.s.:
ia=(1+is)2 semestres1ano−1
5. Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for de 4% a.a., quanto vale a taxa de juros real?
8,5% a.a.
5,5% a.a.
6,5% a.a.
5,8% a.a.
Estamos vendo um exemplo em que a nomenclatura “taxa nominal” está sendo usada como sinônimo de taxa aparente. As taxas se relacionam da seguinte forma:
çã1+iaparente=(1+iinflação)×(1+ireal)
(1+0,10)=(1+0,04)×(1+ireal)
1+ireal=1,101,04=1,058
ireal=0,058×100%=5,8% a.a.
As taxas aparentes, ou nominais, não podem ser negativas, mas isso não ocorre com as taxas de juros reais. Quando a inflação é superior à taxa aparente, a taxa real fica negativa. Isso significa que os juros auferidos não compensaram as perdas com a inflação. Nesse caso, há uma perda real.
6. Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a título de juros, mais a inflação do período, que ficou em 20%. Qual foi o montante final da operação?
R$ 1.300,00
R$ 1.500,00
R$ 1.800,00
R$ 1.600,00
Vamos aos cálculos:
ó(1+ipós)=(1+icm)×(1+ijuros)
ó(1+ipós)=(1+0,20)×(1+0,50)=1,80
óipós=0,80×100%=80% a.a.
Como o valor do empréstimo era de 1.000 reais, temos que o valor final será dado por:
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
Os títulos pós-fixados não precisam, necessariamente, ser corrigidos pela inflação. Também são muito comuns os títulos corrigidospela taxa de câmbio ou juros que não são conhecidos no início da operação, como as taxas do CDI ou do Selic. As duas últimas também são conhecidas como taxas “over”. A lógica, no entanto, é a mesma.
1. Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e oferece uma taxa efetiva de 5% a.a. com capitalização composta. Quais serão os juros auferidos após 36 meses?
R$ 1.576,25
R$ 1.500,00
11.576,25
67.918,16
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Para juros compostos, temos:
J=C.[(1+i)n−1]
C = 10.000i = 5% a.a. = 0,05n = 36 meses = 3 anos
Lembremos sempre de colocar a taxa de juros e o número de períodos expressos na mesma unidade de tempo! Logo:
2. A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um investimento rendeu 6% no mesmo período. Calcule a taxa de rendimento anual real desse investimento:
3%
6%
2,91%
5,91%
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Vamos aos cálculos:
çã(1+iaparente)=(1+iinflação)×(1+ireal)
1+6%=(1+3%)×(1+ireal)
1+ireal=1,061,03=1,02913
ireal=0,029=2,913% a.s.
Note que a resposta é uma taxa semestral, pois as taxas que usamos são semestrais. Para calcular a taxa equivalente anual, fazemos:
ianual=(1+isemestral)2−1
1. Suponha que você possui um título de Valor Nominal (VF) igual a R$ 1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de juros anual praticada no mercado é de 10% a.a. Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
R$ 900,00
R$ 1.000,00
R$ 1.050,00
R$ 950,00
O que faremos para calcular o valor atual é a operação inversa da capitalização. Sabemos que:
VF=VP×(1+i)
Logo:
VP=VF1+i=1.1001+10%=R$ 1.000,00
Também podemos calcular o valor do desconto, caso esse título fosse resgatado antecipadamente:
Desconto=VF−VP
2. Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 2.000,00
R$ 2.050,00
R$ 2.150,00
R$ 2.250,00
O desconto comercial “por fora” é dado por:
D=VF×iD×n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
3. Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 1.956,52
R$ 1.556,52
R$ 1.765,25
R$ 1.865,25
O desconto racional simples (“por dentro”) é dado por:
d=VF−VP=VF−VF1+iD×n
VF = 15.000
id = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
4. Qual é o valor de desconto racional composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 1.652,90
R$ 1.552,90
R$ 1.662,90
R$ 1.562,90
O desconto racional composto é dado por:
DRC=VF−VP=VF−VF(1+i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
5. Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60% ao ano?
