Séries Numéricas: Convergência e Critérios

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SÉRIES NUMÉRICAS 
 
 
 
 
1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 ...+ + + + + + 
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...
2 3 4 5 6 7 8 9 10
+ + + + + + + + + + 
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ?
2 4 8 16 32 64 128 256 512
+ + + + + + + + + + 
 
Definição 1: 
Seja uma sucessão de números reais. Chama-se série numérica de termo geral à 
sucessão de termo geral 
na na
1 2 3 1
... nn n kS a a a a a== + + + + = k∑ . Representa-se por . 1 nn a
+∞
=∑
 
 
Dizemos que uma série numérica 
1 nn
a+∞
=∑ é convergente quando a sucessão das 
somas parciais for convergente para limite finito. Caso contrário diz-se divergente. 
nS
 
Designa-se por S a soma da série quando é convergente. . 
0
lim n nnnS S
+∞
=→+∞
= =∑ a
 
EXEMPLO 1: 
1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 1-1 ...+ + + + + + 
1 1
1 se n par
0 se n ímparn n n
S S a+ +
⎧
= + = ⎨
⎩
 
Logo a sucessão é divergente. nS
 
 
 
 
EXEMPLO 2: 
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...
2 4 8 16 32 64 128 256 512 2nn
+∞
=
+ + + + + + + + + + =∑ 
0
1
1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 4 8 16 32 64 2
11
2 11
2
1 2
2
lim 2
n
n kk
n
n
n
nn
S
S
=
−
→+∞
=
= + + + + + + + +
⎛ ⎞− ⎜ ⎟
⎝ ⎠=
−
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
∑
 
 
 
PROPRIEDADES 
 
À série chamamos série geométrica de primeiro termo b e razão 
. A sucessão associada é Assim, 
1
n
n
ba+∞
=∑
r a= 2 3 ... .nnS b ba ba ba ba= + + + + + 1 11
n
n
a aS
r
+−=
−
. 
1lim lim
1
n
nn n
aS S b
a→+∞ →+∞
−
= =
−
: 
 se 1
1
bS a
a
= <
−
 
 se 1S a= ∞ > 
A série diverge se 1a = . 
Logo, a série é convergente apenas se 1 a 1− < < , e a sua soma será 
1
b
a−
. 
 
EXEMPLO 3: Discuta a convergência da série 
(a) 2
1 1 11 ... ...na a a a
+ + + + + + com { }\ 0,1a∈ . 
(b) 
( )30
8
1
n
n
n a
+∞
= +
∑ 
 
EXEMPLO 4: Calcule as somas parciais das seguintes séries e a soma das que são 
convergentes: 
(a) 2
0
2 n
n
+∞
−
=
∑
(b) 
0
2
7nn
+∞
=
∑ 
 
Consideremos a série numérica do tipo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 2 1 3 2 4 30 ...n nn a a a a a a a a a a
+∞
+=
− = − + − + − + − +∑ 
A uma série destas chama-se série de Mengoli ou série telescópica. A sucessão 
associada correspondente é ( ) ( ) ( )1 0 2 1 1... n n na a a a a a a a−− + − + + − = − 0
a−
. Logo a série é 
convergente se e só se existir , e a soma da série será dada por 
. 
lim nn a→+∞
( )1 00 limn n nn nS a a a
+∞
+= →+∞
= − =∑
 
TEOREMA 1: Se as séries numéricas 
1 nn
a+∞
=∑ e 1 nn b
+∞
=∑ são convergentes então: 
(a) a série é convergente e tem-se (1 n nn a b
+∞
=
+∑ ) 1 nn=( )1 1n n nn na b a b
+∞ +∞ +∞
= =
+ = +∑ ∑ ∑ ; 
(b) a série 
1 nn
aλ+∞
=∑ é convergente e tem-se 1 1n nn na a=λ λ
+∞ +∞
=
=∑ ∑ λ∈, . 
 
 
EXEMPLO 5: Discuta a convergência da série: 
(a) 
( )( )0
2
1 3n n n n
+∞
= + +∑ 
(b) ( )
( )0
3 2 1
2 1
n
nn
n n
n n
+∞
=
× + +
+∑ 
 
EXEMPLO 6: Calcule a soma da série 2
0
2
4 1n n
+∞
= −
∑ . 
 
 
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA 
 
CRITÉRIO GERAL DE CAUCHY: 
Seja uma série de números reais. É condição necessária e suficiente para que 
 seja convergente que: 
1 nn
a+∞
=∑
1 nn
a+∞
=∑ ( )0 : , , n k np n p n k S Sδ δ+∀ > ∃ ∈ ≥ ∈ ⇒ − < . 
 
EXEMPLO 7: A série 
1
1
n n
+∞
=∑ é divergente. 
Repare que 2 1 2
1 1 1 1... ... ...
1 2 2 2n n n n
S S a a
n n n n+
− = + + = + + ≥ + + =
+
1
2
. 
 
