Cálculo Numérico 2ª etapa

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Cálculo Numérico: 2ª ETAPA
1. Apresente as principais fontes de erros que levam a diferença entre a solução exata e aproximada.
R: . Erros nos dados.
 .Simplificações na construção de modelo matemático.
 .Erros de truncamentos.
 .Erros de arredondamentos nos cálculos. 
1. Quando surgem erros de truncamento? Apresente um exemplo.
R: Os erros de truncamento surgem quando processos infinitos ou muito grandes para a determinação de certo valor são interrompidos em um determinado ponto, ou seja, são substituídos por processos com uma limitação prefixada. Desse modo, podemos dizer que um erro de truncamento ocorre quando substituímos um processo matemático exato (finito ou infinito) por um processo aproximado correspondente a uma parte do processo exato. Ao considerarmos um número finito de termos de uma série, estamos fazendo um truncamento da série.
Um exemplo claro desse tipo de erro pode ser visto quando calculamos para algum número real x em um computador. O valor exato é dado pela série 
Entretanto, por ser impossível somas os infinitos termos da série, fazemos apenas uma aproximação por um número finito de termos, ou seja, tomamos 
 
Em que N é um determinado número natural. Obviamente, à medida que N aumenta, mais precisa é a aproximação, ou seja, o erro de truncamento diminui.
1. O que são erros de arredondamento? E quando surgem?
R: Os erros de arredondamento são aqueles que ocorrem no processo de cálculo de uma solução numérica, ou seja, surgem dos cálculos (operações aritméticas) existentes no método numérico. Tais erros estão associados ao fato de os computadores ou sistemas eletrônicos de cálculo utilizarem um número fixo de dígitos para representarem os números, isto é, são consequências de se trabalhar com o que chamamos aritmética de precisão finita. 
Desse modo, sempre que o resultado de uma operação for um número que não pode ser representado exatamente no sistema de representação usado, necessitamos fazer arredondamentos, o que leva a desprezar dígitos e arredondar o número. Em cálculo numérico, lidamos essencialmente com valores aproximados e a quase totalidade dos cálculos envolve erros. Assim não podemos usar métodos numéricos e ignorar a essência de erros.´
1. O que são erros absolutos? Apresente um exemplo.
R: Ao resolvermos um problema real utilizando métodos numéricos, os resultados são geralmente aproximações do que seria o valor exato de uma solução do problema. Dessa forma, é inerente aos métodos se trabalhar com as aproximações e com os erros.
 A informação sobre o erro que acompanha uma aproximação para a solução de um problema é fundamental para se conhecer a qualidade da aproximação.
Exemplo:
 Considere a equação 2x3 
Essa equação tem uma única raiz real. São aproximações para essa raiz os números 1,195000, 1,195175 e 1,195200. Agora qual dessas aproximações é a mais exata, ou seja, qual delas mais se aproxima do valor exato da raiz? Para respondermos a esta pergunta, e para termos uma informação mais precisa sobre o valor exato da raiz, é necessário conhecer a qualidade da aproximação. Apesar de, em geral, aumentando o esforço computacional, as aproximações poderem ser melhoradas, torna-se importante medir o quão próximo uma aproximação está do valor exato. Para quantificar essa informação, introduzimos a noção de erro absoluto.
Definição 1: Seja x um número e uma sua aproximação, chama-se erro absoluto, e designa-se por EAx, a diferença entre x e Simbolicamente: 
EAx = x - .
No caso de x > ou seja, quando EAx > 0, dizemos que é uma aproximação por falta e, no de caso de x < , ou seja, quando EAx < 0, dizemos que é uma aproximação por excesso.