24-09-20 - Oscilações - parte 4 - Oscilações Amortecidas, Forçadas e Ressonância

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Oscilações Amortecidas
MHS amortecido
Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos
oscilatórios têm uma duração finita, eles têm um começo e um
fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo indefinido. Isso
acontece, basicamente, devido a atuação de forças dissipativas
tais como as forças de atrito.
Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser
representadas por uma função que depende linearmente da
velocidade.
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de
constante elástica k com uma das extremidades presa ao teto e
a outra suspendendo um corpo de massa m . Nesse corpo está
presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade
presa a um anteparo que está mergulhado em um líquido.
Quando o anteparo se move no líquido esse movimento é
amortecido por uma força que surge devido à viscosidade do
líquido.
Essa força dissipativa pode ser descrita por uma equação do
tipo:
onde b é chamado de constante de amortecimento.
A resultante das forças que atuam no corpo de massa m é dada por:
ou seja:
A forma diferencial da equação anterior é:
Uma Solução desta equação, no caso de o amortecimento ser pequeno, é: 
Em que Ao que é a amplitude máxima e 
Em que ωo é a frequência angular sem amortecimento.
Uma vez que a energia de uma oscilador é proporcional ao quadrado da
amplitude, a energia de um oscilador subamortecido também diminui
exponencialmente com o tempo
EXEMPLO
Oscilações Forçadas e 
Ressonância
Podemos forçar um oscilador a oscilar. Por exemplo, quando aplicamos uma
força periódica a uma criança num balanço de jardim, pois queremos que as
oscilações continuem. A força mais fácil de se tratar matematicamente (e de
aplicar) é uma força periódica na forma:
e portanto sinusoidal.
Somando todas as forças do oscilador, incluindo a força de atrito e a força
aplicada, a equação torna-se então:
onde γ= b/m. Na solução, a oscilação “deverá” ter a mesma frequência que a da
força aplicada (w’). Uma solução da expressão anterior, para grandes valores
de tempo, é a seguinte:
com:
e
Oscilador forçado com atrito – frequência de ressonância.
Quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural do oscilador,
a amplitude da oscilação é máxima. Por exemplo, no caso da criança no balanço
de jardim, sabemos que a oscilação será máxima se aplicarmos uma força em
ressonância com a frequência de oscilação natural do balanço. As ressonâncias
são também responsáveis por vibrações indesejáveis em sistemas mecânicos,
ruptura de estruturas como prédios e pontes sob a ação de ventos ou ondas
sísmicas, etc. Todas as vezes que um oscilador está sujeito a uma força
periódica com a mesma frequência que sua frequência natural, observaremos o
fenómeno de ressonância. Dizemos que a força está em fase com a oscilação.
O sistema massa-mola quando excitado tem como característica a existência
de UMA freqüência específica onde ocorre o fenômeno da ressonância.O
fator  refere-se ao valores do amortecimento e A é a amplitude da oscilação.
Oscilações Forçadas.
Todas as estruturas mecânicas tem uma ou mais frequências naturais de oscilação. Se
a estrutura for submetida a uma força externa periódica cuja frequência coincida com
uma das frequências naturais, a amplitude da oscilação atingirá valores elevados
que podem levar ao colapso da estrutura. Este fenômeno é denominado ressonância.
Um exemplo histórico do fenômeno de
ressonância foi a queda da ponte pênsil do
estreito de Tacoma (Washington, EUA)
quando ventos soprando sobre a ponte
provocaram oscilações de ressonância que
levaram à sua destruição em novembro de
1940, quatro meses depois de ter sido
inaugurada.
A ponte, de 840 m de comprimento e 12 m
de largura, foi aberta para o trânsito em 1º
de julho.
Logo ficou conhecida pelas desagradáveis
oscilações quando ventava. No dia 7 de
novembro, um vento de 60 a 70 km/h
provocou uma oscilação na ponte com uma
frequência de 36 vibrações por minuto (0.6
Hz). Quando a amplitude da oscilação ficou
muito grande, a ponte foi interditada.
As 10 h, um cabo cedeu e a ponte
começou a vibrar num modo de
oscilação ressonante de torção em
relação à linha central da estrada
(twisting resonant mode, f0 =0.2 Hz).
O mecanismo que causou a catástrofe
parece ter sido as oscilações causadas
pelos vórtices alternados provocados
pelo vento. Uma vez que a ponte
começou oscilar desta forma, o
movimento levou a formação de outros
vórtices auto-induzidos (motion –induced
vortices). Este movimento acabou
levando a ponte para sua frequência de
ressonância.
E. Hecht, Physics Brooks & Cole, 1994
A freqüência da oscilação causada pelos
vórtices alternados provocados pelo
vento, coincidia com a frequência de
vibração natural da estrutura (condição
de ressonância).
Quando a taxa com que a energia era
absorvida do vento superou as perdas
por atrito, a amplitude das oscilações
aumentaram, levando-a ao colapso da
ponte pouco depois das 11 h.
E. Hecht, Physics (Brooks & Cole, 1994)
Curvas de ressonância: A2 vs 
©2008 by W.H. Freeman and Company
Efeito do vento na estrutura de
uma ponte incorretamente projetada.
Ponte de Tacoma (1940)
Simulação computacional do efeito do
vento na estrutura de uma ponte.
The London Millennium Footbridge: ficou fechada por dois anos para
corrigir a oscilação lateral que surgia sempre que o número de pessoas na
ponte chegava a 2000.
©2008 by W.H. Freeman and Company
Modos de Oscilação
Modo Simétrico
Modo AntissimétricoTorção
Oscilação
Continua...
...Ondas