TEOREMA 2: Se a série é convergente, então (condição 
necessária). 
1 nn
a+∞
=∑ lim 0nn a→+∞ =
 
COROLÁRIO: Se não existe, ou, existindo, lim nn a→+∞ lim 0nn a→+∞ ≠ , então a série é 
divergente. 
1 nn
a+∞
=∑
 
EXEMPLO 8: A série 
7
1
3
7
n
n
n
n
−
+∞
=
+⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ é divergente. 
Porque 
( ) ( )7 77 7
43 4lim lim 1 0
7 7
n nn n
n n
n e
n n
− +− +
−
→+∞ →+∞
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
≠ 
 
TEOREMA 3: Se então a série 0na ≥ 1 nn a
+∞
=∑ é convergente se e só se é uma 
sucessão limitada superiormente. 
nS
 
TEOREMA 4 (1º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO): 
Se , e , então: 0na ≥ 0nb ≥ n na b≤ n∀ ∈
(i) se a série é divergente então a série 
1 nn
a+∞
=∑ 1 nn b
+∞
=∑ é divergente. 
(ii) se a série é convergente então a série 
1 nn
b+∞
=∑ 1 nn a
+∞
=∑ é convergente. 
 
EXEMPLO 9: Estude a natureza da série 21 1n
n
n
+∞
= +∑ . 
Repare que 2
1
1 1
n
n n
≥
+ +
 e 
1
1
1n n n
+∞ +∞
=
=
+∑ ∑ 1
1
n=
 que é divergente. Logo a série dada é 
divergente. 
 
TEOREMA 5 (2º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO): 
Se , e 0na ≥ 0nb > lim nn
n
a
b
λ
→+∞
= ∈ , então: 
(i) se 0λ ≠ , então as séries e 
1 nn
a+∞
=∑ 1 nn b
+∞
=∑ são da mesma natureza. 
(ii) se 0λ = , então 
 (a) se a série é divergente então a série 
1 nn
a+∞
=∑ 1 nn b
+∞
=∑ é divergente. 
 (b) se a série é convergente então a série 
1 nn
b+∞
=∑ 1 nn a
+∞
=∑ é convergente. 
Se , e 0na ≥ 0nb > lim nn
n
a
b→+∞
= +∞ , então: 
(i) se a série é divergente então a série 
1 nn
b+∞
=∑ 1 nn a
+∞
=∑ é divergente. 
(ii) se a série é convergente então a série 
1 nn
a+∞
=∑ 1 nn b
+∞
=∑ é convergente. 
 
TEOREMA 6 (CRITÉRIO DE CAUCHY OU DA RAIZ): 
Se e 0na ≥ lim n nn a λ→+∞ = ∈ , então: 
(i) se 1λ < , então a série é convergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(ii) se 1λ > , então a série é divergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(iii) se 1λ = , nada se pode concluir excepto quando, a partir de certa ordem, 1n na ≥ 
caso em que a série 
1 nn
a+∞
=∑ é divergente. 
 
EXEMPLO 10: A série 
1
1
3
n
n
n
n
+∞
=
+⎛
⎜
⎝ ⎠
∑ ⎞⎟ é convergente. 
 
TEOREMA 7 (CRITÉRIO DE D’ALEMBERT OU DA RAZÃO): 
Se e 0na ≥ 1lim nn
n
a
a
λ+
→+∞
= ∈ , então: 
(i) se 1λ < , então a série é convergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(ii) se 1λ > , então a série é divergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(iii) se 1λ = , nada se pode concluir excepto quando, a partir de certa ordem, 1 1n
n
a
a
+ ≥ 
caso em que a série 
1 nn
a+∞
=∑ é divergente. 
 
EXEMPLO 11: A série 
1
2
!
n
nn n n
+∞
=∑ é convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA 8 (CRITÉRIO DE RAABE): 
Se e 0na ≥ 1lim 1nn
n
an
a
λ+
→+∞
⎡ ⎤
− = ∈⎢ ⎥
⎣ ⎦
 
(i) se 1λ > , então a série é convergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(ii) se 1λ < , então a série é divergente. 
1 nn
a+∞
=∑
(iii) se 1λ = , nada se pode concluir excepto quando, a partir de certa ordem, 
1 1n
n
an
a
+⎡ ⎤− <⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 caso em que a série 
1 nn
a+∞
=∑ é divergente. 
 
TEOREMA 9 (DE CUNHA-BOLZANO-CAUCHY): 
A série é convergente se e somente se para todo o 
1 nn
a+∞
=∑ ε positivo existir uma 
ordem tal que para quaisquer m superior a e p natural se tenha 0n 0n
1 ...m m m pa a a ε+ ++ + + < . 
 
TEOREMA 10: 
Se a série 
1 nn
a+∞
=∑ é convergente então a série 1 nn a
+∞
=∑ é convergente.