UVB - aula04 - Séries de Pagamentos Iguais com Prestações Vencidas

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32Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Aula Nº 4 – Série de Pagamentos Aula Nº 4 – Série de Pagamentos 
Iguais com Prestações Iguais com Prestações 
VencidasVencidas
Objetivos desta AulaObjetivos desta Aula
Muitas operações fi nanceiras são realizadas com prestações iguais e, 
nessas prestações, estão embutidos juros, pois, como já vimos, o dinheiro 
tem valor no tempo. O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente das 
prestações, no regime de juros compostos, requer a utilização de algumas 
fórmulas matemáticas que serão apresentadas nesta aula. Um recurso 
também importante e prático é a utilização de calculadora fi nanceira. 
Nesta aula, apresentaremos a solução de cada problema pelas fórmulas e 
pela calculadora HP-12C.
Ao fi nal, você deverá ser capaz de calcular o Valor Futuro, Valor Presente 
de uma série de pagamentos iguais postecipada e o valor de prestações 
iguais e consecutivas de um empréstimo ou de um investimento.
Tenha uma ótima aula!
1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro
 0 1 2 3 4 
 100 100 100 100 
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33Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
O valor futuro desta série é o somatório dos valores futuros das parcelas ou 
prestações:
VF2 = 100 . (1 + 0,05)³
VF3 = 100 . (1 + 0,05)²
VF4 = 100 . (1 + 0,05)¹
VF5 = 100 . (1 + 0,05)º
VF = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5
VF = 100 . (1 + 0,05)³ + 100 . (1 + 0,05)² + 100 . (1 + 0,05)¹ + 100 . (1 + 0,05)º
Colocando 100 em evidência, temos:
VF = 100 [(1 + 0,05)³ + (1 + 0,05)² + (1 + 0,05)¹ + (1 + 0,05)º]
Olhando, atentamente, a expressão dentro dos colchetes, verifi camos que 
se trata de uma progressão geométrica de 4 termos, em que o primeiro é 1 
e com razão (1 + 0,05).
Usando a fórmula da soma da PG è S = a1 . qn - a1
 q – 1
VF = 100 . 1 . (1,05)4 – 1 -> 100 . 1,054 – 1
 1,05 – 1 0,05 
VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
2. Cálculo do Montante ou Valor Futuro2. Cálculo do Montante ou Valor Futuro
Uma pessoa faz 10 depósitos mensais e iguais de R$ 1.000,00 em uma 
caderneta de poupança que tem um rendimento mensal de 0,75%. 
Considerando que os depósitos são realizados no fi nal de cada mês, qual 
será o valor acumulado no fi nal desse prazo?
Dados:Dados:
n = 10 prestações
PMT = 1.000,00
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34Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
i = 0,75% ao mês
VF = ?
VF = PMT . (1 + i) – 1 
 i
VF = 1.000 . (1 + 0,0075) – 1 
 0,0075
VF = 1.000 . 1,0776 – 1 
 0,0075
VF = 1.000 . 0,0776
 0,0075
VF = 1.000 . 10,3443
VF = 10.344,34
 Tecle 1000 
CHS para 
mudar o sinal 
e PMT HP-12C 
n FV i 
0,75 10.344,34 
0,75 
PV 
VISOR 10 
10 
 -1.000 
PMT 
DADOS 1.000 
CHS 
3. Cálculo da prestação dado o Valor Futuro3. Cálculo da prestação dado o Valor Futuro
Se quiser saber quanto devo depositar mensalmente em uma caderneta 
de poupança que paga juro de 0,75% ao mês, para acumular o valor de R$ 
20.000,00 no fi nal de 12 meses, o problema é o inverso do anterior, portanto 
a fórmula também será inversa.
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35Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Dados:Dados:
VF = R$ 20.000,00
I = 0,75% ao mês
n = 12 meses
VF = R$ 16.500,00
PMT = ?
Se VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
PMT = VF . i 
 (1 + i)n – 1 
PMT = 20.000 . 0,0075
 (1+0,0075)12 – 1
PMT = 20.000 . 0,0075
 (1,0075)12 – 1
PMT = 20.000 . 0,0075 
 1,0938 – 1
PMT = 20.000 . 0,07995
PMT = 1.599,03
 HP-12C 
n FV i 
12 20.000 
PV 
VISOR 12 0,75 20.000 -1.599,03 
CHS PMT 
0,75 
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36Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
4. Cálculo do Valor Presente4. Cálculo do Valor Presente
Quanto vale, hoje, uma série de parcelas iguais com vencimentos futuros?
Suponha que uma empresa fez um fi nanciamento para ser pago em 4 
parcelas mensais de R$ 1.500,00, sendo de 3,5% ao mês a taxa negociada 
da operação.
Qual foi o valor fi nanciado?
 VP= ? 
1.500 1.500 1.500 1.500 
VF = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
n
VF = VP . (1 + i)
VP . (1 + i) = PMT . (1 + i)n – 1 
 i
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP = 1.500 . (1 + 0,035)4 – 1
 (1 + 0,035)4 . 0,035
VP = 1.500 . 1,1475 – 1
 1,1475 . 0,035
VP = 1.500 . 0,1475
 0,0402
VP = 1.500 . 3,6731
VP = 5.509,62
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37Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
Cálculo do Valor Presente na HP-12C
 