R$ 3.050,94
R$ 3.060,49
R$ 3.070,94
R$ 3.040,94
O desconto comercial composto é dado por:
DCC=VF−VP=VF−VF×(1−i)n
VF = 15.000
i = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Logo:
6. Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$ 3.000,00 para um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses. Qual é a taxa de desconto?
0,5904
0,6
0,5805
0,9505
Novamente, o desconto comercial composto é dado por:
DCC=VF−VP=VF−VF×(1−i)n
VF = 15.000  𝐢= ?  n = 3 meses = 3/12 anos = 0,25 anos
Temos agora DCC=3.000 e precisamos calcular o valor de i, a taxa de desconto:
3.000=15.000−15.000×(1−i)0,25
15.000×(1−i)0,25=12.000
(1−i)0,25=12.00015.000
(1−i)0v=0,8
((1−i)0,25)4=0,84
1−i=0,4096
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando uma taxa de desconto de 60% a.a.?
R$ 27.000
R$ 2.500
R$ 2.250
R$ 2.125
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Vamos aos cálculos:
D=VF×iD×n
VF = 15.000
iD = 60% a.a. = 0,60
n = 3 meses = 3/12 anos
2. Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento somente após três meses. João queria comprar um artigo por R$ 1.000,00 e propôs ao lojista pagar à vista com desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista aceitar a proposta de João, quanto ele pagará?.
R$ 960,00
R$ 942,32
R$ 980,39
R$ 943,40
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Vamos aos cálculos:
VP=VF(1+id×n)
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.310,00
R$ 13.300,00
R$ 13.130,00
R$ 13.330,00
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por:
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
R$ 13.300,46
R$ 13.400,46
R$ 13.500,46
R$ 13.600,46
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por:
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da terceira prestação?
R$ 466,00
R$ 460,00
R$ 406,00
R$ 416,00
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
1.0801+4%+640(1+4%)2+P(1+4%)3=2.000
Multiplicando toda a expressão por (1+4%)3, temos:
1.080×(1+4%)2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)3
1.168,128+665,60+P=2.249,728
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 414,73
R$ 454,37
R$ 474,73
R$ 447,37
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a diferença principal é que o primeiro pagamento já ocorre após o segundo mês.
Novamente, o valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida para que haja equivalência. Logo:
600(1+3%)2+P(1+3%)3=1.000
Multiplicando toda a expressão por (1+3%)3, temos:
600×(1+3%)+P=1.000×(1+3%)3
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 5% ao mês, em duas prestações bimestrais de R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
R$ 1.982,67
R$ 1.992,77
R$ 1.952,67
R$ 1.962,77
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores. Basta prestar atenção ao fato de que os pagamentos são feitos a cada dois meses (bimestrais), mas a taxa de juros ainda é dada ao mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor inicial da dívida para que haja equivalência:
1.500(1+5%)2+P(1+5%)4=3.000
Multiplicando toda a expressão por (1+5%)4, temos:
1.500×(1+5%)2+P=3.000×(1+5%)4
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a., qual é o valor desses dois pagamentos?
R$ 1.547,40
R$ 1.547,50
R$ 1.537,40
R$ 1.537,50
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do empréstimo. Em verde, está a situação atual, e em vermelho, a proposta de substituição da empresa:
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em qualquer instante de tempo, devem ser os mesmos. Para facilitar as contas, vamos igualar o valor dos dois fluxos em t=2:
X+X(1+5%)2=1.000×(1+5%)+1.000+1.0001+5%
X+0,907×X=1.050+1.000+952,38
1,907×X=3.002,38
1. Observe a figura a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos:
R$ 280,00
R$ 1.000,00
R$ 416,00
R$ 216,00
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa (setas verdes) deve ser igual ao valor futuro das saídas de caixa (seta vermelha). Assim, considerando t = 3, temos:
1.080×(1+4%)2+640×(1+4%)+P=2.000×(1+4%)3
1.833,728+P=2.249,728
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%,ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros embutida nessa operação?
25% a.m.
20% a.m.
15% a.m.
12,5% a.m.
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores presentes dos fluxos precisam ser iguais. Logo:
P.(1−10%)=0,5.P+0,5.P1+i
0,90=0,50+0,501+i
0,501+i=0,40
1+i=0,500,40=1,25