HP-12C 
n FV i 
4 1.500 
PV 
VISOR 4 3,5 5.509,62 -1.500,00 
CHS PMT 
3,5 
Tecle 1500 CHS 
para mudar o sinal e 
depois PMT 
5. Cálculo da Prestação dado o Valor Presente5. Cálculo da Prestação dado o Valor Presente
Qual o valor das prestações mensais e iguais de um empréstimo de R$ 
10.000,00, à taxa de 4,5% ao mês, pelo prazo de 12 meses?
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP . (1 + i)n . i = PMT . (1 + i)n – 1
VP . (1 + i)n . i = PMT 
 (1 + i)n – 1
PMT = VP . (1 + i)n . i 
 (1 + i)n – 1
PMT = 10.000 . (1 + 0,045)12 . 0,045 
 (1 + 0,045)12 – 1
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38Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
PMT = 10.000 . 1,6959 . 0,045 
 1.6959 – 1
PMT = 10.000 . 0,0763
 0,6959
PMT = 10.000 . 0,1097
PMT = 1.096,66
 HP-12C 
n FV i 
12 10.000 
PV 
VISOR 12 4,5 10.000 -1.096,66 
CHS PMT 
4,56. EXEMPLOS6. EXEMPLOS
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
Um produto é comercializado por R$ 1.000,00 a vista. Qual será o valor da 
prestação, se o comprador fi nanciar em 6 prestações iguais e sem entrada, 
considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês?
Dados:Dados:
VP = 1.000,00
i = 5% ao mês
n = 6 prestações mensais
PMT = ?
PMT = VP . (1 + i)n . i 
 (1 + i)n – 1
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39Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
PMT = 1.000 . (1 + 0,05)6 . 0,05
 (1 + 0,05)6 – 1
PMT = 1.000 . 1,3401 . 0,05
 1,3401 – 1
PMT = 1.000 . 0,0670
 0,3401
PMT = 1.000 . 0,1970
PMT = 197,02
Exemplo 2Exemplo 2
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicados à taxa de 
2% ao mês, durante 11 meses, produz um montante de R$ R$ 15.000,00.
Dados:
PMT = ?
i = 2% ao mês
n = 11 depósitos mensais
VF = 15.000,00
PMT = VF . i .
 (1 + i)n – 1 
PMT = 15.000 . 0,02 .
 (1 + 0,02)11 – 1
PMT = 15.000 . 0,02 .
 1,2434 – 1
PMT = 15.000 . 0,02
 0,2434
PMT = 15.000 . 0,08218
PMT = 1.232,67
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40Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
 HP-12C 
n FV i 
11 15.000 
PV 
11 2 15.000 -1.232,67 
CHS PMT 
2 
VISOR 
Exemplo 3Exemplo 3
Determinar o valor de um fi nanciamento realizado à taxa de 1,5% ao mês e 
que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de 
R$ 700,00.
Dados:Dados:
i = 1,5% ao mês
PMT = 700,00
n = 12 prestações mensais
VP = ?
VP = PMT . (1 + i)n – 1 
 (1 + i)n . i 
VP = 700 . (1 + 0,015)12 – 1
 (1 + 0,015)12 . 0,015
VP = 700 . 1,1956 – 1
 1,1956 . 0,015
VP = 700 . 0,1956
 0,0179
VP = 700 . 10,9075
VP = 7.635,25
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41Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
 
HP-12C 
n FV i 
12 700 
PV 
VISOR 
12 1,5 7.635,25 -700 
CHS PMT 
1,5 
Tecle 700 
CHS para 
mudar o sinal 
e depois PMT 
7. Exercícios:7. Exercícios:
1) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi realizado mediante o pagamento 
de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas. Determinar o valor das 
prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, e que a primeira prestação ocorre 30 dias após 
a liberação dos recursos.
2) Um equipamento cujo valor é R$ 25.000,00 está sendo fi nanciado a juros 
de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar 
o valor que deve ser dado de entrada para que o valor das 12 prestações 
mensais, iguais e consecutivas, seja limitado a R$ 1.800,00. Admita que a 
primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação do empréstimo.
3) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 em um 
banco, à taxa de 1% ao mês. Quanto poderá resgatar no fi nal desse prazo?
4) Uma caderneta de poupança remunera seus depósitos à taxa de 15% 
ao ano, capitalizados trimestralmente. Um cliente efetuou seis depósitos 
trimestrais, todos do mesmo valor. Determine o valor desses depósitos para 
que o cliente possa retirar a quantia de R$ 20.000,00 no fi nal do segundo 
trimestre após a efetivação do último depósito.
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42Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB
Anotações do Aluno
5) Uma pessoa deposita o valor de R$ 90,00 por mês em uma caderneta de 
poupança pelo prazo de 30 anos. Considerando uma taxa de 0,8% ao mês, 
qual será o valor acumulado no fi nal desse prazo?
SínteseSíntese
Nesta aula, estudamos como calcular Valor Futuro, Valor Presente e Valor de 
Prestações iguais em uma série de pagamentos postecipada, com o uso de 
fórmulas matemáticas e com a utilização da calculadora HP-12C.
Na próxima aula, estudaremos o VPL – Valor Presente Líquido–, que é uma 
importante ferramenta para análise de investimentos.
Referências BibliográficasReferências Bibliográficas
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada., São Paulo: 
Thomson-Pioneira, 2002.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de 
Investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.